CC BY
20УДК 522.54:532.135
К теории нестационарных течений вязкопластических сред
© В.И. Вишняков, Л. Д. Покровский МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия
В рамках реологической модели Шведова - Бингама получено точное решение модельной задачи о движении квазитвердого ядра неньютоновской жидкости в бесконечном плоском канале при скачкообразном изменении градиента давления. Проведено сравнение числовой оценки с аналогичными результатами, полученными ранее другими авторами приближенными методами.
Ключевые слова: реология, вязкопластическая среда, плоский канал.
Реологическая модель Шведова - Бингама успешно применяется при описании разнообразных течений большого числа реальных вязкопластических сред [1]. Например, в процессе заполнения каналов в технологии формирования пластических масс необходимо учитывать особенности течения жидкости, связанные с ее неньютоновостью.
В одномерном случае реологическое уравнение вязкопластиче-ской среды Шведова - Бингама имеет вид [2 ]
ёи ёи ...
т = т081§пт~, (1)
ёу ёу
где т - касательное напряжение сдвига; т0 - его предельное значение, при котором начинается движение вязкопластической среды;
аи
^ - коэффициент динамической вязкости;--проекция градиента
ау
скорости на направление, перпендикулярное направлению движения среды. При т>т0 вязкопластическая среда ведет себя как
обыкновенная вязкая ньютоновская жидкость, при т <т - как квазитвердое тело [3]. Поэтому для структуры течений этих сред характерно наличие зон (областей) вязкого течения и квазитвердых одновременно, хотя в исключительных случаях квазитвердые зоны могут отсутствовать [4]. Таким образом, решение задач о произвольных течениях вязкопластической среды в любом канале, как правило, связано с совместным описанием движений в вязких и квазитвердых зонах, на границах между которыми должны выполняться определенные условия.
Постановка задачи. В общем случае не удается получить точное аналитическое решение полной нестационарной задачи. В этой связи
разработаны приближенные и численные методы, в том числе основанные на модификации уравнения Шведова - Бингама (см., например, работу [5]). Причем уравнения, описывающие движения среды в вязких и квазитвердых зонах, оказываются частично расщепленными. Это позволяет, оставаясь в рамках классической бингамовской реологической модели, при некоторых естественных дополнительных условиях рассмотреть отдельно движение квазитвердой зоны, найти точное решение задачи и установить его единственность. Такие решения представляют определенный интерес, например, в случае, если квазитвердая зона занимает (по ширине) большую часть канала.
Цель данной работы - получить решение задачи об одномерном течении бингамовской среды с реологическим законом (1) в бесконечном плоском канале под действием скачкообразно изменяющегося градиента давления.
Решение задачи. Схема течения приведена на рис. 1, где направление течения совпадает с осью 2, координата у отсчитывается от середины канала, у (7) определяет положение границы квазитвердой зоны, с1 - полуширина канала (вследствие симметрии рассматривается только верхняя половина канала).
Рис. 1. Схема течения
Уравнение движения, записанное для элемента квазитвердого ядра длиной Дг, имеет вид
Ат ( ) = ~ДрУ ( ^ " т° Дг,
где Ат (7) = ру (V)Дг, р- плотность среды; и (7)- скорость движения квазитвердого ядра в момент времени V.
Обозначим через р = -— градиент давления и запишем это
dz
уравнение в виде
du тп
v-i-^W)- (2)
В состоянии стационарного движения р = р. = const, отсюда по-
т0
лучим значение координаты границы раздела y = ys = const,
р.s
а скорость движения квазитвердого ядра, в свою очередь, можно определить из решения стационарной задачи в вязкой зоне [5]:
us
= 2-р. (- - y. )2. (3)
2-
Рассмотрим нестационарное движение под действием мгновенного повышения градиента давления от р0 =— до Рз > р0. Уравне-
ё
ние движения квазитвердого ядра при I > 0 следует из уравнения (2) при Р = Рз:
ёи т0
р = Рз - -0л ■ (4)
а у ()
Уравнение (4) содержит две неизвестные функции и (I) и у (), однако они не являются независимыми.
Дополним постановку задачи естественным условием и = Г (у) и
заменим производную и'( I) на у'(I) из соотношения и' () = = Г '(у)у '() . Вид функции Г определим из выражения (3), связывающего положение границы и скорость движения квазитвердого ядра в стационарном состоянии:
и = :г Рз (а - у )2. (5)
В результате получим уравнение
у' = . Л( Р^у -т0 )
PP. (d -У)y'
решение которого, удовлетворяющее начальному условию у (0 ) = 0, имеет вид
^ X = (у - а )(у - а + 2у,)+у, (у, - а )1и . (6)
Отметим, что у (X) ^ у, при X ^го, т. е. переход из одного стационарного состояния в другое происходит за бесконечное время. Решение поставленной задачи определяется выражениями (5) и (6). Отметим также, что оно единственное вследствие теоремы существования и единственного решения задачи Коши.
Для числовой оценки решения уравнение (6) удобно записать в безразмерном виде, вводя такие же, как в работе [5], переменные:
7 = у, П=А 1 = 4, X* =ра-, П, = ^ > 1, 7, < 1. Уравне-а Ро X 2Л Ро П,
ние (6) в безразмерном виде:
1 = (7-1)(7 -1 + 27,) + 7, (7, - 1)1п7-7.
На рис. 2 приведена зависимость у (X) при значениях 7, = 1/4, 7 (0 ) = 1. Она незначительно отличается от аналогичной кривой из работы [5], отмеченной на рис. 2 пунктирной линией.
У
1,0.
3,5- п \\ \\ \\
},25
0 0,5 1 1,0
Рис. 2. Зависимость у (X)
Предложенный подход позволяет также определить параметры движения квазитвердой зоны в случае мгновенного сброса градиента давления.
Авторы признательны д-ру физ.-мат. наук Павлову К.Б. за результативное обсуждение работы.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Рейнер М. Реология. Москва, Наука,1965, 223 с.
[2] Фронштетер Г.Б., Данилевич С.Ю., Родионова Н.В. Течение и теплообмен неньютоновских жидкостей в трубах. Киев, Наукова думка, 1990, 215 с.
[3] Уилкинсон У.Л. Неньютоновские жидкости, Москва, Мир, 1964, 216 с.
[4] Вишняков В.И., Павлов К.Б., Романов А.С. Перистальтическое течение неньютоновской вязкопластической жидкости в щелевом канале. Инженерно-физический журнал, 1976, т. ХХХ1, № 3, с. 499-505.
[5] Гноевой А.В., Климов Д.М., Чесноков В.М. Основы теории течений бин-гамовских сред. Москва, Физматлит, 2004, 272 с.
Статья поступила в редакцию 05.06.2013
Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом: Вишняков В.И., Покровский Л.Д. К теории нестационарных течений вязкопластических сред. Инженерный журнал: наука и инновации, 2013, вып. 8. URL: http://engjournal.ru/catalog/fundamentals/physics/876.html
Вишняков Виктор Ильич — доцент кафедры «Физика» МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор более 15 работ в области гидродинамики неньютоновских жидкостей. e-mail: sofvish@mail.ru
Покровский Леонид Дмитриевич — канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры «Высшая математика» МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор более 20 работ в области численного моделирования нестационарных течений.
