К регулированию неопределенных нелинейных динамических объектов непрерывным управлением Текст научной статьи по специальности «Математика»

г

dx

dt

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И

ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ N. 3, 2021 Электронный журнал, рег. Эл № ФС77-39410 от 15.04.2010 ISSN 1817-2172

http://diffjournal.spbu.ru/ e-mail: _ [email protected]

Общая теория управления

К регулированию неопределенных нелинейных динамических объектов непрерывным управлением

Аннотация. Предлагается алгоритм синтеза непрерывного скалярного управления, регулирующего неопределенный нелинейный динамический объект так, что все решения системы дифференциальных уравнений, описывающей замкнутую систему, ограничены и вектор состояния объекта асимптотически стремится к нулю. Объект описывается системой нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений с неопределенными правыми частями. Исходное непрерывное нелинейное управление понижает размерность задачи и вводит новую управляющую функцию - адаптивное управление, которое решает задачу регулирования управляемой системы пониженного порядка. Проведено исследование поведения решений замкнутой системы.

Ключевые слова: неопределенный динамический объект, система нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, непрерывное управление, регулирование, порядок объекта, адаптивное управление.

1. Введение

В [1] задача регулирования неопределенного нелинейного динамического объекта с помощью непрерывного управления решается за счет такого выбора некоторых постоянных параметров, от которых зависит закон управления и их значения определяются из условия устойчивости (что и позволяет решить исходную задачу регулирования) нулевого решения некоторой системы линейных дифференциальных уравнений (системы с меньшим порядком, чем порядок исходного управляемого объекта) с известной матрицей коэффициентов. Описание исходного управляемого динамического объекта может быть настолько неполным, что эти коэффициенты системы линейных дифференциальных уравнений пониженного порядка, используемой в [1], неизвестны.

Уланов Б.В.

Тольяттинский государственный университет

[email protected]

Для решения задачи регулирования в последнем случае в настоящей работе предлагается и исследуется алгоритм синтеза непрерывного управления с применением методов адаптивного управления [2]. В [3] для обеспечения решения задачи регулирования нелинейного объекта непрерывным управлением предполагается полное знание некоторой системы (с порядком, меньшим, чем порядок динамического объекта) дифференциальных уравнений, которые могут быть нелинейными (в отличие от [1] с использованием линейной системы пониженного порядка) и определяются правыми частями уравнений объекта, но отсутствие полной информации об этой системе может не позволить решить задачу регулирования. В отличие от [1,3], в настоящей работе решается задача регулирования неопределенного нелинейного динамического объекта непрерывным управлением в случае, когда правые части всех дифференциальных уравнений, описывающих объект управления, могут быть не определены полно.

2. Постановка задачи

Рассмотрим управляемый нелинейный динамический объект

_ _ (1)

—— = Ах + Ьхп+1, —;— = /(х, ^ + к(х, €)и, t > t0 М М

где вектор-столбец х Е Яп, хп+г Е Я,~х = (хт, хп+1)т - вектор состояния объекта (1), и Е И - управление; постоянные п X п-матрица А, п-вектор Ъ и непрерывные функции / и Л неизвестны.

Далее обозначаем \\А\\ = тах.]^ ,^^^^ для Л = (Лу)1. 4.

I,] —1

Сделаем предположения: 1) \\А\\ < а, \\Ь\\ < й;2)1[(х,1)1 < ф(х)\\х\\ и 0 < А< 1И.(х,1)1 < 'ф(х) для V х Е Кп+г и V t > 10 ; 3) числа а, й,А, а = Бди к(х, I) и непрерывные функции <р и ^ известны. Предполагаем, что начальное состояние объекта ~х(10 )еП0 с Ип+1, где П0 - любое заданное ограниченное множество.

Решаемая задача регулирования объекта (1) состоит в синтезе непрерывного управления и = и(х,г), при котором при любом х(С0 )еП0 решение получаемой при синтезе управления системы дифференциальных уравнений (замкнутой системы) будет ограниченным на [*:0, ю) и для этого решения \\х(^\\ ^ 0 при t ^ ю.

3. Алгоритм управления

Для решения задачи предлагается синтезировать и по алгоритму: и = и0 = (к(х) + 1\\сТ(0\\ • \\х\\)р — Аз, (2)

5 = хп+1 — щ, щ = ст(£)х, (3)

с(€) = 0 на [10,~£), если |^| > 50\\х(^\\ на [*:0, Т) (здесь возможно Т = ю), и - решение дифференциального уравнения

, Т ч /-ч - (4)

—= —(дх)Гх, С(г) = 0,г>г,

начиная с момента времени 1 > Ь0, в который окажется ^(О | < 50||х(?) ||;

Дифференциальные уравнения и процессы управления, N. 3, 2021 ?£=-a(f(x) + \\cT(t)Hi(f) + \\cTm2(2(x))^ + sgn s), (5)

причем

M(to) = - sgn s(to) при s(to) * 0 и ^(to)1 < 1 при s(to) = 0. (6)

В (2) - (5) c(t) - п-вектор-функция co значениями в Rn при всех t > t0. В алгоритме (2) - (6) подлежат выбору числа а > 0, 80 > 0, I, Л, непрерывные функции (причем ^и £2

неотрицательны), постоянные n-вектор д и положительно определенная п X n-матрица Г = Гт.

Замкнутую систему (1) - (6) обозначим S. Решение (x(t), c(t), ^(t)) системы S понимаем в смысле [4] (так как (1) - (6) дают систему дифференциальных уравнений с разрывной правой частью, ввиду наличия в (5) функции sgn s). В силу (5), (6) и условий на величины, входящие в (5), для всякого решения системы S будет |д(01 < 1 при всех t > t0.

В условиях дальнейших теорем и предположений о выборе n-вектора д и п X n-матрицы Г решения системы S будут определены на [t0, го) (так как каждое решение системы S будет ограничено на [t0, го) ).

4. Теорема 1 и ее доказательство

Следующая теорема определяет условия, при которых для решений системы S возможно с некоторого момента времени выполнение неравенства |s(t)| < 5\\x(t)\\, где 8 > 0 - некоторое число.

Теорема 1. Пусть выполнены предположения 1) - 3) и выполняются условия: а = const >0, S — const > 0, (7)

а = sgn h(x, t) — const, Л = const иЛа > 0, (8)

0 < у = const < 1, (9) k(x)( 1 — у)о-Д> lgTxl • (хтГх) + (p(J)\\x\\ + 5(a\\x\\ + d| xn+1\); (10)

1 = const и la > 0, 1(1 — у)<гД> a + d; (11) |ВД| <p(x)\\x\\, где p(x) — некоторая известная функция; (12) ^(x) > |gтx| • \\Гх\\ + (1 + 8)<p(J) + ((1 + 8)p(x) + |A|8)^(J) + S(a + Sd), (13) &(х) >a + 28d + ф(х) + ( p(J) + |/|(1 + 8))^(x), (14)

> d + №(x); (15)

2 — Y (16)

S0 — const >0, S0 +-- <5. v '

ya

Тогда для всякого решения системы Б будет \\х(0\\ ^ 0 и $(С) ^ 0 при t ^ ю или 3?: |5(?)| < 50||х(?)|| и при этом |^(| < 5\\х(^\\ при t >Т (здесь союз «или» не исключающий).

Замечание. Для доказательства утверждения о том, что ^(01 < 5\х(&)\ при t > Т, если < 50||х(?) ||, сформулированного в теореме, с целью выбора более простых, на наш взгляд, рассуждений (раскрывающих назначение неравенств в (7) - (16)) будет использоваться метод, примененный в [1], который предложен и разработан в [5], а не метод из [3] с использованием эвристически сконструированной для исследования вспомогательной функции, введенной в [3]. Однако метод из [3] также можно было бы применить для доказательства утверждения теоремы настоящей работы с некоторым изменением неравенств из условий теоремы 1. Отметим также, что используемая норма векторов и матриц в настоящей работе и в [1, 5] отлична от используемой нормы в [3].

Доказательство теоремы 1

Далее будем рассматривать производную йз(1)/й1 при t > *;0, вычисляемую вдоль решений системы Б. Для каждого решения существует момент времени I (конечный или ? = ю), описанный в задании алгоритма (2) - (6). С целью записи одной формулы для йз(1)/й1 на всем промежутке [*:0, ю) далее будем использовать функцию х(0 = 0 при t Е [*;0, Т) и х(^) = 1 при t >Т с 1, соответствующим конкретному решению, как сказано выше. Функция х(^) появляется в слагаемых, в формуле для которых есть д и Г.

Решение системы Б с ~х(£) = 0 на [*:0, ю) существует в силу предположения 2) для /(х(1), I), уравнений (1) - (6) и условия (12). Для решения системы Б с х(€) = 0 на [*:0, ю) доказывать нечего.

Рассмотрим решение (х&), с(£),у.(£)) системы 5. Предполагаем, что для него \\х(0\\ Ф 0 для VI > Предположим, что для этого решения выполняется свойство ^(01 > 50\\х(^\\ при всех t > t0. Рассмотрим случай, когда 5(С) > 0 при t > t0 (случай, когда 5(С) < 0 при t > t0, рассматривается аналогично).

В соответствии с уравнениями движения (1) - (4) найдем производную функции = хп+1(г) —и1(г):

^ = г(х(г),г) + ктл)((к(х(г)) + ц\стт • \\*т)т — (17)

—л5(г)) + х(*)(дТх(Ъ) • (хт(г)Гх(г)) — ст(г)(Ах(г) + Ьхп+1(г)).

Так как рассматривается случай, когда >0 при t > *;0, то в силу (5) (с учетом знаков величин, входящих в (5)), (6) будет ^.(1) = —1 при I > 10. Тогда выражение (17) для производной йэ^/^ приобретает вид

^ = гт)л) + ктл)((к(х(г)) + ц\стт • \\*(о\\) • (—1)—лзЮ) + (18)

+х(0(дтх(£)) • (хт^)Тх(0) — ст(г)(Ах(г) + Ьхп+1(г)) = —Лк(х(г),г)8(г) —

— (кт, О • к(х(Ъ) — Г(т, О — х(Ъ(дТх(г)) • (хг(0Гх(0)) —

~(h(x(t),t) • l\\cT(t)\\ • \\x(t)W—cT(t)(Ax(t)+bxn+i(t))).

В (18) при t > t0 будет —Ah(x(t),t)s(t) < —(AaA)s(t)

в силу предположения 2) на h(x, t) и условий (8), причем ЯаД= const > 0; h(x(t), t) • k(x(t)) — f(x(t), t) — x(t)(gTx(t)) • (xT(t)rx(t)) > 0

в силу предположения 2) и условий (8) - (10) (при этом было бы достаточно, когда в (10) множителя (1 — у) нет, но этот множитель понадобится в дальнейшем);

h(x(t),t) • l\\cT(t)\\ • \\x(t)\\ — cT(t)(Ax(t) + bxn+i(t)) > 0

в силу предположений 1), 2) и условий (11) (при этом было бы достаточно, когда в (11) множителя (1 — у) нет, но этот множитель понадобится в дальнейшем).

В силу фактов, отмеченных выше, и того, что по предположению |s(t)| > 50\\x(t)\\ при t > t0, получаем, что при всех t > t0

t t Г ds(6) Г

<5o\\x(t)\\ < s(t) = s(to) + J < s(to) + J (—AaA)s(0)d0; (19)

to to

откуда, во-первых, s(t) ^ 0 при t ^ го (в силу неравенства Гронуолла-Беллмана) и, во-вторых, \\x(t) \\ ^ 0 при t ^ го.

Для доказательства того, что |s(t)| < 5\\x(t)\\ при Vt>t, если |s(t)| < 50||x(t)|| при некотором t > t0, вначале рассмотрим ситуацию, когда |s(t1)| = 50\\x(t1)\\ при некотором t1>t0 и |s(t2)| = ^\^(t2)\ при некотором t2 > t1, причем \ < ls(t)l < 5\ при

Vte[t1, t2). Докажем, что в этой ситуации |^(t2) | > 1 — у и sgn ^(t2) = — sgn s(t2).

Рассмотрим случай s(t) > 0 при Vte[t1,t2] (случай, когда s(t) < 0 при Vte[t1,t2], рассматривается аналогично).В этом случае нужно доказать, что sgn ^(t2) = —1 и |^(t2)| > 1 — у, то есть —1 < ^(t2) < —1 + у. Для доказательства этого предположим противное, то есть то, что —1 + у < t2) < 1. Но в рассматриваемом случае (s(t) > 0 при te[t1, t2]) в соответствии с уравнением (5) имеем d^(t)/dt < 0 для Vte[t1, t2] и, следовательно, t2) < t) для Vte[t1, t2]; поэтому при сделанном предположении получаем —1 + y<^(t)<1 для Vte[t1,t2]. Следовательно, в рассматриваемом случае и при сделанном предположении будет + sgn s(t) = t) + 1 > (—1 + у) + 1 > у для Vte[t1, t2]; откуда —a(^.(t) + sgn s(t)) < —ay для Vte[t1, t2]; далее, в силу уравнения (5) получаем неравенство при Vte[t1, t2]

d^(t) dt

Интегрируя неравенство (20) по отрезку [t1, t2], получаем

< —ay (((x(t)) + \\cT(t)H1(x(t)) + \\сг(0\\2(2(х(0)). (20)

№2)-кч) < -ay J (ax(t) + \\стти*(о) + \\cTm\%(x(t)j)dt. (21)

ti

Так как t2) — ^(t1) > (-1 + y) — 1 = —2 + y, то из (21) следует t2

—2+y<—ay J (f(x(t) + У^СОУ^хСО) + \\ c^ (t) \ dt. (22)

1

Из (22) получаем оценку

2

J (ачt) + w^m^t)) + \\стт2(2(х(о)) dt < I—.. (23)

Оценка интеграла в (23) понадобится нам в дальнейшем.

Продолжая доказательство теоремы, рассмотрим соотношение (напомним, что мы предполагаем, что ||х( 0|| Ф 0 при V t > далее а(в) = (здпх1(в), ,^,5дпхп+1(в)) )

Ч <15(&) э(в) , ГпЛ Ох(в\

8(12) = з(^) г— ¡¡ща^(а(в)—)

11х( г2)И 11х( ^)|| + ] 1|Х( в)| ■ (24)

В рассматриваемой ситуации в (24) |s( t1)|/WУx(t1)\ < 50 и под интегралом в (24) мы имеем |s(0)/\\x(0)\\| <5. Далее, оценивая сверху lds(0)/dtl (с использованием выражения (17) для этой производной) и 1^(0) • (dx(0)/dt) | c учетом всех предположений о величинах в уравнениях динамического объекта (1) и уравнений алгоритма (2) - (5), получаем следующее неравенство

К t2)l

\\x( t2)\\

<80+ J (ax(t) + \\cT(mi(X(t)) + \\cT(t)\\2<;2(X(t)))dt. (25)

Далее, применяя неравенство (23) и условие теоремы (16), от неравенства (25) переходим к неравенствам

-ЁШи* ±2- Г „ .

ШШ^60*—* 6 (26)

2

1

1

2

1

Из (26) следует, что |з( 12)1 < 6||х( а это противоречит тому, что, как предположено выше, |я( £2)| = 5||х(*;2)||. Полученное противоречие доказывает, что 1р-^2)1 > 1 — у и б дп ¡л( = — б дп если |я( t2)| = 6||х( ^)||. Заметим, что для решения имеем ||х( *;2)|| Ф

0 и поэтому |5( 12) | Ф 0. Тогда при t, достаточно близких к 12 и t > 1) сохраняет знак и при этих t в силу уравнения (5) и знаков величин, входящих в (5), будет ^(1) | > 1 — у и Бдп ^.(1) = — б дп $(*;). Пользуясь этим доказанным фактом, продолжим доказательство теоремы и покажем, что для ~х(€) не может быть |5(0| > 5||х(0|| при t > если |5(^)| = 5||х(*;2)||. Для этого

рассмотрим функцию s(x(t)) = s(t)sgn s(t2) — 8ax(t), где д = (av ...,ап+1), причем для i = 1, ...,п + 1 будет o"j = sgn Xj(t2), если Xj(t2) ^ 0, и at = —1 или at = 1, если xi(t2) = 0. Рассмотрим производную функции s(x(t)). Используя выражение (17) для ds(t)/dt и выражение для dx(t)/dt в силу уравнений (1) и оценивая, как это уже делалось выше, эти производные в случае s(t) >0 (случай, когда s(t) < 0, рассматривается аналогично) при t, достаточно близких к t2 и t > t2, а затем оценивая производную ds(x(t))/dt при всевозможных указанных выше значениях а, получим (при этом существенно важным будет наличие множителя (1 — у) в неравенствах (10) и (11)), что при выполнении условий теоремы будет ds(x(t))dt < (—AaA)s(t) < 0 при всех t, достаточно близких к t2 и t > t2, при которых s(t) не меняет знака, и всевозможных допустимых а. Так как s(x(t2)) = 0 (ибо |s(t2)| = 5\\x(t2)\\) при всевозможных значениях а, то получаем s(x(t)) < 0 для всевозможных допустимых а заведомо при t(> t2), достаточно близких к t2. При таких t в рассматриваемом случае s(x(t)) = |s(t)| — 8ax(t) < 0 для всевозможных допустимых а, а отсюда получим, что |s(t)| < 8ax(t) < 5\\x(t)\\ при t(> t2), достаточно близких к t2. Итак, |s(t)| < 5\\x(t)\\ при таких t. Проведенные рассуждение доказывают, что для x(t) будет |s(t)| < 5\\^(0\\ при t>t2, если |s(t2)| = <5\\x(t2)\\.

Все доказанные факты доказывают теорему 1.

Теорема 1 доказана.

4. Выбор д и Г в алгоритме

Далее будем применять результаты из [2]. Пусть д и Г в (4) выбраны согласно методике, подробно описанной в [2, стр. 386 — 388] (предполагаем, что условия существования таких д и Г из теоремы 7.2.1 [2, стр. 387] выполнены; а именно, предполагаем, что для любой неизвестной рассматриваемой нами матрицы А в (1) из множества допустимых матриц А и любого неизвестного рассматриваемого нами вектора Ъ в (1) из множества допустимых векторов Ъ числитель правильной дробно-рациональной функции дт(АЕ — А-1)Ь является гурвицевым полиномом степени п — 1 с положительными коэффициентами [2]). Тогда в соответствии с результатами [2] для объекта

dx

— = Ах + Ьщ (27)

при и1 из (3) - (4), то есть

щ = cT(t)x, = —(дтх)Гх, (28)

существует функция Ляпунова в виде квадратичной формы от х и с с постоянными коэффициентами вида (см. [2, стр. 387])

У(х, с) = хтНх + (с — с^)тН1(с — с*), (29)

где Н = Нт >0 - пх п-матрица, Н1 = Н1 >0 - пх п-матрица и вектор с*, такие, что

НА* +AZH > 0,НЬ = д,А. = А + bcl

в соответствии с (2.8) на стр. 386 из [2]; причем для производной функции (29) по t в силу уравнений (27), (28) будет dV(x(t), c(t))/dt < —(1/2)хт(0Нх(^ при всех t [2]. Далее в работе

предполагаем, что д и Г выбраны (для использования в (4)) с использованием результатов [2], как описано выше, не всегда оговаривая это повторно.

5. Теорема 2 и ее доказательство

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1, а д и Г выбраны в (4), как описано выше с использованием результатов из [2]. Тогда существует число Д0 , 0 < Д0 < 1, такое, что при любом 8 (с которым выполнены условия теоремы 1), 0 < 5 < Д0 , для любого решения (хЮ,сЮ,системы 5 с х(*;0 )еП0 будет ||х(0|| ^ 0 при t ^ го и тем самым решена рассматриваемая задача регулирования для объекта (1).

Для реального объекта регулирования число 8 может быть выбрано с использованием теоремы 1 и моделирования реального объекта или экспериментирования на реальном объекте.

Доказательство теоремы 2

Для доказательства теоремы 2 сформулируем и докажем следующие вспомогательные утверждения.

Лемма 1. При выполнении условий теоремы 1 для любого множества П0 с Ка+1 существует ограниченное множество П с Ип+1, такое, что для любого решения (х(0, с (О, д(0) системы 5, для которого х(^ )еП0 и существует конечное 1, указанное в задании алгоритма (2) - (6) (то есть при котором |я(0| < 50||х(0|| и 50||х(0|| < |^| при будет х(?)еП.

Доказательство леммы 1. В самом деле, для всех решений системы Б с х(*;0 )еП0 при ограниченном множестве П0 значения 5(*;0 ) содержатся в некотором ограниченном числовом множестве и поэтому при выполнении условий теоремы 1 для решения системы 5,рассматриваемого в лемме 1, в силу первого неравенства в (19) (для неравенства (19) рассматривался случай 5(*;0 ) > 0; случай, когда 5(*;0 ) < 0, рассматривается аналогично), рассматриваемого на [£0Д), будет 50||х(0|| < )| при ¿;е[*;0Д); следовательно, ||х(0|| < 15(£0 )1/£0 при 1е[10,1) и в силу непрерывности функций будет ||х(0|| < )|/50 при 1е[10,1] а в силу ограниченности возможных значений |5(*;0 )| будут ограничены и ||х(?)|| для всех соответствующих решений. Лемма 1 доказана.

Лемма 2. Существуют числа £0 > 0 и С0 > 0, такие, что для Уе, 0 < £ < £0, и любого решения (х(0, с(0, д(0) системы Б с х(*;0 )еП0, для которого существует конечное I, указанное в задании алгоритма (2) - (6), и |^| < г||х(^|| при t > 1, будет ||ст(0|| < С0 при t > 1.

Доказательство леммы 2. При выбранных д и Г, как описано выше, рассмотрим решение (1(0, с(0, д(0) системы Б с х(*;0 )еП0 и предположим, что для него при некотором конечном 1 (£ > t0 ) выполняется неравенство < г||х(0|| при t > где £ - некоторая положительная

постоянная, возможные значения которой будут уточнены далее. Учитывая, что согласно (3) имеем 5 = хп+1 — и1, получаем хп+1 = и1 + 5 и, подставляя это хп+1 в первое уравнение из (1), находим, что для компоненты х(0 этого решения при t > I будет выполняться векторное соотношение

^= АХ(1)+ЪЩ(1)+Ъ8(1), (30)

где < при t>t.

Векторное соотношение (30) можно преобразовать к виду

^р = Лх(0 + Ьи1(0, (31)

где Л(0 = (щу(0), причем аф) = а1] + Дa¿y(t), Да^) = Ь^в^Ю и вф) -некоторые функции, обладающие свойством |0*у(О| < £ при t > 1. Коэффициенты матрицы

можно рассматривать как аддитивное нестационарное возмущение коэффициентов матрицы А с параметрическими возмущениями ^а^(С). Для параметрических возмущений выполняются следующие неравенства |Д ¡(Ь) | < (причем правые части в этих неравенствах могут быть сколь угодно малыми при достаточно малом поскольку по предположению 1) ЦЬ || < йий- известное число) при всех I >1:и любых /,} = 1,..., п.

Далее, находим производную функции Ляпунова (29) в силу системы (28), (31), и, пользуясь тем, что в производной функции Ляпунова (29) параметрические возмущения появятся в тех слагаемых, которые содержат йх(£)/й1 (а йх(£)/появляется только в слагаемых, содержащих множитель Я), а также пользуясь свойствами положительно определенных матриц и оценками их значений, получим, что существует число е0 > 0 (причем е0 могло бы быть оценено, если бы матрицы А,Ь,Я в (27), (29) были бы известны, с использованием наименьшего собственного числа матрицы Я) и некоторые положительное число р и положительно определенная матрица Q, такие, что для производной функции (29) по t в силу уравнений (28), (31) при любом положительном £ < £0 будет йУ(х(1),с(1))/& < —рхт(t)Qх(t) при t > !. Поэтому в силу теоремы 2.4.1 из [2, стр. 84 — 85] для решений системы (28), (31) будет ||х( ^ || ^ 0 при t ^ ю и, кроме того,

У(х(1), ф)) < У(х(Е), с(Е)) при 1> г. (32)

Так как рассматриваем решения (х( 1),с( системы 5 с х((0)еП0, для которых

существует конечное I, указанное в задании алгоритма (2) - (6), то по лемме 1 х(£)еП, где П -некоторое ограниченное множество. Тогда все х(Г), для которых х(£)еП образуют ограниченное множество №. В силу (32) решения (х(Ь), с(Ь)) системы (28), (31), для которых (х(Г), с(1))е№ X {0} будут принадлежать при t >И некоторому ограниченному множеству I, а поэтому существует постоянная С0, такая, что для всех этих решений будет ||ст(0|| < С0 при всех t > Т. Лемма 2 доказана.

Лемма 3. Существует число Л0, 0 < Л0 < 1, такое, что при любом 6, 0 < 6 < Л0, для которого выполнены условия теоремы 1, и для любого решения (х(0,с( системы 5 с

х^0 )еП0, для которого существует конечное 1, указанное в задании алгоритма (2) - (6), будет выполняться неравенство < £||х( при t >И с некоторым ее(0, £0], где е0 - число,

существование которого доказано в лемме 2.

Доказательство леммы 3. Рассматриваем решения системы 5 с х((0)еП0. Теорема 1 утверждает, что для любого решения (х(0,с( системы 5, для которого существует

конечное 1, указанное в задании алгоритма (2) - (6), то есть 3?: |5(?)| < 60||х(?)||, будет при t >Т выполняться неравенство^ t)| < 6||х(0||. Рассмотрим такое решение. Для дальнейшего добавим условие 6 < 1. Если для этого решения ||ст(0|| < С0 при t > Т, то для него <

|кт(0|| • ||х(£)|| < С0||х(*;)|| при t> Т. Поэтому для этого решения при t >1 получаем следующие неравенства (с учетом того, что 0| < 6||х(0|| ихп+1=5 + и1): |s(t)| < б^Ш + ■■■ + ^пШ + ^п+1Ш < б^^ + ■■■ + ^пШ + К0| + М^), откуда (1 — 6)К0| < 6(|х1(0| + ■•• + ^пШ + ^Ш) < 6(|х1(0| + ■•• + ^пШ +

С0(|х1(0| + —+ |хп(0|)) и, следовательно,

. ^ 6(1 + С0)(|х1(р| + -+|хп(р|)

К0| <---(33)

при > .

Таким образом, для рассматриваемого решения (х(0,с( системы 5 в силу (33)

выполняется неравенство *;)| < г||х( при t > I, где

£ =

5(1 + С0) 1 — 5

(34)

В (34) £ может быть сколь угодно малым при достаточно малом 8. Поэтому для числа £0 > 0, существование которого доказано в лемме 2, существует число Д0 , 0 < Д0 < 1, такое, что при любом положительном 8 < Д0 для £ из (34) будет 0 < £ < £0 (подробно этот факт легко доказывается с помощью монотонно возрастающей на промежутке (0,1) функции р(8) = 5(1 + £0)/(1 — $) ). А при таком £, 0 < £ < £0, леммой 2 гарантировано существование постоянной С0. Поэтому постоянная С0 правомерно использована выше в доказательстве леммы 3. Лемма 3 доказана.

Леммы 1 - 3 и теорема 1 доказывают теорему 2.

Теорема 2 доказана.

6. Заключение

В работе для динамического объекта, описываемого системой нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений с неопределенными правыми частями, предложен и исследован алгоритм синтеза непрерывного скалярного управления, обеспечивающего асимптотическое стремление к нулю вектора состояния объекта.

Полученный в работе результат можно проинтерпретировать следующим образом: для решения задачи регулирования исходного объекта исходное управление и = и0, которое назовем управлением глубины 0, понижает размерность задачи (сводя ее к задаче управления системой меньшего порядка, чем порядок исходного неопределенного нелинейного объекта) и вводит новую управляющую функцию и1, которую назовем управлением глубины 1, решающую задачу регулирования системы пониженного порядка.

Литература

[1] Уланов, Б.В. Об управлении нелинейным динамическим объектом, Автомат. и телемех., 1986, № 6, 75-79; Autom. Remote Control, 47:6 (1986), 799-803.

[2] Фомин, В.Н., Фрадков, А.Л., Якубович, В.А. Адаптивное управление динамическими объектами. М.: Наука, 1981, 448 с.

[3] Уланов, Б.В. Об управлении нелинейными динамическими системами, Дифференц. уравнения, 24:8 (1988), 1373-1378; Differ. Equ., 24:8 (1988), 893-897.

[4] Филиппов, А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. -Математический сборник, 1960, т.51, №1. С. 99 - 128.

[5] Уланов, Б. В. Применение координатно-параметрических и параметрических обратных связей в задачах управления динамическими системами, подверженными параметрическим и внешним воздействиям: Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. М., 1982, 21 с.

To the regulation of indefinite nonlinear dynamic objects by

continuous control

Ulanov B.V. Togliatti State University, Togliatti, Russia [email protected]

Abstract. We propose an algorithm for the synthesis of continuous scalar control that regulates an indefinite nonlinear dynamic object so that all solutions of the system of differential equations describing a closed system are bounded and the state vector of the object asymptotically tends to zero. The object is described by a system of nonlinear ordinary differential equations with indefinite right-hand sides. The original continuous nonlinear control decreases the dimension of the problem and introduces a new control function -- adaptive control, which solves the problem of the regulation for a low-order controlled system. A study of the behavior of the solutions of the closed system is given.

Keywords: indefinite dynamic object, system of nonlinear ordinary differential equations, continuous control, regulation, order of a object, adaptive control.