CC BY
8
СТРОИТЕЛЬСТВО С I VIL AND INDUSTRIAL ENGINEERING
https://doi.org/10.21122/2227-1031-2022-21-3-191-195 УДК 539.3
К уточнению решения о действии сосредоточенной силы
на упругое четвертьпространство
при произвольном коэффициенте Пуассона
Докт. техн. наук, проф. С. В. Босаков1)
^Белорусский национальный технический университет (Минск, Республика Беларусь)
© Белорусский национальный технический университет, 2022 Belarusian National Technical University, 2022
Реферат. Ранее автором получено аналитическое решение для определения вертикальных перемещений грани однородного изотропного четвертьпространства, на которую действует вертикальная сосредоточенная сила. Это выражение давало точное решение для определения вертикальных перемещений грани четвертьпространства из несжимаемого материала и приближенное - при коэффициенте Пуассона, отличном от 0,5. Позднее в опубликованной статье С. В. Босакова и П. Д. Скачека «Действие сосредоточенной силы на 1/8 однородного изотропного пространства» было показано, что, комбинируя решения для определения вертикальных перемещений четвертьпространства и полупространства от действия сосредоточенных сил, можно найти вертикальные перемещения для одной восьмой грани однородного изотропного пространства. Полученные выражения позволяют решать контактные задачи для неклассических областей в виде четвертьпространства и одной восьмой пространства. В настоящей статье автор приводит первое приближение для определения вертикальных перемещений грани четвертьпространства от действия вертикальной сосредоточенной силы, широко используя метод специальной аппроксимации, развитый в трудах В. М. Александрова и позволяющий успешно вычислять несобственные интегралы. Построенные графики показывают близкие результаты при определении перемещений с коэффициентом Пуассона, отличном от 0,5 и равном 0,5. Следует отметить, что указанный в статье С. В. Босакова и П. Д. Скачека подход может быть успешно использован при определении всех перемещений граней одной восьмой грани однородного изотропного пространства от действия сосредоточенных сил, касательных к грани четвертьпространства. Это даст возможность решать контактные задачи с учетом сил трения в контактной зоне балки или пластинки.
Ключевые слова: четвертьпространство, коэффициент Пуассона, решение Буссинеска, перемещения, сосредоточенная сила
Для цитирования: Босаков, С. В. К уточнению решения о действии сосредоточенной силы на упругое четвертьпространство при произвольном коэффициенте Пуассона / С. В. Босаков // Наука и техника. 2022. Т. 21, № 3. С. 191-195. https://doi.org/10.21122/2227-1031-2022-21-3-191-195
To Clarify Decision on Action of Concentrated Force to Elastic Quarter-Space for Arbitrary Poisson's Ratio
S. V. Bosakov1
1)Belarusian National Technical University (Minsk, Republic of Belarus)
Abstract. Previously, the author obtained an analytical solution for determining the vertical displacements of the homogeneous isotropic quarter-space face, which is affected by a vertical concentrated force. This expression gave an exact solution for determining the vertical displacements of a quarter-space face made of incompressible material and an approximate solution for a Poisson ratio different from 0.5. Later, in the published paper by S. V. Bosakov and P. D. Skachek "Action of Concentrated Force on 1/8 of Homogeneous Isotropic Space", it was shown that by combining solutions for determining
Адрес для переписки
Босаков Сергей Викторович
Белорусский национальный технический университет
просп. Независимости, 65,
220013, г. Минск, Республика Беларусь
Тел.: +375 17 293-93-04
sevibo@yahoo.com
Наука
итехника. Т. 21, № 3 (2022)
Address for correspondence
Bosakov Siarhei V.
Bebrusian National Technical University 65, Nezavisimosty Ave., 220013, Minsk, Republic of Belarus Tel.: +375 17 293-93-04 sevibo@yahoo.com
the vertical displacements of a quarter-space and a half-space from the action of concentrated forces, one can find vertical displacements for one-eighth face of a homogeneous isotropic space. The resulting expressions allow solving contact problems for non-classical domains in the form of a quarter of a space and one eighth of a space. Below, the author obtains the first approximation for displacements of a quarter-space face from the action of a vertical concentrated force. In this paper, the author gives the first approximation for determining the vertical displacements of a quarter-space face from the action of a vertical concentrated force, widely using the special approximation method developed in the works of V. M. Alexandrov and allowing to calculate successfully improper integrals. The constructed graphs show good results when determining displacements with a Poisson's ratio different from 0.5 and equal to 0.5. It should be noted that the approach indicated in the paper by S. V. Bosakov and P. D. Skachek can be successfully used in determining all displacements of the faces of one-eighth face of a homogeneous isotropic sharpened forces tangent to the edge of a quarter-space and this will allow to solve contact problems taking into account friction forces in the contact zone of the beam or plate.
Keywords: quarter-space, Poisson's ratio, Boussinesq decision, displacements, concentrated force
For citation: Bosakov S. V. (2022) To Clarify Decision on Action of Concentrated Force to Elastic Quarter-Space for Arbitrary Poisson's Ratio. Science and Technique. 21 (3), 191-195. https://doi.org/10.21122/2227-1031-2022-21-3-191-195 (in Russian)
В [1] на основании результатов Я. С. Уф-лянда [2] получено точное выражение для определения вертикальных перемещений грани упругого однородного изотропного четверть-пространства от действия сосредоточенной вертикальной силы в виде тройного несобственного интеграла. Надо отметить, что в научной литературе это выражение носит название задачи Хете-ни [3], который предложил вычислять ее методом наложения решений для полупространства. В [4, 5] делались попытки упростить полученное выражение для перемещений при произвольном коэффициенте Пуассона при решении задач расчета фундаментных конструкций на грунтовом основании вблизи откосов. Д. А. Пожарский [6] опубликовал монографию, где в интегральном виде приводятся формулы для перемещений границы упругого четвертьпространства от различно приложенных внешних сил.
Рассмотрим выражение для определения вертикальных перемещений грани упругого однородного изотропного четвертьпространст-ва от действия сосредоточенной вертикальной силы (рис. 1):
к(г,,)=щ.
0 0 0 sh
2 ПТ 2
2--Т2
2
<L (
а, т.
L (а, т, t) = -
, t) dtdadт;
aacosTt KiT (ar ) cosaz
(1)
s 4тth(nT/4)
4 th2 (пт /4)
ch2t
sh
2 ПТ 2
2 -Т2
ch22t
sh
2 ПТ 2
2 -Т2
s = 1 - 2v,
где Е, V - модуль упругости и коэффициент Пуассона четвертьпространства; Кгх(х) - функция Бесселя [7].
M(r, z)
Рис. 1. Действие сосредоточенной силы на четвертьпространство
Fig. 1. Action of concentrated force on quarter-space
Рассмотрим
X =
s 4т th (пт /4) s2 4th2 (пт /4) ^ sh2 ПТ-т2 - ^ sh2 ПТ-т2 <1
2 2 при любых 0 < t, т < да.
Принимаем разложения [7] : 1
1 + X
ch2t 1
ch22t
■ = 1 - X + X - X
X < 1;
, о 2 10 4
= 1 - 2t +—t -...;
= 1 - 4t 2 + 3214 -....
Также представим: тth(пт/4)
sh2 (пт/2) - т2 п2 - 4 ch2 (п/2)' th2(пт/4) п2 1
sh2(пт/2)- т2 4п2 -16 ch2(п/2):
(2)
(3)
Наука
итехника. Т. 21, № 3 (2022)
z
а
1
1
П
4sh2(пт)
= 2 (1 + еЬпт):
sh2 (пт /2) - т2
(л 0,6815 + 2,4205т2 - 0,8916т4 ^
1 + —-----
chпт
мирующих выражений в (2) и (3). Точность аппроксимации (4) рассмотрена в [8].
(4)
Выражения (2)-(4) получены исходя из асимптотических свойств функций на нуле и бесконечности. Точность принятой аппроксимации можно оценить по рис. 2, 3.
1 2 3 4 5
Рис. 2. Точность аппроксимации выражения (2) Fig. 2. Expression approximation accuracy (2)
Подчеркнем, что наличие осциллирующих функций в (1) говорит о незначительном влиянии различий в значениях точных и аппрокси-
1 2 3 4 5
Рис. 3. Точность аппроксимации выражения (3) Fig. 3. Expression approximation accuracy (3)
Используя принятые аппроксимации и опуская промежуточные вычисления, получаем:
L (В, т,, )=1+4(vL+4ivL, 2 +...;
v ' ch2 (п/2) ch2 (п/2) A (v) = 1,68148в2 -2,14092в; (5)
A2 (v) = 4,28185в -6,72591в2;
Далее используем формулы интегралов [1, 8, 9]:
е а a chi cos Vdt = Кгт(с a);
^2 ( ch^ + cos ß)
г п I cos(oz)кт (с a)кт (с r)dс = —-= рт_!/2 (сЬц);
0 4шпт\/ ar
1 (cM d т =
7 т2 1 I лпт^(Лц)d
7 4
|^-1/2 (ch^) dт = I ~chß~~px-1/2 (ch^) dт =
(6)
1 ;
2^2 (ch^ + 1)3/2;
224 - 8 cos h [ц] (-12cos h [ц] + 2 (-22 + 2 cos h [2ц])) 128л/2 (1 + cos h[^)9'2 '
y/2 1
2 . / I-=arctg,
ch2пт " ' 7 п .^chp.-cosß
1 V2
0
7 2
т 1
I т~2 рт-1/ 2 (cMdт = —
J ch2пт 2п
7 4
т
I ChlГI-pт-l/2 (cM d т = -
2п
((
chp,-1 (Лц-1)
chp,- cos ß 1 + cos ß '
3,2arctg
chp,-1
0 ch пт Наука
итехника. Т. 21, № 3 (2022)
ch2Ц 58 + 64>/2arctg
w
sh Ц
л/-1 + ch ц
7
где еЬц =
^47-72^2 arctg^sh+ chц^ chц + 2 -5 + W2 arctg^shцл/-1 + chЛ2ц-+ ch 3ц j sh4 ц j / ( 4n(-1 + ch ц)7/2 (1 + ch ц)7/2)
a 2 + r 2 + Z 2
; Px_j/2 (chц) - функция конуса [7].
2 ar
В итоге получаем выражение для вертикальных перемещений грани четвертьпространства от вертикальной силы в следующем виде:
P (1 -v2)
nE
1 1 + a0 + a0 A „ 1 + A0 R , , ,ar
— +-о-^o + 2a0-— arctg—+ (a2 + a2 A)— +
R R2 0 nR 2л/07 V ; R23
a2 (1 + A )(yfar 2ar
R R3
arctg
R1
24ar
- a.
(1 + A)R5(a2 -7ar + r2 + z2У^ + A)
(ar )4
aJar
32nR3 R25
^ P2
' a4 -
v a r
2
12a3r - 12ar (r2 + z2 ) + (r2 + z2) + 3a2 (35r2 + z2 ))
(7)
+
8R3
/ \5/2 ( ar )
a2 - 7ar + r2 + z 2
) arctg
R1
2л/2
ar
Первое слагаемое в полученном выражении для перемещений (7) - это известное решение Буссинеска [10] для упругого однородного изотропного полупространства и является сингулярным. Также можно заметить, что наибольшее влияние на величины перемещений (7) учет коэффициента Пуассона оказывает вблизи ребра четвертьпространства, что подтверждают данные рис. 4, 5.
Рис. 4. Перемещения при v = 0,5 (желтый цвет) и v = 1/3 (синий цвет) вдоль оси z при r = a = 1 Fig. 4. Movements at v = 0.5 (yellow) and v = 1/3 (blue) along axis z at r = a = 1
В (7) перемещения ограничены на ребре четвертьпространства, на бесконечности стре-
мятся к нулю, как 1/Ль Полученные результаты также дают возможность уточнить формулу перемещений грани 1/8 однородного изотропного пространства, опубликованной в [9].
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
Рис. 5. Перемещения при 1/R (желтый цвет) и v = 1/3 (синий цвет) вдоль оси R при z = 0 Fig. 5. Movements at 1/R (yellow) and v = 1/3 (blue) along axis R at z = 0
ВЫВОД
Получено уточненное аналитическое выражение для определения вертикальных перемещений грани упругого однородного изотропного четвертьпространства от действия сосредо-
Наука
итехника. Т. 21, № 3 (2022)
точенной вертикальной силы, справедливое при любых значениях коэффициента Пуассона. Следует отметить, что указанный подход при определении перемещений может быть использован в решении задачи о действии сосредоточенных сил, касательных к грани четвертьпро-странства. Это позволит решать контактные задачи с учетом сил трения в контактной зоне балки или пластинки. Полученные результаты также дают возможность уточнить формулу для определения вертикальных перемещений грани одной восьмой однородного изотропного пространства, ранее опубликованной в статье С. В. Босакова и П. Д. Скачека «Действие сосредоточенной силы на 1/8 однородного изотропного пространства».
ЛИТЕРАТУРА
1. Босаков, С. В. Действие сосредоточенной силы на упругое четвертьпространство / С. В. Босаков // Теоретическая и прикладная механика: республиканский межведомственный сборник. Минск, 1988. Вып. 15. С. 100-108.
2. Уфлянд, Я. С. Некоторые пространственные задачи теории упругости для клина / Я. С. Уфлянд // Механика сплошной среды и родственные проблемы анализа. М.: Наука, 1972. С. 549-553.
3. Heteny, M. A General Solution for the Elastic Quarter-spase / М. Heteny // Journal of Applied Mechanics. 1970. Vol. 37, No 70. P. 75-80.
4. Босаков, С. В. Изгиб балок, расположенных вблизи откоса / С. В. Босаков, Н. М. Фомичева // Основания, фундаменты и механика грунтов. 1988. № 2. С. 26-28.
5. Босаков, С. В. Расчет системы перекрестных балок на упругом клиновидном основании / С. В. Босаков, С. Д. Семенюк // Материалы, технологии, инструменты. 2000. Т. 5, № 4. С. 17-20.
6. Пожарский, Д. А. Фундаментальные решения статики упругого клина и их приложения / Д. А. Пожарский. Ростов н/Д: ООО «ДГТУ-ПРИНТ», 2019. 306 с.
7. Градштейн, И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И. С. Градштейн, И. М. Рыжик. М.: Физматгиз, 1953. 1100 с.
8. Уфлянд, Я. С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости / Я. С. Уфлянд. М.-Л.: Наука, 1968. 402 с.
9. Босаков, С. В. Действие сосредоточенной силы на 1/8 однородного изотропного пространства / С. В. Боса-
ков, П. Д. Скачек // Наука и техника. 2020. Т. 19, № 5. С. 372-376. https://doi.org/10.21122/2227-1031-2020-19-5-372-376.
10. Александров, А. В. Теория упругости и пластичности / А. В. Александров, В. Д. Потапов. М.: Высш. шк., 1990. 400 с.
Поступила 21.02.2022 Подписана в печать 26.04.2022 Опубликована онлайн 31.05.2022
REFERENCES
1. Bosakov S. V. (1988) The Action of a Concentrated Force on an Elastic Quarter-Space. Teoreticheskaya i Priklad-naya Mekhanika: Respublikanskii Mezhvedomstvennyi Sbornik [Theoretical and Applied Mechanics: Republican Interdepartmental Collection]. Minsk, (15), 100-108 (in Russian).
2. Uflyand Ya. S. (1972) Some Spatial Problems of Elasticity Theory for a Wedge. Continuum Mechanics and Related Problems of Analysis. Moscow, Nauka Publ. 549-553 (in Russian).
3. Heteny M. (1970) A General Solution for the Elastic Quar-terspase. Journal of Applied Mechanics, 37 (70), 75-80.
4. Bosakov S. V., Fomicheva N. M. (1988) Bending of Beams Located Near the Slope. Osnovaniya, Fundamenty i Mekhanika Gruntov = Soil Mechanics and Foundation Engineering, (2), 26-28 (in Russian).
5. Bosakov S. V., Semenyuk S. D. (2000) Calculation of a System of Cross Beams on an Elastic Wedge-Shaped Foundation. Materialy, Tekhnologii, Instrumenty [Materials, Technologies, Tools], 5 (4), 17-20 (in Russian).
6. Pozharsky D. A. (2019) Fundamental Solutions of Elastic Wedge Statics and their Applications. Rostov-on-Don: Don State Technical University-PRINT. 306 (in Russian).
7. Gradshtein I. S., Ryzhik I. M. (1953) Tables of Integrals, Sums, Series and Products. Moscow, Fizmatgiz Publ. 1100 (in Russian).
8. Uflyand Ya. S. (1968) Integral Transformations in Problems of Elasticity Theory. Moscow-Leningrad, Nauka Publ. 402 (in Russian).
9. Bosakov S. V., Skachek P. D. (2020) Concentrated Force Action on 1/8 Homogeneous Isotropic Space. Nauka i Tekhnika = Science & Technique, 19 (5), 372-376. https://doi.org/10.21122/2227-1031-2020-19-5-372-376 (in Russian).
10. Alexandrov A. V., Potapov V. D. (1990) Theory of Elasticity and Plasticity. Moscow, Vysshaya Shkola Publ. 400 (in Russian).
Received: 21.02.2022 Accepted: 26.04.2022 Published online: 31.05.2022
Наука
итехника. Т. 21, № 3 (2022)
