К расчету нелинейного магнитного поля в пазу статора ударного генератора методом конечных разностей Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

ИЗВЕСТИЯ

ТОМСКОГО ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА им. С. М. КИРОВА

Том 301 1975

К РАСЧЕТУ НЕЛИНЕЙНОГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ В ПАЗУ СТАТОРА УДАРНОГО ГЕНЕРАТОРА МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ

РАЗНОСТЕЙ

В. С. БАКЛИН

{Представлена научным семинаром кафедр электрических машин и общей

электротехники)

На протекание ев ершер входных режимов в удар,нам генераторе, вызванных внезапным коротким замыканием, существенное влияние оказывают индуктивности рассеяния контуров ротора и статора. Индуктивности рассеяния, рассчитанные без учета насыщения, существенно отличаются от экспериментальных, полученных из опыта ¡внезапного короткого замыкания при больших кратностях тока [5]. Благодаря особой конструкции ударных генераторов, а именно, наличию немагнитных роторных бандажей, экранированию лобовых частей обмотки статора экранами из материала с большой электропроводимостью можно считать, что индуктивности рассеяния лобовых частей контуров ротора и статора: не зависят от насыщения. Основное влияние оказывает насыщение на: индуктивность пазового рассеяния, так как поперечно-л азо-вые потоки рассеяния встречают на своем пути стальные участки зубцов статора и ротора. Рассмотрим методику расчета нелинейного магнитного поля в лазу статора.

Активная длина железа ударного генератора предполагается достаточной для того, чтобы пренебречь концевыми эффектами и считать, что изменение параметров поля вдоль оси z (продольная ось машины) отсутствует. Это дает возможность рассматривать поле рассеяния^ в пазу в двухмерном пространстве, считая, что вектор плотности тока, б направлен вдоль оси машины.

На рис. 1 показано сечение симметричного- открытого паза. Если не рассматривать потоки рассеяния на границах фазных зон, считая, что число пазов на полюс и фазу «q» достаточно велико, то картина поля будет периодически повторяться в направлении оси х в каждом зуб-цово1М делении.

Так как рассматриваются открытые симметричные пазы, то* в качестве линий, .ограничивающих исследуемую область, принимаем; ось симметрии паза РЕ, ось симметрии зубца СД, середину воздушного зазора ЕС и линию РД, ограничивающую дно паза. Для задания'пранич-ных условии необходимо установить направление силовых линий магнитного поля вдоль границ. Силовые линии машинного ¡поля на страницах РЕ и СД будут иметь только одну нормальную составляющую, так как РЕ и СД ■— линии симметрии. Магнитная проницаемость ярма, по сравнению с магнитной проницаемостью зубцов, принята равной бесконечности. Следовательно, силовые линии .машинного поля должны быть перпендикулярны к граничной линии РД.

При идеальном коротком замыкании потокам изаимошдукц-ии меж-

£

С

ттттт

у / ' *

/ /

/

/

к

/ /

/

ту//// у;;;/)

Р

й

X

Рис. 1. К расчету магнитного поля в пазу

ду контурами ротора и статора можно пренебречь и считать поля рассеяния статора (И ротора не связанными друг с другом. При равенстве м. д. с. ¡контуров статора и ротора' потоки рассеяния каждого ж НИ(Х доходят приблизительно до середины воздушного зазора (до линии ЕС и не пересекают ее). Считаем линию ЕС линией нулевого'потенциала. Стержни в пазу статора ударного генератора, за редким исключением, состоят из элементарных проводников, транспонированных м^жду собой, следовательно, влиянием вихревых таков можно пренебречь. Явлением гистерезиса в зубце пренебрегаем, считая, что кривая намагничивания стали определена однозначно.

Для расчета нелинейного магнитного иол я в пазу воспользуемся методом конечных разностей, который относится к классу численных методов. Сущность этого метода заключается в аппроксимаций уравнения .поля системой .конечно-разностных уравнений, а расчет машинного поля сводится к решению этой системы. Общие вопросы -метода конечных разностей 'изложены в [|1, 2], а применительно к расчету нелинейных магнитных полей в электрических машинах в [4, 7, 8, 9].

Уравнения в конечных разностях можно получить, воспользовавшись законом полного тока в интегральной или дифференциальной форме [4]. Если в исследуемой области имеются границы раздела сред, пде .магнитная ¡проницаемость \х и плотность тока б меняются скачкообразно, то необходимо воспользоваться законом полного тока в интегральной форме, который удобно свести к виду, содержащему в качестве неизвестной функции векторный потенциал машигпного поля А.

Расчетное уравнение для векторного потении ал а, полученное на основе 28

(1)

выражения (1) в результате обхода по контуру 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, в, 1, рис, 2, для каждого внутреннего узла сетки 1, к имеет вид

А1, к = к ■ (N1, к-А1, к + 1 + Э!, к-А}, к - 1 + 01, к • А1 + 1, к +

+ Wi, к • А1 - 1, к + 01, к); (2)

М1, к = N1, к+Э!, к + 01, к + \У1, к ; (3)

N1, к =—1—• • (-Д- + —р1 Л , Б!, к = N1, к - 1; ' (4) 2 • як ^ рЛ, к [ч — 1, к / у >

01, к • + , к = 01 - 1, к; (5) 2 • р1 к к — 1 / 1 '

01, к = • с^ = -^-(81, к-р1-як+81 — 1, к-р1 —1 • як Г§1 - 1, к - ! X

X р! — 1 • як — 1 + 81, к' — 1 • р! • як — 1), (6)

где як —• размеры ячеек сетки, !<л, к, 6:1, к — магнитная проницаемость и плотность тока в ячейках сетки,

Ай, к — значения векторного потенциала в узлах сетки.

Значение плотности тока б и магнитной проницаемости в пределах каждой ячейки сетки предполагается неизменным. Для этого необходимо, чтобы линии сетки совпадали с границей раздела сред, где магнитная проницаемость и плотность тока меняется скачкообразно.

А ¿-1,КЧ ЙС,КЧ /)14,к+!

Рис. 2. Расположение расчетных величин и их обозначе ния на прямоугольной сетке

При расчете нелинейных магнитных полей необходимо знать модуль вектора магнитной индукции, который может быть найден следующим образом:

Вх1, к = • (А!, к + 1 + А1 + 1, к 4- 1 - А1. к - 1 + 1, к к- (7)

Ву1, к = • (А1, к + 1 + А1, к - М + 1, к + 1 — А1 + .1, к); (8)

ВЬ к = УвхЧ, к + Ву21, к . (9)

Модуль вектора магнитной индукции В1, к в центре ячейки используется для определения машитной проницаемости ¡11, к по кривой намагничивания железа.

При расчете ¡машинных полей с учетом насыщения возникает необходимость в аппроксимации кривой .намагничивания железа. В виду сложной зависимости В = Г (II) практически не представляется возможным аппроксимировать всю кривую намагничивания железа одним простым аналитическим выражением. Чаще всего .¡применяют кусочную аппроксимацию, где .каждый участок кривой намагничивания может быть аппроксимирован простыми алгебраическими или транцендентными функциями. Если количество участков велико, то мюжио воспользоваться методам кусочно-линейной аппроксимации [10], который достаточно просто реализуется с помощью вычислительных .машин. Вся кривая намагничивания до полного насыщения (до индукции Вя) разбивается на участии с шагом АВ. Магнитная проницаемость железа при В<В5 определяется по выражению

• 1 к /1т

'' """ 1<~~ В]) • п^ 4- ЬШ ' (10)

. . И] + 1-Щ

где пц — -——д—----для каждого участка л.

До

■ В1, к . . причем ¡номер участка л = —т-5--1- 1 .

А о

При В^В8

В1, к

Вьк-Вкр • <п>

При конечно-разностной аппроксимации уравнения (1) получается система нелинейных алгебраических уравнений, число которых равно числу внутренних узлов сетки. Коэффициенты при неизвестных системы нелинейных алгебраических уравнений .образуют редкую ленточную матрицу. Для решения больших систем алгебраических уравнений с редкой матрицей очень удобны итерационные методы. Среди итерационных методов .наиболее широко используется метод Гаусса-Зейделя. В связи с эллиптическими разностными уравнениями его часто называют методом Либмана [1, 2, 8].

Если не применять специальных ¡мер ускорения, то метод итераций характеризуется очень медленной сходимостью. При расчете магнитных полей методом конечных разностей наиболее широко применяют два метода ускорения сходимости, которые предполагают:

1) использование закона полного тока, записанного в интегральной форме [8, 9];

2) использование неполной вераней релаксации [1, 2, 3].

В первом случае закон полного тока, записанный в интегральной форме.

• сЙ = р- сГэ (12)

применяется как средство контроля и ускорения сходимости. После первых итераций уравнение (12) обычно выполняется неточно.

j8 • ds

''c = —¥=1- (13>

tj> H • dl

Если контур интегрирования G положить таким образом, чтобы он совпадал с какой-либо линией поля, где A& = const, то коэффициент «С» можно использовать для ускорения сходимости итерационного процесса. При расчете контурного интеграла j.' Н • d/ определяется величина минимального потенциала Amin вдоль контура интегрирования. Затем все потенциалы с| А| > | Amin| корректируются по следующему правилу:

А'= (А — Amin) -C+Amin. (14)

Если представляется возможным, то путь интегрирования выбирают таким образом, чтобы Amin=0, что зачастую определяется граничными условиями. В этом случае выражение (14) принимает вид

А'—А-С,

где А' — исправленное значение векторного потенциала.

Кроме коэффициента «С», для ускорения сходимости используют также величину векторного потенциала ДА, полученную из выражения

| 5 • с1э - ^ Н • (I/

ЛА=Ь--- . (16)

В случае прямоугольных ячеек сетки значения Ь, \ Н • с1/ и /6-с18

в

можно определить следующим образом:

ь = 2 , р!. , + £ • чк- - ; (17)

5; як • II1, к р1 • 1. к

|'8 . бэ = I = 2 4 к • р1 • як ; (18)

{; Н • сГ/ = 21(А1,к + 1 + АН-1,-к + 1-А1,к-А1 + 1,_к| .

. 2 • як • М, к I г '

2 к + А}> к + 1 ~ А}+ к - А1+1. к+п ^

оД 2 • р! • И, к I 4 1 ;

В выражении (19) знак ( + ) ставится в том случае, если путь интегрирования совладает с направлением единичных векторов ] (рис. 1). Корректировка векторного потенциала в пределах ¡пути интегрирования-для выражения (16) производится по формуле

А' = А+ДА. (20)

Сущность метода ускорения сходимости, использующего неполную верхнюю релаксацию, заключается в способе подавления ошибки «г» при неизвестных

г = А?к-А^1), (21)

где п — порядковый номер итерации.

В зависимости от способа подавления ошибки «г», релаксация .может быть полной и неполной. Вид релаксации определяется значением коэффициента со в выражении

А^ = А^-О -<о)+шАи\ , (22)

где А"к—определяется по уравнению

А" к = -цг— • (N¡, к • Ai" к+1 + Si, к • A"+k_i + W¡, к • Atft +

+ О,, к ■ А, "ь к + Di, к) , (23)

если используется метод Гаусса-Зейделя. Согласно i[3], если а>= 1, то имеет ¡место полная .минимизация функции ошибки «г» или полная верхняя релаксация. Неполная релаксация называется нижней, если 0<со<1 и 'верхней—если 1<ш<2. Для решения системы конечно-разностных уравнений методом Гаусса-Зейделя выгодно применять неполную верхнюю релаксацию, что связано с тридиагональным представлением мат- ' риды коэффициентов векторных потенциалов, обладающей свойством А [2]. Скорость сходимости процесса интераций ,в сильной степени зависит от близости значения коэффициента неполной верхней релаксации к оптимальному. Если исследуемая область имеет сложные конфигурации границ, то аналитических методов определения оптимального значения коэффициента неполной верхней релаксации не существует и его значение устанавливают опытным путем.

Иногда в ходе расчета применяют авт.омэтическую оптимизацию коэффициента о [4, 7]. Для этого, кроме проведения вспомогательных расчетов, необходимо хранить значения векторных потенциалов трех следующих друг за другом итераций, что существенно перегружает оперативную память ЭВМ.

Чтобы процесс итераций протекал устойчиво, в нелинейных задачах обычно производится корректировка ¡машинной проницаемости.

¡^"k1* = V-1 к ■ (1 — <*) + а ■ ¡j,,-, к, (24)

где ¡ii, к — определяется по выражению (11) или (12).

В каждом конкретном случае значения коэффициента а устанавливается экспериментально. Согласно [7, 8] процесс итераций протекает устойчиво, если asS¡0,l. В [9] коэффициент а изменяется в пределах 0,25+0,0625.

. - Для расчета машинного поля исследуемая область покрывается сеткой, .которая, в целях экономии оперативной памяти ЭВМ, выполняется часто неравномерной.

На рис. 3 показана область зубцового деления, покрытая сеткой. Сетка имеет 378. расчетных узлов. Размеры паза и зубца следующие:

1) ширина паза Ьп = 5 см;

2.) ширина зубца bz=6 см;

3) высота паза hn=10 см;

4) высота клина вместе с изоляцией hk = 2 см;

5) .величина воздушного зазора до линии ЕС — 1,5 см.

Статор выполнен из электр©технической стали Э41, для которой принято Вкр= 1,914Тл; ДВ = 0,1 Тл; В* = 2.1 Тл. При индукциях В<0,1 Тл м-ашитная ¡проницаемость стали принята равной 0,157 Ю-3 Гн/м.

■ По выражению (23) рассчитываются только величины векторных потенциалов внутренних ячеек сетки, но не на границе исследуемой области. Для .расчета векторных потенциалов в узлах сетки, лежащих на границе исследуемой области, необходимо выполнить граничные условия на линиях РЕ, СД, ЕС, РД. Выполнение граничных условий на линиях РЕ, СД, РД обеспечивается введением искусственных границ, которыми согласно рис. 3 являются линии сетки о, к—для РЕ, 15, к—для СД и i, о — для РД. После каждой интерации векторные потенциалы на искусственных границах принимают значения

Ао, к = Аг, к 5 Ais, к = Ai3, к; Ai, о = А,, 2 •

к

28 26 2Ь 22 20 18 {6

/4 &

и

Ю 9

8

1

4 2

1

• 1

■/5 г

--- -- --- —.

•

О 2 Ъ Ь 5 1 9 10 И 12 45

Рис. 3. Исследуемая область, разбитая на ячейки прямоугольной сеткой

Линия ЕС, ^принята линией нулевого потенциала, следовательно

Аес = А|. 29 = О .

Расчет магнитного поля ¡проводился на ЭВМ «М-222». Пролрам-ма. составлена ¡на АЛЬФА-ЯЗЫКЕ [6].

Для ускорения сходимости итерационного ¡процесса использовалась как закон ¡полного тока, записанный в интегральной форме, так и неполная верхняя релаксация. Система нелинейных конечнор-ашостных уравнений решалась методом Гауеса-Зейделя. Расчет векторных изотен-циалод ¡начинался с узла ('1,1) рис. 3 и проводился по столбцам. Решение считалось достигнутым, если для всех (внутренних узлов сетш выполнялось условие

Д - mod — Ail k) < Ю-3 , Ю-4 , 1.0-5 . (25)

Если для ускорения сходимости использовался закон полного тока в интегральной форме, то коэффициент «С» рассчитывался по выражению (13). Интегрирование проводилось по конкуру Gx (рис. 3) При выполнении условия (26) в программе предусматривалась выдача следующих результатов:

;1) величин векторного потенциала во ¡всех увл-аж сетки-;

2) величин магнитной проницаемости в ячейках области зубца;

3) 'количество итераций «ИТ»;

4) величина ¡коэффициента «С»;

б) ¡величина о|бщепо коэффициента пазовой проводимости Я0бщ-

iB качестве начальных значений брались нулевые значения векторного потенциала и для ячеек.® области зубца — ¡значения машинной проницаемости ¡¿=¡200 р,0. Исследования показали, что применение закона полного тока в интегральной форме для ускорения сходимости итерационного процесса ©о всей области, ограниченной контуром интегрирования, приводит к неустойчивости итерационного процесса. Если Же закон ¡полного тока использовать только для корректировки векторных потенциалов в пределах контура интегрирования, то процесс итераций протекает относительно устойчиво, однако время расчета существен diio возрастает по сравнению с методом ускорения сходимости итерационного процесса, использующего неполную верхнюю релаксацию. Некоторые результаты расчета магнитного поля для плотности тока 6 = 150 А/мм2 представлены в табл. 1. Величины в числителе относятся

Таблица 1

ИТ

Яо

бщ

ю-3 10~4

Ю-5

168/110 734/160 1400/329

1,3

1,03

1,001

0,668

0,7

0,705

1/1,75 1/1,75 1/1,75

0,08 0,08 0,08

к методу ускорения сходимости ¡итерационного процесса, использующего закон полного тока в интегральной форме, а в знаменателе — к методу, использующему неполную верхнюю релаксацию. Согласно табл. 1г с приемлемой для инженерных расчетов точностью, решение можно считать достигнутым, если

А - mod ~ A" k) ^ 10-*

или

mod(,l — С)<,10-

При этом, «коло 50% машинного ¡времени тратится для уменьшения ¡модуля ошибки «г» от Ш-4 до 10~5. С точки зрения затрат ¡машинного времени, наиболее выгодным в данном случае является использование неполной верхней релаксации. Медленную сходимость итерационного процесса, если используется закон полного тока в интегральной форме,, можно объяснить тем, что коэффициент «С» быстро стремится к единице и на последних этапах, ¡где модуль «г» уменьшается от Ю-3 до 10~5, и тратится основное машинное время, не оказывает существенного влияния на скорость сходимости итерационного процесса. На решение данной задачи с использованием неполной верхней релаксации потребовалось 22 минуты машинного времени, причем из них около 10 минут приходится ¡на трансляцию программы. .Стремление уменьшить время расчета привело к выбору для этой же исследуемой области сетки со 198' внутрешшми узлами. Сравнение результатов расчета общего коэффициента пазовой проводимости ?10бщ для двух сеток представлено в табл.-.2,. где данные ¡под номером 1 относятся к сетке -с 378 узлами, а данные под номером 2 соответствуют сетке со 198 узлами. Для обеих сеток (»=/1,76; а = 0,08. Различие в результатах расчета Я0бщ не превышает 5%, в то время как затраты машинного времени составили для сетки с 378 уздами для всех ¡плотностей тока б, представленных в табл. 2, око-

Таблица 2

№ б

п.п. j А/мм2

10

25

50

75

100

125

150

1 2

яо б щ

А-о бщ

1,06 1,05 1,11 1,09

0,89 0,92

0,8 0,75 0,83 0,78

0,72 0,75

0,705 0,73

ло 90 минут, а для сетки со 198 узлами — 22 минуты. Для сетки со 198 внутренними узлами исследовалось влияние величины коэффициента неполной верхней релаксации на ¡скорость сходимости итерационного процесса. Было замечено, что оптимальная величина коэффициента неполной верхней релаксации, при которой достигается максимальная скорость сходимости итерационного процесса, зависит от соотношения областей, занятых железом и свободных от железа, от степени насыщения железа, от корректировки коэффициента «а», от геометрических размеров ячеек сепии и т. д. Так, например, уменьшая область, занятую железом, можно несколько увеличить величину коэффициента неполной верхней релаксации. Это наглядно видно из табл. 3 и 4. Использование коэффициента неполной верхней релаксации со =1,85 вместо со =1,75 и корректировка коэффициента «а» в ходе итераций уменьшают затраты машинного времени на 30%. При этом ширина зубца bz=2,5 см. Аналогичные исследования, для bz=10 см показали, что процесс инерции при ©=1,85 расходится. Для сетки со 198 узлами исследовался также метод

Таблица 3

5 А/мм2

ИТ

10

Ю-4 Ю-5

ю-4 1:0-5

ю-4 ю-5

0,08 1,75

0,08 1,75

0,08 1,75

152

315

174 312

166 295

Т а б л и ц а- 4

8 А/мм2 Д

а

со

ИТ

134 220

124 199

124 226

переменных направлений [2]. Явных преимуществ последнего метода по отношению к методу, использующему неполную верхнюю релаксацию, не наблюдалось, что, по-видимому, связано с относительно малым количеством узлов сетки, а также с нелинейностью задачи.

Если нет необходимости в графическом построении картины магнитного поля, то вполне достаточно в исследуемой области, занимающей половину зубдового деления статора, ограничиться 198 внутренними узлами. При этом наиболее просто реализуется на ЭВМ метод итераций Гаусса-Зейделя с использованием неполной верхней релаксации.

1. 'К, Б и не, П. Лауренсоа. Анализ и расчет электрических и магнитных полей. М., «Энергия», 1970.

2. В. В азов, Дж. Форсайт. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. М., ИЛ., 1963.

3. Д. К. Фадеев, В. Н. Фадеева. Вычислительные методы линейной алгебры. М., Физматгиз, 1963.

4. Я. А. Н о в и к. Численные методы расчета магнитного поля электрических машин с учетом насыщения. В кн. «Бесконтактные электрические машины», 11, Рига, «Зинатне», 1972.

5. JI. Ф. Б у к р е е в, Н. В. Шилин. Влияние насыщения на индуктивные сопротивления ударных генераторов типа ТИ-100-2, «Электротехника», 1970, 11.

6. А. П. Ершов, Г. И. Кожу хин, И. В. П от т о с и н. Руководство к пользованию системой АЛЬФА. Новосибирск, «Наука», Сибирское отделение, 1968.

7. К. Reichert. Ein numerisches Verfahren zur Berechnung magnetische Felder, insbesondere in Anordnungen mit Permonentmagneten Arch. Elektroteeh., 52, 1968, 3.

8. K. Reichert. Die Numerische Berechnung der Nutstreung und der Wirbelströme Nutenleitern elektrischen Maschines. Arch. Elektroteeh., 53, 1969, 2. -

9. H. Braess, H. Weh, E. A. Erdelyi. Numerische Berechnung magnetischer Felder und Kräfte. Arch. Elektroteeh., 52, 1969, 5.

10. T r e d e r i с k C., Erdelyi E. A., Hopkins R. E. Representation of the Mag-rietization Charakteristic of DC Maschines for Computer Use. — IEE Trans. Power Apparatus and Susterns, Pas—87, 1968, 3.

Выводы

ЛИТЕРАТУРА