CC BY
6ф
ЭКСПЕРТ:
ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА
2023. № 1 (20)
EXPERT: THEORY AND PRACTICE
Научная статья УДК 624.04
ГРНТИ: 67: Строительство. Архитектура
ВАК: 2.1.1. Строительные конструкции, здания и сооружения; 2.1.5. Строительные материалы и изделия;
2.1.9. Строительная механика
doi:10.51608/26867818_2023_1_69
К РАСЧЕТУ ПЛАСТИН МЕТОДОМ КОЛЛОКАЦИЙ © Автор 2023 ГОРБАЧЕВА Ольга Александровна
SPIN: 6657-0301 ассистент кафедры «Строительные материалы, конструкции и технологии»
AuthorID: 1131557 Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А;
инженер научно-исследовательской группы
Научно-исследовательский институт строительной физики РААСН (Россия, Москва, e-mail: olga12zakirova@inbox.ru)
Аннотация. Статья посвящена исследованию возможностей метода коллокаций для расчета пространственных конструкций. Предложен метод построения последовательности узлов коллокации на основе пропорции «золотого сечения» для прямоугольной пластины.
Ключевые слова: метод коллокаций; определение узлов коллокации; золотое сечение; невязка решения; строительные конструкции; строительная механика
Для цитирования: Горбачева О.А. К расчету пластин методом коллокаций // Эксперт: теория и практика. 2023. № 1 (20). С. 69-72. Сок10.51608/26867818_2023_1_69.
Original article
ABOUT THE COLLOCATION METHOD FOR TO THE CALCULATION OF PLATES
The Author(s) 2023 GORBACHEVA Olga Aleksandrovna
assistant of the department "Building materials, structures and technologies"
Saratov State Technical University named after Yuri Gagarin
(Russia, Saratov, olga12zakirova@inbox.ru)
engineer of the research group at NIISF RAASN (Russia, Moscow)
Annotation. The article is devoted to the study of the possibilities of the collocation method for the calculation of spatial structures. A method for constructing a sequence of collocation nodes based on the proportion of the "golden section" for a rectangular plate is proposed.
Keywords: collocation method, determination of collocation nodes, golden section, residual solution, building structures
For citation: Gorbacheva O.A. About the collocation method for to the calculation of plates // Expert: theory and practice. 2023. № 1 (20). Pp. 69-72. (InRuss.). doi:10.51608/26867818_2023_1_69.
В качестве примера рассмотрим упругую прямоугольную пластинку, жестко защемленную по контуру под действием равномерно распределенной нагрузки ц0. Расчет выполним методом коллокаций, предложенный Л.В. Канторовичем [1]. Дифференциальное уравнение изгиба пластинки в безразмерном виде имеет вид
Ги($,г1) = р($,г1) (1)
где u - безразмерный прогиб, p - безразмерная поперечная нагрузка, —безразмерные координаты. Граничные условия формулируем также в без-
размерном виде. Приближенное выражение прогиба и'п0;,Г1) будем искать в виде и^.л) = ш(^,11)К(Ап,^,11), (п = 0X2,...) (2) где —главная часть решения, удовлетворяющая
однородным граничным условиям на контуре пластины, а К(Ап, ц) —корректирующая функция, которую выберем в виде полинома с неизвестными коэффициентами К(Ап, $.4) = % Ап ?пТ12п. (п = 0,1,2,...) (3) Главную часть решения представляем в виде произведения прогибов упругих балок, построенных статическим методом В.З. Власова
ш^.ц) = (2{4 - 3(3 + - 3л3 + V) (4)
Подставляя (2) в уравнение Софи Жермен (1) найдем невязку решения
Рп(Ап^,т]) = У4и*п-р (5)
В соответствии с методом коллокации, в срединной плоскости пластины необходимо выбрать систему узлов коллокации и в этих точках приравнять невязку решения нулю. В результате получим систему п линейных алгебраических уравнений, для определения коэффициентов Ап. Точность решения задачи зависит от количества и размещения узлов коллокации. В работах [2-6] приведены примеры решения линейных и нелинейных задач механики методом коллокаций с вариантами размещения узлов в виде регулярных и нерегулярных сеток.
В работе [7] при расчете нелинейно-упругой балки предложен вариант построения узлов коллокации с помощью «пропорции золотого сечения», который позволяет получить довольно точное решение при минимальных трудозатратах. Этот способ применим для двухмерной конструкции (пластины). Так как граничные условия и равномерно распределенная нагрузка симметричны в двух направлениях достаточно рассмотреть одну четверть пластинки в плане.
Для исследования влияния размещения узлов коллокаций на точность решения задачи на рис.1 представлены различные варианты расположения узлов: а - узлы расположены на диагонали пластины («золотое сечение» - первый отрезок от центра короткий, второй длинный), б - узлы расположены на диагонали пластины («золотое сечение» - первый отрезок от центра длинный, второй короткий), в -узлы расположены на горизонтальной оси («золотое сечение» - первый отрезок от центра выбирается коротким, второй длинным), г - узлы расположены на диагонали пластины равномерно.
Приравнивая в выбранных узлах коллокации невязку решения (5) нулю, получим варианты СЛАУ вида
{ГиКА^.Т);) -ро = 0}1з= А, В, С, Б (6)
(только узел А - первое приближение; узлы А, В -второе приближение; узлы А, В, С - третье приближение; узлы А, В, С, Э - четвертое приближение), п -количество узлов коллокаций, - координаты узлов коллокаций. Решая эти системы уравнений, найдем коэффициенты А1,А2,А3,А4 и, подставляя их в (2), получим искомую функцию прогиба пластинки. Далее по известным формулам определяем необходимые характеристики для определения напряженно деформированного состояния пластины.
В таблице 1 приведены значения прогиба в центре пластины при расчете пластины МК с различными схемами расположения узлов (рис. 1). Решение, полученное в [8], принимаем за эталонное.
Рис. 1
Таблица 1
Схема расположения узлов коллокации 1узел (А) 2 узла (А, В) 3 узла (А,В,С) 4 узла (A,B,C,D)
а 1.385*10-3 1.337*10-3 1.333*10-3 1.344*10-3
б 2.193*10-3 0.723*10-3 0.656*10-3 0.978*10-3
в 1.050 *10-3 0.717*10-3 1.111*10-3 -
г 0.841*10-3 0.914*10-3 0.979*10-3 0.948*10-3
Эталонное решение 1.270*10-3
Результаты, представленные в этой таблице, позволяют сделать вывод, что в схеме «а» имеем быструю сходимость (достаточно второго приближения, с разницей с эталонным решением 5%), а в схемах «б», «в» и «г» отсутствует тенденция к сходимости решения.
На рис. 2 представлены значения прогиба и изгибающего момента в центре пластины при произвольном выборе двух узлов коллокации.
ф
ЭКСПЕРТ:
ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА
2023. № 1 (20)
EXPERT: THEORY AND PRACTICE
Рис. 2
Рис. 3. Поверхность невязки решения (узел А)
Рис. 4. Поверхность невязки решения (узлы А,В)
Рис. 5. Поверхность невязки решения (узлы А,В,С)
Рис. 6. Поверхность невязки решения (узлы АДС,0)
Анализ результатов рис. 2 позволяет сделать заключение, что при произвольном выборе положения двух узлов коллокации, решения в центре пластины, отличаются более чем на 30% от эталонного решения. Таким образом, предложенный последовательный метод поиска узлов с использованием пропорций «золотого сечения» дает сходимость решения только при последовательном поиске узлов, а произвольный выбор узлов (из предложенных на
приведенных выше схемах) не применим для решения задачи.
На рис. 3-6 показаны поверхности невязок решения при расчете пластины методом коллокаций при разных количествах узлов (1,2,3,4 узла).
При расчете пластины с предложенной системой узлов поверхность невязок имеет экстремумы решения по контуру пластины, а также по диагональной оси. Ввиду того, что угловые точки контура пла-
стины являются особыми точками контура их окрестности следует исключить из рассмотрения.
На Рис.3-6 можно заметить, что при увеличении узлов коллокации расположенных на диагоналях пластины со сгущением в околоконтурных зонах (добавление узлов С и Э), пиковые значения невязки решения в углах и на контуре пластинки уменьшаются, а в зонах диагоналей пластины при увеличении числа узлов невязки решения стремятся к нулю.
Вывод. При расчете пластин методом колло-каций с использованием предложенной системы выбора узлов, основанной на пропорциях «золотого сечения», наблюдается быстрая сходимость (достаточно двух приближений при решении линейных задач) с инженерной точностью. Использование предложенной системы построения узлов коллокации приближает невязки решения к нулю по всей плоскости пластины и значительно уменьшает невязки в защемлении. При этом не требуется производить интегральные вычисления и решать обширные СЛАУ, что уменьшает трудозатраты при решении инженерных задач.
Библиографический список
1. Канторович, Л. В. Об одном методе приближенного решения дифференциальных уравнений в частных
производных / Л. В. Канторович // Доклады Академии наук СССР. - 1934. - Т. 2, № 9. - С. 532-536. - EDN ZJGGVR.
2. Рогалевич В.В. Коллокационные методы. Сущность. Примеры. / В.В. Рогалевич. Екатеринбург: Изд-во АМБ, 2001, - 298 с.
3. Букша, В. В. Расчет пластин и пологих оболочек коллокационными методами : монография / В. В. Букша, О. В. Машкин, В. В. Рогалевич ; В. В. Букша, О. В. Машкин, В. В. Рогалевич. - Екатеринбург : Изд-во АМБ, 2007. - 357 с. -ISBN 978-5-8057-0637-1. - EDN QJSXEJ.
4. Голушко, С. К. Разработка и применение метода коллокаций и наименьших невязок к решению задач механики анизотропных слоистых пластин / С. К. Голушко, С. В. Идимешев // Проблемы оптимизации сложных систем : Труды X международной азиатской школы-семинара, Бу-лан-Соготту, 25 июля - 05 2014 года. Том 2. - Булан-Со-готту: Национальный центр научно-технической информации, 2014. - С. 225-233. - EDN YSMDDN.
5. Исаев В.И., Шапеев В.П. Развитие метода коллокаций и наименьших квадратов // Труды ИММ УрО РАН. 2008. Т. 14, № 1. С. 41-60.
6. Петров В.В. Теория расчета пластин и оболочек / Петров В.В. - М.: АСВ. 2018. - 410 с.
7. Петров, В. В. К расчету конструкций из нелинейно-упругого материала методом коллокаций / В. В. Петров, О. А. Горбачева // Эксперт: теория и практика. -2022. - № 4(19). - С. 51-54. - DOI 10.51608/26867818_2022_4_51. - EDN EVZRAY.
8. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластины и оболочки. - М.: Физматгиз, 1963.
Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов.
Статья поступила в редакцию 09.02.2023; одобрена после рецензирования 27.02.2023; принята к публикации 27.02.2023. The authors declare no conflicts of interests.
The article was submitted 09.02.2023; approved after reviewing 27.02.2023; accepted for publication 27.02.2023.
