CC BY
12
Владикавказский математический журнал 2008, Том 10, Выпуск 3, С. 23-28
УДК 517.927
К ВОПРОСУ О ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ КРАТНОСТИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ НА ГРАФЕ
Р. Ч. Кулаев
В работе устанавливаются необходимое и достаточное условия достижения собственным значением краевой задачи на геометрическом графе своего максимального значения.
Ключевые слова: граф, дифференциальное уравнение, геометрическая кратность собственного значения, собственная функция.
Последние десятилетия характеризуются довольно бурным развитием теории дифференциальных уравнений на сетях. Подобные задачи возникают при изучении эволюционных процессов в упругих сетках, при моделировании гидросетей, электрических и нейронных сетей.
В настоящей работе рассматривается спектральная краевая задача для дифференциального оператора второго порядка, заданного на геометрическом графе [1]. Ранее [1, с. 31] была установлена оценка геометрической кратности собственных значений краевой задачи на графе. Доказано, что геометрическая кратность любого собственного значения не превосходит числа п — 1, где п — количество граничных вершин графа. В данной работе в терминах поведения собственных функций описываются необходимое и достаточное условия при которых геометрическая кратность собственного значения равна п — 1.
1. Основные понятия и обозначения
Начнем с описания основных терминов и обозначений используемых ниже (более подробно см. [1]).
Прежде всего дадим определения графа и функции, заданной на графе. Пусть дано конечное множество попарно непересекающихся открытых отрезков {7»}™ пространства Ж". Обозначим через V множество точек пространства Ж", которые являются концевыми точками двух и более интервалов. Объединение всех точек интервалов 7» и множества
V обозначим через Г и будем называть геометрическим графом (в дальнейшем просто «графом»). При этом интервалы 7» будем называть ребрами графа Г, а точки множества
V — его внутренними вершинами. Концевые точки ребер графа не принадлежащие V будем называть граничными вершинами графа Г. Совокупность всех граничных вершин обозначим через дГ. Если вершина а является концевой точкой ребра 7», то будем говорить, что ребро 7» примыкает к вершине а. Если обе вершины а и 6, к которым примыкает ребро 7, внутренние, то ребро 7 будем называть внутренним. В противном случае, когда хотя бы одна из вершин а и 6 граничная, ребро 7 назовем граничным. Множество индексов всех ребер, примыкающих к внутренней вершине а обозначим I(а), а число таких ребер обозначим через й(а). Маршрут графа, соединяющий вершины а и 6 , будем обозначать Г(а, 6) Всюду далее полагаем, что граф Г является связным множеством в Ж" и не содержит циклических маршрутов.
© 2008 Кулаев Р. Ч.
Будем рассматривать вещественнозначные функции у которых переменная имеет областью своего изменения граф Г. Для таких функций примем обозначение u = u(x), x G Г, а через щ будем обозначать сужение функции u на ребро Yi, т. е. u»(x) = u(x) при x G Y», u»(x) = 0 при x G r\Y». Везде ниже полагаем, что все рассматриваемые функции u : Г ^ R непрерывны на всем графе и равномерно непрерывны на каждом ребре графа. Далее, если a — произвольная вершина (граничная или внутренняя) графа Г, то под u»(a) понимается lim u»(x), x G Yi.
Дифференцирование функций по переменной x G Г внутри каждого ребра Y G Г осуществляется по параметру, причем подразумевается, что для этого ребро параметризовано в одном из двух возможных направлений, т. е.
d
Щ (xo) = — ( b + s
ds
a — b |a - b||
xo G y = (a, b), so = ||xo — b||,
при ориентации «от Ь к а».
Под дифференциальным выражением 2-го порядка на графе будем понимать выражение вида
а(ж) ^+ад "Ц+С (ж)и-
Здесь А, В, С — функции одной переменной, определенные на графе Г. Дифференциальное выражение определено на множестве функций имеющих равномерно непрерывные производные на каждом ребре графа. Это выражение можно трактовать в виде системы т обычных дифференциальных выражений
А«(ж)"^цт + В(ж)"Ж + С»(ж)и», X G 7г,
рассматриваемых на каждом ребре 7» G Г, г = 1,т.
В центре внимания работы заданная на графе Г краевая задача на собственные значения
(ри')' + ди = Аи, ж G Г (1)
со спектральным параметром А. В каждой внутренней вершине а G V заданы условия непрерывности и условие согласования
u»(a) — ui1 (a) = 0, i,ii G I(a), ^ a»(a)u»(a) = 0,
iei (a)
а в каждой граничной вершине задаются условия Дирихле
u(a) = 0, a G 0Г.
(2)
(3)
В дифференциальном уравнений полагаем, что функции р(-), р'(■), д(-) равномерно
непрерывны на каждом ребре графа Г и т£ р(ж) > 0. В условиях (2) {аг(а)}»е/(а) —
жбГ
наборы положительных чисел, свои для каждой вершины а, а производные подсчитаны при параметризации ребер в направлении к вершине а. Задача (1)-(3) обладает следующими свойствами [2, 3]:
1) спектр задачи состоит из последовательности собственных значений не имеющей конечной предельной точки;
2) если граф Г не имеет циклических маршрутов, то спектр задачи вещественен и геометрическая кратность собственных значений не превосходит п — 1.
s=S0
Пусть {7»}™ — множество всех ребер графа Г, занумерованных произвольным образом. Дифференциальное уравнение (1), суженное на ребро 7», имеет два линейно независимых решения в»(х, А) и с»(ж, А). Продолжим функции в»(х, А) и с»(х, А) на весь граф Г, положив их тождественно равными нулю на остальных ребрах. Получим фундаментальную систему решений (х, А)}1™ уравнения (1). Обозначим через {1г}\т — набор всех линейных функционалов, определяющих полную систему условий (2), (3). Рассмотрим характеристический определитель А(А) = det (•, А))\\1т, множество нулей которого
совпадает со спектром (множеством всех собственных значений) краевой задачи (1)—(3).
Пусть Ао — собственное значение. Тогда Ао, как корень уравнения А (А) = 0, имеет некоторую кратность ], которую мы называем алгебраической кратностью. Кроме того, ранг г соответствующей характеристическому определителю А(Ао) матрицы А(Ао) строго меньше порядка 2т этого определителя.
Лемма [2]. Число р линейно независимых собственных функций, отвечающих собственному значению Ао, равно 2т — г.
Число р(Ао) = 2т — г назовем геометрической кратностью собственного значения Ао. Очевидно, что алгебраическая кратность не меньше геометрической.
2. Некоторые свойства собственных функций
В этом пункте приводятся некоторые вспомогательные свойства, которые представляют и самостоятельный интерес.
Лемма 1. Пусть п(-) — собственная функция, отвечающая собственному значению Ао, и не тривиальная на ребре 7о. Тогда найдется два граничных ребра 71,72 таких, что функция п(-) не тривиальна на ребрах 71, 72 и маршрут Г(61, 62), в котором 61, 62 € дГ, а ребра 71 и 72 примыкают к 61, 62 соответственно, содержит ребро 7о.
< Пусть 7о = (а1,а2). Если ребро 7о граничное, то необходимо показать существование еще одного граничного ребра на котором функция п(-) нетривиальна. Пусть вершина а1 внутренняя. Поскольку параметры ак (aj) не равны нулю, то к вершине а1 примыкает ребро 73 = (а1,аз) на котором п(-) не равна тождественно нулю. Если ребро 73 граничное, то лемма верна. В противном случае к вершине аз примыкает ребро 74 = (аз, а4) на котором п(-) не равна тождественно нулю. Если ребро 74 граничное, то лемма верна, иначе к вершине а4 примыкает ребро 75 = (а4,аб) такое, что и = 0 на 75 и т. д. Так как граф Г конечный, то через конечное число шагов мы подойдем к граничному ребру 71 = (61, ап) на котором функция и(-) не равна тождественно нулю.
В случае если ребро 7о внутреннее нужно рассмотреть вершину а2 и с помощью аналогичных рассуждений показать существование еще одного граничного ребра, на котором функция и(-) не тривиальна. Тот факт, что ребро 7о содержится в маршруте Г(61,62) очевиден. >
Лемма 2. Пусть Г — дерево и к каждой внутренней вершине графа Г примыкает не менее трех ребер. Пусть Ао — собственное значение задачи (1)-(3) и и(-) — собственная функция отвечающая Ао и не равная нулю во внутренней вершине а. Тогда существует не менее трех граничных ребер, на которых функция и(-) не равна тождественно нулю.
< Если к вершине а примыкает три граничных ребра, то, в силу непрерывности, функция и(-) не равна тождественно нулю на всех ребрах примыкающих к вершине, и, следовательно, утверждение леммы верно.
Пусть к вершине а примыкает два граничных ребра. Так как й (а) ^ 3, то к а примыкает внутреннее ребро 7о на котором функция и (•) не равна тождественно нулю. В
силу леммы 1, существует два граничных ребра 71 и 72, примыкающих к граничным вершинам 61 и 62, таких, что и (■) не равна тождественно нулю на этих ребрах и маршрут Г(б1,&2) содержит ребро 70. Но тогда хотя бы одно из ребер 71, 72 не примыкает к вершине а и утверждение леммы верно.
Пусть к вершине а примыкает одно граничное ребро 7 = (60, а). Поскольку ^(а) ^ 3, то к а примыкают два внутренних ребра (а,а1) и (а, а2), при этом функция и(-) не тривиальна на этих ребрах. Из леммы 1 вытекает существование маршрутов Г (61,62) и Г (63, 64) (6» G дГ) таких, что функция и(-) не тривиальна на ребрах, примыкающих к вершинам 6». Если вершина 60 не совпадает с вершинами 61 и 62, то лемма верна. Если же 60 совпадает с одной из вершин 61 и 62 (пусть это будет вершина 61), то маршрут Г (61, 62) содержит ребро (а, а1) и не содержит ребро (а, а2). Следовательно, хотя бы одна из вершин 63, 64 не совпадает с вершинами 61, 62. Т. е. существуют три граничные вершины такие, что функция и (■) не тривиальна на ребрах, примыкающих к этим вершинам.
Остается рассмотреть случай, когда к вершине а примыкают только внутренние ребра 71 = (аьа), 72 = (а2,а), 73 = (аз, а),..., = (а^а),а). Из леммы 1 следует, что существуют маршруты Г(61,62), Г(6з,64), Г(65,6б) (6» G д Г), содержащие ребра 71,72,73 соответственно, и такие, что функция и (■) не тривиальна на ребрах, примыкающих к вершинам 6». Так как граф Г не имеет циклов, а ребра 7», г = 1, 3 примыкают к одной вершине, то хотя бы два из маршрутов Г(61, 62), Г(63, 64) и Г(65, 6б) не совпадают. Это означает, что из вершин 6» по крайней мере три различны. >
Лемма 3. Пусть Г — дерево и ^(а) ^ 3 для любой внутренней вершины. Пусть А0 — собственное значение задачи (1)—(3) и ему отвечает собственная функция и(-) не тривиальная только на двух из всех граничных ребер графа. Тогда функция и(-) равна нулю во всех внутренних вершинах, нетривиальна на всех ребрах маршрута, соединяющего эти граничные ребра, и равна тождественно нулю на всех остальных ребрах.
< Пусть 71 и 72 граничные ребра, на которых функция и(-) не равна тождественно нулю. Обозначим через 61 и 62, соответственно, граничные вершины к которым примыкают эти ребра. Покажем сначала, что функция и(-) тривиальна на Г\Г(61,62). Предположим противное. Тогда функция и(-) не равна тождественно нулю на ребре 70, которое не принадлежит Г(61, 62). В силу леммы 1, найдутся два граничных ребра 73,74 на которых функция и(-) не равна тождественно нулю. Так как ребро 70 не принадлежит Г(61,62), то хотя бы одно из ребер 73, 74 не совпадает ни с одним из ребер 71, 72. Т. е. функция и(-) не тривиальна на трех граничных ребрах, что противоречит условию леммы. Из того, что функция и(-) непрерывна на графе, и = 0 на Г\Г(61,62) и ^(а) ^ 3, получаем, что и(-) равна нулю во всех внутренних вершинах. Нам остается показать, что функция и(-) не равна тождественно нулю на всех ребрах маршрута Г(61,62). Рассмотрим ребро 71 = (61, а1). Функция и(-) не тривиальна на этом ребре и следовательно, не тривиальна еще хотя бы на одном из ребер примыкающих к этой вершине. Обозначим его (а1,а2). Так как и = 0 на Г\Г(61,62), то очевидно, что (а1, а2) содержится в маршруте Г(61,62). Рассмотрим далее вершину а2. Так как и = 0 на ребре (а1, а2), то к вершине а2 примыкает ребро (а2, а3) такое, что функция и(-) не тривиальна на нем. И поскольку и = 0 на Г\Г(61,62), то ребро (а2,а3) принадлежит маршруту Г(61,62), и т. д. >
3. О максимальной геометрической кратности собственных значений
Обозначим через п — число граничных ребер графа Г.
Теорема 1. Пусть Г — дерево и к каждой внутренней вершине примыкает не менее трех ребер. Пусть А0 — собственное значение задачи (1)—(3) геометрическая кратность
которого равна п — 1. Тогда значению Ао отвечает собственная функция равная нулю во всех внутренних вершинах и нетривиальная на всех ребрах графа Г.
< Пусть {ик}" 1 — линейно независимый набор собственных функций отвечающих Ао. Рассмотрим функцию и"-1 (•). Из леммы 1 следует существование двух граничных ребер 71, 72 на которых функция и"-1(-) не равна тождественно нулю. Через 61 обозначим граничную вершину к которой примыкает ребро 71. Построим функции ик(•), к = 1, п — 2 по следующему правилу:
ик (х) = ик (х) — ,(и* )/(/6/1\ и"-1(ж). ^ ^ (и"-1)/(61) ^ '
Из построения следует, что функции ик (•) равны тождественно нулю на ребре 71, примыкающем к вершине 61. А из леммы 1 следует существование двух граничных ребер 73,74 таких, что функция п""-2(-) не тривиальна на ребрах 73 и 74. С помощью функций ик(•) построим функции ик(-),к = 1,п — 3 следующим образом
=к, ч -к/ \ (ик )/(62) -га—2 / ч
и (х) = и (х) — и (х),
(и" 2) (62)
где через 62 обозначена граничная вершина к которой примыкает ребро 73. Из построения функций ик(•) следует, что они равны тождественно нулю на ребрах примыкающих к граничным вершинам 61, 62. Перебирая все оставшиеся граничные вершины, подобным образом мы построим функцию (•), не тривиальную лишь на двух граничных ребрах примыкающих к граничным вершинам 6га, 6га—1. В силу леммы 3, функция (•) равна нулю во всех внутренних вершинах, = 0 на Г\Г(6га,6га—1) и не тривиальна на всех ребрах принадлежащих маршруту Г(6га, 6га_1).
Рассмотрим функции (•), определяемые следующим образом
(ик )/(6")
(^1)/(6га)<
(х) = ик (х) — ) ^{<^(х)
Функции (•) равны тождественно нулю на граничном ребре примыкающем к 6га. Так как функции ик(•) линейно независимы, то среди функций Vк(•) не менее п — 2 не тривиальны на Г и линейно независимы. Пусть, для определенности, это будут функции vk(•), к = 1,п — 2.
С помощью рассуждений проведенных выше, из функций Vк(•) можно построить функцию ^>2 (•) не равную тождественно нулю лишь на двух граничных ребрах, примыкающих к граничным вершинам, которые мы обозначим через 6га_ 1 и 6га_2. Так как все функции vk(•) равны тождественно нулю на ребре, примыкающем к вершине 6га, то среди вершин 6га_1 и 6га_2хотя бы одна отлична от 6га. Пусть это будет вершина 6га_ь В силу леммы 4, функция ^>2 (•) равна нулю во всех внутренних вершинах и не тривиальна лишь на ребрах маршрута Г(6га_1,6га_2). Очевидно, что функции и ^>2 не пропорциональны.
Рассмотрим функции (•), к = 1,п — 2, определяемые по правилу:
^ (х) = ^ (х) — (^Ц ^2(х).
(^2) (6„_1)
Все эти функции равны тождественно нулю на ребрах примыкающих к граничным вершинам 6га и 6га — 1. Для функций (•) повторяем рассуждения, проведенные для функций vk(•) и т. д. В конечном итоге мы получим набор линейно независимых собственных
функций (■), к = 1,п — 1, каждая из которых равна нулю во всех внутренних вершинах и не тривиальна лишь на ребрах некоторого маршрута, соединяющего две граничные вершины графа Г. Поскольку функции (■) линейно независимы, то для любой граничной вершины 6»0 найдется функция (■), которая не равна тождественно нулю на ребре примыкающем к этой вершине.
Рассмотрим функции и ^ (■). Предположим, что эти функции нетривиальны на граничном ребре 7 G Г. Очевидно, что всегда можно подобрать вещественные константы С» и С так, что Сг^>г(ж) + С^ (ж) =0 на ребре 7. Аналогично можно подобрать константы Ск так, что функция и(ж) = ^П-]1 СН(ж) будет равна нулю во всех внутренних вершинах и не тривиальна на всех ребрах графа Г. >
Теорема 2. Пусть А0 — собственное значение задачи (1)-(3) и ему отвечает собственная функция и (■) равная нулю во всех внутренних вершинах и не тривиальная на всех ребрах графа Г. Тогда геометрическая кратность А0 равна п — 1.
< Пусть {6»}^ — множество всех граничных вершин графа Г. Обозначим через ^ (■, А0) решение уравнения (1) суженного на ребро 7» = (а», а^) такое, что ^(а», А0) = 0. Так как функция и (■) равна нулю во всех внутренних вершинах и не тривиальна на всех ребрах графа Г, то и»(ж) = сда (ж, А0), ж G 7» и ^¿(а^, А0) = 0. Рассмотрим функции
) Ч(ж' Ао)' ж G Yk,
uk(ж) = ^ ; Г/к i, v k = м-г.
1 0, ж G r\r(&i,&fc+i),
mk
Здесь r(bi, bfc+i) = U 7fcj, Yk = (oj-i> «j), «о = bi, amk = bfc+i, i=i
k akj («i) (a 'Ао) jfe
сН = 1, еН+1 =--■ -— сН, ^ = 1, тн — 1.
(а) ,А0)
Так как все (а^) отличны от нуля и ^(а^, А0) = 0, то функции ин(■) определены корректно. Из построения функций ин(■) следует, что они удовлетворяют всем краевым условиям и, следовательно, являются собственными. Их линейная независимость очевидна. Так как геометрическая кратность любого собственного значения не превосходит п — 1, то геометрическая кратность А0 равна п — 1. >
Таким образом, геометрическая кратность собственного значения А0 равна п — 1 тогда и только тогда, когда ему отвечает собственная функция равная нулю во всех внутренних вершинах и не равная тождественно нулю на всех ребрах графа Г.
Литература
1. Покорный Ю. В. и др. Дифференциальные уравнения на геометрических графах.—М.: Физматлит, 2004.-227 с.
2. Завгородний М. Г. Спектральная полнота корневых функций краевой задачи на графе // Докл. РАН.—1994.—Т. 335, № 3.—С. 281-282.
Статья поступила 23 июня 2008 г.
КУЛАЕВ РУСЛАН ЧЕРМЕНОВИЧ Институт прикладной математики и информатики ВНЦ РАН Владикавказ, 362027, РОССИЯ E-mail: [email protected]
