CC BY
15
УДК [630*:65.011.54]:621.825
К РЕШЕНИЮ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ТРЕХМАССОВОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ НА ПРИМЕРЕ РОТАЦИОННОЙ ЛЕСОХОЗЯЙСТВЕННОЙ МАШИНЫ С ЦЕНТРАЛЬНЫМ ПРИВОДОМ
DYNAMIC SYSTEM MATHEMATICAL MODEL SOLUTION: THE CASE OF FORESTRY ROTARY MACHINE WITH CENTRAL DRIVE
Щеблыкин П.Н., Боровиков Р.Г.
(Воронежский государственный лесотехнический университет имени Г.Ф. Морозова», г. Воронеж, РФ)
Shcheblykin P.N., Borovikov R.G.
(Voronezh State University of Forestry and Technologies named after G.F. Morozov", Voronezh, RF)
Представлен метод решения математической модели процесса перегрузки почвообрабатывающей лесохозяйственной машины с центральным приводом при помощи конечно - разностных сеток с использованием неявной схемы
Mathematical model solution method of overwork process of tillage machine with central drive by means of finite-difference grids using implicit scheme is shown in this article.
Ключевые слова: перегрузка, фрезерная машина, математическая модель Keywords: overwork, milling machine, mathematical model
На основе обобщенной (эквивалентной) расчетной схемы фрезерной ротационной лесохозяйственной машины с центральным приводом [1] можно записать для нее дифференциальные уравнения процесса перегрузки ее рабочих органов, заменив при этом (для упрощения последующих выводов) следующие выражения:
n ' n 1 n n
J12 - Z J2i = J2 ; J13 - Z J3i = J3 ; P\2 - ZP2i =Pl; Pl3 - ZP3i = Рз ;
г=1 г=1 г=1 г=1
1 = с • 1 = с •
- - — С95 - — Со '
1 П 1 2 1 п 1 3
— х— — -хА-
С12 г =1 С2г С13 г=1 С3г
мм п п
х м2г + М2С - х м2сг = М2; х МЪ1 + Ыъс - х Мъа = Мз. г=1 г =1 /=1 /=1
Здесь ^ - момент инерции ведущей массы; - общий момент инерции правой массы; - момент инерции левой массы; /2. - момент инерции одного рабочего органа правой массы; /3( - момент инерции одного рабочего органа
левой массы; п - число рабочих органов; Ыд - рабочий момент; Ыш - регулировочный момент предохранителя одного рабочего органа; Мс - суммарный момент сопротивления; м'а - момент сопротивления одного рабочего органа; С12, С13 - суммарные жесткости упругих звеньев системы; С2г - жесткость уча-
стков правого упругого звена; С3/ - жесткость участков левого упругого звена; р , д3 - суммарные коэффициенты демпфирующих сопротивлений упругих звеньев системы; ръ - коэффициент демпфирующих сопротивлений участков правого звена; ръ - коэффициент демпфирующих сопротивлений участков левого звена.
Тогда система уравнений будет иметь вид
¿хФх +{(Р1-(Р2)С2 +{(к-ф2)р2-{(Ръ-(Р\)Съ -(Фъ-Ф\)Ръ=М<
¿2Ф2-{(Р1-(Р2)С2-{Ф1-Ф2)Р2=-М2,
¿ъФъ ~(<Рз ~(Р\)съ +{Фъ~Ф\)Ръ
(1)
м.
где (, (, (3 - углы закручивания.
В момент срабатывания фрикционных предохранителей (стопорения рабочих органов) будут возникать максимальные динамические нагрузки в машине, поэтому начальные условия для этого случая в начальный момент времени можно записать (1=0):
Ы, .
м.
ф1 = ф2=ф3= 0; <^ = 0; (р3=1-1А.
С2 С3
Приведем систему уравнений (1) к более простому виду. Для этого разделим первое уравнение системы на ^, второе - на , а третье - на и вычтем
первое уравнение полученной системы из второго и третьего, будем иметь:
ф2-ф1-С2
1 1
— + —
{(р1-(р2)-р2
1 1
— + —
{фу-ф2) +
Сз , ,, Мд М
+{(Рз-(Р\) — + {Фз-Ф\)
2 .
3
Фз~Ф\+сз
32
1 1
-+ —
-А у
(фъ-(РХ) + Ръ
г 1 1 Л — + —
V у
{Фъ-Ф\)
(2)
/ \С2 ( ■ ■ \ 02 Мд М3
3 3 3 3
Введем в системе (2) следующие обозначения
¿2 =(2 ;
83 =(3
А2 = Р12
02 =Рз ; Р2 = С. ; ^2 = Ыд + ^; 4 = Р3
1 Л
- + -
V 32 )
Г1 Р
3
3
3 3
6 =р2; л-С2
3
V )
В =Р3
Г
1 1
3
; А =
+
Ы Ы
; в3 = С3
1 1
V )
V )
Л
— +—2 33
Получим систему из двух уравнений для относительных углов закручивания вала 82 и 83
<
<
V
¿2 - Л232 - В82 + + = ~В2; (3)
83 + А383 + В383 - оА - Р382 = -В3.
Начальные условия в этом случае запишутся, при 1=0
= %(0)-^(0); (р2 = ^; ¿2 = ф2(0)-фу(0) = 0;
<Рз=М1;83=ф3(0)-ф1(0) = 0.
С13
Решение задачи в общем случае сводится к решению системы уравнений (3) с соответствующими им начальными условиями при различных значениях
параметров С2, С3, /2, /З3, 31, «/2, «з и др.
Поскольку система уравнений (3) является линейной, то в принципе существует, и может быть найдено ее аналитическое решение для определения максимальных динамических нагрузок, возникающих в упругих звеньях фрезерной машины [2]. Однако практическая реализация такого подхода приводит к тому, что уравнение для корней характеристического уравнения будет уравнением четвертого порядка, решать которое необходимо в комплексной плоскости. В общем случае аналитическое решение такого уравнения невозможно.
Необходимость численного решения характеристического алгебраического уравнения сводит на нет практически все преимущества аналитического решения, поскольку с самого начала приходится задаваться числовыми значениями параметров. Однако численное решение исходной задачи оказывается проще, чем решение характеристического алгебраического уравнения. Поэтому для решения задачи в общем случае воспользуемся методом сеток с использованием неявной схемы [3, 4].
Для получения дискретных аналогов производных воспользуемся конечно-разностной сеткой с постоянным шагом по времени.
Запишем выражения для первых и вторых производных величин 62 и 83 с использованием центральных разностей [4]:
ё2М\ ~ д2Л-\ ё /+1 - 1д2л + $2л-\
82 — —----
2Лг (до2
л ~ ё ^з,/+1 ~ + 83
¿з=-—-' дз ~
2А/ (А/)2
где I - номер узла конечно разностной сетки; А/ - шаг по времени.
Подставим полученные выражения в систему уравнений (3), умножив на
л
(А/) , приведем полученную систему к более удобному виду. После преобразований будем иметь:
¿2,i+1
1 A2At 1 + —-
+ ö\i+1
02 At
-¿2,i
2 - B2(At )2
- ¿2,i-1 X
X
1 A2At
- P2(At )2Ö3J +S3J-1
02 At
- D2(At )2;
¿3,i+1
A3At 1 + ——
+ ¿2,/+1
03 At
¿ъл
2 - B3(At )2
¿3,i-1 X
X
1-
A3At
- P3(At)2 ¿2,i +S2,i-1
03 At
- A(At )2.
Для упрощения системы обозначим правую часть первого и второго уравнения (4) как ¥1 и ^2 соответственно. Остальные переменные примем
1 A2At Un - 1 + ; U„ =
02At . п AAt 12 ^ Л ; U 22 - 1
2 12 2 22 2 После подстановки получим новую систему уравнений
U11^2,i+1 + U12^3,i+1 = V1; U21S2i+1 + U22S3i+1 = V2.
3At . _03At
; U 21 -'
2
(5)
Система (5) является линейной, относительно 82 1+1 и 83 ^+1. Правые части ¥1 и ¥2 рассчитываются через значения 82 и 83 на двух предыдущих узлах
конечно-разностной сетки с номерами I и I — 1.
Запишем решение системы (5) с использованием метода Крамера
. A82. d2i --;
2,i A A&
¿3, i+1
A
(6) (7)
где A -
U11 и
12
U21 U22
- UnU22 - U12U21; A82
V1 U12
V2 U22
VU22 - V2U12;
U11 V
A83 - " V - UnV2 - U21V1 .
U 21 V2
Таким образом, значения функций ¿2 и ¿3 могут быть вычислены по формулам (6), (7) если известны значения этих функций в двух предшествующих узлах.
В двух первых узлах величины ¿2 и ¿3 определяются из начальных условий
¿2,1 - ^20
Мп
С
' $2 =
12
^2,2 ~ ¿>2,1 А t
следовательно
82,2 - 82,1;
(13)
(14)
А/
83,2 - 83,1.
(15)
Исходя из выше представленных расчетов и основываясь на них, задаваясь конкретными параметрами машины, можно определять не только максимальных динамических нагрузки, возникающие в системе в момент срабатывания предохранителей, но и последующие динамические нагрузки, возникающие при дальнейшей пробуксовке рабочих органов ротационных лесохозяйственных фрезерных машин с центральным приводом.
1. Щеблыкин, П.Н. Обобщенная расчетная модель динамической системы лесохозяйст-венных машин с центральным приводом [Текст] / П.Н. Щеблыкин. - Перспективные технологии, транспортные средства и оборудование при производстве, эксплуатации, сервисе и ремонте. - Межвузовский сборник научных трудов. Федеральное агентство по образованию, Воронежская государственная лесотехническая академия. Воронеж, 2008. С. 23-27.
2. Камке, Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям [Текст]: учеб. пособие / Э. Камке. - М.: Наука, 1976 - 576с.
3. Бахвалов, Н.С. Численные методы, ч.1. [Текст]: учеб. / Н.С. Бахвалов. - М.: Наука,
4. Калиткин, Н.Н. Численные методы [Текст]: учеб. / Н.Н. Калиткин. - М.: Наука, 1978.
Список использованных источников
1975. - 631с.
512с.
