CC BY
55
УДК 621.1.9
Т.Р. Абляз, В.А. Иванов T.R. Ablyaz, V.A. Ivanov
Пермский национальный исследовательский политехнический университет Perm National Research Polytechnic University
РАСЧЕТ ВИБРАЦИИ ЭЛЕКТРОДА-ИНСТРУМЕНТА В ПРОЦЕССЕ ЭЛЕКТРОЭРОЗИОННОЙ ОБРАБОТКИ
CALCULATION OF WIRE ELECTROD VIBRATION DURING ELECTRICAL DISCHARGE MACHINING
Представлено математическое описание вибрации электрода-инструмента в процессе электроэрозионной обработки.
Ключевые слова: электроэрозионная обработка, проволочно-вырезная электроэрозион-ная обработка, вибрация электрода-инструмента, электрод-инструмент, электрод-деталь.
In this work the mathematical description of the electrode-tool vibration in the EDM is presented.
Keywords: electrical discharge machining, wire electrical discharge machining, electrode vibration, electrod-tool, electrod-detail.
Задачей настоящего исследования является разработка математических моделей для расчета прогибов проволоки-электрода в процессе обработки детали на проволочно-вырезном электроэрозионном оборудовании.
Одним из существенных недостатков процесса электроэрозионной обработки (ЭЭО) является вибрация электрода-инструмента (ЭИ) в процессе резки. Данный недостаток сказывается на технологических параметрах электро-эрозионного формообразования. Снижение влияния вибрации ЭИ на точность обработки является одной из основных задач в области развития ЭЭО.
Деформация ЭИ оказывает влияние на точность обработки в случае, когда он обладает малой жесткостью. Это в основном относится к операциям электроэрозионного вырезания (ЭЭВ). При ЭЭВ в качестве инструмента используется проволока диаметром 0,25-0,03 мм. Под воздействием силы, возникающей в межэлектродном зазоре при пробое, проволока прогибается на некоторую величину, в результате прогиба электрода-инструмента возникают погрешности обработки.
В нашей работе ЭИ рассматривается как металлическая струна, закрепленная на концах. Под струной в математической физике понимают гибкую упругую нить. Пусть струна натянута и закреплена на отрезке [0, /] оси ОХ.
Если усилием струну отклонить и придать ее точкам некоторую скорость, а затем отпустить, то точки струны будут совершать колебания.
При малых отклонениях струны от начального положения можно полагать, что точки струны движутся перпендикулярно оси ОХ и в одной плоскости, а функция, описывающая процесс колебаний, имеет вид и = и(х; г).
Рассмотрим элемент струны ММ\ (рисунок). На концах этого элемента по касательным к струне действуют силы Т. Пусть касательные образуют с осью ОХ углы ф и ф+Аф. Тогда проекция на ось Ои сил, действующих на элемент ММЬ Т 8ш(ф + Дф) - Т 8Ш(ф).
Рис. Профиль колебаний струны
В силу малости ф и Дх с точностью до О (Дх2 + Дф2) можно записать
Т 8ш(ф + Дф) - Т 8ш(ф) = Т tg(ф + Дф) - Т tg(ф) = ди (х + Дх; г) ди (х; г)
= Т
дх
дх
= Т д2и(х;г) Дх дх2 ‘
Для получения уравнения движения необходимо внешние силы, приложенные к элементу, приравнять к силе инерции. Если р - линейная плотность струны, то масса струны - р Дх. Следовательно,
рДх ди = Т -2 Дх. дг дх
Т 2
Обозначая — = а , получаем уравнение свободных колебаний струны Р
д 2и дг
2 д2и 2 = а дх2.
Если колебания вынужденные, то равнодействующая внешних сил, приложенных к участку струны ММ1 в момент времени г будет определяться как
Р = g (х, г)ММ1 ~ g (х, г)Дх.
Уравнение вынужденных колебаний струны
д2 и 2 д2 и 1
ТТ = а тг + _ g (х, г), дг дх р
где форма записи g (х, г) зависит от участка, на котором действует данная сила, и от закона распределения данной нагрузки.
Для приближения расчета к реальным условиям процесса ЭЭО необходимо рассмотреть колебания струны с учетом сопротивления окружающей среды. Силу сопротивления, возникающую при этом, примем пропорциональной скорости. Тогда на бесконечно малый участок струны М1М2 действует сила
г ди д
=*¥ а,,
где а - коэффициент пропорциональности.
Сила сопротивления всегда направлена против движения, следовательно,
д 2и 2 д2и „ ди 1
—^ = а —^ - 2т— + —, дг дх дг р
где а / р = 2т.
Ограничиваясь случаем свободных колебаний, запишем уравнение
в виде
д2и ди 2 д2и
—Т + 2т— = а —2. (1)
дг2 дг дх2
При начальных условиях
ди
= Р (х); (2)
г=0
при граничных условиях
и = 0, и\ = 0. (3)
1х=0 1х=/ 4 7
Решение уравнения (1) с условиями (2), (3) будем производить методом Фурье:
и (х, г) = X (х )Т (г), (4)
отсюда получаем
(It + 2mT л
X
Поскольку краевые условия для функций Х(х) остались такими же, как и для случая колебаний без сопротивления, то равенство (4) будет возможно,
если обе его части равны X2, где Xк = - собственные числа (к = 1,
2, ...); при этом собственные функции Хк(х) определяются по формуле
• к кх Хк(х) = эт——.
Для определения функций Тк(г) получим дифференциальное уравнение
Тк+ 2тТ'к + [^^ Тк = 0.
Характеристическое уравнение имеет вид
г2 + 2тг +1 1 = 0.
l
Корни уравнения
Г =-т +
2 i kna т +|
l
Предположим, что коэффициент трения т настолько мал, что подкоренное выражение отрицательно для любых значений k. Данное условие будет
pa
выполняться тогда, когда т < —^- ■
Вводя обозначения, получим ^-k^j - т2 = qI, следовательно, общее решение уравнения (1) будет иметь вид
u(х, t) = e~M¿ ( cos qkt + bk sin qkl)sin)ПХ, (5)
k=i l
где коэффициенты ak, bk находятся следующим образом:
l' k f (x)sin- l
ak = y Í f (x)sin — dx, l
a
bk = — [f (x)sin knx dx + mak.
q 0 l qk
Таким образом, решение уравнения (5) позволит определить деформацию ЭИ в процессе ЭЭО с учетом сопротивления окружающей среды.
Список литературы
1. Fundamental geometry analysis of wire electrical discharge machining in corner cutting / W.J. Hsue [et al.] // International Journal of Machine Tools & Manufacture. - 1999. - № 39. - P. 651-667.
2. Абляз T.P. Изучение погрешности формы, возникающей при обработке криволинейных поверхностей на проволочно-вырезном электроэрозион-ном станке // Вестник ПГТУ. Машиностроение, материаловедение. - Пермь, 2011. - Т. 13, № 3. - С. 51-54.
3. Altpeter F., Perez R. Relevant topics in wire electrical discharge machining control // Journal of Materials Processing Technology. - 2004. - № 149. -P. 147-151.
Получено 3.09.2012
Абляз Тимур Ризович - аспирант, лауреат премии «Инженер года», Пермский национальный исследовательский политехнический университет (614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, е-mail: lowrider11-13-11@mail.ru).
Иванов Владимир Александрович - доктор технических наук, профессор, Пермский национальный исследовательский политехнический университет (614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, е-mail: msi@pstu.ac.ru).
Ablyaz Timur Rizovich - Postgraduate Student, Engineer of the Year award winner, Perm National Research Polytechnic University (614990, Perm, Komso-molsky av., 29, е-mail: lowrider11-13-11@mail.ru).
Ivanov Vladimir Aleksandrovich - Doctor of Technical Sciences, Professor, Perm National Research Polytechnic University (614990, Perm, Komsomolsky av., 29, е-mail: msi@pstu.ac.ru).
