CC BY
20
40 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2013. №12(155). Вып. 31
MSC 58J10, 58J20, 47F05, 58J40
К ТЕОРИИ СПЕКТРА ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА С МЛАДШИМИ ЧЛЕНАМИ ПО ПЕРЕМЕННОЙ t
В.В. Корниенко, Д.В. Корниенко, О.В. Алексеева
Елецкий государственный университет им. И.А.Бунина, ул. Коммунаров, 28, Елец, 399770, Россия, e-mail: [email protected], [email protected]
Аннотация. Для замкнутых дифференциальных операторов L : Ht,x ^ Ht,x, порождаемых задачей Дирихле для эллиптических систем второго порядка, изучена структура их спектров. Доказано, что CaL = RaL = 0 и точечный спектр PaL располагается в левой полуплоскости (Re z ^ 0) комплексной плоскости C. В случае эллиптической системы без младших членов собственные вектор-функции оператора L образуют ортогональный базис. В случае эллиптической системы с младшими членами вектор-функции оператора L образуют базис Рисса, не являющимся ортогональным в гильбертовом пространстве Ht,x.
Ключевые слова: эллиптические системы, граничные задачи, замкнутые операторы, спектр, ортогональный базис, базис Рисса.
Работа посвящена сравнительному изучению и описанию свойств спектра дифференциальных операторов, порождённых задачей Дирихле для эллиптической системы (1) без «младших членов»
д2и1 д2и2
-A ul + f\
(1)
Хи2 + f2,
dt2 дх2
д2и2 д2и1
+
dt2 дх2
и для эллиптической системы (2) с «младшими членами», по переменной t
д2и2
д2и1 ди1
dt2 dt dx2
д2и2 ди2 д2и1
+ -— +
дР дt
дх2
= Xu1 + f1 = Хи2+ f2
(2)
рассматриваемых в замыкании Vt,x ограниченной области Qt,x странства Ry.
Присоединив к системам уравнений (1) и (2) условие Дирихле
(0; п)2 евклидова про-
и\
0
(3)
получим две граничные задачи: задачу (1), (3) и задачу (2), (3).
Для системы Коши-Римана и более общих, так называемых симметричных и несимметричных систем, имеется ряд глубоких результатов, относящихся к описанию правильных граничных условий [1].
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2013. №12(155). Вып. 31
41
Описанию регулярных граничных задач для более общих систем уравнений первого порядка по выделенной переменной t при числе переменных более двух посвящена работа [2]. Исследованию свойств задачи Дирихле для 2 х 2 — эллиптических систем посвящена работа [3]; сильно и усиленно эллиптические системы изучались в работах [4], [5] соответственно. Однако, спектральные свойства этих граничных задач и граничных задач иного типа при числе переменных больше двух почти не изучены. Элементы спектральной теории замкнутых операторов подробно изложены в книгах [6], [7]. Спектральные свойства задачи Дирихле для систем дифференциально-операторных уравнений изучались в работах [8], [9], [10], [11].
Также, как и в работах [9], [10], системы дифференциальных уравнений (2) и (3) для удобства будем называть эллиптическими системами первого типа. Эллиптической системой второго типа с младшими членами в данном случае будет система вида
д2п1 дп1 д2п2
dt2
д2и2
~W
+
dt
+
дп2
+ 1Й +
дх2 д2и1 дх2
Ап1 + f1, Au2 + f2.
(4)
Отметим, что система (4) равносильна системе (2) (для А = 0) в следующем смысле: после умножения первого уравнения системы (2) на (-1) и формальной замены (—f1) на f1 (в силу произвольности правой части), получаем систему (4). Эти рассуждения наводят на мысль о совпадении свойств разрешимости граничных задач для данных систем безотносительно к условиям, определяющим граничную задачу. Однако, исследования в случае эллиптических систем первого порядка показывают, что спектральные свойства рассматриваемых дифференциальных операторов различны; они в некотором смысле аналогичны тем отличиям, которые проявились при сопоставлении слабой иррегулярности сильной в работе [12], а также при изучении эллиптических систем в [8]. Обозначим символами вг = (ф1 ф2)т , i = 1, 2; ортонормированный базис евклидова пространства E вектор-столбцов, а через U|— унитарное пространство элементов и = tt1ei + и2е2; ик е С; к = 1,2; со скалярным произведением (u,v, 1Х|) = ulvl + u2v2. Пусть Hy = (Vt,x) - гильбертово пространство комплекснозначных вектор-функций
п : Vt,x ^ C2, норма в котором задаётся формулой
u; Ht,x
2 ||2
Jf||n(т, О; U2
Vt,x
2
dr d£.
Пусть также D - линейное многообразие гладких комплекснозначных вектор-фун-кттийи = u(t,x), принадлежащих классу С (Гфж) 01 С1-2) (^) и удовлетворяющих условиям (3). Опишем вначале спектральные свойства эллиптической системы первого типа без младших членов.
Эллиптическая система без младших членов. Обозначая символом L оператор, областью определения которого является D, а множество значений определяется правой частью (1), получаем эллиптический дифференциальный оператор. Этот оператор не замкнут. Применяя в Их стандартную процедуру замыкания, получаем замкнутое расширение L оператора L. В этом случае говорят, что замкнутый оператор
42 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2013. №12(155). Вып. 31
L : H,2, ^ H,2, порождён задачей (1), (3). Изучим его спектр и спектральные свойства его собственных вектор-функций. Говоря о спектре замкнутого оператора, мы следуем терминологии, принятой в монографиях [6, с. 25], [13, с. 620]. Резольвентное множество, спектр, точечный спектр, непрерывный спектр и остаточный спектр оператора L обозначим символами pL, aL, PaL, CaL и RaL, соответственно. Имеет место [11] следующая теорема.
Теорема 1. Спектр aL оператора L, порождённого задачей (1), (3), состоит из замыкания PaL на комплексной плоскости его точечного спектра PaL. Множество CaL = aL \ PaL образует непрерывный спектр оператора L. Точечный спектр оператора L даётся формулой
Xm,k, s = -k2 + i(-1)ms2; m = 1, 2; k £ N; s £ N. (5)
Собственная вектор-функция оператора L, принадлежащая его собственному значению (5), представима в виде
Um,k, s(t,x) = (iei + (-1)m+1e^ sin(kt) sin(sx).
Последовательность {um,k,s(t,x) : m =1, 2; k £ N; s £ N} собственных вектор-функции оператора L образует ортогональный базис в пространстве %tx.
Эллиптическая система с младшими членами. Также, как и в случае эллиптической системы без младших членов обозначим символом L оператор, областью определения которого является D, а множество значений определяется правой частью (2), получаем эллиптический дифференциальный оператор; этот оператор не замкнут. Применяя в x стандартную процедуру замыкания, получаем замкнутое расширение L оператора L. В этом случае говорят, что замкнутый оператор L : x ^ x порождён
задачей (2), (3). Изучим его спектр и спектральные свойства его собственных векторфункций.
Теорема 2. Спектр aL оператора L, порождённого задачей (2), (3) состоит из замыкания PaL на комплексной плоскости его точечного спектра PaL. Множество CaL = aL \ PaL образует непрерывный спектр оператора L. Точечный спектр оператора L даётся формулой
XmAs = -k2 + t(-l)ms2-^. (6)
Собственная вектор-функция оператора L, принадлежащая его собственному значению (6), представима в виде
um , k , s
(t,x) = (ei - i(-1)me2
t_
e-2 sin (kt) sin (sx) .
Последовательность {um,k,s(t,x) : m =1, 2; k £ N; s £ N} собственных вектор-функции оператора L образует базис Рисса в пространстве x.
□ Достаточно заметить, что последовательность {um,k , s(t) : m =1, 2; k £ N} векторфункций
Um,k,s(t) = (ei - i(-1)me2 ) sin (kt)
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2013. №12(155). Вып. 31
43
является полной и ортогональной в гильбертовом пространстве Hf = Ht ф Ht, Ht = L2[0,n], и воспользоваться, доказанным в [9], представлением Hf x в виде тензорного произведения гильбертовых пространств Hf и Hx, то есть формулой Hf x = Hf ®
Hx, где Hx = L2[0,n]. ■
Литература
1. Дезин А.А. Теоремы существования и единственности решений граничных задач для уравнений с частными производными в функциональных пространствах // Успехи мат. наук. - 1959. - XIV, вып.3 (87). - С.21-73.
2. Романко В.К. Смешанные краевые задачи для одной системы уравнений // Доклады АН СССР. - 1986. - 286, №1. - С.47-50.
3. Бицадзе А.В. О единственности решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений с частными производными // Успехи матем. наук. - 1948. - 3, № 6. - С.211-212.
4. Вишик М.И. О сильно эллиптических системах дифференциальных уравнений // Матем. сборник. - 1951. - 29, (71), вып. 4. - С.615-676.
5. Солдатов А.П. О первой и второй краевых задачах для эллиптических систем на плоскости // Дифференц. уравнения. - 2003. - 39, №5. - С.674-686.
6. Дезин А.А. Общие вопросы теории граничных задач / М.: Наука, 1980. - 207 с.
7. Качмаж С. Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов / М.: Гос.из-во физ.-мат. литературы, 1958. - 508 с.
8. Корниенко Д.В. О спектральных задачах для линейных систем дифференциально-операторных уравнений // Вестник Елецкого госуниверситета им. И.А. Бунина. Серия «Математика, физика» / Елец: ЕГУ им. И.А.Бунина. - 2004. - Вып.5. - С.71-78.
9. Корниенко Д.В. Об одной спектральной задаче для двух гиперболических систем уравнений // Дифференц. уравнения. - 2006. - 42, №1. - C.91-100.
10. Корниенко Д.В. О спектре задачи Дирихле для систем дифференциально-операторных уравнений // Дифференц. уравнения. - 2006. - 42, №8. - С.1063-1071.
11. Алексеева О.В О спектре задачи Дирихле для двух эллиптических систем // Научные ведомости БелГУ. Математика Физика. - 2010. - №17(88). - Вып.20. - С.5-9.
12. Дезин А.А. О слабой и сильной иррегулярности // Дифференц. уравнения. - 1981. -17, №10. - C.1851-1858.
13. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы, Т.1. Общая теория / М.: И.Л. - 1962. -896 с.
SPECTRUM THEORY OF DIRICHLET’s PROBLEM FOR ELLIPTIC SYSTEMS OF SECOND ORDER WITH JUNIOR TERMS OF VARIABLE t
V.V. Kornienko, D.V. Kornienko, O.V. Alexeeva Eletz State University I.A. Bunin,
Kommunarov St., 28, Eletz, 399770, Russia, e-mail: [email protected], [email protected]
Abstract. For closed differential operators L : Ht , x Ht , x, generated by Dirichlet’s problem of
second order elliptic systems, the spectrum structure is studied. It is proved that CaL = RaL = 0 and the point spectrum PaL is lied in left-side (Re z V 0) of complex plane C. In the case of elliptic system without junior terms, eigen-vector-functions of the operator L form the orthogonal basis. In the case of elliptic system with junior terms eigen-vector-functions of the operator L form the Riss basis being not orthogonal in the Hilbert space Ht , x.
Key words: elliptic systems, boundary problems, closed operators, spectrum, orthogonal basis, Riesz’ basis.
