К вопросу о сходимости эволюционных программ Текст научной статьи по специальности «Математика»

AF

P = exp(-—), к!

где к - константа.

Выбирается случайное число r из равномерного распределения от нуля до единицы. Если r<P, то изменение сохраняется, если r>P , то осуществляется возврат к предыдущему состоянию.

Фактически алгоритм отжига реализует итеративный подход к решению оп-

,

с некоторой вычисляемой вероятностью сохранение прошлого изменения, ухудшающего значения показателя эффективности решения.

В заключении отметим, что данный критерий может быть эффективно применен при решении задач первого этапа трассировки - распределении фрагментов цепей по каналам. Использование критерия, учитывающего распределение ресурсов коммутационного поля, позволяет снизить процент нереализованных соединений и повысить качество проектируемых устройств.

, , топологии СБИС на этапе размещения и трассировки используется новый единый ,

трассировки и непосредственно направленный на достижении основной цели -реализации максимального числа соединений в КП с ограниченными ресурсами.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Naveed Sherwani. Algorithms for VLSI physical design automation. Kluwer academic publishers. Boston /Dordrecht/ London. 1995.

2. Курейчик B.M. Математическое обеспечение конструкторского и технологического проектирования с применением САПР. - М.: Радио и связь, 1990. - 352 с.

3. Лебедев Б.К. Методы поисковой адаптации в задачах автоматизированного проектирования СБИС: Монография. - Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2000. - 192 c.

4. Sechen C. VLSI Placement and Global Routing Using Simulated Annealing. Kluwer, B.V., Devenler, The Netherlands.

СИ. Родзин, О.Н. Родзина К ВОПРОСУ О СХОДИМОСТИ ЭВОЛЮЦИОННЫХ ПРОГРАММ

Интересным прикладным направлением эволюционных вычислений являются идеи эволюционного программирования (ЭП) при компьютерном синтезе клеточных автоматов, способных инновационным образом реагировать на стимулы, поступающие из внешней среды [1]. Эти идеи выглядят сегодня актуальными с позиций теории многоагентных систем, коллективного поведения автоматов, а также других искусственных процессов и образований. В работе рассматривается базовая концепция эволюционного программирования и вопрос об асимптотической сходимости алгоритмов ЭП.

В эволюционных программах популяция является центральным объектом эволюции. ЭП исходит из предположения о том, что биологическая ЭВОЛЮЦИЯ ЯВ, , , не на уровне таких генетических структур как хромосомы. Популяция особей в ЭП отражает характер поведения, вид общения и пр. Этот уровень абстракции в природе не предусматривает рекомбинации. Поэтому в ЭП отсутствует оператор крос-

, , , -ских алгоритмах [2]. Мутация в ЭП является единственным оператором поиска альтернативных решений на уровне фенотипа, а не на уровне генотипа.

Рассмотрим эволюционную программу на примере задачи минимизации функции Р(аь..., ап), зависящей от п непрерывных переменных, которые представляются в виде вектора А=(аь..., ап), что в ЭП соответствует отдельному решению. Простейшая форма ЭП включает следующие этапы.

1) Инициализация. На этом этапе случайным образом генерируется популяция Р(0), состоящая из ц решений А1 (1=1,2,., ц). Рекомендуемое значение размера популяции (х>200. Значение элемента а; для каждого индивидуума А1 устанавливается случайно с помощью равномерного распределения вещественных чисел на интервале [1;, г;]. Границы интервала 1, г устанавливаются лишь на этапе инициа-

,

.

задачи, в которой оптимальное значение равно функции равно нулю, 1 = -50,

Г = 50.

2) Оценка решения. Каждый индивидуум А1 определяет фитнесс-функцию Ф(А0, которая зачастую равна значению целевой функции Б, хотя в общем случае они могут и не совпадать. Если Ф^Б, то значение Ф преобразуется с помощью не-

1. , -несс-функции получилось отрицательным, то оно преобразуется путем скаляриза-ции в положительное число. В общем случае будем считать, что Ф^^О^А^, ^). Совокупность из ц индивидуумов образует множество родителей, необходимых для генерации потомков.

3) Генерация потомков выполняется ц раз и включает следующие действия.

3.1) Репликация путем копирования 1-го родителя А^аь..., ап).

3.2) Мутация скопированного родителя путем сложения нормально распределенной случайной величины с нулевым математическим ожиданием и динамически изменяемым среднеквадратичным отклонением. Из родителя А1 возникает потомок А'Р Стандартное отклонение («ширина мутации») полученной случайной величины зависит от родительского значения функции Ф. При этом глобальный оптимум равен 0 (если это не так, то проводится соответствующее преобразова-

). , путем сокращения «ширины мутации» при приближении к оптимуму. Значение переменной а) потомка определяется по формуле:

а) = а; + sqrt(kJ -Ф(А0 + Zj)•Nj (0, 1), где к - константа скаляризации; Ф(А0 - значение фитнесс-функции родителя; zj -дисперсия; N^0, 1) - стандартная нормально распределенная величина, определяемая для каждого |=1,2,...п. Значения к, zj являются параметрами ЭП и устанавли-. 2 п. ,

на практике обычно устанавливают к|=1, zj=0 (]=1,2,...п). Тогда квадратный корень ^П) в формуле для вычисления а^ упрощается и она принимает следующий вид:

а' = а! + sqrt(Ф(Al))•Nj (0, 1).

3.3)

Ф^'^О^А'О, ^), после чего потомок добавляется в популяцию, причем А^ —* +1. 3 2 .

4) Случайная селекция. Селекция выполняется по соревновательному принципу, согласно которому каждый родитель или потомок попарно сравнивается с И противниками, причем величина И (И>1) является параметром ЭП, устанавливается

пользователем и обычно принимает значения от И=0.05ц до И=0.1ц. Противники выбираются случайно с помощью закона равномерного распределения. Победитель определяется путем попарного сравнения фитнесс-функций. Индивидуум побеждает в соревновании, если его функция не хуже, чем у противника. Для представленной выше задачи минимизации общее число побед 1-ого индивидуума (1=1,2,...2-ц) определяется путем суммирования отдельных побед, когда Ф^О^Ф^а). Суммирование ведется для а=1,2,...И, фН, причем d является целочисленным значением равномерно распределенной в интервале [1, 2-ц] случайной величины, которое для каждого а определяется заново. После этого все индивидуумы сортируются по убыванию числа побед (а не по значению фитнесс). -. -шим значением фитнесс-функции. Очевидно, что при таком механизме селекции « » -дукции. С ростом значения параметра И селекция начинает принимать дискриминационный элитарный характер.

5) Критерий останова. В качестве критерия останова ЭП могут быть следующие заданные пользователем события:

• достижение в ходе эволюции заданного числа поколений 1тах;

• достижение задан ного уровня качества, когда, например, значение фит-

;

• достижение заданно го уровня сходимости, когда индивидуумы в популяции настолько подобны, что дальнейшее их улучшение происходит чрезвычайно

.

Параметры ЭП выбираются таким образом, чтобы обеспечить скорость работы алгоритма и поиск лучшего решения.

В отличие от генетических алгоритмов, ЭП является относительно малоисследованной парадигмой моделирования эволюции. Рассмотрим вопрос об асимптотической сходимости рассмотренной выше эволюционной программы для случая, когда параметры к , zj принимают значение 1 и 0 соответственно, а также справедливо Ф^1)=Б^1)>0.

Приведенную выше эволюционную программу представим в виде однородной цепи Маркова, которая характеризуется тем, что вероятность перехода между состояниями цепи не зависит от времени 1 и представляется квадратной матрицей переходов. Число строк и столбцов матрицы соответствует числу возможных состояний марковской цепи, причем сумма вероятностей в каждой строке матрицы всегда равна 1. Обозначим матрицу переходов через Р, и назовем состояния, из которых переход невозможен, поглощающими. Известно [3], что для ^оо спра-:

I

(I - Q)-1 R O

где I - это единичная матрица; О - нулевая матрица; Я - матрица, содержащая вероятности перехода из не поглощающих состояний в поглощающие состояния, р -, -ниями, причем обратная матрица (1-0)-1 существует всегда.

Отсюда следует, что при ^оо, марковская цепь с вероятностью 1 перейдет в .

11т Pt =

вполне применим к ЭП. Действительно, примем в качестве состояний марковской цепи все векторы А1 популяции Р(1). Множество всех возможных популяций соответствует множеству состояний цепи. Исключение составляют популяции, которые включают глобальный оптимум. Они могут быть объединены в отдельный класс эквивалентных поглощающих состояний. Из справедливости предыдущего предела вытекает при ^оо следующее:

11т(I - б)-1 R = [1],

где [I] - единичный вектор. Это означает, что вероятность найти глобальный оптимум при любой исходной популяции равна 1, если число шагов эволюции

1тах ^^.

В заключении отметим, что математический аппарат марковских цепей как модель описания стохастических процессов вполне подходит для анализа проблемных вопросов теории эволюционных вычислений. Во всяком случае, с помощью марковских цепей можно попробовать обосновать эффективность эволюци-.

БИБЛИОГРДФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Родзин С.К Гибридные интеллектуальные системы на основе алгоритмов эволюционного программирования // Новости искусственного интеллекта. 2000, №3. - С.159-170.

2. Курейчик В.М., Родзин С.И. Эволюционные вычисления: генетическое и эволюционное программирование // Новости искусственного интеллекта, 2003, №5(59). - С.13-19.

3. Карлин С. Основы теории случайных процессов. - М.: Мир, 1971.