CC BY
16
https://doi.org/10.21122/2227-1031-2020-19-3-224-229 УДК 539.3
К решению контактной задачи для прямоугольной пластинки на упругом полупространстве
Докт. техн. наук, проф. С. В. Босаков1)
1)ГП «Институт жилища - НИПТИС имени Атаева С. С.» (Минск, Республика Беларусь)
© Белорусский национальный технический университет, 2020 Belarusian National Technical University, 2020
Реферат. До настоящего времени отсутствует точное решение контактной задачи для прямоугольной пластинки на упругом основании с распределительными свойствами. Практическими аналогами такой конструкции являются широко применяемые в строительстве плитные фундаменты. Многие ученые решали эту задачу различными способами. Методы конечных разностей, Б. Н. Жемочкина и степенных рядов не выделяют особенность в контактных напряжениях у краев плиты. Автор статьи получил разложение решения Буссинеска для определения перемещений поверхности упругого полупространства в виде двойного ряда по полиномам Чебышева первого рода в прямоугольной области. Впервые такое представление для симметричной части решения Буссинеска получил В. И. Сеймов и применил это разложение для исследования симметричных колебаний прямоугольного штампа с учетом инерционных свойств полупространства. Используя данное разложение, автор приводит решение задачи о динамических перемещениях прямоугольной пластинки, лежащей на упругом полупространстве, под действием произвольно приложенной сосредоточенной силы. При этом искомые перемещения задавались в виде двойного ряда по полиномам Чебышева первого рода, контактные напряжения - в виде двойного ряда по полиномам Чебышева первого рода с весом. В интегральном уравнении контактной задачи выполняется интегрирование по прямоугольной области с учетом ортогональности полиномов Чебышева. В полученном выражении приравниваются коэффициенты при одинаковых произведениях полиномов Чебышева. Получается бесконечная система линейных алгебраических уравнений, которая решается методом усиления. Таким образом находятся искомые коэффициенты в разложении для контактных напряжений. Ключевые слова: упругое полупространство, контактная задача, прямоугольная пластинка
Для цитирования: Босаков, С. В. К решению контактной задачи для прямоугольной пластинки на упругом полупространстве / С. В. Босаков // Наука и техника. 2020. Т. 19, № 3. С. 224-229. https://doi.org/10.21122/2227-1031-2020-19-3-224-229
To Solution of Contact Problem for Rectangular Plate on Elastic Half-Space
S. V. Bosakov1
^UE "Institute of Housing - NIPTIS named after Ataev S. S." ^task, Republic of Beterus)
Abstract. Until the present time there is no exact solution to the contact problem for a rectangular plate on an elastic base with distribution properties. Practical analogues of this design are slab foundations widely used in construction. A lot of scientists have solved this problem in various ways. The methods of finite differences, B. N. Zhemochkin and power series do not distinguish a specific feature in contact stresses at the edges of the plate. The author of the paper has obtained an expansion of the Boussinesq solution for determining displacements of the elastic half-space surface in the form of a double series according to the Chebyshev polynomials of the first kind in a rectangular region. For the first time, such a representation for the symmetric part of the Boussinesq solution was obtained by V. I. Seimov and it has been applied to study symmetric vibrations of a rectangular stamp, taking into account inertial properties of the half-space. Using this expansion, the author gives a solution to the problem for a rectangular plate lying on an elastic half-space under the action of an arbitrarily applied concentrated force. In this case, the required displacements are specified in the form of a double row in the Chebyshev polynomials of the first kind. Contact stresses are also specified in the form of a double row according to the Chebyshev polynomials of the first kind with weight. In the integral equation of the contact problem integration over a rectangular region is performed while taking into account the orthogonality of the Chebyshev polynomials. In the resulting expression the coefficients are equal for the same products of the Chebyshev polynomials. The result is an infinite system of linear algebraic equations, which is solved by the amplification method. Thus the sought coefficients are found in the expansion for contact stresses.
Keywords: elastic half-space, contact problem, rectangular plate
For citation: Bosakov S. V. (2020) To Solution of Contact Problem for Rectangular Plate on Elastic Half-Space. Science and Technique. 19 (3), 224-229. https://doi.org/10. 21122/2227-1031-2020-19-3-224-229 (in Russian)
Адрес для переписки
Босаков Сергей Викторович
ГП «Институт жилища - НИПТИС имени Атаева С. С.»
ул. Ф. Скорины, 15б,
220114, г. Минск, Республика Беларусь
Тел.: +375 17 265-97-28
up-niptis@rambler.ru
Address for correspondence
Bosakov Siarhei V.
UE "Institute of Housing - NIPTIS named after Ataev S. S."
15b, F. Skoriny str.,
220114, Minsk, Republic of Belarus
Tel.: +375 17 265-97-28
up-niptis@rambler.ru
Наука
итехника. Т. 19, № 3 (2020)
Введение
До настоящего времени отсутствует точное решение контактной задачи для прямоугольной пластинки на упругом основании с распределительными свойствами. Практическими аналогами такой конструкции являются широко применяемые в строительстве плитные фундаменты. Решение этой задачи методом степенных рядов рассмотрено М. И. Горбуновым-Посадовым [1], методом конечных разностей -В. И. Соломиным [2], С. М. Алейниковым [3], способом Б. Н. Жемочкина - в [4, 5], методом Ритца - в [6]. Особое значение имеют работы по исследованию поведения контактных напряжений в угловых точках [7, 8]. Однако методы конечных разностей, Б. Н. Жемочкина и степенных рядов не выделяют особенность в контактных напряжениях у краев плиты. Впервые представление для симметричной части решения Буссинеска получил В. И. Сеймов [9] и использовал это разложение для исследования симметричных колебаний прямоугольного штампа с учетом инерционных свойств полупространства.
Разложение решения Буссинеска в ряд
по полиномам Чебышева
Известно, что плоская деформация является частным случаем пространственной задачи, поэтому решение Фламана для упругой полуплоскости можно получить интегрированием решения Буссинеска для упругого полупространства. Также доказано, что формула перемещений границы упругой полуплоскости от действия сосредоточенной силы (решение Фламана) допускает билинейное разложение [8]
ад о
1п|*ч|=-1п2-х^адш, №1. (1)
m=1
Поэтому естественно предположить, что выражение для определения вертикальных перемещений поверхности упругого полупрост-
Представим [9, 10]
_1_
V(x -))2 + а2(у-п)2
ранства от действия сосредоточенной силы (решение Буссинеска) также допускает двойное билинейное представление в форме
1
д/(х-|)2 + а2(у-п)2
ад ад
= Ц сщп(а) ад тт(|) ад ад,
т=0 п=0
|х|< 1; |у,п|< 1; 0<а< 1. Коэффициенты разложения из (2):
Тт(Х)Тт ®Тп 0)Ш
(2)
1111
Cm. (а) = Pm,n ШН -1 -1 -1 -1 V (-
X -))2 + а2(у-п)2 dxd) dydп
(3)
Р0,0 = _4; Рт,0 =Ро,п = "44; Рт,п = "б К л л
Справедливость представления (2) можно доказать из условия симметричности ядра Буссинеска. Действительно, два функциональных ряда равны, если равны попарно одноименные члены этих рядов:
1
X -))2 +а2( y-п)2
о ад
= ЕЕЕЕс'пккп(а) Tm(X) Tn(У) Ti()) тк(п);
ад ад ад ад
m=0 n= 0 i=0 к=0
Vo-X)2 +а2(п-У)2
ад ад
= ЕЕЕЕСш,п(а) Tm()) Тп(п) Ti(X) Тк(У).
ад ад ад ад
m=0 п= 0 i=0 к=0
Это приводит к равенству, которое выполняется при условии т = У и п = к:
Тт(X) Ш Тп(у)Тк(п) = Тт(|) Тп(п)Тк(у).
ад __ад ад
:{ J0pj(x-))2 +а2(y-п)2) dP = X Jj(PX)Jj(P)) E Jt(аРy)Jj(аРп)
j=-
(4)
■2E (-1)k E J2k+j (PX J J (P)) E Лк+; (аPУ)J¡ (аРп).
к=1
Подставим (4) в (3) и выполним интегрирование с учетом формул [10] Наука
итехника. Т. 19, № 3 (2020)
1
í Jv^XtTjXdx- 2 J_+.( y ) J_.í 2)• (5)
0 VI-7 "2 _2=(2J _.(2
Получим
V(x-)2 + «2(y-n)
«j í
2 0
I^ (¡j (p ]] JL („J2) JL (4 ^¿И,',
* ¿ j+ (| j J j. (2 ) jj+= (|) ^ (2 j ] J+~ (4) J+~ КJ j+n (4J J~ («§,
(6) dp.
В (6) из интеграла (5) следует, что j и m, i и n являются одновременно четными либо нечетными. Рассмотрим сумму
I чНМ"!) J?(«f) J?(«f)- (7)
Выполним замены [10, 11]
Л i+ní«f) J, i-nía¿l = -2(-1)i-n+/_f2cos(21 + i)0 Jn(«fcose) d0x
k+— ( 2 J k+— ( 2 J % 0 (8)
x Ji+n(«f) Ji-n(«fИ í cosnфJ(«pcoS9)
Найдем сумму ряда (7) при условии, что i и n являются одновременно четными. Последовательно находим:
ад ад
£ (-1)cos(2k + 2i)0J2i(«fcos9) = cos2k0^ (-1)'cos2i0J2i(«f cos9) =
= 008216
J0 («poos6) + 2] (-1)'oos2i6 J2i («| оо8ф)
i-1
л/2
- oos2k6cos(«| oos6оо8ф); (9)
г л
1 oos2nфcos(«|oos6oosф) dф- —J2n(«Ioos6).
02
В (9) использованы разложение и сумма ряда [10], свойство ортогональности тригонометрических функций:
ад
cos(«|cos6 cosф) - J0 («| oos6) + 2] J2k («p oos6) oos2kф;
k-1
] (-1)k cos k« J2k (z) - -2cos(zoos« J + 1 Jc(z).
к-0 2 ( 2) 2
Таким образом:
] Jk+i+n («I) Jk+i-n («I J J+ n («I J J-n («| j -^2(-1)k-/j/20os2k6 J2n2 («I cos6) d6. (10) Последний интеграл берется подстановкой oos6 = x с использованием (8) [11]:
г\ л/2 1 rp / \ л/2
-(-1)k-n í cos2k6 Jn2(«poos6) d6- í T2k(X) í J2n(«pxcos/) dtdx-
л 0 W1 - X2 0
226 ^И Наука
226 итехника. Т. 19, № 3 (2020)
1
+1/2)
" 22k+1 k!(k-n)!(k + n)!
(-1) Г(д +1/2) 22 "+1 n !(n - k)!(k + n)!
2 F3(k +1/2,k +1/2; 2k +1,1 + k- n,1 + k + n;-a2ß2), k> n; 2 F3(n +1/2, n +1/2; 2k +1,1 + n - k ,1 + k + n;-a2ß2),k < n.
(11)
Если в (7) 1 и п являются одновременно нечетными, то, повторяя подобную последовательность действий, получим:
I Л+;+л+1 |а|) ]ш_п (a|) J¡+n+1 (a|) = ^H)k-n | cos2k9 J^ap cos0) dd. (12)
Теперь необходимо выполнить интегрирование по Р в (6) при учете представлений (11) в (10) и (12). Заметим, что первый двойной ряд в (4) суммируется (10) при k = 0. Чтобы получить универсальную формулу при интегрировании по Р в (11) и (12), обозначим r = min(k, m); s = max(k, m); t = min(k,n); u = max(k,n). Тогда искомый интеграл (3) выразится через G-функцию Мейера [10]
n/2
ßm,nJa2n _33( ,, 1/2-n 1/2-n 1/2-m-n 1/2-n 1/2-n 1/2 + m-n|
nf I 2
Cm.n (a) = ~Гi — G6,6
a
-n -n
-2n -n
-n
i 'NT / 1\k+r+t „ 2u 3,3 (-1) a G6,6
k=1
a
1/2- u 1/2-u 1/2-5-u 1/2 + k + m-5-u 1/2 + |k-m|-5 1/2 + s-¡
0
-u -u
-k - n
-I k - n
-2u
Решение контактной задачи для прямоугольной пластинки
Рассмотрим прямоугольную пластинку размерами 2ах2Ь на упругом полупространстве под действием внешней нагрузки. Интегральное уравнение для определения контактных напряжений между пластинкой и полупространством имеет вид
тельно перейдя к безразмерным координатам и приняв a = b/a. В результате получим:
ад ад
II8 m,nCm,n (a) Bm,n Tm (x) Tn W =
m=0 n=0
nE
XX AjjTj(x) T}(y), (15)
а b
íí
-a-b
nE
V( x -£)2 + (y -n)2 1
w(x, y), (13)
где Е, V - упругие постоянные полупространства; р(^, п) - неизвестный закон распределения контактных напряжений; ш(х, у) - перемещение пластинки.
Принимаем:
р& п) =, Л
(1 -V2) ^
— 2 —2
2 — —
80,0 = — ; 8т,0 = 80,т = 8 т,п =
Приравнивая в (15) коэффициенты при одинаковых произведениях полиномов Чебышева, получаем зависимости:
(1 -V2) nb
- Я1 '="k=0
ix™ ¡a i ^ i
T u
(14)
4,1 =
m=0 n=0
w( x, y) = EEAm,„Tm l-i T„ iyi,
где Am n, By k - неопределенные коэффици-
E
(1 - V2) nb C
2E
(1 -v2) nb
2 E
(1- -v2) nb
C0,0 (a
0,0 yy-f -M],0>
енты.
4E
C1,0(a) 3,0;
Cm,n (a) Bm,n.
(16)
Подставим (14) в (13) и выполним интегрирование с учетом представления (2), предвари-
Наука
итехника. Т. 19, № 3 (2020)
С другой стороны, из уравнений равновесия всей пластинки следует:
Я --А- ■ В - . В -
(17)
2 / ' 0,1 2 21 ' "^,0 2 / 2 л2 аЬ л2 а2Ь л2 аЬ2
где Я, Мх, Му - равнодействующая внешней нагрузки и моменты равнодействующей относительно осей координат.
Из (16) и (17) можно получить явные выражения для линейного и угловых перемещений прямоугольного штампа на упругом полупространстве:
*(1 "V2)
л Еа
с0,0(а);
2МХ(1 "V2) С (
ф у-—^—с0,1(а);
Ф Х --
л ЕаЬ
2Му (1 "V2)
л ЕаЬ
(18)
С^(а).
В табл. 1 приведены величины перемещений прямоугольного штампа на упругом полупространстве по данным других авторов и предлагаемой методики.
Таблица 1
Ь а - — а Перемещение Еа Я(1 -V2) Угол поворота ЕаЬ М у (1 -V2)
По [1] По [7] По автору По [1] По автору
1,0 0,460 0,4265 0,438 0,570 0,520
0,5 0,318 - 0,314 0,644 0,611
0,2 0,181 - 0,181 0,695 0,729
Для пластинки конечной жесткости решение получим методом Ритца [12]. Энергия изгиба прямоугольной пластинки выразится через функцию ее перемещений (14) формулой
а Ь
а-Ь
и - 2 Л
- (1 -V)
ё2V ё2V ^ ёХ2 + ёу2
ё2 шёг V (
оХ2 ёу2
ё2 V Л
ёхёу
(19)
ёхёу,
где Б, V - цилиндрическая жесткость пластинки и коэффициент Пуассона материала пластинки.
Работа реактивных напряжений на перемещениях пластинки получится в таком виде:
1 а Ь
21 | Р(х, У) и(х, у) ёхёу-
-а-Ь
аЬ
2
4>,0 В>,0 +1 £((,; + 4 ,0 И,0 )"
¿-1
1 ГО
+ 7X 4,В,г
4 г-1
Работа внешней нагрузки
а Ь
П - -1 I 9(х, у) И<Х, у) ёхёу.
(20)
(21)
-а-Ь
Составим выражение для полной энергии изгибаемой пластинки на упругом основании и действующей на нее внешней нагрузки
п-и +Т + П.
(22)
Согласно методу Ритца, продифференцируем (22) по каждому из неизвестных коэффициентов Атп и полученные результаты приравняем нулю, предварительно подставив соотношение связи (16) между коэффициентами Атп и Втп. Получим систему линейных алгебраических уравнений относительно Атп, порядок которой определяется количеством членов ряда (14). Решение системы дает возможность определить перемещения пластинки и, следовательно, усилия и распределение контактных напряжений в ней (16).
Пример. Рассмотрим прямоугольную пластинку на упругом основании под действием сосредоточенной силы Я = 100 кН, приложенной в точке с координатами хр = а/2; ур = Ь/2; Б = 2000 кНм; V = 0,2; а = 2 м; Ь = 3 м; Е = 6670 кН/м2.
Задаемся И<^ у) - XX Аш,пТт I ~ I Тп I Ь I.
т-0 п-0 V а) V Ь)
Опуская промежуточные результаты, получим:
Д,0 -0,00276 м; Дд -0,00176 м; А),2 --0,00084 м;
Д,0 - 0,00144 м; А11 - 0,00138 м; А12 --0,00069 м;
4,0 --0,00041 м; А21 --0,00048 м; 4,2 -0,00012 м.
На рис. 1 показаны вертикальные перемещения поверхности пластинки от действия сосредоточенной силы.
Наука
итехника. Т. 19, № 3 (2020)
0
-0,002 -0,004 -2
2
Рис. 1. Вертикальные перемещения поверхности прямоугольной пластинки от действия сосредоточенной силы Fig. 1. Vertical displacements of rectangular plate surface due to action of concentrated force
ВЫВОДЫ
1. Матрица коэффициентов при неизвестных разрешающей системы уравнений, полученная при дифференцировании (22), является редко заполненной диагональной и может быть решена в общем виде для не слишком большого числа неизвестных. Это позволяет строить поверхности влияния вертикальных перемещений точек пластинки и, как следствие [13], находить перемещения пластинки от любой внешней нагрузки.
2. При расчете пластинки на иной модели упругого основания, отличной от полупространства, следует представить вертикальные перемещения границы упругого основания от действия сосредоточенной силы в виде решения Буссинеска и ряда по полиномам Чебышева [8]
к (x, s, y, n)= ■ 1 +
"IE
m=0 n= 0
V( x -s)2 +a2 (y -n)2 Gm,n (a) Tm (x) Tm (s) Tn (y) Tn (n)
и использовать вышеописанную процедуру для расчета прямоугольной пластинки на упругом полупространстве.
ЛИТЕРАТУРА
1. Горбунов-Посадов, М. И. Расчет конструкций на упругом основании / М. И. Горбунов-Посадов, Т. А. Мали-кова, В. И. Соломин. М.: Стройиздат, 1984. 679 с.
2. Соломин, В. И. Расчет прямоугольных плит на упругом полупространстве методом сеток / В. И. Соломин // Строительная механика и расчет сооружений. 1960. № 6. С. 12-17.
3. Алейников, С. М. Метод граничных элементов в контактных задачах для упругих пространственно неоднородных оснований / С. М. Алейников. М.: Изд-во АСВ, 2000. 754 с.
4. Жемочкин, Б. Н. Практические методы расчета фундаментных балок и плит на упругом основании / Б. Н. Же-мочкин, А. П. Синицын. М.: Стройздат, 1962. 262 с.
5. Босаков, С. В. Статические расчеты плит на упругом основании / С. В. Босаков. Минск: БНТУ, 2002. 128 с.
6. Босаков, С. В. Метод Ритца в контактных задачах теории упругости / С. В. Босаков. Брест, 2006. 108 с.
7. Бородачев, Н. М. О вдавливании штампа с плоским квадратным основанием в упругое полупространство / Н. М. Бородачев // Прикладная механика. 1999. Т. 35, № 10. C. 21-26.
8. Развитие теории контактных задач в СССР / под. ред. Л. А. Галина. М.: Наука, 1976. 493 с.
9. Сеймов, В. М. Динамические контактные задачи / В. М. Сеймов. Киев: Наук. думка, 1976. 283 с.
10. Градштейн, И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И. С. Градштейн, И. М. Рыжик. М.: Физматлит, 1963. 1097 с.
11. Прудников, А. П. Интегралы и ряды. Специальные функции / А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Ма-ричев. М.: Наука, 1983. 752 с.
12. Александров, А. В. Основы теории упругости и пластичности / А. В. Александров, В. Д. Потапов. М.: Высш. шк., 1990. 400 с.
13. Ржаницын, А. Р. Строительная механика / А. Р. Ржа-ницын. М.: Высш. шк., 1991. 439 с.
Поступила 18.11.2019 Подписана в печать 28.01.2020 Опубликована онлайн 29.05.2020
REFERENCES
1. Gorbunov-Posadov M. I., Malikova T. A., Solomin V. I. (1984) Calculation of Structures on an Elastic Foundation. Moscow, Stroyizdat Publ. 679 (in Russian).
2. Solomin V. I. (1960) Calculation of Rectangular Plates on Elastic Half-Space by Grid Method. Stroitel'naya Mekha-nika i Raschet Sooruzhenii = Structural Mechanics and Analysis of Constructions, (6), 12-17 (in Russian).
3. Aleinikov S. M. (2000) Boundary Element Method in Contact Problems forElastic Spatial-and-Nonhomogeneous Bases. Moscow, ASV Publ. 754 (in Russian).
4. Zhemochkin B. N., Sinitsyn A. P. (1962) Practical Methods of Calculation for Beams and Slabs on Elastic Foundation. Moscow, Stroyizdat Publ. 262 (in Russian).
5. Bosakov S. V. (2002) Static Calculations of Slabs on Elastic Foundation. Minsk, Belarusian National Technical University. 128 (in Russian).
6. Bosakov S. V. (2006) Riz's Method in the Contact Problems of the Theory of Elasticity. Brest, Brest State Technical University.108 (in Russian).
7. Borodachev N. M. (1999) Impression of a Punch with a Flat Square Base into an Elastic Half-Space. International Applied Mechanics, 35 (10), 989-994. https://doi.org/10.1007/bf0 2682309.
8. Galin L. A. (ed.) (1976) Developments of the Theory of Contact Problems in the USSR. Moscow, Nauka Publ. 493 (in Russian).
9. Seimov V. M. (1976) Dynamic Contact Tasks. Kiev, Nau-kova Dumka. 283 (in Russian).
10. Gradsteyn I. S., Ryzhik I. M. (1963) Table of Integrals, Series and Products. Moscow, Fizmatlit Publ. 1097 (in Russian).
11. Prudnikov A. P., Brychkov Yu. A., Marichev O. I. (1983) Integrals and Series. Special Functions. Moscow, Nauka Publ. 752 (in Russian).
12. Alexandrov A. V., Potapov V. D. (1990) The Fundamentals of the Theory of Elasticity and Plasticity. Moscow, Vysshaya Shkola Publ. 400 (in Russian).
13. Rzhanitsyn A. R. (1991) Structural Mechanics. Moscow, Vysshaya Shkola Publ. 439 (in Russian).
Received: 18.11.2019 Accepted: 28.01.2020 Published online: 29.05.2020
Наука
итехника. Т. 19, № 3 (2020)
