CC BY
12
УДК 539.384: 629.1 2.01 1.001.24
С.О. Барышников, М.В. Сухотерын
К РАСЧЕТУ СУДОВЫХ ДНИЩЕВЫХ ПЛАСТИН
Изгиб пластин, лежащих на сплошном упругом основании, представляет для судостроительной науки интерес с точки зрения расчета днищевых пластин, воспринимающих от кильблоков реактивные давления килевой дорожки и передающих его силовому набору судна. Эта же проблема возникает при расчете плоского киля при постановке судна в доке. В гидротехнике днища камер шлюзов, лежащих на грунте, также можно рассматривать как плиты на упругом основании. Известные решения получены для шарнирно опертой пластины [1] и пластины, две противоположные кромки которой защемлены, а две другие свободно оперты [2]. Между тем во многих случаях расчетной схемой является пластина, защемленная по всем граням. Эта задача — более сложная и не имеет точного решения в замкнутой форме, а ее приближенные решения оставляют открытым вопрос о точности результатов.
Рассмотрим прямоугольную защемленную пластину (панель) с размерами в плане ах Ь постоянной толщины А, лежащую на упругом основании и нагруженную с противоположной стороны равномерной поперечной нагрузкой . Обозначим через р коэффициент постели, характеризующий жесткость основания. Начало системы координат ХОУпоместим в центр пластины.
Дифференциальное уравнение изгиба такой пластины имеет вид [1,2]
(1)
где IV— прогиб срединной поверхности пласти-
ны; В = -
Е1г
цилиндрическая жесткость
II д . „ д
- + -
— бигар-
Пуассона; V V =—г + 2-
дх4 дх'ду' ду4 ионический оператор.
Здесь реакция упругого основания считается пропорциональной его прогибу. Такое основание принято называть винклеровым.
Перейдем к безразмерным координатам х = Х /Ь, у = У /Ь. Тогда уравнение (1) можно привести к виду
У2У2и' + Л2и' = 1,
(2)
№£> _ _ рб4 где и' =-;— относительный прогиб; к = 4 -—.
Чф Ь
Относительные размеры пластины будут такими: -у/2<х<у/2, -1/2<>'<1/2, где у = а/ Ь — отношение сторон пластины.
Граничные условия на защемленных кромках имеют вид:
х = +у / 2: и' = 0, дм /дх = 0, (3)
>• = ±1/2: и' = 0, дн>/ду = 0. (4) Разложим правую часть уравнения (2) в двойной ряд Фурье вида
ОО ОО
1 = Е Е (5)
¿ = 1Д... 5=1 Д..
где =5л/у=кп;
4 т/2 1/2
Чь =- I | а»(цлх)а»(/Ц у)с!хс1у =
У -у/2-1/2
16(-1)*+'(-1)5~+1 У ^
(6)
Здесь к=(к +1)/2, 5= (5 + 1)/2. Тогда уравнение (2) примет вид:
У2У2ч' + Я2ч' =
00 00
12(1 — V )
пластины; Е— модуль Юнга; V — коэффициент
=- Е Е (-1)*+1(-1Г''
У ¿=1Д... 5=1 Д...
Х со^х) сЦ^у) ^ кк
(7)
Задача ставится так: найти функцию прогибов и'(х, >), удовлетворяющую дифференциальному уравнению (7) и граничным условиям (3),(4).
Начальный компонент решения выберем в виде
Щ(х,у) =
Чтобы «убрать» невязки (10), (11), поступим следующим образом. Добавим к начальному решению и'0 функцию следующего вида:
16 - » (-1)*(-1)" =— X Е -х
У ¿=1,3,... 5=1,3,...
ХСОЗ^-фоБ^ У) (8)
где^ — неопределенные коэффициенты.
Функция (8) удовлетворяет условиям отсутствия прогибов защемленных граней. Потребуем, чтобы она удовлетворяла и дифференциаль-номууравнению изгиба (7). Тогда для отыскания коэффициентов gks получаем уравнение
+ 2+ Х4к - Ь из которого следует
1
(Х2к+^)2+Я2
(9)
А I - ЭИ'0
х=У-
2
- X (-1)Л+|аЛ0со8(А,^);
(Ю)
е„
} 2
_ дщ
ду
У=2
= - Е (-О^'а^сов^-к),
5=1,3,...
(Н)
где
а
1
к 0 ■
16
а50="
16
+Я2
(12)
X (-1)к+1ЯксЪ{ркх)сон{ХкУу (13)
где Нь Р;- — неопределенные коэффициенты.
Потребуем, чтобы эта функция удовлетворяла соответствующему однородному дифференциальному уравнению задачи
У2У2>У + Л2>У = 0. (14)
Тогда для определения коэффициентов Рд. получаем уравнение -2к1$1 +Я2 = 0, которое дает комплексные корни р^ =Х2к ±/Л.
Отсюда
р к=ак+1\, р к=ак-1%
(15)
Начальное решение (8) не удовлетворяет лишь условиям отсутствия углов поворота заделанных сечений (вторые условия в (3), (4)). Нарушения граничных условий обычно называют невязками.
Итак, невязки от и>0 имеют вид
где
"к = (16)
Поскольку вместо одной последовательности коэффициентов получено две (15), то функция (13) перепишется в виде
и >,(х,>-) =
00 - / _ \ = X (-1)А+> (//,сЬ(р^) + //;сЬ(р^) X
к=1,3,...
ХСОБ^у), (17)
где коэффициенты Нк и Нк должны быть такими, чтобы функция (17) удовлетворяла граничным условиям (3), т. е. компенсировала бы невязку (10). (Невязкой (11) мы займемся позже.) Это дает систему двух уравнений
(18)
из которой получим Я, --
а
■к О
сИ
Р кУ
Заметим, что на противоположных гранях выражения (10) и (11) поменяют знак.
. - - у
Н*к=-Нк сЬ^/сЬ^.
(19) 195
Ядро ряда (17) в силу (15) представляет собой комплексную функцию переменной х. Однако после подстановки корней (15) и преобразований получаем функцию действительной переменной, и ряд (17) примет вид
к1(х,у) =
= £ (-1)Г+1[АквЦакх)*п(Ькх) +
1Д...
■ Вк сЬ(аЛх)со8^х]со8(А,Л>'),
(20)
где
4 =
2 2 акйпЬку + Ькй\аку'
-а
к 0'
А
к 2 2
(21)
4-4:
Эй', |
ду Ц
= - I + (22)
¿=1Д...
сЬ(р,х) = -сьМ £ (_!)
У 2 5=1Д...
5 + 1 Й5
2 ^ 4 ' о2 . ..2 •
сЬ(р,х) = ^сьМ £ (_!).
5+1 ИхСо^л)
(23)
2 5=1,3,...
где
(Х51 = — Е / ч / \'
(^2+ц2)2+л2
(25)
Сложим теперь невязки (11) и (24):
03,|,.= I (-1Г'а:/С08(^х). (26)
3 2 5=1,3,...
Здесь а= а*51 - а*().
Чтобы устранить невязки (26), добавим к решению функцию, аналогичную (13):
И'
,(х,у)= £ (-1)г+14сЬ(^у)со8(ц,х), (27)
5=1,3,.
где подлежат определению. Подчиняя эту
функцию однородному дифференциальному уравнению изгиба (14), получим для коэффициентов ^ уравнение ^ - 2|12£2 + ц* + Я2 = 0, которое дает комплексные корни = ц2 ± ¡Я. Отсюда
Функция прогибов (17) (или, что то же самое, (20)) на граняху = ±1/2 не дает прогибов, но порождает угловые деформации заделанных сечений, т. е. дает невязки, подобные (11):
где
Я
qs =-
2 рх
(28)
(29)
Заметим, что формулы (28), (29) аналогичны (15), (16). Сучетом (28) функция (27) запишется в виде
и >2 (*,>') =
+
Разложим гиперболические косинусы в ряды Фурье:
5=1,3,...
(30)
Потребуем, чтобы она удовлетворяла условиям (4) на грани у = +1 / 2 , компенсируя при этом невязку (26). Тогда для определения коэффициентов Ь - К получим систему, аналогичную (18):
Подставляя (23) в (22) и переставляя знаки суммирования, после преобразований получим
М >= I (-1Г'а:,со8(^х), (24)
Х?сЬ—+1* сЬ—= 0;
5 2 5 2
¿А +1% ейЦ = -а],,
(31)
из которой находим
а
5/
. I I /
сЬ — 2
(32)
Комплексная функция (32) после подстановки в нее корней (28) и последующих преобразований приводится к действительной форме:
и>2(х,>-) =
5=1,3,...
Щ с11(/^у)со$(д, у)]соз(^х), (33)
где
С =-2-
и Р5 <?5
СП —СОБ — 2 2
Р5 БШ^ р5
5 5 2 в 2
(34)
¿=1,3,...
где
ЛОЛ V1 сЬ^+СОБ^
ак1=-4ЯХк > ----—х
5=1,3,... />5 8111
Для исправления этих невязок вновь привлекается функция вида (20) (но с другими коэффициентами^,, Вк,):
СО ~
¿=1,3,...
+вк\сЬ(^х)соз(б^.х)]со8(^>-), (39)
где ак, Ьк находятся по формуле (16), а коэффициенты Акх, Бк1 —поформулам,аналогичным (21) (отличаются знаком уАкх)\
, ак у Ьк у 2 2
Функция (30), удовлетворяет условию отсутствия прогибов граней х = ±у/2, но подобно функции (17) дает угловые деформации этих граней:
е„1 =
-VI л-у/2 дх л =у/2
оо
= " Е + (35)
5=1,3,...
Разлагая гиперболические косинусы в ряды Фурье по формулам, аналогичным (23),
с1^, = 4С4 £ (Ч)^-^М,
1 к=1,3,... ^ +Лк
СЪ1У = 4сь\ £ (Ч^-^М, (36)
2 ¿=1,3,... ^ + Л.*
подставляя (28), (29) в (35) и переставляя знаки суммирования, получим
0*.Ц/2= Е (-1)"+1а„С08(^у), (37)
ак$НькУ)+ькМакУ) В^-АЛЪ^М.
ак1<
(40)
2 2
Затем для исправления угловых невязок от
1,._],;= Е (-1Г'а12С08(^х), (41)
' ' 5=1,3,...
где
* _ 4 ^ сЬ(аку) + со$(Ьку)
—--/ ^ -у-\—--7-
У к=1Л.Л*ЩЬкУ) + ЬкЩакУ)
^как 1
вновь привлекается функция вида (33)
5=1,3,...
(42)
+
сЬ(^>-)со8(^>-)]со8(^х), (43)
где коэффициенты находятся по форму-
лам (29), а коэффициенты С5|, — поформулам, аналогичным (34):
С,
1 />5 "?5
сп—«в— -2-2-2- *
р! бш д! + вИ р!
(44)
Таким образом, приходим к бесконечному итерационному процессу взаимного попарного исправления углов поворота заделанных сечений. Для сходимости итерационных решений к точному решению задачи невязки должны убывать по абсолютной величине с ростом числа итераций. При достижении заданной точности процесс можно остановить.
Решение исходной задачи запишется в виде
оо
у) = О, у) + £ Ц?1п О, у) + м?2п О, у), (45)
л=1
где п — номер итерации. С учетом формул (8), (20), (33) функцию прогибов можно представить следующим выражением:
16 - - ("1)г(-1 / / Ч /л Ч
У к=1,3,...5=1,3,...
оо _
к=1,3,...
+ Вк1. сЦа^оЦ^х)]««^) +
5=1,3,...
+АесЬ(/?^)со8((75З;)]СО8(|115Х), (46)
где ввиду линейности задачи фигурируют суммарные значения коэффициентов по всем итерациям
Ае = А1 + А2 + ••• + Ал'
ду = д, +д9+...+д„.
Юнга Е, размеры пластины а и Ь, толщина пластины /?. Задаются также количество членов п, удерживаемых в рядах, и число итераций Ж Затем вычисляются значения коэффициентов gks
(9), ак0 и с4 (12), а также ак, Ък (16) и qs
(29). Они заполняют соответствующие числовые массивы. Затем организуется цикл по числу итераций п, в котором последовательно вычисляются коэффициенты ал (25), Г=ал-аак1 (38), (42), а^2по формуле, аналогичной (38),
с заменой а81 на и т. д. При этом вычисляются суммарные значения этих коэффициентов по всем итерациям, а по ним — суммарные значения Акъ,..., Бкъ. Наконец, по формуле (46) вычисляются прогибы любой точки срединной поверхности пластины.
Изгибающие моменты (безразмерные) рассчитываются по формулам [2]
Млг
Му=-
дх2
- +V-
¿V
V
Гд2ч?
5/ ду1
(47)
Л'1 Л 2 '.....
Приведем весьма простой алгоритм численной реализации метода.
Исходными данными являются: коэффициент постели р, коэффициент Пуассона V, модуль
а по ним определяются напряжения ах, ау.
По данному алгоритму была составлена программа в системе аналитических вычислений «Мар1е 14». Программа позволяет контролировать вычислительный процесс для каждой итерации, исследовать влияние количества членов, удерживаемы в рядах, и количества итераций, а также коэффициента постели на величину прогибов пластины.
В качестве примера вычислялись прогибы квадратной пластины с весьма малым коэффициентом постели р = 0,001, чтобы убедиться в близости результатов для аналогичной пласти-
Изогнутая поверхность квадратной пластины (р= 0,001)
ны без упругого основания. Изогнутая поверхность пластины представлена на рисунке.
Размеры пластины 1x1x0,02 м. Наибольший относительный прогиб — 0,00126525 — имеет место в середине пластины (число членов в рядах — п = 299, число итераций — N = 12); для обычной пластины — 0,00126 [2].
Отметим, что пятая значащая цифра в прогибах не изменялась уже начиная с/7 = 199 и ТУ= 10.
Невязки выполнения граничных условий убывали по абсолютной величине по геометрической прогрессии весьма быстро. Это подтверждает быструю сходимость итерационных решений к точному решению задачи.
Следующее значение коэффициента постели принималось равным р= 0,01, наибольший прогиб составил 0,0012584; при р = 10 получили прогиб 0,00080932, при р = 100 - 0,00016809.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Папкович, П.Ф. Строительная механика корабля. Ч. 11 [Текст] / П.Ф. Папкович,— J1.: Гос. союзное изд-во судостр. промыш-сти, 1941. 960 с.
2. Тимошенко, С.П. Пластинки и оболочки [Текст] / С.П. Тимошенко, С. Войновский-Кри-гер,— М.: Физматгиз, 1963,— 635 с.
УДК621.515.1
В.А. Голиков, А.А. Жарковский, Г.И. Топаж
ПРОГРАММНЫЕ КОМПЛЕКСЫ ДЛЯ РАСЧЕТА ТЕЧЕНИЯ И АВТОМАТИЗИРОВАННОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ ЛОПАСТНЫХ ГИДРОМАШИН
На кафедре гидромашиностроения энергомашиностроительного факультета СПбГПУ разработаны методы и комплексы программ для автоматизированного проектирования лопастных гидромашин. Комплексы используются при создании проточных частей по договорам с промышленностью, в учебном процессе, внедрены в ряде организаций. Кратко опишем данные комплексы программ.
Метод расчета осесимметричного и квазитрехмерного потока в проточных частях лопастных гидромашин разработан В.И. Климовичем. Пакет программ, реализующий этот подход, позволяет рассчитать течение как в осесимметричной, так и в полной квазитрехмерной постановках. Метод используется в качестве базового в пакетах других разработчиков. В пакете имеется возможность автоматизированной подготовки исходных данных по геометрии лопастных систем, необходимыхдля расчетов по заданному открытию направляющего аппарата и углу установки лопастей рабочего колеса (РК). На рис. 1 показаны результаты расчетов течения в проточной части гидротурбины Миат-
линской ГЭС, а на рис. 2,3— течений в проточной части центробежного насоса ГЦНА-1391, полученные на основе квазитрехмерного подхода.
Комплекс программ «Гидродинамический расчет насосов и турбин» («ГРаНиТ») разработан кандидатом технических наук A.B. Захаровым и доктором технических наук Г.И. Топажем. Комплекс обобщает и развивает традиции научной деятельности кафедры гидромашиностроения СПбГПУ в направлении расчета гидродинамических показателей лопастных гидромашин. Опыт проектирования лопастных гидромашин показал, что математические модели, основанные на квазитрехмерных методах расчета, позволяют достаточно полно отразить физические процессы, происходящие в проточной части. В связи с этим при создании АПК «ГРаНиТ» авторы, помимо собственных программ, использовали хорошо зарекомендовавших себя в инженерной практике разработки других исследователей (в частности, B.C. Раухмана, В.И. Климовича, М.И. Жуковского), базирующиеся на решении прямых и обратных квазитрехмерных задач.
