CC BY
35
УДК 621.9.048.4
Н. П. Солнышкин, А. И. Самаркин, О. В. Негина
К РАСЧЁТУ ПОГРЕШНОСТИ ОБРАБОТКИ ПРИЭЛЕКТРОЭРОЗИОННОЙ ПРОВОЛОЧНОЙ РЕЗКЕ ВСЛЕДСТВИЕ ДЕФОРМАЦИЙ ЭЛЕКТРОДА
Рассматривается проблема расчёта профиля электрода-проволоки при достаточно общих ограничениях на свойства электрода и прилагаемой нагрузки. Приведены общие и частные решения дифференциальных уравнений, описывающих форму электрода.
Ключевые слова: проволочная резка, распределённая нагрузка, уравнение кривой, полином, гармоника.
Введение
Проволочная резка осуществляется электродом, выполненным из латуни или твёрдого сплава d = 0,1—0,3 мм, протягиваемым через направляющие фильеры, расстояние между которыми l составляет 10 мм и более (типичная толщина деталей типа матриц штампов составляет 30-60 мм), таким образом, длина между направляющими превышает диаметр электрода на 2 порядка и более.
Электрод подвергается воздействию значительного числа силовых факторов имеющих различную природу возникновения и характер воздействия (динамический или статический). Помимо усилия натяжения нити следует отметить воздействие от прокачки диэлектрика, воздействие силовых факторов от единичного разряда (от собственно разряда, расширяющегося газового пузырька в зоне канала разряда, кавитационные силы), полный расчёт которых сопряжён со значительными трудностями.
Вместе с тем, установившаяся под действием суперпозиции силовых факторов форма электрода отражается на боковом профиле обрабатываемой заготовки и как расчёт такой формы в общем случае (под воздействием произвольных сил), так и оценка воздействующих на электрод сил по его профилю имеют значение для расчётов точности электроэрозионной резки.
Так как электрод можно рассматривать как гибкую нить (ввиду того, что
l > d) напомним известные положения о равновесии гибкой нити, изложенные, например, в работе [2].
Рассмотрим гибкую невесомую нерастяжимую нить пренебрежимо малого диаметра. Нить натянута горизонтально продольной силой?7 и подвергается поперечному (вертикальному) воздействию распределённой нагрузки^ (см. рисунок 1).
Рассматривая равновесие некоторого малого участка нити (рисунок 2) можно отметить, что при отсутствии продольного компонента распределённой нагрузки H1 -И2 = 0, откуда dH = 0,поэтому: И = const.
ггггптттгггггггг» Т
I
Рис. 1. Распределённая нагрузка на нить
Рис. 2. Малый участок нити
Таким образом, горизонтальная составляющая силы натяжения нити является постоянной, а общая сила натяжения меняется за счёт изменения её вертикальной компоненты. Заметим также, что равнодействующая силы натяжения на участке Т (х):
Т (х) = Н ■ ^,
йх
(1)
здесь йз — дифференциал длины дуги нити, причём: йз = л] 1 + (у?)2 йх, [1].
Равновесие участка нити в вертикальном направлении зависит от характера действия распределённой нагрузки. В цитируемой работе рассматриваются два основных случая: нагрузка является массовой, то есть воздействует по длине нити и распределённая нагрузка, воздействующая по длине пролёта (случай нити с малой стрелой провисания).
Рассмотрим последний случай (случай нити с малой стрелой провисания), который является более простым.
Равновесие участка нити в горизонтальной проекции:
Т (х) = Н
в вертикальной:
йз
йх ’
Т (х) йу 1 + д (х) * = 0.
Ж) йз
(2)
После сокращения йз и подстановки первого уравнения во второе получим:
. йу^
с
Н
V йх
+ д (х) йх = 0
(3)
у
Простое двукратное интегрирование даёт:
dy
~Т = i q(x^dx
riv H *
dx H =0
x=L (4)
1 Л—1
y(x) =-------j jq(x)dxdx + C1
H 0
x= 0
В частности, если q(x) = q = const:
y (x ) = -1 qx2 + dx + C 2. (5)
2 H
Выполнив общепринятую подстановку q = a, получим (см. таблицу 1):
H
Таблица 1
Уравнения кривой
№ Начальные условия Уравнение кривой
1 О II X о" II с? X y (x ) = 2 xa (-x +1)
2* II X о" II с? X 1 x(-2SH - ql2 + xalH) y (x ) = W 2 IH
* В данном случае параметр 5 соответствует сдвигу направляющей фильеры относительно условно неподвижной базовой (как правило, нижней).
Рассмотрим более общий случай, когда распределённая нагрузка q является некоторой нелинейной функцией от координаты х. Практический интерес с точки зрения последующего анализа экспериментальных данных с помощью аппарата полиномиальной и нелинейной регрессии представляют, соответственно, представление q( х) в виде полинома или тригонометрического полинома.
Анализ результатов измерений бокового профиля деталей, полученных проволочной резкой, показывает, что он адекватно аппроксимируется полиномом не выше 6-ой степени (фактически, статистически значимыми являются коэффициенты при членах степени с первой по четвертую). Отсюда следует, что достаточно рассмотреть случай описания нагрузки полиномом четвертой (или даже второй) степени. При формировании полинома распределённой нагрузки следует учесть, что в фильерах нагрузка отсутствует, то есть имеем дополнительное условие: q(0) = q(l) = 0.
Указанное условие, очевидно, выполняется при условии разложения полинома на множители, содержащие члены х, х -1. Тогда модель распределённой нагрузки второй и четвертой степени запишутся как:
q2( х) = А1 х( х -1)
q4(x) = Дх(х -1) ^Л2х2 + А3х + А4) ()
, ч 1 -А1х4 + 2А1х3ї + \2C\xH + 12С2Н
даёт: у(х) =------------------------------------------, а при подстановке нулевых
12 Н
прогибов в фильерах в качестве начального условия, получим (после ряда
упрощений):
1 А1х^—х +ї—х + їх +ї ^
y (x ) = -1
(7)
12 Н
Полученный результат позволяет предсказать форму бокового профиля детали, зная усилие натяжения проволоки, которое задаётся механизмом перемотки и управляется системой ЧПУ станка и коэффициент интенсивности распределённой нагрузки А1— стрелу параболы эпюры нагрузки #( х) (с учётом некоторого коэффициента уточнения).
Аналогичным образом, интегрируя и упрощая, для полинома 4-ой степени получим:
A1|-—A2x6 +—AA2 - A3)x5 +—(A3 - A4)x4 + - A4lx3
, (x)=J^°___________—______________________1—6_' + C1x + C 2 (8)
H
После подстановки начальных условий (и ряда упрощений) линия нити может быть рассчитана, как (удобнее для машинных расчётов):
A1x(2A2x5 - 3x4A2l + 3x4A3 - 5x3A3l +
1 +5x3A4 -10A4lx2 +15A2 + 2l4A3 + 5l3A4)
У (x ) = -
60
H
или
С1 = -2Л2,
С 2 = Л2 - 3 Л3,
С3 = Л212 + 21Л3 - 5Л4, (9)
С 4 = 13 Л2 + 212 Л3 + 5 Л41,
у( Х) = - Л1х(/- х) ,х4 +с 2 х3 +с 3х2 +С 4 (х + 1))
60Н У У ”
Последняя форма удобнее для расчётов в ручном режиме. Ввиду значи-
тельного количества влияющих параметров последняя форма требует отдельного анализа.
В случае если распределённая нагрузка описывается тригонометрическим полиномом по типу: д^( х) = 8т(2^ х\ + <а{), в принятых обозначениях, что
г=0 1
даёт, например, следующую картину распределения нагрузки на длине в 40 мм для пяти гармоник (см. рисунок 4).
У(х ) = -
Л112яп ( — + W1
1 1 I I
я2
Л21 \ — + W2
1 2 ^ I
16 я2
Н
Л3/2яп [— + W3
3 ^ I 3
36
я
С1х + С 2
Общий член ряда может быть выписан в форме: тогда форма кривой нити:
У( х) =
1
2я
I2 К 1 А 2 • Г 2—
—— > ------------^ Л 81ПI —;
—Н^ (2/)2 / I I
х • . + W 1 + С1х + С 2
(11)
—н — (2/)
Для упрощения расчёта постоянных интегрирования примем то же предположение, что и ранее — о равенстве нулю распределённой нагрузки в фильерах, что выполняется автоматически при нулевых фазах W каждой гармоники. Из предыдущего выражения следует, что при х 0 и нулевой фазе сумма тригонометрического ряда равна 0, поэтому С 2 = 0. Аналогично прямой подстановкой показывается, что и С1 = 0.
Итак, форма нити при нагрузке, заданной в виде тригонометрического полинома при условии нулевых поперечных нагрузок в фильерах найдётся в виде:
У( х)=-
I2 К 1 Л 2 - Г 2я .
—:----- > ----7 Л. 81ПI ------------х • .
—Н (2.)2 . I I
(12)
2я
Из выражения следует, что нагрузки (с частотой ) дают вклад, по амплитуде обратный учетверённому квадрату номера, поэтому удерживать в расчёте более 4-5 гармоник нецелесообразно.
Положим, что амплитуды гармоник с первой по пятую составляют (см. таблицу 2):
Таблица 2
Амплитуды гармоник
№ 1 2 3 4 5
Амплитуда 0,2 0,4 0,9 0,4 0,3
Тогда расчётный профиль нити на длине 40 мм и силе натяжения 8 Н примет вид:
Выводы
1. Рассматривается проблема расчёта профиля электрода-проволоки при достаточно общих ограничениях на свойства электрода и прилагаемой нагрузки.
2. Приведены общие и частные решения дифференциальных уравнений, описывающих форму электрода.
3. Выполнен расчёт формы электрода-проволоки при нагрузке распределённой по полиномиальному закону (второй или четвертой степени).
4. Выполнен расчёт для случая, когда распределённая нагрузка описывается тригонометрическим полиномом.
Литература
1. КорнГ. А. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. А. Корн, Т. М. Корн. М.: Наука, 1977. 832 с.
2. Меркин Д. Р. Введение в механику гибкой нити. М.: Наука, 1980. 240 с.
N. P. Solnyshkin, A. I. Samarkin, O. V. Negina
CALCULATION OF ERROR IN PROCESSING ELECTROEROSION WIRE CUTTING OUT OF STRAIN ELECTRODE
This article is about the problem of calculating the profile of the electrode-wire under fairly general conditions on the properties of the electrode and the applied load. Are general and particular solutions of differential equations that describe the shape of the electrode.
Keywords: wire cutting, EDM, distributed load, curve equation, polynomial, harmonic.
Солнышкин Николай Петрович — профессор кафедры «Технология машиностроения^) ФГБОУ ВПО ПсковГУ, канд. техн. наук, доцент.
Самаркин Александр Иванович — доцент кафедры «Технология машиностроения» ФГБОУ ВПО ПсковГУ, канд. техн. наук, доцент, [email protected].
Негина Оксана Витальевна — старший преподаватель кафедры «Технология машиностроения» ФГБОУ ВПО ПсковГУ, [email protected].
УДК 67.05
В. Л. Васильев, Е. Н. Иванов, Е. А. Евгеньева
АНАЛИЗ ТОЧНОСТИ ПРИ ОБРАБОТКЕ НА МЕТАЛЛОРЕЖУЩИХ СТАНКАХ
Рассматривается математическая модель механизма образования погрешностей при обработке на металлорежущих станках с целью получения аналитических зависимостей влияния входных параметров точности на выходную точность обработанной детали.
Ключевые слова: математическая модель, координатные системы, погрешности, статическая, динамическая настройка.
Обработка по методу обката является наиболее сложной из существующих методов. Образование погрешностей обработки рассматриваем как пространственные перемещения и повороты координатных систем, построенных на деталях, размеры которых являются составляющими звеньями размерной цепи. Замыкающим звеном размерной цепи является относительное положение координатных систем, построенных на режущих кромках инструмента и технологических базах обрабатываемой детали [1, 2].
Первым этапом математического описания процесса образования погрешности обработки является выявление звеньев технологической системы, перемещение и повороты которых непосредственно сказываются на точности детали. Выявление указанных звеньев осуществляется посредством размерного анализа с использованием теории базирования.
