К теории естественно закрученных стержней Текст научной статьи по специальности «Физика»

•Х^ I ЭС^ 2

(9)

где хв - абсцисса точки Б. Но так как АБ - медиана, то точка Б - середина отрезка ВС, следовательно,

хг

Х2 + Л!3 2

Подставляя последнее выражение в (9), получим

х, +

2 ' Л3

х0 — -

2 2х1 + х2 + х3

Учитывая (8), делаем вывод, что х0 = 0, т.е. точка К лежит на оси Оу, а значит на оси параболы.

Отметим, что теорема 2 останется в силе, если переменные X и у поменять местами.

Д.В. Тимошенко К ТЕОРИИ ЕСТЕСТВЕННО ЗАКРУЧЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ

Естественно закрученные стержни являются ответственными элементами различных технических конструкций, подвергающихся значительным воздействиям, поэтому исследования их упругого поведения и изменения геометрии в результате различного рода воздействий являются весьма актуальными. Успех таких исследований во многом зависит от достоверности используемых математических моделей, от того, с какой степенью точности они описывают реальные физические процессы при деформации исследуемых элементов.

При построении одномерной теории упругих стержней возникает необходимость обращения к уравнениям теории упругости. Это связано с тем, что получающаяся из условий равновесия бесконечно малого элемента стержня при деформации концевыми нагрузками система шести дифференциальных уравнений Кирхгофа

аи 1

а'

аЫп

ds

аи.

+ ю2Мъ - юъМ2 = О,

■ + соъМх - ю1Мъ + Руз = О,

■ + сохМ2 - со2Мх - Ру2 = О

— + 7З®2 -72®З да-

¿7 г

ds ¿7ъ

+ у1а>3 - У3а>1 = + 72^1 -7\Ю 2 =0,

(1)

является незамкнутой. Здесь о) з ^ - вектор Дарбу оси стержня, Р - равнодействую-

щая концевых сил, М ^Г1,М2,М3 - вектор-момент внутренних сил, у ^ .;/2.у^ - единичный вектор вдоль концевой силы. Классическая теория упругих стержней Кирхгофа - Клебша исходит из предположения, что компоненты вектора-момента М пропорциональны соответствующим компонентам вектора Дарбу [1]:

М} = 5,®,, М-, = В0со0, = В%со

2

2Ш2>

13

'ъшъ

(2)

где В1 - диагональные элементы матрицы жёсткостей стержня.

Использование соотношений (2) приводит к заметным погрешностям в исследовании деформаций стержней достаточно сложной конфигурации, особенно в тех случаях, когда длина стержня лишь в несколько раз превышает диаметр его поперечного сечения [2-4]. Кроме того,

классическая теория не могла объяснить ряд экспериментально наблюдаемых эффектов при испытании различных технических элементов (например, винтов летательных аппаратов) [4, 5]. Следует также отметить нетривиальное применение, которое теория стержней получила в последние годы: использование стержневых моделей для описания геометрии молекул биополимеров и, прежде всего, нуклеиновых кислот [6, 7]. Попытки использования в данной области классической теории Кирхгофа-Клебша также зачастую не позволяли описать некоторые из экспериментально установленных свойств указанных молекул.

Приведённые примеры показывают, насколько важную роль играет характер замыкающих соотношений системы уравнений Кирхгофа при решении задач механики стержней. В связи с этим были получены различные обобщения зависимостей (2) [3-5]. Одним из таких обобщений служат зависимости, полученные в [5] Г. Ю. Джанелидзе. Он рассмотрел растяжимый стержень, имеющий в естественном состоянии прямолинейную ось и равномерно закрученный по длине на величину г .

Соотношения, полученные Г. Ю. Джанелидзе, имеют вид:

М1 -г~У Е<р - Т"1Е

М2 = В2а>2 М3 = В3ю3

ЕО Е ^ гр-^4

(3)

Р

Р

где Е - модуль Юнга; £2 - площадь поперечного сечения стержня, Т - геометрическая жёсткость

при кручении;

I -

полярный момент инерции сечения стержня относительно центра тяжести; г -

первоначальное (естественное) кручение стержня, е - относительное удлинение в процессе деформации.

Поставим задачу проинтегрировать систему уравнений Кирхгофа (1) с замыкающими соотношениями (3). Получение точных решений системы (1) для естественно закрученных стержней, так же как и в теории Кирхгофа-Клебша имеет большое значение, поскольку с их помощью можно проводить качественный анализ поведения деформированного стержня.

Рассмотрим случай, когда стержень имеет равные жёсткости на изгиб, то есть:

В2=В3.

Система уравнений (1), (3) допускает три интеграла:

(4)

999

Г\ +72+Гз =1 =

Мхух +М2у2 +М3у3 = К .

(5)

(6)

М?

2 J

\

г 2

-Р71=н.

(7)

Из соотношения (4) и первого уравнения системы (1) следует дополнительный интеграл:

(8)

С помощью формул (3) перейдём в интегралах (6)-(8) от компонент М^ вектора-момента к компонентам о>[ вектора Дарбу, дополнительно исключив из всех интегралов величину относительного удлинения е . В результате получим:

7\ + В2 4>2У2 + ®з7з > г

и-т

РП-В1П =К:

(9)

BiCO¡ +в2(е1+ ai^lpï\ + [IpQ рп-в\\=н> (10)

v

Iá —

~ГУГ п " ^1=с1- (И)

Согласно теории последнего интегрирующего множителя Якоби четырёх интегралов (5)-(8) достаточно для интегрирования системы (1), (3) в конечном виде, то есть для нахождения девяти неизвестных величин M¿, fo¡ и yt как функций дуговой координаты s . С этой целью воспользуемся кинематическими формулами Эйлера:

си j =ц/ cos & + ф, T^coSt?,

co2=wsm3sm(p + 3cos(p, y2=sm9sm<p, (12)

щ = ц/sin 3 cos ср-3 sin ср, у3 = sini9cos#>.

Величины у/, 3, (р представляют собой углы Эйлера, определяемые как углы между осями

неподвижного базиса и естественного базиса стержня в деформированном состоянии. Введём безразмерные величины

H-Blco?]?.P=h, Cl/y]2PB2= b, кЦ 2PB2= p, B1ú}1/-s¡2PB2 = со, y¡B2/2P =n, tp-Tjí3 = I, B2/Bl=bl, В1гщ/Р=Ь2, rco^p -T~l& = b3. (13)

Преобразуем интегралы (8) и (9), воспользовавшись представлением (12) основных переменных через углы Эйлера и равенствами (13). В результате получим уравнение для величины у^ :

n2

/л \2 dïi_

у ds j

(14)

где введены обозначения у1 = со5,9 . 3 = И + Ъ2 - р2 ■ Интегрирование уравнения (14) позволяет найти У| в виде эллиптической функции дуговой координаты .V : у} = хп ( , где ли С - эллиптический синус.

Используя интеграл (9) и соотношения (12), получим уравнение для производной угла ц/ :

¥ = (15)

Откуда интегрированием находим ц/ в виде квадратуры от эллиптической функции дуговой координаты 5 .

Величину найдём из интеграла (11):

со. = — < ',+ гП. + г * ~ у. • (16)

В1 ^ В

Соотношение (16) позволяет сделать два важных вывода о поведении закрученности стержня в процессе деформации:

1. равенство (16) определяет линейную зависимость закрученности ®1 от У] в процессе

деформации. Однако, величина в силу соотношений (12) и (14) изменяется в промежутке [-1;1], поэтому закрученность также изменяется в процессе деформации и будет величиной ограниченной:

— Сх +гД1>гС <сог < —Сх +гД1>гС ''' ^ ■ (17)

/> I /> | /> | /> | ^^

2. в отличие от классической теории Кирхгофа-Клебша, закрученность после деформации не является постоянной величиной по длине стержня, а становится функцией дуговой координаты 5 , что следует из соотношения (16).

Из уравнений (12) и соотношений (14)-(16) оставшиеся семь неизвестных величин (М1, М2, Мъ, со2 , £»3, у2 ■ Уз) находятся в виде квадратур от эллиптических функций дуговой координаты 5 . Полученное решение является обобщением известного в классической теории Кирхгофа-Клебша решения Лагранжа системы уравнений Кирхгофа (1) на случай естественно закрученного стержня.

Получим теперь уравнения, описывающие изменение пространственной конфигурации стержня под действием концевых нагрузок. Для этого воспользуемся методом, предложенным в [2]: будем рассматривать ось стержня как пересечение цилиндрической поверхности и поверхности вращения в цилиндрической системе координат . Тогда уравнения оси стержня будут иметь вид:

р2=^[(М + Я,)хуД ^ = г.у=Ъ. (18) йъ Мр Р йь

Отметим, что допустимость такого представления следует из того, что в процессе вывода уравнений (18) замыкающие соотношения (2) не использовались, поэтому общий вид этих уравнений сохраняется и в уточнённой теории.

Зависимость от ух радиальной компоненты р в безразмерных величинах для полученного решения имеет вид:

р2 =4п2^ + у1 +Ь2-р2\4п2 <>2-Ь3уг1,

р2 =4п2$+ <~Ь3уг +Ь2\ (19)

Уравнение для производной угла а :

ёа /5уг -пЪ

Производная координаты с":

¿С _ Гг

или

(20)

(21)

Таким образом, учёт естественной закрученности приводит не только к зависимости от г крутящего момента и констант первых интегралов, но и к изменению в уравнениях упругой линии. Следует отметить также, что в случае г = 0 уравнения упругой линии переходят в уравнения, соответствующие решению Лагранжа (величины (у2 -Ь2 Ь^ и 4«2 €2 обращаются в нуль). В рассматриваемом решении появляются новые параметры: Я , I, т, Ъх, р. Ь2, Ъъ, причём Ь2, />, непосредственно связаны с первоначальной закрученностью.

Из соотношения (19) следует, что при выполнении условия Ьъ= 1, имеет место соотношение:

р1 =4п2 $ + (22)

то есть р величина постоянная. Геометрически это означает, что стержень расположен на поверхности кругового цилиндра. В случае Лагранжа р являлось постоянным лишь при постоянном уг, что в динамике твёрдого тела соответствовало безнутационному движению гиростата. В рассматриваемом случае постоянство р возможно при произвольном изменении уг .

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Kirchoff G. Uber das Gleichgewicht und die Bewegung eines unendlich dunnen elastishen Stabes. J. Math., 1859, 56. S. 254-277.

2. Илюхин А.А. Пространственные задачи нелинейной теории упругих стержней. Киев: Наукова думка, 1979. 216 с.

3. Устинов Ю.А. Задачи Сен-Венана для псевдоцилиндров. М.: Физматлит, 2003. 128 с.

4. Лурье А.И., Джанелидзе Г.Ю. Задача Сен-Венана для стержней, близких к призматическим. ДАН. 1939. Т. XXIV. № 1-3.

5. Джанелидзе. Г.Ю. Соотношения Кирхгофа для естественно закрученных стержней и их приложения // Труды Ленинградского политехнического института. 1946. № 1. С. 25-33.

6. Кугушев Е.И., Старостин Е.Л. Математическая модель образования трёхмерной структуры ДНК. Препринт ИПМ им. М. В. Келдыша РАН. М., 1997. № 77. 35 с.

7. Козлов Н.Н., Кугушев Е.И., Сабитов Д.И., Энеев Т.М. Компьютерный анализ процессов структуро-образования нуклеиновых кислот. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. М., 2002. № 42. 37 с.