К теории уравнения класса Фукса четвертого порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

138 Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2007. №9/1(59).

УДК 517.946

К ТЕОРИИ УРАВНЕНИЯ КЛАССА ФУКСА ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА

© 2007 Х.А. Чиханов1

В статье рассматриваются некоторые свойства решений уравнения класса Фукса четвертого порядка.

В сущности основы теории уравнений класса Фукса давно известны [4]. Однако равитие аналитических методов вычислений с использованием ЭВМ позволяет получить практические результаты, которые ранее не проводились вручную из-за их трудоемкости. В данной статье продолжается исследование уравнений класса Фукса, предпринятое автором в работе [3].

Для уравнения 4-го порядка с аналитическими коэффициентами особая точка Хо называется правильной, если уравнение имеет вид

и (4) + -^Х1 ц°> + Р(Х), и>2> + Р3(Х)3 и'" + Р4(х)4 и = о, (1)

(х - Хо) (х - Хо)2 (х - Хо)3 (х - Хо)4

где Рк — аналитические функции в точке Хо. Уравнение Фукса 4-го порядка с 3-мя особыми точками о, 1, то имеет вид:

и(4) + Н1(х) и(3) + Н2(х) и (2) + Н3(х) и(1) + Н4(х) и = о (2)

х(х - 1) х2(х - 1)2 х3(х - 1)3 х4(х - 1)4 ’

где Нк(х) — многочлены соответствующих степеней, удовлетворяющие условию Фукса (см. формулу (6)). В целом многочлены Нк(х) содержат 15 параметров.

Предполагается, что уравнение имеет решения вида и(х) = (х-Хо)^(х) в окрестности особой точки Хо, где V(х) — аналитическая в точке Хо функция. Число X называется характеристическим показателем (ХП) решения в точке Хо. Подстановка и(х) в уравнение (2) дает для трех особых точек уравнения для ХП:

X4 - АкX3 + ВкX2 - СкX + Ек = о, к = о, 1,2. (3)

Значение к = 2 соответствует точке то. Коэффициенты этих уравнений связаны с дифференциальным уравнением (2), которое поэтому может быть переписано в

1 Чиханов Хамит Александрович, кафедра уравнений математической физики Самарского

государственного университета, 443011, Россия, г.Самара, ул.Акад. Павлова, 1.

виде:

и(4) +

6 - Ао 6 - А1 ----------+

и(3)-

х х - 1 7 - 3А0 + Во 3А1 - В1 - 7

+

х

1 - Ао + Во - Со

х - 1 1 - А1 + В1 - С1

- 25 + ЗА1 + 3Ао - В2

и(2)

х(х - 1)

х- 1

+ г0 +

7 - А1 - Ао + В2 + С2

и(1)

(4)

Ео

-----+ і

х х - 1

Е1 2

+ ,Ю + Л х + Е2 х

х2(х - 1)2

и

х3(х - 1)3

= о.

При этом остаются произвольными еще три параметра г0, ^0 и Л, а условие правильности особой точки х = то приводит к условию Фукса Ао + А1 + А2 = 6. Поэтому коэффициент А2 в уравнении отсутствует. В таком общем виде уравнение класса Фукса целесообразно рассматривать на бесконечнолистной римановой поверхности комплексного переменного х с тремя точками ветвления 0, 1, то. Пусть

К —

0 ао во 6о £о

1 а1 в1 61 е1

то а2 Р2 &2 £2

(5)

Первый столбец матрицы К — особые точки. Элементы матрицы К, начиная со второго столбца, — характеристические показатели особых точек (по переменной х). Условие Фукса здесь имеет вид:

ао + во + 6о + ео + а1 + в1 + 61 + £1 + а2 + в2 + 62 + £2 — 6.

(6)

Аналог схемы Римана Р(К, х, г0, ^0, Л) есть множество всех решений уравнения (4). Уравнение (4) так же, как и классическое уравнение Римана, обладает замечательной группой преобразований. Первая подгруппа связана с выделением мно-

жителя х

-X

ао во 6о £о го ао + X во + X 6о + X £о + X гго

р а1 в1 61 £1 ,Ю х — х 1 а1 в1 61 £1 ¿¿о х

, а2 в2 62 £2 s1 а2 - X в2 - X - 62 £2 - X

(7)

где

гго — 8Х3 + (ЗА1 + 6Ао - 3о)Х2 + (-2В1 + 12 + 2В2 + 2Во - 6Ао + 3А1)Х + го,

^о — 3Х4 + (-6 + 3Ао + А1)Х3 + (-В1 + 3А1 + 2Во - 7 + В2)Х2 +

+(В2 - 2В1 + 3А1 + Во + С1 - 2Ао + Со + го)Х + ¿о

^^1 — -3Х4 + (-2А1 + 12 - 3 * Ао)Х3 + (-2В2 - Во - 3А1 + В1 + 7)Х2 +

+(-В2 - го + В1 + С2 - Во - 1 - 2А1 + 2Ао)Х + Л.

(8)

Вторая подгруппа преобразований есть группа ангармонических преобразований аргумента: х, 1 - х, 1/х, 1/(1 - х), х/(х - 1), 1 - 1/х. Приведем два образующих

преобразования:

ао во 6о £о го а1 в1 61 £1 яо

р а1 в1 61 £1 ¿о х —р ао во 6о £о ¿о + Е2 + ¿1 1 - х

, а2 в2 62 £2 ¿1 , а2 в2 62 £2 -2Е2 - ¿1

+

+

х

х

+

Здесь Я0 = —С2 - 7 + Ао — г0 + А1 - В2. Повторное применение этого преобразования приводит к исходному уравнению (т.е. является биекцией).

а0 Р0 60 £0 г0 а2 в2 62 £2 а 1

р а1 Р1 61 £1 ¿0 х =р а1 в1 61 £1 Е1 — ¿1

, а2 в2 62 £2 ¿1 а0 в0 60 £0 Е1 — ¿0 х

(10)

Здесь а = —7А1 — 2В2 + ЗВ1 + 11 — С\ — г0 — 2Во- По аналогии с классическим гипергео-метрическим уравнением Гаусса целесообразно выделить уравнение, допускающее аналитическое решение в точке х = 0 и второе решение, аналитическое в точке х = 1. Это означает, что е0 = 0 и е1 = 0. Обозначим через и1 = Ф(К, х, г0, ¿0, Л) решение, аналитическое в точке х = 0, где К — матрица характеристических показателей. В ситуации общего положения оно единственно при условии ^(0) = 1 (при произвольных а0, Р0, 60 другие решения уравнения (4) имеют в точке х = 0 точку ветвления).

Существует 8 автоморфизмов этого решения (включая тождественное), образующих стационарную подгруппу точки х = 0:

' а0 р0 60 0 г0

и = Ф а1 Р1 61 0 ¿0 х

, а2 в2 62 £2 ¿1

а0 в О 60 0 Я10

(1 — х)—“2 Ф Р2 — а2 62 — а2 £2 — а2 0 ^ 10 Л 0 х—1

а1 + а2 Р1 + а2 61 + а2 а2 ^ 11

а0 в0 60 0 Я20

(1 — х)а1 Ф в — а1 61 — а1 —а1 0 5 20 х

в2 + а1 62 + а1 £2 + а1 а2 + а1 5 21

а0 в0 60 0 Ю0

(1 — х)—в2 Ф 62 — ^2 £2 — ^2 а2 — ^2 0 5 30 х£_ 0 х—1

в1 + ^2 61 + ^2 в2 а1 + в2 5 З1

а0 Р0 60 0 ^40

(1 — х)в1 Ф 61 — в —в1 а1 — в 0 5 40 х

62 + в £2 + ^1 а2 + ^1 в2 + в1 5 41

а0 в0 60 0 ^50

(1 — х)—62 Ф £2 — 62 а2 — 62 в2 — 62 0 5 50 0 х—1

61 + 62 62 а1 + 62 в + 62 5 51

а0 Р0 60 0 ^60

Ф )61 х) — —61 а1 — 61 в — 61 0 5 60 х

, £2 + 61 а2 + 61 Р2 + 61 62 + 61 5 61

а0 в 60 0 Я70

(1 — х)—£2 Ф а2 — £2 в2 — £2 62 — £2 0 570 х—Г

£2 а1 + £2 в1 + £2 61 + £2 5 71

Здесь

Я1о — -19 + 8Ао — 28 а2 — 3Во + B\ + В2 +

+Co — Ci — C2 + 3Аіа2 — 2Воа2 + 2В2а2—

—r0 + 3А1 а2 — 12а2 + 4а2 + 3А0а2 + 9А0а2,

S 1о :— а2 + 2Eo + E1 + £2 — Соа2 — С2а2 + В2а2 + Воа2 +

(12)

+Ai а — $0 + СХ2 — 6&2 — Ао^2 + Ао^2,

51i := —7^2 — £0 — 2£’i + E2 + $1 — Во а2 — C — 1а2 —

—Aia2 + Соа2 — С2а2 + В2а2 — 2Воа2 + Bi а2 +

+Aia2 — г0а2 + $0 + а^ — 7а2 — 6а2 + 2А0а2 + 4Аоа2 + Аоа2.

Рекомендуем для сравнения взглянуть на автоморфизмы классической гипергео-метрической функции Гаусса [1]. Мы не выписываем значения остальных дополнительных параметров ввиду их громоздкости. Пытливый читатель может их вычислить и попутно проверить другие формулы, используя, например, пакет MAPLE 10.

Кроме 7i, существуют еще 3 решения от аргумента х:

о о а — о 6 о — а о —ао о 2 3 r

Ü2 = Хао Ф а1 в1 61 о su2íi x

а2 + ао Р2 + ао &2 + ао Є2 + ао su21

ао — во о 6 О — в о —во ги3о

Ф 0 "ТЧ III ¿з а1 в1 61 о о 3 u x

о + а2 2е + в о о в + Ю о в + W su31

ао — 6о во — 6о о —6о ги4о

Ü4 = x6<) Ф а1 в1 61 о su4t) x

а2 + 6о в2 + 6о 62 + 6о £2 + 6о su41

(13)

Мы не выписываем значения вспомогательных параметров. Применяя к решениям Пь-П стационарную подгруппу точки х = 0, получим 32 решения. Выполняя аналогичные преобразования для точек х = 1 и х = то, получаем 96 решений. Разумеется, любые 4 решения линейно зависимы. Следовательно, существует С46 = 3321960 формул аналитического продолжения! Конечно, с точностью до стационарных подгрупп особых точек (меняющих только форму решения) мы имеем только 12 решений. Соответственно существует С^2 = 495 формул аналитического продолжения. Если же рассматривать переход от окрестности точки х = 0 до точки х = 1, например, то достаточно выписать 4 соотношения. Одно из них имеет вид

а1 в1 61 о яо

Ф ао во 6о о ^о + £2 + s1 1 — x

, а2 в2 62 Є2 —2E2 — s1

= hÜ1 + H2Ü2 + H3Ü3 + h4Ü4, (14)

где Нк — коэффициенты, подлежащие определению.

В заключение отметим, что дифференциальное уравнение для

4 F3

a1, a2, a3, a4 b1, b2, b3

Ю

k—о

(a1)k (a2)k (a3)k(a4)k (b1)k(b2)k (b3)k k!

является частным случаем ДУ (4). Матрица ХП для (15) имеет вид:

0 1 - Ь1 1 - Ь2 1 - Ь3 0

1 1 2 Ь1 + Ь2 + Ь3 — а1 — а2 — а3 — а4 0

то а1 а2 а3 а4

(15)

x

Таким образом, уравнение в этом частном случае допускает 3 линейно независимых решения, аналитических в точке х = 1.

Отметим также, что двойные гипергеометрические ряды связаны с дифференциальными системами класса Фукса [2].

Литература

[1] Бэйтмен, Г. Высшие трансцендентные функции. Т. 3. Эллиптические и авто-морфные функции. Функции Ламе и Матье / Г. Бэйтмен, А. Эрдейи. - М.: Наука, 1967. - 300 с.

[2] Голубева, В.А. Гипергеометрические функции двух переменных Аппеля и Капе де Ферье / В.А. Голубева // Сиб. мат. журн. - 1979. - Т. 20. - №5. -С. 997-1014.

[3] Чиханов, Х.А. Уравнение класса Фукса третьего порядка / Х.А. Чиханов // Вестник Самарского госуниверситета. Естественнонаучная серия. - 2002. -№4(26). - С. 31-38.

[4] Федорюк, М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений / М.В. Федорюк. - М.: Наука, 1983. - 352 с.

Поступила в редакцию 19/IX/2007; в окончательном варианте — 19/IX/2007.

THEORY OF THE FUX-CLASS EQUATION OF THE FOURTH ORDER

© 2007 Ch.A. Chikhanov2

In the paper characteristics of solution of the Fux-class equation of the fourth order are considered.

Paper received 19/IX/2007. Paper accepted 19/IX/2007.

2Chikhanov Chamit Alexandrovich, Dept. of Partial Differential Equations, Samara State University, Samara, 443011, Russia.