CC BY
8
ISSN 1992-6502 (Print)_
2020. Т. 24, № 1 (87). С. 25-31
Вестник УГАТУ
ISSN 2225-2789 (Online) http://journal.ugatu.ac.ru
УДК 539.3
К РАСЧЕТУ ТРУБЫ ИЗ НЕОДНОРОДНОГО УПРУГОГО МАТЕРИАЛА
А. Г. Хакимов1 , А. Б. Беляев2 , М. М. Шакирьянов3 , В. Р. Мухамадеев4
1 hakimov@anrb.ru, 2' 3 okmim@ugatu.ac.ru, 4 vener_muhamadeev@mail.ru
1 Институт механики им. Р. Р. Мавлютова УФИЦ РАН - ФГБОУ ВО «Уфимский государственный авиационный технический университет» (УГАТУ)
Поступила в редакцию 10.10.2019
Аннотация. Рассматривается напряженно-деформированное состояние трубы, оболочки и пленки из неоднородного упругого материала под действием внутреннего давления. Решение задачи представлено гипергеометрическими рядами. Приводятся результаты вычислений для толстостенной неоднородной трубы, неоднородной оболочки и очень тонкой неоднородной оболочки. Аналитическое решение эффективно при анализе напряженно-деформированного состояния цилиндра с тонким неоднородным слоем. Показано, что в неоднородном цилиндре радиальные напряжения и перемещения меньше, чем в однородном. Установлено, что тангенциальные напряжения в неоднородной оболочке по радиусу уменьшаются в большей степени.
Ключевые слова: труба; неоднородный упругий материал; оболочка; напряжения; перемещения; модуль упругости; цилиндр; радиальная координата; коэффициент Пуассона; механические свойства.
ВВЕДЕНИЕ
Неоднородные материалы достаточно широко распространены в инженерной практике [1]. Многие конструкционные, строительные и другие виды материалов являются неоднородными вследствие условий их изготовления. Неоднородность бетонов, пластмасс и металлов или сплавов объясняется неравномерностью их созревания, полимеризации или остывания соответственно [2, 3]. Зависимость механических свойств многих материалов от координат может возникать и в процессе эксплуатации какого-либо изделия или конструкции в агрессивной среде или при наличии радиации, тепла, влажности [1-6]. Механические свойства деформируемого материала при неоднородном напряженно-деформированном состоянии могут существенно зависеть от координат [1, 7, 8].
Учет свойств деформируемых неоднородных материалов связан с проблемой идентификации их механических свойств. С практической точки зрения эта проблема
особенно важна для обеспечения безопасности химических производств и атомных энергетических установок. В качестве объекта исследования используется толстостенная труба, оболочка и пленка из неоднородного упругого материала. Такой выбор можно считать обоснованным в силу того, что этот элемент конструкции используется очень широко и в последнее время получен ряд новых результатов, связанных с исследованием напряженно-деформированного состояния в толстостенных трубах из неоднородного упругого материала [9, 10].
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассматривается задача, связанная с деформированием толстостенной цилиндрической трубы с внутренним радиусом Т\ и внешним радиусом г2, неоднородность материала которой зависит от условий его синтеза или действия различных причин: агрессивной среды, радиации и т. п. Пусть на внутреннюю поверхность трубы действует равномерное давление Р0. Для опре-
деленности будем считать, что модуль упругости материала трубы внутри больше, чем модуль упругости вне трубы, или вне трубы находится агрессивная среда, проникновение которой в тело трубы приводит к неоднородному изменению упругих характеристик материала. В силу осевой симметрии характеристики материала трубы зависят лишь от радиальной координаты; при этом радиальное перемещение и = и(у) является функцией радиальной координаты у. Окружные перемещения будем считать равными нулю, осевые напряжения о2 -также равными нулю. Толстостенная цилиндрическая труба из неоднородного материала имеет бесконечную длину. Для исследования напряженно-деформированного состояния осесимметрично нагруженных тел имеем уравнение равновесия элемента трубы из неоднородного материала
да
ду
у + <у -ае = 0
у
(1)
где
Е
а у =-
2 (8 у +У8е),
1-у
Е
<<е =-^ (бе +У8 у ),
1-у
_йи и
в у = —; ве = —
ду у
(2)
, ае - радиальные и окружные
Здесь а
напряжения; еу, 8е - напряжения и деформации в радиальном и тангенциальном; и радиальные перемещения; у - радиальная координата; Е, V - модуль упругости и коэффициент Пуассона. Уравнение совместимости деформаций
у-
две ду
+ ве -ву = 0
выполняется тождественно.
Модуль упругости для трубы из неоднородного материала является функцией вида
Е(у) = а - Ъу" (г <у < Г2),
(3)
где т - положительное число, г1, г2 - радиусы внутренней и внешней поверхности цилиндра. Коэффициенты а и Ъ определяются из условий
ОД = Е1, Е(г2) = Е2, (4)
где Е1, Е2 - модули упругости материала неоднородного цилиндра для у = г1 и у = г2 соответственно.
Из условий (4) и уравнения (3) следует
а-
Е1г" - Е2 г"
Г2 - П
Ъ =
Е - Е
(5)
И."
Г2 - Г1
Для Е1 > Е2 Е~1(у) возрастающая функция у Е [п, Г2].
Подстановка (3) в (2) и далее в (1) дает гипергеометрическое дифференциальное уравнение для радиального перемещения и(у) произвольной точки неоднородного цилиндра
у 2 Л - Ъу" ^ ^ +
а
ду
2
(6)
+ у^1 - V - (т +1 - у)—у" J •
. ^-Г1 + (ту -1) —ут 1 = 0. ду \ а )
РЕШЕНИЕ
Линейно независимые решения уравнения (6) представляются через гипергеометрические функции ^(а, в, у, 1) [11]:
1 1 / 2 7
„ ч -V—^lv2+4
и(у) = Су2 2
ах,Рх,У1 ^у" 1 +
+С2 у
1 1 (27
——V V +4 22
(7)
а2 ,р2 ,у2 -у" а
где С1, С2 - произвольные постоянные,
1
а 1,2 = -+ 2
Ри = -+
—(лГт2 - 6ту+у2 + 4 + л/ у2 + 4| _2т
2т
—(-л/т2 -6ту + у2 + 4+ л/V2 + 4 ,
^ 2 + 4 ) 2 + 4)
У 1,2 =1 +
V2 + 4
т
Следует отметить, что при всех т > 0 (0 < V < 0.5) параметры а, в, у являются вещественными числами.
Известно, что гипергеометрический ряд сходится для < 1, следовательно, сходит-
1 а т
ся для у <
Ъ
Так как согласно (5)
а ] т
V =/2
Е2
Ел — Е?
Е1 —
Е?
->1, т >0,
Ел — Е2
то ряд Е(а, в, у, —ут) сходится для
а
0 < у < Г2, следовательно, сходится для
Г1 < у < /2.
Для определения постоянных интегрирования Сл, С2 используются граничные условия
а у =— Ро ,у = гл,
о (8)
а у = 0, у = г?,
где Ро - давление на внутренней поверхности цилиндра.
Условия (8) в развернутом виде записываются
йи
11
л (Г1)+
_ йу П12 (Г1)
V
П11 (Г1)
Г1
С1 +
йи
12
_ йу
(Г1) +
+ V
С2 =-
(1 —V 2 )Ро
Г1
(Г2 ) +V'
йп11 / ч П11 (г2 )
+ V
йу П12 (г2 )
г2
Е1 С1 +
йп 12
йу
(9)
(Г2 ) +
г2
С2 = 0.
Решение системы уравнений (9) имеет вид
Ь 1а22 ~ а21 ^
=-, С 2 =--С1 ,
аца22 — а12 а21 а22
йП11 , ч
ап = —— (Г1
йу
йП12 / \
а12 =-(/1 )+ч
йу
йП11 У ч
а21 =-(Г2 )+V
йу
йп12 / ч а22 = " (Г2 ) + V
П11 (/1) »_^_
Г1
П12 (/1) ;--—-
Г1
П11 (/2 )
/2
П12 (/2 )
йу
(1—V 2 )Р0
Е1
/2
1 1 Г2"
-V—Л^^Ч
-V—
Пц = у 2 2
а1 ,р1 ,У1 ,-ут ),
1 1 П
—УЧ—V V
^+4
П12 = у
Ь
=а 2 F а2,р2,у2 -ут I,
йи
11
/
йу • Е
1 1 V
V 2 2
-V—-л/V2 + 4 |уV 2 2
а
1 г—^ V2+41—1
' Ь
а1 ,р1 -ут | +
а ) ау1
тЬа1р^ т+\]—1
у
• Е
йи
г Ь I
а1 +1,01 +1,У1 +1-ут ], а)
йу
= | 1V+V2 + 4 I уV 2 2 2 2 1
-v+-VУ2+4 1—1
тл О - т . тЬа2р2 ЦГ+Г^41—1 • Е\ а 2 ,р2 ,У 2 , у | +-у V 2 2
ау 2
ь
а'
• Е а2 +1,р2 +1,у2 +1,—ут V а
Пример. Неоднородный цилиндр имеет следующие параметры: модули упругости Е\ = 420 ГПа, Е2 = 210 ГПа, коэффициент Пуассона V = 0,3, коэффициент т = 1,5, радиусы /1 = 10 мм, /2 = 50 мм и нагружен внутренним давлением Р0 = 100 МПа. Однородный цилиндр имеет следующие параметры: Е\ = Е2 = 210 ГПа.
/У // // //
у 0 0.5 у
Рис. 1. Зависимость радиальных напряжений от безразмерной радиальной координаты: сплошная линия — неоднородный цилиндр; пунктирная линия — однородный цилиндр
На рис. 1 дается зависимость относительных радиальных напряжений Оу от безразмерной радиальной координаты у * = (у — /1) / (/2 — /) для неоднородного (сплошная линия) и однородного (пунктирная линия) цилиндров. Видно, что в неоднородном цилиндре радиальные напряже-
т
т
ния меньше, чем в однородном. На границах, т. е. при у = Г1 и у = Г2, радиальные напряжения одинаковы.
На рис. 2 приводится зависимость окружных напряжений ое от безразмерной радиальной координаты. Из рис. 2 следует, что окружные напряжения больше в неоднородном цилиндре при у < 0.37, а при у > 0.37 окружные напряжения больше в однородном цилиндре, чем в неоднородном.
с^е
00
50
Рис. 2. Зависимость окружных напряжений от безразмерной радиальной координаты: сплошная линия — неоднородный цилиндр; пунктирная линия — однородный цилиндр
На рис. 3 приводится зависимость радиальных перемещений от безразмерной радиальной координаты у . Радиальные перемещения в неоднородном цилиндре в 2 раза меныие, чем в однородном.
и, \хк
5
2.5
Рис. 3. Зависимость радиальных перемещений от безразмерной радиальной координаты: сплошная линия — неоднородный цилиндр; пунктирная линия — однородный цилиндр
НЕОДНОРОДНАЯ ОБОЛОЧКА
Рассмотрим напряженно-деформированное состояние неоднородной и однородной оболочек. Неоднородная оболочка имеет
следующие параметры: модули упругости Е1= 420 ГПа, Е2 = 210 ГПа, коэффициент Пуассона V = 0,3, коэффициент т = 1,5, радиусы Г1 = 10 мм, г 2 = 12 мм - и нагружена внутренним давлением Р0 = 100 МПа. Однородная оболочка имеет следующие параметры: Е1 = Е2 = 210 ГПа.
На рис. 4-6 приводятся зависимости перемещений, радиальных и тангенциальных напряжений от радиальной координаты для неоднородной и однородной оболочек. Из рис. 4 видно, что перемещения по толщине оболочки изменяются незначительно, а радиальные перемещения неоднородной оболочки меньше, чем однородной. Радиальные напряжения в неоднородной оболочке меньше, чем в однородной оболочке (рис. 5). Тангенциальные напряжения в неоднородной оболочке по радиусу уменьшаются в большей степени, чем в однородной оболочке (рис. 6).
и, \\к
25
20
Рис. 4. Зависимость радиальных перемещений от радиальной координаты: сплошная линия — неоднородная оболочка; пунктирная линия — однородная оболочка
о
-50
Рис. 5. Зависимость радиальных напряжений от радиальной координаты: сплошная линия — неоднородная оболочка; пунктирная линия — однородная оболочка
Рис. 6. Зависимость окружных напряжений от радиальной координаты: сплошная линия -неоднородная оболочка; пунктирная линия - однородная оболочка
НЕОДНОРОДНАЯ ПЛЕНКА
Если в условиях предыдущего примера принять радиус г2 = 10.100 мм, то получится очень тонкая пленка толщиной 100 мкм. Пленка нагружена внутренним давлением Ро = 1 МПа.
и, \\к
5-
4.5
0
0.5
У
Рис. 7. Зависимость радиальных перемещений от относительной радиальной координаты:
сплошная линия - тонкая неоднородная оболочка; пунктирная линия - тонкая однородная оболочка
На рис. 7 приводится зависимость радиальных перемещений от относительной радиальной координаты для неоднородной и однородной пленок. Видно, что радиальные перемещения неоднородной оболочки меньше, чем однородной. Перемещения по толщине оболочки меняются незначительно. Сильное отличие радиальных перемещений неоднородной и однородной оболочек можно использовать для определения модуля упругости Е1 и коэффициента т. Толщина
неоднородной пленки уменьшается на 10.7 им, а однородной - на 16 нм.
-0.5-
иУ!
МПа
/ // // / / / / / / / / / / х / /
/ / / / / / / / / / // // // // >
0
0.5
У
Рис. 8. Зависимость радиальных напряжений от радиальной координаты:
сплошная линия - тонкая неоднородная оболочка; пунктирная линия - тонкая однородная оболочка
Рис. 9. Зависимость тангенциальных напряжений от радиальной координаты:
сплошная линия - тонкая неоднородная оболочка; пунктирная линия - тонкая однородная оболочка
Зависимость радиальных напряжений от радиальной координаты дается на рис. 8. Радиальные напряжения в неоднородной пленке меньше, чем в однородной оболочке. Тангенциальные напряжения значительно изменяются в неоднородной пленке (рис. 9), а в однородной пленке эти напряжения практически не изменяются.
ВЫВОДЫ
1. В неоднородном цилиндре радиальные напряжения меньше, чем в однородном. Радиальные перемещения в неоднородном цилиндре меньше, чем в однородном.
2. Перемещения по толщине неоднородной оболочки изменяются незначительно,
а радиальные перемещения неоднородной оболочки меньше, чем однородной. Радиальные напряжения в неоднородной оболочке меньше, чем в однородной оболочке. Тангенциальные напряжения по радиусу в неоднородной оболочке уменьшаются в большей степени, чем в однородной оболочке.
3. Под действием внутреннего давления толщина неоднородной пленки уменьшается меньше, чем однородной. Сильное отличие радиальных перемещений неоднородной и однородной оболочек можно использовать для определения параметров неоднородной оболочки.
Полученные результаты можно применять для исследования неоднородных труб, оболочек и тонких пленок.
Работа поддержана средствами государственного бюджета по государственному заданию (№ 0246-2019-0088).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Roganova N. A., Sharafutdinov G. Z. Identification of mechanical properties of inhomogeneous materials // Mechanics of Solids. 2012. Vol. 47, no. 4. Pp. 448-453. [ N. A. Roganova and G. Z. Sharafutdinov, "Identification of mechanical properties of inhomogeneous materials", in Mechanics of Solids, vol. 47, no. 4, pp. 448-453, 2012. ]
2. Колчин Г. Б. Расчет элементов конструкций из упругих неоднородных материалов. Кишинев: Картя Молдове-няскэ, 1971. 172 с. [ G. B. Kolchin, Calculation of Structural Elements of Elastic Inhomogeneous Materials, (in Russian). Kishinev: Kartya Moldovenyaske, 1971. ]
3. Ломакин В. А. Теория упругости неоднородных тел. М.: МГУ, 1976. 367 с. [ V. A. Lomakin, Theory of Elasticity of Inhomogeneous Bodies, (in Russian). Moscow: MGU, 1976. ]
4. Локощенко А. М. Ползучесть и длительная прочность металлов в агрессивных средах. М.: МГУ, 2000. 178 с. [ A. M. Lokoshchenko, Creep and Long-Term Strength of Metals in Aggressive Media, (in Russian). Moscow: MGU, 2000. ]
5. Ильюшин А. А., Ленский В. С. Сопротивление материалов. М.: Физматлит, 1959. 371 с. [ A. A. Il'yushin, V. S. Lenskii, Strength of Materials, (in Russian). Moscow: Fiz-matlit, 1959. ]
6. Ольшак В., Рыхлевский Я., Урбановский В. Теория пластичности неоднородных тел. М.: Мир, 1964. 156 с. [ V. Ol'shak, Ya. Rykhlevskii, V. Urbanovskii, Theory of Plasticity of Inhomogeneous Bodies, (in Russian). Moscow: Mir, 1964. ]
7. Ильюшин А. А. Пластичность. М.-Л.: Гостехиздат, 1948. 376 с. [ A. A. Il'yushin, Plasticity, (in Russian). Moscow-Leningrad: Gostechizdat, 1948. ]
8. Трелоар Л. Физика упругости каучука. М.: Иностр. лит., 1953. 240 с. [ L. R. G. Treloar, The Physics of Rubber Elasticity, (in Russian). Moscow: Inostr. lit., 1953. ]
9. Sharafutdinov G. Z. Some axisymmetric problems for an elastic inhomogeneous thick-walled tube // Moscow University Mechanics Bulletin. 2008. Vol. 63, no. 2. Pp. 29-34. [ G. Z. Sharafutdinov, "Some axisymmetric problems for an elastic inhomogeneous thick-walled tube", in Moscow University Mechanics Bulletin, vol. 63, no. 2, pp. 29-34, 2008. ]
10. Sharafutdinov G. Z. Axisymmetric strain of a thick-walled pipe made of a highly elastic material // Mechanics of Solids. 2009. Vol. 44, no. 2. Pp. 257-268. [ G. Z. Sharafutdinov, "Axisymmetric strain of a thick-walled pipe made of a highly elastic material", in Mechanics of Solids, vol. 44, no. 2, pp. 257-268, 2009. ]
11. Gradsteyn I. S., Ryzhik I. M. Table of integrals, series, and products. 8th edition. Rensselaer Polytechnic Institute, Troy, NY, USA, 2014. [ I. S. Gradsteyn, I. M. Ryzhik, Table of integrals, series, and products. 8th edition. Rensselaer Polytechnic Institute, Troy, NY, USA, 2014. ]
ОБ АВТОРАХ
ХАКИМОВ Аким Гайфуллинович, вед. науч. сотр. лаб. механики твердого тела Ин-та механики УНЦ РАН. Дипл. инж.-механика (УАИ, 1970). Канд. физ.-мат. наук по механике жидк., газа и плазмы (Казанск. гос. ун-т, 1977). Иссл. в обл. динамики взаимодействия упругих и упругопласти-ческих тел со средой.
БЕЛЯЕВ Андрей Борисович, зам. нач. отдела БашНИИнефтемаш. Дипл. инж. механик-экономист (УГАТУ, 2001). Иссл. в обл. технической диагностики деталей и узлов машиностроения, статики и динамики нагнетательных установок.
ШАКИРЬЯНОВ Марат Масгутьянович, доцент кафедры теоретической механики. Дипл. инж.-механика (УАИ, 1969). Канд. физ.-мат. наук по механике твердого деформируемого тела (Казанск. гос. ун-т, 1978). Иссл. в обл. динамики взаимодействия упругих тел со средой.
МУХАМАДЕЕВ Венер Рифкатович, ст. преподаватель каф. ОКМиМ. Дипл. магистра техники и технологии (УГАТУ, 2007). Исследования в области взаимодействия нанострук-турных покрытий с поверхностью нанесения.
METADATA
Title: On the calculation of pipes made of inhomogeneous
elastic material. Authors: A. G. Khakimov1, A. B. Belyaev2, M. M. Shakir'yanov3, V. R. Mukhamadeev4
Affiliation:
1 Federal State Budget Scientific Institution R. R. Mavlyutov Institute of Mechanics, Ufa Research Centre, Russian Academy of Sciences (IMech URC RAS), Russia. 2-4 Ufa State Aviation Technical University (UGATU), Russia. Email: 1hakimov@anrb.ru, 2 3okmim@ugatu.ac.ru, 4vener_
muhamadeev@mail.ru Language: Russian.
Source: Vestnik UGATU (scientific journal of Ufa State Aviation Technical University), vol. 24, no. 1 (87), pp. 25-31, 2020. ISSN 2225-2789 (Online), ISSN 1992-6502 (Print). Abstract: The stress-strain state of a pipe made of an inhomogeneous elastic material is considered. The solution of the problem is represented by hypergeometric series.
The results of calculations for inhomogeneous thick-walled tubes, non-uniform shell and very thin heterogeneous shell. The analytical solution is effective in analyzing the stress-strain state of a cylinder with a thin inhomogeneous layer. It is shown that radial stresses and displacements in a non-uniform cylinder are less than in a homogeneous one. It is found that the tangential stresses in the inhomogeneous shell along the radius decrease to a greater extent.
Key words: pipe; inhomogeneous elastic material; shell; stresses; displacements; modulus of elasticity; cylinder; radial coordinate; Poisson's ratio; mechanical properties.
About authors:
KHAKIMOV, Akim Gayfullinovich, leading researcher at the laboratory of solid state mechanics. Dipl. mechanical engineer (UGATU, 1970). Cand. Sci. (Phys.-Math) (Kazan State Univ., 1977).
BELYAEV, Andrey Borisovich, assistant department head Bashniineftemash. Dipl. in engineering economist-mechanic. Researches in the field of technical diagnostics of details and nodes of mechanical engineering, a statics and dynamics of delivery installations.
SHAKIR'YANOV, Marat Masgut'yanovich, associate Professor of theoretical mechanics. Dipl. mechanical engineer (UGATU, 1969). Cand. Sci. (Phys.-Math) (Kazan State Univ., 1978).
MUHAMADEEV, Vener Rifkatovich, senior lecturer of the department of bases of constructing of mechanisms and machines of USATU. Mag.-ing. (USATU, 2007).
