CC BY
8
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
К ВОПРОСУ ИЗЛОЖЕНИЯ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ В КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМАХ
12 3
Морозов А.В. , Будневич В.С. , Хвостенко Е.Е. Email: Morozov673@scientifictext.ru
1Морозов Алексей Валентинович - кандидат физико-математических наук, профессор;
2Будневич Вера Семеновна - кандидат технических наук;
3Хвостенко Елена Евгеньевна - кандидат педагогических наук, кафедра математики, Военно-космическая академия им. А.Ф. Можайского, г. Санкт-Петербург
Аннотация: известно, что свободные колебания в нелинейных консервативных системах в общем случае не обладают свойством изохронности. Существует много аналитических доказательств и физических экспериментов, демонстрирующих этот факт. Кроме того, современные вычислительные средства позволяют визуализировать это свойство для систем с одной степенью свободы на фазовой плоскости с минимальными затратами учебного времени. Эту демонстрацию можно проделать в курсах математики, теоретической механики, физики, электротехники и др. В настоящей статье, предназначенной для преподавателей и студентов технических кафедр вузов, предлагается вариант такой демонстрации. Ключевые слова: консервативная нелинейная система с одной степенью свободы, визуализация колебаний на фазовой плоскости.
ON THE QUESTION OF PRESENTATION OF FREE FLUCTUATIONS IN CONSERVATIVE SYSTEMS Morozov A.V.1, Budnevich V.S.2, Khvostenko E.E.3
1Morozov Alexey Valentinovich - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Professor;
2Budnevich Vera Semenovna - Candidate of Technical Sciences; 3Khvostenko Elena Evgenievna - Candidate of Pedagogical Sciences;
CHAIR OF MATHEMATICS, MILITARY-SPACE ACADEMY NAMED AFTER A.F. MOZHAYSKY, ST. PETERSBURG
Abstract: it is known that free oscillations in nonlinear conservative systems generally do not possess the isochronous property. There is a lot of analytical evidence and physical experiments demonstrating this fact. In addition, modern computing tools allow to visualize this property for systems with one degree of freedom on the phase plane with minimal training time. This demonstration can be done in courses of mathematics, theoretical mechanics, physics, electrical engineering, etc. In this article, intended for teachers and students of technical departments of universities, a variant of such a demonstration is proposed.
Keywords: conservative nonlinear system with one degree of freedom, visualization of oscillations on the phase plane.
УДК 519.95
Введение. Рассмотрим консервативную колебательную систему с одной степенью свободы и ее математическую модель:
X = —/ (х) , (1)
предполагая для определенности, что характеристика / (х) , хЕ [—г, г] обладает свойствами: / (0) = 0 , / (х) > 0 при х > 0 и / (х) < 0 при х < 0. Таким образом, рассматриваемая колебательная система имеет одно положение равновесия х ( 0 ) = 0 , х (0) = 0. Будем также считать, что характеристика / (х) является нечетной: / (—х) =
—Ах) .
Для уравнения (1) поставим начальные условия:
х (0) = А , х (0) = 0. (2) Интегрируя уравнение (1) с условиями (2), легко выводится формула [1,2]
А
г- Г dx
Т = 2л/2 I . (3)
Формула (3) показывает, что период Т колебания в нелинейной системе в общем случае является функцией амплитуды колебания А. Этот вывод хорошо известен и является фундаментальным нелинейным эффектом. Для линейной характеристики
ff \ 2 т 4 ГЛ dx 4 ■ Х\А 2 ¡X
/(х) = ох период Т = — I , = — arcsin-l = — и колебания в этом частном
о 0 -JA2-х2 о ^lo о
случае, подчинены гармоническому закону х (t) = А sin ( 0t + ) . Можно сказать, что изохронность - свойство математической модели, а не физической сущности колебательной системы, ибо, предполагая, что колебания описываются линейным уравнением, мы и получаем свойство изохронности.
Визуализация эффекта неизохронности. Рассмотрим теперь уравнение (1) с нелинейной характеристикой , (в инженерной практике
при такую характеристику называют жесткой, при мягкой):
х = — 0х — х3. (4) Тогда для периода имеем формулу
А
dx
--(5)
ч
20(А2-Х2)+1(А4 -х4)
Интегралы вида (5), а также более общие /й (х, V ах4 + Ъх3 + сх2 + (х + е)(х, где й —рациональная функция, называются эллиптическими и не берутся в конечном виде. Впервые они были изучены Лежандром, Лиувиллем и Якоби [3] в связи с задачами теории колебаний и динамики твердого тела.
Заметим, что для >0 из (5) следует:
А А
Г dx Г dx 2
Т = 41 1<41;
j(A2-x2)
1 + — (А2+х2)
2 о
J V gU2-x2)
N
Таким образом, в системах с жесткой характеристикой период колебаний Т
2
меньше —. Известно и более общее утверждение: 1) При малых > 0 функция Т (Л )
о
убывающая; 2) при < 0 — возрастающая.
Доказательства этих утверждений можно провести, используя свойства эллиптических функций и специальные таблицы, разработанные для них, а также в рамках методов малого параметра [1,2]. Например, можно получить следующее приближенное решение уравнения (1):
х (0=л( 1— ^)с0 5 £+ ^СО 53 (6)
Здесь величина 2 = 2 + ~А2 , — малый параметр. Этому решению отвечает
4
колебание с амплитудой А и периода
2
Т = , ■ (7)
2 +-А2 о ~
Точность приведенного решения зависит от того насколько параметр мал. С ростом значения точность формулы (6) падает.
Формула (6) дает простейший вид приближенного решения, в котором параметр входит в первой степени. Методом малого параметра можно получить более точные решения [2]. Однако, уже из формулы (7), в частности, следует, что для жесткой характеристики период Т с ростом амплитуды А убывает, а для мягкой - возрастает (рис. 1).
Рис. 1. Функции Т(А)
С другой стороны, если в учебных программах время на изложение теории эллиптических функций и методов малого параметра не предусмотрено, то возможно визуализировать факт неизохронности колебаний на практических занятиях. Для этого достаточно воспользоваться численным счетом на компьютере и какой-либо из математических систем (например, Matlab, Mathematica др.), выдающих траектории дифференциальной системы
Г х = у,
1 у = — 2х — X3
на экран монитора. Для этого в момент с положительной полуоси
выпустим несколько траекторий для разных начальных отклонений 1 , 2 ,. . ,,п) , интегрируя каждый раз систему на заданном промежутке £ 6 [О ,К\ . В случае = О изображающие точки за одно и тоже время h заметут один и тот же угол так, как это показано на рис. 2, что естественным образом демонстрирует изохронность колебаний.
х2 2.4
///* 1'6
/////У'0.8
-2.4 4 I I М V Ч? ^ ! ¿к ! I Н.Ь 2.4
Рис. 2. Фазовый портрет гармонического осциллятора ( а = О ) , £ 6 [ О , Й]
В случае траектории заметут разные углы, причем, чем больше начальная
амплитуда , тем больший угол будет соответствовать концу дуги траектории (рис. 3). Это численно демонстрирует тот факт, что чем больше начальное отклонение А, тем выше частота колебаний в системе. В случае < О - также разные углы (рис. 4), но с ростом начальной амплитуды заметаемые траекториями углы будут уменьшаться, т.е. чем больше начальное отклонение, тем меньше частота колебаний. Кроме того, видно, что функции Т (А) являются монотонными.
Рис. 3. Система с жесткой характеристикой Рис. 4. Система с мягкой характеристикой Описанный вычислительный эксперимент полезно провести и с траекториями математического маятника х + ^пх = О ( 0 = у) . На рис. 5 ( 0 = 1) приведены куски траекторий, отвечающие промежутку интегрирования . Формула
Г „ ТГ Л\ гА йх
для периода колебаний маятника имеет вид Т (А ) = — I„ , .
о 0 УС05Х-С05Л
Рис. 5. Траектории математического маятника (ш0 = 1 )
При А = этот интеграл обращается в бесконечность (это легко доказывается непосредственным вычислением [1]). Расходимость же интеграла соответствует физической не реализуемости движения маятника из верхнего положения в него же. На рис. 5 видно, что по мере увеличения амплитуды А за время 6.28 маятник заметает все меньший и меньший угол.
Заключение. Включение компьютерных методов в учебный процесс при изложении классических результатов фундаментальных дисциплин весьма полезно для формирования современного специалиста инженерного профиля. При этом речь не идет о замене теории, а только о визуализации некоторых ее положений, причем там, где это возможно и уместно. Кроме того, включение такого практикума на наш взгляд должно стимулировать у обучаемых интерес к фундаментальным знаниям. Обсуждаемый в настоящей статье вопрос в первую очередь будет интересен преподавателям, ведущим практические занятия по техническим дисциплинам: механике, электротехнике, радиотехнике, т.е. там, где возникают колебательные явления, в частности, нелинейные. Такой подход вполне оправдан, так как компьютерные технологии проникают все больше и больше в инструментарий исследования окружающего мира. Изменяющиеся технологии научных исследований должны вносить изменения и в технологии обучения.
В статье мы обратились к одной весьма важной, но частной задаче. Любой преподаватель при желании может привнести такие дополнения и в изложении других вопросов и возможно в других дисциплинах. С нашей точки зрения весьма важным является комплексность формируемых знаний: физическая модель, математическая модель (модели), аналитическое решение (решения), вычислительный эксперимент, и - сравнение полученных результатов.
Список литературы /References
1. Морозов А.В., Бригаднов И.А. Математические основы теории систем. СПб.: Изд-во СЗТУ, 2007.
2. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1981.
3. АхиезерН.И. Элементы теории эллиптических функций. М.: Наука, 1970.
