CC BY
36
MS С 35L55
К ТЕОРИИ СПЕКТРА 2x2- ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ
В.В. Корниенко, Д.В. Корниенко
Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина, ул. Коммунаров, 28, Елец, 399770, Россия, e-mail: [email protected], [email protected]
Аннотация. Для замкнутых дифференциальных операторов L : ^ порож-
денных задачей Дирихле для гиперболических систем второго порядка изучены спектры: CaL = RaL - пустое множество; точечный спектр PaL располагается на вещественной прямой комплексной плоскости C. В случае гиперболической системы без младших членов собствен-
L
L
щимся ортогональным в гильбертовом пространстве
Ключевые слова: гиперболические системы, граничные задачи, замкнутые операторы, спектр, базис, ортогональный базис, базис Рисса.
Работа авторов посвящена сравнительному изучению и описанию спектральных свойств дифференциальных операторов, порождённых задачей Дирихле для гиперболической системы (1) без «младших членов» вида
д2и1 д2и2 , н
д2п2 д2и1 л 2 „2 ^ + ^ = Ли +/'
и для гиперболической системы (2) с «младшими членами», но независимым переменным ¿их
д2и1 ^ д2 и2 ^ ди2 ^ ди1 ^ 1 + Г1
д12 дх2 дх дЬ ' ^
д2и2 ^ д2и1 ^ ди1 ^ ди1 ^ 2 ^ 2 012 дх2 дх ')1 рассматриваемых в замыкании Уг,х ограниченной области Qt,x = (0; п)2 евклидова пространства К2х- Присоединив к системам уравнений (1) и (2) условие Дирихле
и I =0 (3)
1дП
t,x
получим две граничные задачи: задачу (1), (3) и задачу (2), (3).
Дня гиперболических систем |1| и более общих, так называемых симметричных |2| и несимметричных систем, имеется ряд глубоких результатов, относящихся к описанию правильных граничных условий |3|.
Описанию регулярных граничных задач дня более общих систем уравнений первого порядка по выделенной переменной £ при числе переменных более двух посвящена работа |4|,
Исследованию свойств разрешимости задачи Коши дня простейшей гиперболической системы первого порядка в «линзообразной области», посвящена работа |3|. Однако, спектральные свойства этих граничных задач и граничных задач иного тина при число церемонных больше двух почти не изучены. Элементы спектральной теории замкнутых операторов подробно изложены в книгах |5|, |6| |7|, Снектральпые свойства задачи Дирихле дня гиперболических систем первого порядка и систем дифферепциалыю-онераторпых уравнений изучались в работах |8|, |9|, |10|. Также, как и в работах |9|, |10| системы дифференциальных уравнений (2) и (3) для удобства будем называть гиперболическими системами первого тина с младшими членами. Гиперболической системой второго тина с младшими членами в данном случае будет система вида
д2и1 д2 и2 ди2 А 4 + Г1
(к2 дх2 дх ' (4)
д2и2 д2и1 ди1 . 2 К J
д£2 дх2 дх
Отметим, что система (4) равносильна системе (2) (для А = 0) в следующем смысле: после умножения первого уравнения системы (2) на — 1 и формальной за мены — f1 на f1 (в силу произвольности правой части), получаем систему (4). Эти рассуждения наводят па мысль о совпадении свойств разрешимости граничных задач дня данных систем безотносительно к условиям, определяющим граничную задачу. Однако, исследования в случае гиперболических систем первого порядка показывают, что спектральные свойства рассматриваемых дифференциальных операторов различны; они в некотором смысле аналогичны тем отличиям, которые проявились при сопоставлении слабой иррегулярности сильной в работе |12|, а также при изучении гиперболических систем в |8|,
Обозначим символами вг = (51 ¿2)т, г = 1, 2; ортонормированный базис евклидова пространства вектор-столбцов, а через II2— унитарное пространство элементов и = и1е\ + г/2е2; ик € С; к = 1, 2; со скалярным произведением (и, г>; 11|) = г/.Ч'1 + и2ь2.
Пусть Н2Х = ¿2 (У^х) ~ гильбертово пространство комплекснозначных вектор-функций и : Уг,х ^ С2, норма в котором задаётся формулой
1и;х|2 = JJ \и(т> С); и2|2 ¿т^.
Пусть также Ф - линейное много образа гладких комплекснозначных вектор-функций и = и(Ь,х), принадлежащих классу С (П^) П С'2' (П^) и удовлетворяющих условиям (3).
Опишем вначале спектральные свойства гиперболической системы первого тина без младших членов.
Гиперболическая система без младших членов. Обозначая символом L оператор, областью определения которого является D, а множество значений определяется правой частью (1), получаем гиперболический дифференциальный оператор; этот оператор не замкнут. Применяя в Hf x стандартную процедуру замыкания, получаем замкнутое расширение L оператора L. В этом случае говорят, что замкнутый оператор L : x ^ x порождён задачей (1), (3). Изучим его спектр и спектральные свойства его собственных вектор-функций. Говоря о спектре замкнутого оператора, мы следуем терминологии, принятой в монографиях |5, с. 25|, |7, с. 620|. Резольвентное множе-
L
обозначим символами pL, aL, PaL, CaL и RaL соответственно. Точно также, как и в работе |11| доказывается следующая теорема:
Теорема 1. Спектр аЬ оператора L. порождённого задачей (1), (3), состоит из замыкания PaL на комплексной плоскости его точечного спектра PaL. Множество CaL = aL \ PaL образует непрерывный спектр оператора L. Точечный спектр опера-L
Vk,s = -k2 + (-1)ms2; m =1, 2; k G N; s G N. (5)
L,
пню (5), представима в виде
V2
Um,k,s(t,z) = — (ei + (—l)m+1e2) sin(fct) sin(sx).
Последовательность {um,k , s(t,x) : m = 1, 2; k G N; s G N} собственных вектор-функции оператора L образует ортогональный базис в пространстве H2 x.
□ Достаточно заметить, что последовательность
»,„./,.,•:/) = -4= sin(fci)(ei + (—l)me2) \/п
является полной и ортонормированной в Н = Н ф Н = £2[0, п] и воспользоваться доказанном в [9] представлением Н4>х в виде тензорного произведения произведения пространств гильбертовых пространств и Нх, то есть формулой Н, х = Н2 ® Нх, где
Нх = ^2[0,п]. ■
Гиперболическая система с младшими членами. Также, как и в случае гиперболической системы без младших членов обозначим символом L оператор, областью определения которого является ф, а множество значений определяется правой частью (2), получаем гиперболический дифференциальный оператор; этот оператор не замкнут. Применяя в Н2 х стандартную процедуру замыкания, получаем замкнутое расширение ^ ^^^^тора L. В этом случае говорят, что замкнутый оператор L : Нх ^ Нх порождён задачей (2), (3). Изучим его спектр и спектральные свойства его собственных вектор-функций.
Теорема 2. Сисктр aL оператора L, порождённого задачей (2), (3) состоит из замыкания PaL на комплексной плоскости его точечного спектра PaL. Множество CaL = aL \ PaL образует непрерывный спектр оператора L. Точечный спектр опера-L
1 1 s2
=--+ (-1ГЛ, - 4А:2; As = ----; m= 1,2; k G Z; sGZ. (6)
Собственная вектор-функция оператора L, принадлежащая его собственному значению (6), представима в виде:
«„,/,,(/■■<■: = ef sin х(ег - (-l)me2)e~2eí2fcí. (7)
Последовательность {um>k,s(t,x) : m = 1,2; k G N; s G N} собственных вектор-функции оператора L образует базис Рисса в прострапстве H^>x.
□ Достаточно заметить, что последовательность {um,k,s(t) : m =1, 2; k G N} вектор-функций
um,k(t) = e^ei2kt(ei + (—l)me2) (8)
является базисом Рисса в гильбертовом пространстве
H2 = Ht ф Ht,
Ht = L2[0, п], и воспользоваться, доказанным в [9], представлением гильбертова пространства H2 x в виде тензорного произведения гильбертовых пространств H и Hx, то есть формулой H2x = Hf ® Hx, оде Hx = L2[0, п], ■
Литература
1. Дозин А. А. Смешанные задачи для некоторых симметрических гиперболических систем /, ДАН СССР. 1956. 107, №1. С.13-16.
2. ДезххнА.А. Граничные задачи для некоторых симметричных .линейных систем ххервохх) порядка /7 Матем. сборник. 1959. 49(91), №4. С.459-484.
3. Дозин А. А. Теоремы существования и единственности решений храни чных задач для уравнений с частными производными в функциональных пространствах /7 Успехи матем. наук. 1959. XIV, вып. 3(87). С.21-73.
4. РоманкоВ.К. Смешанные краевые задачи для одной системы уравнений /7 Докл. АН СССР. 1986. 286, №1. С.47-50.
5. Дозин А. А. Общие вопросы теории храни чных задач /- М.: Наука, 1980. 207 с.
6. КачмажС., Штейш'аузР Теория ортоххжальных рядов / М.: Гос.ххз-во фххз.-мат. литературы, 1958. 508 с.
7. ДанфордН., ШварцДж.Т. Линейные операторы, Т.1. Общая теория / М.: ИЛ, 1962. 895 с.
8. Корниенко Д.В. О спектральных задачах для линейных систем дххфференцххально-оххе-раторных уравнений /7 Вестник Елсцкох'о х'осушхвереитета им. И. А. Бунина. Вып. 5: Серия «Математика, физика». Елец: ЕГУ им. И.А.Бушхна, 2004. С.71-78.
9. Корниенко Д.В. Об одной спектральной задаче для двух гиисрболичсских систем уравнений /7 Диффсрснц. уравнения. 2006. 42, №1. С.91-100.
10. Корниенко Д.В. О спектре задачи Дирихле для систем дифференциально-операторных уравнений /7 Дифференц. уравнения. 2006. 42, №8. С.1063-1071.
11. Алексеева О.В. О спектре задачи Дирихле для двух эллиптических систем /7 Научные ведомости Белгородского государственного университета. Математика Физика. 2010. №17(88). Вып.20. С.5-9.
12. ДезннА.А. О слабой и сильной иррегулярности // Дифференц. уравнения. 1981. 17,№10. С.1851-1858.
ТО THEORY OF 2x2-HYPERBOLIC SYSTEM SPECTRUM V.V. Kornienko, D.V. Kornienko
Eletz State University I.A. Bunin, Kommuriarov St., 28, Eletz, 399770, Russia, e-mail: [email protected], [email protected]
Abstract. For closed differential operators L : Ht, x — , x, generated bv the Dirichlet problem connected with hyperbolic systems of second-order, following spectra are studied: CaL = RaL is empty set; point spectrum of PaL is located on the real line in the complex plane C. In the case
L
orthogonal basis. In the case of a hyperbolic system with minor terms of the vector-valued function of the operator L form the Riesz basis, being non-orthogonal in the Hilbert space , x.
Key words: hyperbolic systems, boundary-value problems, closed operators, spectrum, basis, orthogonal basis, basis Riesz.
