К вопросу о расчете мостов системы Resal'я Текст научной статьи по специальности «Философия, этика, религиоведение»

КЪ ВОПРОСУ

О РАЗСЧЕТЪ МОСТОВЪ

СИСТЕМЫ jpl Е S А ь’я.

Инж. Н. Некрасовъ.

ТОМСКЪ.

Паровая тшіо-литографія П. И. Маку шина, Благовѣщ.

1903.

пер., собств. д.

I

/

Печатано съ разрѣшенія Директора Томскаго Технологическаго Института

Императора Николая II.

Къ вопросу о разсчетѣ мостовъ системы ІШаГя.

Однимъ изъ сооруженій, выстроеныхъ спеціально для парижской выставки 1900 года былъ пѣшеходный мостикъ черезъ Сену между мостами Альмскимъ и Іенскимъ. Система его принадлежитъ извѣстному инженеру Resale и имѣетъ цѣлью перекрыть очень значительный общій пролетъ (120 метр.), не сооружая громоздкихъ распорныхъ быковъ и устоевъ. Обычный способъ перехватыванія распора затяжкою въ уровнѣ пятъ былъ непримѣнимъ ввиду необходимости избѣгнуть стѣсненія судоходства. Поэтому Resal прибѣгнулъ къ весьма остроумному пріему, уравновѣсивъ распоръ средней арки (см. чертежъ 1) распорами обратнаго направленія

черт 1

боковыхъ полуарокъ, концы которыхъ опираются на качающіяся опоры и связаны между собою затяжкой.

Разсчетъ средней части, представляющей изъ себя обыкновенную двухшарнирную статически-неопредѣлимую арку, сквозного въ верхнихъ и сплошного сѣченія въ нижнихъ частяхъ, не представляетъ чего либо особеннаго.

Наоборотъ, система двухъ боковыхъ полуарокъ, связанныхъ затяжкой, представляетъ собой также статически-неопредѣлимую систему, разсчетъ которой еше затрудняется тѣмъ, что обѣ боковыя арки сплошного сѣченія, такъ что обычный способъ опредѣленія статически-неопредѣлимой величины по деформаціямъ отдѣльныхъ прямолинейныхъ элементовъ системы непримѣнимъ.

Поэтому составители названнаго проэкта инженеры Alby и Lion, работавшіе подъ непосредственнымъ руководствомъ Resal’H, примѣнили слѣдующій способъ раскрытія статической неопредѣлимости. (См. Genie Civil 1900 г. №937 отъ 26 мая). Предположено было временно, что при загруженіи, напр., лѣвой полуарки, лѣвая качающаяся опора не существуетъ. Въ этомъ предположеніи были опредѣлены моменты и продольныя сжимающія силы въ различныхъ сѣченіяхъ лѣвой полуарки для загруженія какими угодно грузами. Затѣмъ вычислены деформаціи отдѣльныхъ элементовъ полуарки, на которые она для этой цѣли разбита; вычисленіе произведено по приближенной формулѣ для кривыхъ брусьевъ съ очень большимъ радіусомъ кривизны.

Далѣе опредѣлена горизонтальная сила, дѣйствующая на затяжку и соотвѣтственное удлиняете послѣдней.

Имѣя эти данныя, можно бы опредѣлить пониженіе точки С, въ которой находилась отброшенная опора, подъ дѣйствіемъ различныхъ силъ, въ томъ числѣ и силы У, въ этой точкѣ С приложенной.

VI

Но сила V вызываетъ въ затяжкѣ усиліе д= , которое

передается при помощи затяжки на правую полуарку. При этомъ точка С лѣвой полуарки понижается еще, вслѣдствіе перемѣщенія всей затяжки влѣво на величину горизонтальной проэкціи укороченія правой полуарки.

Называя эту проэкцію а, а горизонтальную проэкцію укороченія правой полуарки и удлинненіе затяжки— Ь и с, получимъ пониженіе точки С

а-\-Ъ + с ѵ=——

Опредѣляя кромѣ того пониженіе точки С для случая дѣй-

tu

ствія силы V, приложенной въ точкѣ С и равной 10 ; изъ про-

порціональностй пониженій можно опредѣлить реакціи качающихся опоръ, а затѣмъ и усиліе въ затяжкѣ.

Въ настоящей статьѣ дѣлается попытка дать еще другой точный методъ разсчета, основанный на теоремѣ о производной работы деформаціи.

Предварительно выведемъ приближенную формулу для первоначальнаго разсчета сѣченій боковыхъ полуарокъ, затяжки и качающихся опоръ.

Разсмотримъ прежде всего отдѣльно боковую полуарку, пренебрегая удлинненіемъ затяжки и качающейся опоры, иначе говоря параболическую арку съ двумя шарнирами, изъ которыхъ одинъ въ вершинѣ параболы.

Для возможности повѣрки формулъ беремъ сначала общій случай, когда второй шарниръ расположенъ не въ вершинѣ параболы, а въ какой либо иной точкѣ кривой на высотѣ п надъ уровнемъ перваго шарнира (см. черт. 2).

ч

2 9

ѵ

Выведемъ общее выраженіе распора для этого вида арки; затѣмъ примѣнимъ его къ случаю n—f\ 1—д и для повѣрки къ случаю п = о 1 = 2 д. Уравненіе параболы, отнесенной къ прямоугольнымъ осямъ съ началомъ въ А будетъ:

(д — x)2 = {f—у) 2 р, гдѣ параметрър опредѣлится изъ условія при х = 0 у —О

Уравненіе принимаетъ видъ:

(а)

откуда

Выразимъ вертикальныя опорныя противодѣйствія въ функціи отъ распора II при дѣйствіи груза Р въ разстояніи а отъ лѣвой опоры

V — Р —- а + И —г —. для опоры А

с)...... 1 1

Ѵ! = Р ~ — Н ^------для опоры D

Далѣе моментъ для сѣченія въ разстояніи х отъ лѣвой опоры выразится:

(я).......

Мх = Р^—^х + Н

Мх==Р1-^х+Н-.

I 1 t

— Ну отъ х — о до х = а Ну—Р(х—а) отъх=ацох — 1

Для опредѣленія выраженія распора II воспользуемся извѣстными формулами элементовъ деформаціи арки:

О)

Л *=~І л ■ *,+/ шdx

Ау = f Д ?*.«& + J dx

л ГМх '

М„. ds

Интегрируя выраженіе для Д въ предѣлахъ отъ о до х, имѣемъ

д <рЛ — д <р0 = —L. Г мх dx. -d-s-

^'х ^Г0 EY J о dx

Принимая приближенно для плоской параболической арки

(ІХ

—- = Cosy = const, получимъ

Д — Д '-fo ~Ь 7?

1

ЕТСщ.

I—а х2 , Цпх2 ,

р—^ • ~іг І----^ГГ- Н-

I

21

Ядхг ■ Дж3

2р ' 6 р

х = х ж = о

ж=ж х= а

= A'fo

1 \Р(1~а)хг 1 Н(™*

2EYCos? І Z ' W

+ ^)-Р(,-а)>}......(Я

<?*2,

Р

Далѣе пренебрегаемъ для приближеннаго разсчета дѣйствіемъ продольной сжимающей силы на деформацію арки и опредѣляемъ:

і Л»

I

X

О

dy = — АЪ-У

1

2EYC0&?

Подставляя вмѣсто производной' ея значеніе изъ {Ь) получаемъ послѣ интегрированія:

Д X

= — Д ? о-У —

2 EY Cosy \ Ір

р L

дпх 3 д2 х3 , дх 4

Т/ ' 12^

1 { Р(1 — а)(х3д _х4

4

+

н-

иж4 I ух 4 ж 5 4р 15 ^

4 I

Х2 р & — а) 3 (4# — 3 ж —а) I

(У)-

Соотвѣтственно:

Д у I о—х Д?о +;

_ Г’І Р(1-а) „2 2 EYCos'fJ о I I

ж2 +

II

ПХ '

“Т

дх'

ж

— Р(ж — a)*dx = x/\ ?о +

■зу і

і I I

2 EY Cosy I г ' 3

, тг,ш* дх3

+ Я(Т7-^

ж'1 \ Р(х — а) 12 р) ^з"

(Ä)

Примѣнимъ формулы (д) и (h) къ частнымъ случаямъ; замѣтимъ,

I *

что ввиду неподвижности опорныхъ шарнировъ , /\х =0

и А У = 0 и что при х = 1, у—п. Подставляя указанные

! ! о

предѣлы, получимъ

Д?0 . п= —

1 jP(l — a)/l*g 14

2 EYCos'f I ip

4

Н-

H I gnl 3 P

+ •• \ ЗІ

g*ls gl* nli______

3^ + 3* 4 / 15 p

+

—3 (4^r —зг—j

d)

A

cc Л to

/=__ 1 I*(*-<0 ll+H(nlA a1! , .

2EYGo#?[ l • 3 ^ \31 Зр ' i2p)~'

P(/-a)3

3

(II)

Исключая изъ этихъ двухъ уравненій АЧо и вынося за скобки

соотвѣтственно Р и Н, получимъ послѣ сокращенія на -—-}г „— :

2 EYCosy

Р(1 — а) {j^(—4i3<7-f-3^-b* 4 l2g — 8 agl2 +4 a2 gl -f-— 3/H 6a/3 — да212- a/3 4-2 a2/2 — a80 +

+ А(/2_/2 + 2я,„а2)}_я{_|А_ьА^ +

_g2_ii I 9iA__ JG_ _i2i2Ln 3p2~rZp2 ibp2 3 I

Приводя подобные члены:

HI\„l(<2g-l) — y(<72—gi+^)—«2p}=

— p(~~0T^J {—80a/+4aV + 5<rf—Vi—a3-|-—^(22—a) j— (111)

Это уравненіе даетъ выраженіе распора для общаго случая арки съ пятами не на одномъ уровнѣ. Въ примѣненіи къ случаю моста Resal’n, когда имѣемъ:

I*

g = l;li=f;p= ; ‘ (

уравненіе (117) обращается въ такое:

т

I2 — r2-f

П21

=--Pl ft{ — S«Z2 + 4a2?+5d2

-a2l — a3 + 4a*8 — 2a2l

\

откуда

я=-|-^(г—«)а(г2+«;—«2)*)....di)

Эта формула и есть искомое приближенное выраженіе распора для плоской параболической арки, когда оіинъ изъ шарнировъ находится въ вершинѣ параболы.

Примѣнимъ для провѣрки формулу \Ш) къ аркѣ съ пятами въ одномъ уровнѣ. Для этого случая:

/2

I — 2 ц\ и = о;р = -g—

подставляя, получимъ

5 P(l — a)l{l2 — (d + a2) 8 flz

что представляетъ извѣстную формулу для полной параболической арки.

Въ полученную формулу для боковой полуарки легко внести поправки на удлинненіе затяжки, укороченіе качающейся опоры и температуру; но въ дальнѣйшемъ изложеніи подобныя формулы легко будутъ получены изъ общихъ формулъ для всей системы.

*) Формула эта выведена авторомъ при разработкѣ студенческаго проэкта моста по желанію глубокоуважаемаго професора .7. Ѳ. Николаи.

Для вывода точныхъ формулъ воспользуемся методомъ, основаннымъ на теоремѣ о производной работы деформаціи.

Замѣчаемъ прежде всего, что работа деформаціи всей системы подъ цѣйствіемъ какого нибудь груза, въ предположеніи идеальныхъ шарнирныхъ соединеній, будетъ представлять собою сумму работъ отдѣльныхъ частей системы, т. е. А = Авс^\г Аас~\~ 4- А cdА de -(- А df (обозначенія соотвѣтствуютъ схематическому чертежу 3).

Взявъ производныя по опредѣляемой статически неопредѣлимой величинѣ, по теоремѣ о производной работы деформаціи, имѣемъ:

dA dABC . dAAC dACD . dÄDE dADF

dH~~Hr^~~dH~~^~dW^~~dir^~~dH~:=0 0)

такъ какъ работу деформаціи опорныхъ сопротивленій ввиду неподвижности точекъ Б, А, Е, F нужно считать равной нулю.

черт. 3

Принимая за начало координатъ для параболы АС точку С, а для параболы DE точку D и направляя ось у-овъ вертикально внизъ, а ось ж-овъ по затяжкѣ, уравненія обѣихъ параболъ будутъ имѣть одно и тоже выраженіе.

/2

х2 = 2ру, гдѣ 2 у = — ,

72

О _ ѵ

X =уУ-

т. е.

f

I

I

Легко по предыдущему опредѣлить опорныя реакціи:

(1) ..

Ѵс

Ѵл

а

= Р—^ —

Щ

=р, +

nr

а затѣмъ составить выраженія мо-

ментовъ и продольныхъ сжимающихъ силъ для арки АС подъ вліяніемъ груза, дѣйствующаго на нее въ разстояніи а отъ опоры С.

Назовемъ уголъ, составленный касательною къ оси аркѣ въ сѣченіи, отстоящей'!, на разстояніи х оть лѣвой опоры, съ осью Х-овъ — у.

Тогда:

Мх — Ѵсх Ну — от ь................х = о до х ■= а

Мх — Ѵсх Ну — Р (х — а).........х — а . . . х = I

Nx — N Cosy -J- Ѵс siny...........х — о . . . х—а

Nx— — N Cosy -)- Vc siny — Psiny x = a . . . x == /

или подставляя значеніе Ѵс:

(3)

Мх =

I — а I

f_

I

Р 7 х—ІІ\-ух—у I..........отъж = о дож = а

Мх =

мх=

Nx =

х = а... х - ■= I

Р —j—х — - уj — Р(% — а). • •

/ , f \ . 1 — а

— H\Cosy-\--j~siny I -р Р—j—siny ....

/ f \ l —а

— ЯI Cosy -j- -у siny j -\-P —^ siny — Psiny x = a ... x=l

x—o... x=a

Распоръ H по затяжкѣ передается на арку РЕ и вызываетъ вертикальныя реакціи опоръ:

Ті-в-т

Ve= — U-j

и соотвѣтственно моменты и продольныя силы:

(5) . .•

Мх — — Н\~у% — у

f

Nx = — НI Cosy -j- siny

Опредѣлимъ теперь выраженія отдѣльныхъ членовъ уравненія (0).

Въ дальнѣйшемъ будемъ держаться слѣдующихъ обозначеній:

W— площадь попер. сѣченія качающихся опоръ.

W\ — площадь сѣченія затяжки.

F — площадь сѣченія полуарокъ (въ общемъ случаѣ величина перем.).

Г — моментъ инерціи сѣченія полуарокъ. г — радіусъ кривизны параболической оси полуарокъ.

Работа деформаціи опоры ВС будетъ выражаться:

Авс = -^Ѵс . ДЛ гдѣ измѣненіе длины

Vc.f

опоры: Д / = , откуда:

Авс

f

2 JEW

I — а

I

I

■H-h-Wa

(6)...

сІАвс

~dU

f* lPL

IEW

-a f\ f l ~ H l / EWl2

Tif— P (l — a)

Соотвѣтственно для опоры FD:

1 1 lVlf

Afd— 2 f— 2 Vd EW'~ 2EW12'

л /. Vu.f такъ какъ =

dAüF

dH :

Hf* EWl*

Для затяжки CD

1 1

Acі) = -г- ff. Д Z= -Т- /і.

ffL ff2 L

EW~ 2 ЙДЕ

гЫсл ffL EW,

Приступная къ опредѣленію членовъ уравненія (0), соотвѣтствующихъ аркамъ АС и DE, мы будемъ пользоваться формулой, выражающей работу деформаціи кривого бруса при изгибѣ съ принятіемъ во вниманіе конечныхъ размѣровъ радіуса кривизны бруса. (См. нагір. „Новые методы строительной механики“ Мюл-леръ-Бреслау; переводъ Митинскаго, изд. 1898 г. стр. 247).

Пока не будемъ принимать во вниманіе вліяніе измѣненія температуры, а введемъ ихъ впослѣдствіи въ окончательную формулу.

Работа деформаціи кривого бруса

л _ flPds , CM2ds >

' J 2 EF~^J 2 EY’ ГдѢ

т М

B=N—-у; подставляя В и дифференцируя по Н, имѣемъ:

іЩ Г N (IN Г N dM

d ff EF ' dff' ds J EFr • dff ds +

Г M (IN Г M dM , Г M dM EFr dff ds W EFr2 d II ds EY ' dff ds'"‘(9)>

Выраженія для M и N мы имѣемъ въ формулахъ (3) и (5); дифференцируя ихъ, получимъ:

для арки AC: dM

Iff

dN

dff

для арки DE: dM ~dff dN dB

l

l

Cosy -|-y

Въ примѣненіи къ аркѣ DE формула (9) даетъ, замѣчая

что ds — dx. —-— :

Cosy

Замѣчаемъ, что по свойству параболы:

2 ?/ 2 fx

•rr-T-'i*

Подставляя имѣемъ:

2 /2 f2 \

— уз~ х 3 ~ff х* J dx.............(11).

Ту же формулу (9) примѣняемъ къ аркѣ АС; при этомъ замѣчаемъ что такъ какъ грузъ Р приложенъ въ сѣченіи х = а, то добавочные члены въ выраженіяхъ для Мх и Nx:[—Р (х — а)] (—Р Sin'f) должны быть введены при интегрированіи лишь между предѣлами а и I

Такимъ образомъ получимъ:

1^лс

dH

= (■1 [ II (Cosу +-f Siny ) — Р l~-q Siny ] (Cosy + J о EF Cosy

,'i + Simf

+ J„

Josy

’1 P Siny ( Cosy + j Siny

dx —

EF Cosy

_ Г1 ffX — y)[H[ Cosy + \ Siny ) - P -7- Siny I tU *1 о EFr Cosy

<1x +

_ Г1 (у X у) P Sin’f +

J a EFr Cosy

f r1 (cosz+lsin?) I<h

J 0 EFr Cosy

fl (Cosy^r-Siny) P J a EFr Cosy

(*-•)*_

_ r‘U*-

J О

У

l—a l

X

EFr2 Cosy

>1 (L---)p(x — a)

llx+

+

J a EF,

•2 Cosy

dx

_ f (7 x~y) 1

^ 0 EY Cosy

-1-

f‘ (т*-у) fP~<>)

«'a jEJF Cosy

Раскрывая скобки въ интегралахъ съ предѣлами отъ о до /, ляемъ члены, въ которые входитъ множителемъ Н.

Тогда

dÄ

_ лс

-/

V о

1 n(Cosf+{sin9fdx +

EF Cosy

dx f-

отдѣ-

_ f'2g(f*-y)(«*?+(M,b.-u f'W*-»)**.

j 0 EFr Cos® 4 J о EFr2 Cos*

EFr1 Cos®

+ Г'g(-f »- у)2fte_ f'^T^mn^Co^ + 4>?)(lx + ^ o РУ Cosy J о EF Cosy

+ ['—i-°>Sin?{T*-’j)d.r I f [—1— x (as'f + 4”?),,4.

J о EFr Cos'.f о P4V Cos®

J о EF r2 Cos® ^ о

—у— S Cy X-у

- T

Cos® J о JiT Cos®

-f- сумма интеграловъ съ предѣлами отъ а до /............(12)

Сравнивая первые четыре члена равенства (12) и равенство (10), замѣчаемъ, что они совершенно тождественны. Подставляя соот-

(/4. Т) 7/

вѣтственно величину--------въ равенство (12) и производя нѣко-

dU

торыя преобразованія, получаемъ:

Р (I - а) El I

f

х

\S°7*>

(1 -j- tgy j dx 4-1 f- ~^tgy)dx+

+ /'

v О

X

(4-

У

Fr2 Cos®

* 1

0 YCosy x

f

-rx — y

dx

4~

2 fx fx2

Подставляя и здѣсь tgy=-^ иу=у2“> преобразовываемъ (13):

Изъ разсмотрѣнія выраженій (11) и (14) видно, что въ подъ-интегральныя функціи кромѣ перемѣнной % входятъ еще величины F, Y\ Cosy и г; изъ этихъ величинъ Cosy и г могутъ быть выражены черезъ х по свойству параболы. Что касается F и Y, то зависимость ихъ отъ х весьма неопредѣленная; едвали возможно выразить ее алгебраическимъ уравненіемъ, такъ такъ измѣненія ихъ происходятъ часто скачками. При этихъ условіяхъ точное вычисленіе опредѣленныхъ интеграловъ выраженій (11) и (14) становится невозможнымъ въ общемъ видѣ. *

Разсмотримъ сначала простѣйшій случай, когда поперечное сѣченіе арки постоянно или измѣняется настолько мало, что возможно безъ значительной ошибки для F и Y принять нѣкоторыя среднія значенія. Въ этомъ случаѣ обратимъ вниманіе на то, что по условіямъ конструкціи, боковыя арки всегда будутъ очень пологія, такъ что Cosy и г будутъ измѣняться по длинѣ арки очень незначительно.

Напримѣръ, въ парижскомъ мостѣ пролетъ I = 22,5 т, а стрѣлка параболы /= 5Ш; значитъ уголъ ? измѣняется отъ 0° до arf'g 2.5

22 5==СО а отъ * 0,914. Измѣненіе г будетъ болѣе

замѣтно, но ввиду того, что члены, въ которые онъ входитъ, имѣютъ сравнительно небольшую величину, вполнѣ возможно принять и Cos'-р и г постоянными по длинѣ арки, выбравъ для нихъ, нѣкоторыя среднія величины. Нужно еще замѣтить, что въ Парижскомъ мостѣ боковыя арки взяты очень подъемистыми, что врядъ ли оправдывается необходимостью.

Принявъ указанныя предположенія, т е. считая F, Y, Cos? и г за постоянныя, выносимъ ихъ изъ подъ знаковъ интеграловь; тогда остающіяся цѣлыя алгебраическія функціи х легко интегрируются.

Изъ выраженія (11) получаемъ:

а__HCos? гЧ

~~ EF J о\

^пЕ_нсо^гЧ1 + ИІх + Ц1хіЫх

dH

ЛС , 1

"•“г*"* — і

2X'

I

2Ж. r‘U- .

EFrJ о\ I Х^~

U

+

И

EFr2 Cos? 1 EYCos?/ J 0

l If2

r**f+

2 f

r

r

/Г*Ч-74*4)<& =

HCos?

EF

x

2 f'

*2 +

4/

l* * -r 3/e*

+

2 H EFr

“b

f 2 f3

2 Iх t 3/4

H

EFr* Cos? ' EY Cos?

'3z2 H

x'

Г

i

21

f2

"f“

3/

5«3 +

/2 f2

__1---,T 4 1 ' rr 6

2l*x t 5/4*

z HCos?( 2 f* bf* 0~ EF V+ l 31*

2111 fl EFr\ 2 '

+

2Г\

3 Г 3 2 г/ "h

л

EFACos? EYCos?! \ 3 2^5

Приводя подобные члены, получимъ окончательно:

dÄDE_H[ Cowl., 2£ , 4£Л А ш О- О .

dH Е\ Ъ Ѵ"г I ^ ЪІѴ FrXQ^Ql)^

1

Fr 2 Cos?

+

YCos?) 30

(15)

Подобнымъ же образомъ изъ (14):

(ІАас (ІАве Р{1—а)\ Cosy \fx* 4/3ж3| 1

' 2 ~Г I 5 I “T“

dH dH 1 2 flx*

Р7 I F />2ж'і I 1 1

£ Ь I о

2 2px‘A\l

Fr

313 2 Г ю

Fr I 2 3Ö>" „“I“

+ (_

' \ Fr 2 CWf 1 F Cose?

1 I 2/‘2a; 3 fJa:4 i 7 Fr зг3 _ 2г4' I „

fx 3 fx i l\ , P } Cos? 3J ~_4f2 ol ~r.E 1 F

_1_ I £_*

Fr 2

fx2 ( 4/'3a;3| 7

7

2 I 7 5 I "I-I a

2Гжз j 7 ЗГ

+ 013 I +

-4-

I

_i _______i__\! I * , jl I д_^!ж!Ігі

7>2Coscp"h ГбѴ-р/ I 3/ 4/!2 I a~*~ Fr \ X 1 l* \ a^~

+ F

a

a

fx

3 I i

\

Fr2 Cos? YCos?/ I 2 Г 3 /2 | « I

dÄDR P(l—a) I Cm?/ 4£\ J_/A/2 , Ll i

dH El l f Г l2 / Fr\ 6 ' ^2)^

/ _І , 1 \fl*\ , F J Cos'flti , 4/-3 £ 4f8a_*\ ,

^r2Co.rf ■" Y Cosy I 12 J ‘ F l F V F l* ' l* / f

—L(Ar. !!_«■

Fr \ 6 7 ^ 2 2

2 f2a3 2 / * a3

3Z3 — з73 + ~2Р ' _t_

^ \Fr2 Cos? ^ YCos'-fl \ 12 3^4Р/ 1

~Ша1 + ~Г-а —~Jz~l-r-

Fr

1

+

l \ (fla fa 3 . fa 4

Fr2Cose? 1 FCos?/ \ 6* 2/^3/

Преобразовывая, имѣемъ:

dAAC üAde , P ( Cos? „„ \ , * /-*2 7 i / ^2 \ 1

— dJi 4" _g I j?l5 — a) 78 + l-\~4tf a) -f

1

+ 0Жг a (* —a) (3 Z4 + r i*+/‘*d + 3^a2) +

T2T2 (pr2 Cos? У Cos? ) — (/2 + ol — a2)} ....... (16)

Подставимъ теперь полученные нами результаты изъ формулъ: (6), (7), (8), (15), (16) въ уравненіе (О):

dA

dH EWl2

Г

Hf—Р {I— а)

+-Ѣ+Ж.+

EWX ' EWl

, 2Я|Ои?/ 2f 4П 2 jfl ' E \ F V l "г"з Z3/ PV\6

Г

61

+■

1

. Fr2 Cos9

+

+ vha) y-)+^[<waf(i-<‘){i!'+iri+if2«)+

H- ß jy 2 ^4 ft — ft) (3 l* -(- / 2 Z2 -(- f2 al -{- 3 t2 ft2) Ч-

~~ 12г2(p72g^ + rcbs?)(/2 + ft/- ft2)=o

Умножая все уравненіе на Е и отдѣляя члены съ Н въ одну-часть, съ Р въ другую, получаемъ равенство, изъ котораго опредѣляется распоръ Н:

н 1 lvi2^Wx^~¥w*~ (3 li + 6 f2 i'iJr4f4) +

~~ 3 Frl ^2 “Ь lg- ( 2 Cos^p Г Cos?) = P{ Ш2 ^

^PT5~ — а)(Ій -\-4;f '2l-\-4;f2 a) -j-

6 PrZ4 ^ ~ a) ^ + f212 *f /2 H“ 3 / 2 ft2) +

+ WP (w°lCort+Уд^) »пг-«) (I‘ + id - a!)}....(17)

Если примѣнить къ кривому брусу законы деформаціи прямыхъ брусьевъ, какъ это дѣлаетъ въ своемъ разсчетѣ Resal, т. е., предположивъ, что размѣры сѣченія чрезвычайно малы сравнительно съ радіусомъ кривизны, положить въ формулѣ (17) г = ссг то она обращается въ:

*{w+^+i^(3'‘+6r'!+4m'

+_r*_;_p|*-v+

^ 15 YCos? I 1 ТП2 1 "I"

^ w,a . л /•27 I ,,2 ч , o/'(/—a)(F + aJ-a2)|

F/5 af(l~a) v 3 + ^H-4/ aH------І2~yPCos? I---(18)

Если въ этомъ уравненіи отбросить члены, выражающіе вліяніе затяжки, качающихся опоръ и другой арки, а также пренебречь непосредственнымъ вліяніемъ продольной силы на деформацію арки, то формула (18) даетъ:

Н =

Hf2l _ Р 30 YCos? 12 I2 YCos?

5 Ра (/ — a) (l2 + al — а2)

2 fl

af (I — a) (F + al — a2), откуда

— формула, выведенная нами въ

началѣ статьи.

Для общаго случая, когда сѣченіе арки рѣзко измѣняется по длинѣ ея, точное вычисленіе опредѣленныхъ интегра ловъ выраженій (11) и (14), какъ уже упомянуто, невозможно. Въ этомъ случаѣ слѣдуетъ вычислять эти интегралы приближенно. Слѣдующій способъ даетъ возможность произвести вычисленіе съ любой желаемой точностью. Разбиваемъ арку на п равныхъ частей такимъ образомъ, чтобы въ предѣлахъ каждой изъ нихъ сѣченіе арки не мѣнялось значительно. Въ большинствѣ случаевъ точками дѣленія могутъ послужить мѣста прикрѣпленія стоекъ передающихъ нагрузку. Пусть имѣется участокъ арки отъ х = {т— 1) Ь до % = тЪ,

гдѣ Ь = —. Проинтегрируемъ въ этихъ предѣлахъ вышеупомянутые интегралы; предположимъ при этомъ, что грузъ Р приложенъ

Ш

въ разстояніи отъ лѣвой опоры а = кЬ =и пусть т ~J к.

Величины Cos? и г на основаніи сказаннаго выше объ ихъ измѣненіи, очевидно, вполнѣ возможно считать постоянными.

Интегрируемъ сперва выраженіе (11)

mb

ІАье I »* JJ_ ( Cozf r /' 4Г j_4f , ,

ля Iя 1 f ./ i‘+ ?> * ■ г» )<te +

0»—i)

(m—1) b

mb

2 Ctf ,2P , / , 2/'J 3\ ,

~YrJ \7X + -YX ~TX -T>~x }(lx +

(m—l) b

ml)

;f (+ т<Ы /(F*'->'*’+'7r*4)

(m—l) b

Вычислимъ отдѣльно опредѣленные интегралы, принимая во вниманіе:

-т f

I mb

х = mb — (т — 1) b — Ъ

I (т l)b ѵ

I mb

жаі =тЧ' — {т-1)'Ъ' = ЬЧ2 т — І)=Ь'тх

I \(m-l)b

X

X

. % ° !

I і (т—1)Ь

mb

(т—1) Ь mb

= т:іЬ3 — [т — 1)3 А3 = /;3(3 тг — 3 т -f Г) = Ь3т2

(т-1) Ъ mb

—ш464—(т— J)*64=b* (2 т— 7) (2 т'г— 2 т-\- 1)=Ьітп

>

=тг>Ь°-(т-1) Ьъ=Ьь (5 т4—10 «г3 -j-Ш ж2— 5 =

Принимая указанныя обозначенія получимъ:

иіб

.4г , , ІГ

ір . 4/-(

1 Ь ,1 *’+ ; 6Х*)(ІХ--—

(т—1) Ь

I , 2 Г , 4/4

о ,■> Ші -4-—

и и

mb

ЪІ6

х'

mb

(т—1) Ъ

V і U

=== ~ Г ~ 2 jf2 WJ1 "t" g ^3 ^3 w 2

f, t*

lx-r

(m — l) b

X‘ —ттЖ

« \ I / , , fa* ,

5 / ~зё +

/Зж4 I mb If ( 2fz

21* \ (m—1) h ~ 2nl m 1 + \3nH

IL\ _£L

3 nVnh 2nUnh

mb

/(£-

(m — l) h

2 /2 x3

"T3-

+

(lx =

/' /V , 5 I ”* _

з/;Ж 2;3+5г4а:

/’* /”/ , Г*

'■ 3n3”‘2_ѵ>и*’"3 + 5«s“‘

Подставляя эти результаты въ выраженіе (19) и суммируя по всей длинѣ арки, получимъ:

<1Аве Я у Cos?) I 2f , 4?4 I ,

(Ш - Е f|7+»'I*,+ 3»'I,,'I +

m—l

2 f fl , /2Г 3 «8\ Г

~ Fr I 2»* 1111 +■ \3 пЧ “ 2nH m 3 +

f 1 1 1 (З«3 /‘2/ И \

+ I. Pr • Cosy ^ YCos'iI \f2l m 2 ~ 2 n 4W3 + 5 ю 5;Ш4 J * * ‘

Интегрируемъ выраженіе (14), переписывая его предварительно въ слѣдующемъ видѣ:

4Аас j ий \ЛАве\,пЬ Р{1 — а) PN dH j (m—l) ь I dH j (m-i) ь ' EL Ж + E

■mb

mb mb

(m—1) b (»1—1) b

mb

+(та+і4=,)/И--,--!Й

(m — l) b

dx

mb

а П , 2f°-x,

mb

(m—)b

7L-

Fr*Cosy Cos

s?/^ \Г г

(w—) b

ж - тг I dx

При этомъ членъ N входитъ лишь въ предѣлахъ отъ а до

I, иначе говоря при значеніяхъ т отъ к до п.

Вычисляемъ интегралы, пользуясь прежними сокращенными обозначеніями:

Г /2fx , ІРх*\ I fx2 . 4:fSX3

J nr + ~75_Jcte=|~T + _3Pr

(m 1) b

_JL . J/L.

~пгШх Зп3!1™2

mb

(m-1) b

mb

IFF

(m—1) b

2 f'x\ \if‘x°

14 • XJ I 3/3

f2X4 P I mb

2 P 2 I (ш—l) b

4 Г

—3n3™2

Г , i* 2«іШз + 2«2М1

f (f a P>3\ /V 7*41

J \ i x Г27“ a/2 4Z21

(m— 1) £»

fl fl‘l

"Згъ3™2 4 »*Ws

?мі>

/( , , /"** 1 1 f2 x + Iя I,» i)6 « +п’гЖі

(•m— l)b

mb

Г If fx* J \ l X l2 j \ |/V /•*>!"* ' | 2/ ЗГ2| (,и_пг>

[m — \)b

/7 p

— г»8*4 “ 3»*Wa

Подставляя получаемъ:

CVf J f , 4/‘3 1 1 I 4P

- jr u*"*1 + з»а;гИІ21 — *ѵізя,м' +

-J— I Ü- 1 I / 1 I 1 W* 1

2 n 4 m 3 ' 2 n2 m 1 I ' \Fr 2 Cos? I7Cos?/ ІЗ/&зШ2 3 w 4 m 3 I

a ( J f2 )

.ѵ=ж j - + J +

a \jfi f}_ I

\ *V 2 Cos? "T" YCos?) 12 n2 "1' 3 n3 ш 2 j

Суммируя выраженія (20) въ предѣлахъ отъ о до I и замѣчая М

что а = —, соединяемъ члены, въ которые входитъ множителемъ

— и для этой части формулы беремъ предѣлы суммированія отъ Е

т = к до т = п. Тогда получаемъ:

(іЛлс dÄDE Р V C°s't/ I f . 4/3 }

dll~~ dH E — F U2 ш 1 3 m 3 /2 m 2 j '

m—l

*_ll . Г i, / t i i 2,

JVl3n3'me 2піШз ' 2n2mi&\Fr2Cos?~^ YCos?) bn*m

ш=/г

) , Pk уоюр| f 1

3«‘"!ji + E ls>,,|+ Зя3г2“гІ +

m=l

FV1 3 w3 Ш 2 2іг4 ' 2w2 Wl J ~MFV2 Cosy YCosy/ ІЗ nзШг' '

m—«

4/Г 1 MV 1 I

3***W,Jw ' w8Zw,J“*~

1 И fl

£* I

2 Cos? + У Cos? I i 2 » 2 3 n 3 ™2 1----(21)

Такимъ образомъ снова получены для общаго случая выраженія, необходимыя для подстановки въ уравненіе (о). Сложность этихъ формулъ лишь кажущаяся, такъ какъ большинство коэффиціентовъ повторяются; вычисленія же отнюдь не будутъ сложнѣе, чѣмъ для обыкновенной сквозной арки съ среднимъ количествомъ стержней.

Остается теперь ввести въ выведенныя нами формулы вліяніе температуры. Опредѣлимъ послѣдовательно соотвѣтствующіе каждой части системы добавочные члены въ уравненіи производной работы деформаціи.

1) Для опоры ВС работа деформаціи, соотвѣтствующая удлиненію при укороченіи ея или измѣненіи температуры на #0°

будетъ А'вс -Ѵс

- Ѵс. Д f, гдѣ /\f—at0 f\, а В{1-а) Щ

I

I

А' вс —

1 Р(І-а) Hf I I I

cit0f

Дифференцируемъ по В, тогда:

(ІА!вс _ *t0f2

~Ш~ = — і

Для опоры DE имѣемъ соотвѣтственно:

А'de = Vа . Д/1; /\f=at*f

аі тf

A be — Ы —-—; Vd=HJj-

cIA'de af2t„

~авГ= T~

Для затяжки CD ',l

A'cd = H . Ді, но /\L — ataL А'cd = а Ht0L и * dA'cp _

ш —at*L

Для вычисленія работы деформаціи арокъ DE и АС пользуемся формулой:

dAt

Г „

= J at о jjgds (см. напримѣръ упомянутое сочиненіе Мюл-

леръ-Бреслау стр. 247).

Для арки АС имѣемъ

Nx = ~

, , f V JP (г — a)

H I Cos? - j- sin'? J —--------j-----Sin? отъх = о до x = a

H ( Cos? -f- — sin?

P {I — a) Sin? — P Sin? отъ x = a l до x — l

dN„

^-=_(0>s?+fH

«Ш

Подставляя сюда: ds Cos? = dx

ds Siny = dy

—-m

Примѣняя ту же формулу къ аркѣ DE:

d_N*

dH

= — ^ Cosy -|—y-Äw'-pj и

dÄDE ( f * ~Ь l2

— — at о

dH

l

Складывая всѣ полученныя выраженія опредѣлимъ величину добавочнаго члена въ уравненіи (О):

dÄ _ dH~~

*f2t» af2t0

I + /

~f"я t u L

*t0

Приводя подобные члены*.

dA'_ [ 2jTj±n] dH~at°lL l J

(22)

Разсматривая это выраженіе, легко видѣть, что выраженіе въ скобкахъ величина всегда положительная. Дѣйствительно величина

/'2-H2

— j — незначительно отличается отъ I, а между тѣмъ полный

пролетъ моста всегда значительно больше удвоеннаго пролета боковой арки.

Такъ какъ этотъ добавочный членъ входитъ въ числителя дроби, выражающей В, то ясно, что пониженіе температуры вліяетъ въ сторону увеличенія распора, а повышеніе въ сторону уменьшенія, изъ чего слѣдуетъ, что величину затяжки слѣдуетъ устанавливать при болѣе низкихъ температурахъ, чѣмъ средняя для даннаго мѣста.

Г . М і

і!: і

’і.т (»ч'іѵг/ ‘>г; ■

г >;ЬІ L litt/'i/tTrüfin ,