CC BY
3ПРОМЫШЛЕННОСТЬ. ПРИКЛАДНЫЕ НАУКИ. Машиноведение и машиностроение
№ 11
УДК 621.65.01
К ВОПРОСУ О ТЕОРЕТИЧЕСКОМ ДАВЛЕНИИ РАДИАЛЬНОГО НАГНЕТАТЕЛЯ
С УЧЕТОМ СИЛЫ КОРИОЛИСА
канд. техн. наук, доц. В.Н. ПАВЛЕЧКО; канд. техн. наук, доц. С.К. ПРОТАСОВ (Белорусский государственный технологический университет, Минск)
Представлен анализ зависимостей для расчета теоретического давления, создаваемого рабочим колесом радиального нагнетателя, которые получены с учетом разности окружных скоростей колеса и среды, реакции лопастей по преодолению силы инерции среды в различных направлениях и мощности, необходимой для сообщения движения среде. Выводятся зависимости для определения давления с учетом работы, которую выполняют лопасти. Эти зависимости идентичны формулам, поученным ранее с использованием мощности, передаваемой лопастями среде. Установлено повышение общего давления, создаваемого колесом в радиальном направлении, при углах наклона лопастей до 90о и его снижение при углах более 90о.
Введение. Кинематическая структура потока во вращающихся криволинейных каналах рабочего колеса центробежной машины весьма сложна. Для определения давления, которое создает радиальный нагнетатель, используют следующие предположения [1]: 1) поток состоит из множества струй, повторяющих геометрическую форму лопасти; 2) все струи, составляющие поток, совершенно одинаковы геометрически и кинематически; 3) поток является плоским, т.е. градиент скорости вдоль оси, параллельной геометрической оси машины, отсутствует.
В соответствии со струйной теорией абсолютная скорость движения среды (с) является геометрической суммой окружной (и) и относительной (^) скоростей (рис. 1). Окружные скорости среды и колеса принимаются равными [1; 2].
Теоретическое давление (Па), создаваемое рабочим колесом центробежной машины, определяется уравнением Эйлера [1-3]:
Рт = р(и2с2соБ а2 - и1с1соБ а1), или с использованием тангенциальных составляющих абсолютных скоростей (см. рис. 1)
Рт =р(и2с2и - и1с1и ) ,
(1)
(2)
w2
где р - плотность среды, кг/м ; и1, u2 - окружная скорость колеса на входе и выходе среды, м/с; с1, с2 -абсолютная скорость среды на входе и выходе из колеса, м/с; а1 и а2 - угол между векторами окружной и
абсолютной скоростей на входе и выходе из колеса, град; с1и, с2и - проекции абсолютных скоростей среды на векторы соответствующих окружных скоростей колеса на входе и выходе из него, м/с.
Обычно среда, поступающая из входного патрубка, движется по колесу в радиальном направлении, что соответствует ее безударному входу. В этом случае угол а1 = 90°, и уравнения (1) и (2) упрощаются, так как cos 90° = 0 и с1си = 0.
C2 ' C2r P2 V/
//V2 с2и a2 /\ УДР2
и2
' C1rZ [(Pi
Рт =pU2^2COS a2 =ри2^2и.
(3)
Ci
1
ri
Г2
и1
ш
О
В работе [4] отмечено, что из-за наличия тангенциальной составляющей относительной скорости w собР тангенциальная скорость среды отличается от окружной скорости колеса радиального нагнетателя. Поэтому при лопастях, отогнутых назад относительно направления вращения колеса (см. рис. 1), среда запаздывает, и ее угловая и линейная скорости меньше соответствующих скоростей колеса. Для лопастей, отогнутых вперед по ходу вращения, среда может иметь большие скорости, чем у колеса. Для лопастей, расположенных радиально, имеет место равенство угловых и линейных скоростей колеса и среды.
Рис. 1. Параллелограммы скоростей в рабочем колесе нагнетателя для лопастей, отогнутых назад
Основной движущей силой, действующей на среду в рабочем колесе, кроме центробежной силы, предложено учитывать реакцию лопастей по преодолению силы Кориолиса. Причем эта реакция разделена на тангенциальную и радиальную составляющие.
В отличие от струйной теории, предложено [4] представлять абсолютную скорость геометрической суммой скорости движения среды с2с под действием реакции лопастей колеса по преодолению силы
инерции и скорости с2ц под действием центробежной силы на выходе из колеса (рис. 2).
В работе [4] найдены выражения реакции лопасти по преодолению силы инерции среды в различных направлениях и мощности, необходимые для сообщения движения массе среды.
Делением этих мощностей на расход среды получены выражения давления, передаваемого рабочим колесом среде:
- в направлении, перпендикулярном плоскости лопасти
P = -
Р
2 2си
);
Рис. 2. Параллелограммы скоростей в рабочем колесе нагнетателя с учетом ускорения Кориолиса для лопастей, отогнутых назад
sin2 b
- в направлении окружной скорости
Ри =Р(и2С2си - и1с1си ) ;
- в радиальном направлении
cos2 b (
Pr =Р^ (
. 2 п V2 2си
sin2 b
J-
(4)
(5)
(6)
Основная часть. В данном исследовании необходимые зависимости выводятся через работу, выполняемую лопастями радиального нагнетателя. В колесе, вращающемся с угловой скоростью ю, изменение направлений окружной и и относительной w скоростей вызывает появление ускорения Кориолиса, которое устремлено в сторону, повернутую на 90° от относительной скорости по направлению вращения.
Выделим элементарный объем на расстоянии г от оси вращения толщиной йг и шириной, равной расстоянию между дисками колеса (рис. 3). В точке А на единицу массы среды т действует реакция лопасти колеса, равная силе Кориолиса:
F w sinP ,
/^сс ________! ^ Л
Р ссг
и Fu/ Сси ^S^J-
w cose
dr
F = 2 mww
(7)
ri
Г2
ffl
О
которая перпендикулярна направлению относительной скорости w и плоскости лопасти.
Разложим относительную скорость w на две составляющие. Радиальная ее часть w•sinp вызывает
появление соответствующей силы Кориолиса и ре-Рис. 3. К выводу расчетных зависимостей
7 ^ акцию лопасти Ьи по ее преодолению, направлен-
ную в сторону окружной скорости и. Тангенциальная часть w•cosP вызывает реакцию лопасти ¥г, направленную радиально. Соответствующие реакции колеса определяются помимо (7) зависимостями:
Fu = 2 mww sin b, Fr = 2 mww cos b -
(8) (9)
За промежуток времени А/ точка А на поверхности лопасти проходит путь йг в радиальном направлении со скоростью w•sinp.
ПРОМЫШЛЕННОСТЬ. ПРИКЛАДНЫЕ НАУКИ. Машиноведение и машиностроение_№ 11
Промежуток времени равен
А/ = . (10)
w sin ß
За этот промежуток времени точка А перемещается в направлении окружной скорости на расстояние
c dr
A4 = CcU At = -CU—, (11)
w sin ß
а в направлении скорости сс
Al = Cc At = -Ccd-. (12)
w sin ß
Выразим скорость перемещения среды через ее угловую скорость 0s:
Ccu =wsr . (13)
Работа рассматриваемых сил равна их произведению на соответствующий путь перемещения среды
rdr sin2 ß
dAu = Fu Alu = 2mwwsrdr; (15)
dA = Fu Al = — ; (14)
cos2 b
dAr = Fr dr = 2mwws-rdr . (16)
sin2 b
Интегрированием в пределах от r1 до r2 при условии постоянства угла наклона лопастей (b = Ь1 = Ь2) по радиусу колеса и угловой скорости среды (0s = const) получены выражения соответствующих работ:
r2
г. rdr mfflffl^ 2 2n
A = Г 2mfflffl^-- = —Tf (r22 - ri2); (17)
r Sin2 b sin2 b '
r2
A = Г 2mwwsr dr = mwws (r22 - r12); (18)
r„ cos2 b , cos2 b/ 2 2\
A = \2mww,—-¡-rdr = шш>.,—-1- (r2 - r ). (19)
J s sm2b s sm2bK '
Произведение угловой скорости колеса на входной и выходной радиусы представляет собой соответствующие окружные скорости (ю r1 = u1, ю r2 = u2), а для входа среды в колесо и выхода из него приняты равенства ю, r1 = c1cu, ю, r2 = c2cu.
С учетом этих особенностей формулы (17)-(19) принимают вид
m
A = —^(u2c2cu- u1c1cu); (20) sin2 b
Au = m (U2c2cu - u1c1cu ) ; (21)
r1
r2
cos2 b \
Ar = m~2¿ (U2C2cu - U1C1cu ) ■
- = m(U2C2cu -U1C1cu ) ■ (22)
sin b
Давление, создаваемое лопастями рабочего колеса, представляет собой удельную работу, отнесенную к единице объема
P = (U2C2cu - UlClcu ) ; С23)
sin b
Ри =P(U2C2cu -UlClcu ) ; (24)
Pr = P(u2c2cu - u1c1cu ) ■ (25)
sin p
Найденные выражения идентичны формулам (4)-(6), полученным ранее [4]. При отсутствии закручивания потока среды на входе в рабочее колесо (c1cu = 0) зависимости (23)-(25) упрощаются.
Сложением формул (24) и (25) выводится выражение (23), что подтверждает справедливость проведенных вычислений. Однако такая закономерность справедлива только при углах наклона лопастей до 90°. При больших углах в радиальная составляющая реакции колеса Fr направлена к оси вращения и снижает общее давление, развиваемое нагнетателем. В этом случае функция cosp имеет отрицательное значение, но в зависимости (25) она возводится в квадрат, и в целом выводится положительная величина работы. Поэтому при больших углах в для определения давления, создаваемого реакцией лопастей, из выражения (24) необходимо вычесть (25).
Заключение. В ходе проведенного исследования при использовании удельной работы, приходящейся на единицу объема среды, получены зависимости давления, которые идентичны формулам, полученным ранее при использовании мощности, передаваемой среде колесом. Давление, создаваемое реакцией колеса по преодолению силы инерции среды в радиальном направлении, при углах в < 90° увеличивает, а при в > 90° снижает общее давление нагнетателя.
ЛИТЕРАТУРА
1. Черкасский, В.М. Насосы, вентиляторы, компрессоры / В.М. Черкасский. - М.: Энергоатомиздат, 1984.
2. Касаткин, А.Г. Основные процессы и аппараты химической технологии / А.Г. Касаткин. - М.: Химия, 1971.
3. Поляков, В.В. Насосы и вентиляторы / В.В. Поляков, Л.С. Скворцов. - М.: Стройиздат, 1990.
4. Павлечко, В.Н. Влияние ускорения Кориолиса на напор радиального нагнетателя / В. Н. Павлечко // Наука и технология строительных материалов: состояние и перспективы развития: материалы междунар. науч.-техн. конф., Минск, 27-29 нояб. 2013 г. - Минск: БГТУ, 2013. - С. 166-170.
Поступила 17.03.2014
ON THE THEORETICAL PRESSURE A RADIAL BLOWER TAKING INTO ACCOUNT
THE CORIOLIS FORCE
V. PAVLECHKO, S. PRATASAU
The dependences for calculation of theoretical pressure created by an impeller of a radial blower are analyzed. The dependences consider the difference of peripheral speeds of the impeller and of the media, the response of the blades to the inertial force of the media in various directions and the power required for displacement of the media. The equations taking into account the work carried out by the blades are derived for determination of the pressure. The obtained equations are identical to the derived earlier equations considering power transferred to the media by the blades. It was found that the total radial pressure created by the impeller increases at the blade angle below 90° and decreases at blade angle above 90°.
