CC BY
99
УДК 621.01
И К РАСЧЕТУ НАТЯЖЕНИЯ РЕМНЯ ПЕРЕДАТОЧНЫХ МЕХАНИЗМОВ ¡1 С ТРЕМЯ ШКИВАМИ
IV!. Эргашов, А.Жураев, З.М. Курбанова, М.М. Салимова
Ташкентский институт текстильной и легкой промышленности, Узбекистан
Ташкентский институт ирригации и мелиорации сельского ■ хозяйства, Узбекистан
lilt Стационарльщ режимде айналатын уш шкивпен эперетш
1||| механизмтц крйыс тартылуын аныцтаудыц жаца нрйылуы мен ecenmi §||§ шыгару edicmemci келгтршгек
Приведены новые постановка и методика решения задачи определения натяжения ремня передаточного механизма с тремя шкивами, вращающегося в стационарном режиме.
Fccounting technique of tension belt of transmission mechanism with three pulleys which turns in fixed condition are given.
Как известно, ремни передаточных механизмов изготавливаются из кожи, прорезиненной хлопчатобумажной ткани, полимерных, синтетических и других материалов. Наиболее перспективны синтетические ремни ввиду их высокой прочности и долговечности. Несущий слой этих ремней выполняется из капроновых тканей, полиэфирных нитей. Материал фрикционного слоя - полиамид или каучук [1, 2].
Для шнуров корда применяют полиамидные и полиэфирные волокна, для передач с особенно высокой нагрузкой - кевлар. Ремни с кордом из кевлара имеют высокую прочность, практически не вытягиваются. Выпускаются также кордтканевые клиновые ремни с несколькими слоями ткани, они имеют меньший модуль упругости и лучше работают при ударной нагрузке.
В эксплуатации ремни должны обладать высокой прочностью при переменных напряжениях, износостойкостью, максимальным коэффициентом трения на рабочих поверхностях, минимальной изгибной жесткостью.
В современных схемах ременной передачи с малым расстоянием между ведущим и ведомым шкивами применяются ремни кругового, прямоугольного, квадратного, поликлинового, клиновидного и многопрофильного сечения.
В передаточных механизмах с большими расстояниями между шкивами по всей длине цельного ремня могут развиваться большие упругие деформации, приводящие к провесам; поэтому ремни для них делают, хеше правило, составными (из коротких кусков).
Передаточный механизм работает с неизбежным упругим скольжением ремня по шкивам, так как силы натяжения и следовательно, согласно закону Гука относительные удлинения ветвей ремня различны.
Ниже рассматривается задача о движении ремня передаточного механизма с двумя внутренними и одним наружным шкивами, вращающегося в стационарном режиме с заданной скоростью (рис. 1).
Постановка задачи. Пусть р0 - начальная плотность материала ремня; Р0 - площадь поперечного сечения; л*, у* - составляющие скорости движении поперечных сечений ремня на оси х и у соответственно; в - лаг-ранжева координата; с1з - длина рассматриваемого элемента; ф - угол, образованный между касательной к данной точке ремня и горизонтальной осью х; Т - натяжение; и - скорость вращения ремня; / - коэффициент трения; ш. - частоты вращения шкивов; t - время.
Неизвестные параметры движения ремня будем снабжать соогветствую-
Рис. 1. Схема движения передаточного механизма с одним внешним шкивом
щимн индексами принятой на рис. 1 нумерации.
Предположим, что второй - наружный шкив с диаметром й2 расположен левее остальных шкивов и диаметр первого шкива й1 меньше, чем диаметр третьего шкива йу Центры шкивов с диаметрами йх и распо-ложны на вертикал ной оси (рис. 1).
На участках контакта на ремень действуют распределенные в плоскости {х, у) силы давления Я{, й2, Ку трения Р^1, Р^2>, ведущие и полезные силы Рх, Р2, Р3 (рис. 2-4). В дальнейшем силы Рх, Р, и Р3 условно будем называть ведущими силами.
Линии действия равнодействующих сил давления совпадают с биссектрисами углов обхвата поверхности соответствующих шкивов. Лин-нии действия сил трения и ведущих сил шкивов перпендикулярны к линиям действия соответствующих сил давления. Равнодействующие силы давления и трения связаны между собой с помощью закона Кулона.
Предположим, что углы обхвата, скорость и, коэффициент трения, частоты вращения и ведущие силы шкивов известны. Найдем выражения для натяжения и силы давления. Относительные проскальзывания ремня на поверхности контакта и холостые вращения шкивов отсутствуют.
Реактивные силы Яг ий3с горизонтальной осью * образуют углы и Р3 соответственно (рис. 2, 3):
Рве. 2. Схема действия сил на ремень Рис. 3. Схема действия сил на ремень на
Фг-
на поверхности первого шкива
поверхности третьего шкива
А =
У1 + У2 О „л <Р\-<Рг 2 3 2 2
Реактивная сила Я2 в зависимости от углов <р2 и ср3 (координаты расположения центра второго шкива), может образовать положительный (рис. 4, а) или отрицательный угол р, (рис. 4, б)
Условия нерастяжимости и закон сохранения массы бесконечно малого элемента ремня имеют вид соответственно [3, 4]: ds0 = dsl = ds2 = ds3; pnF0dsa = p^ds, = p2F2ds2 = p3F3ds3. Кинематические условия - условия непрерывности движения механизма принимают вид:
х:¡dt = cos(pxdsx, y[dt = -sin q\dsx; x2dt = -cos<p2ds2, y\dt = sin <p2ds2;
x]dt. - cos (p:,ds~, y\dt = sin %ds3, где знаки минус означают, что направления составляющих скоростей х?' и у' противоположны направлениям горизонтальной и вертикальной оси соответственно.
Уравнения закона сохранения количества движения на поверхности шкивов имеют вид:
- на поверхности первого шкива
^(Ра-Рэ)
fi2=jo
2 fa ~<Рг)
при (ръ < <р2
при <ръ = <рг
при <ръ > <рг.
r2
Рис. 4. Схема действия сил на ремень поверхности второго шкива
(a'i -x;)=(T,cos<p1+T2 cos <Р2 - R cos Д - fRx sin/?, +Р.ш\ Д )dt,
/V'A G'i - ^) = (- ■2; sin щ - T2 sin $e>2 + Л sin Д - fRx eos Д + eos Д )A;
— на поверхности второго шкива
fe -*')= (- т2 cos <т>2 - 2; cos ^ + Д, cos Д + /Й, sin Д ± Рг sin Д, ,
/>2^2(/2 -y¡)= (?2siníPj -тъsinщ + R2sin Д - cosД2 + Р2cosP2)d( ■
- на поверхности третьего шкива
p3F3ds3(x¡ -х;)= (-Tjcosío, +T3соащ -R3eosД + /K,sin Д -Tisin Д ,
(уз '->'■)= sin + T3 sin r/.3 - R, sin Д - eos Д3 + P3 eos Д )«7. Здесь и в дальнейшем верхние знаки берутся, когда сила Д3 образует с осью х положительный угол Р3 (срг > ф3, рис. 4, а), а нижние знаки -отрицательный угол |33 (ф2 < ф рис. 4, б).
Решение задачи. Используя кинематические условия, условия непрерывности движения механизма и закона сохранения массы, уравнения закона сохранения количества движения приводим к виду
'l\ cos^ + Т2 cos (р2 - R (cos Д + / sin Д) = p0F0u2(cos щ + cos $¡>2) - F\ sin Д,
rt sin ^ + T2 sin <p2 - ^(sin Д - / eos Д) = />0jF0H2(sin ^ + sin #>2) + eosД,
T2cos<p2 + 7: eos <50, - tf,(cos Д + /sinД2) = pnF(liC(coscp, + cos^)± ДsinД,
T2sin<p2 - T3 sin(рг -Д2(±втД2 + /со$Д) = (sin - sin- P eosД,
Tjcos^ -r3cos^3 -^(-собД + /этД) = -cos^3)-P3sin Д,
2¡ sin ^ + Г3 sin íp3 - R3 (sin Д3 + / cosД,) = />0F0m2 (sin ^ + sin (ръ)~Ръ cos Д3. Отсюда найдем
cos^ + Т2 cos^2 - - Ар sin ад + Т2 sin Щ - R1jj12 = А2, (1)
Т2 cos<р2 + Г3 cos^, - R2tj2] = В,, Т2 sin <р2 - Тъ sin <р3 - R2tj22 = В2, (2)
cos - Тъ cos <Рз - /гз/7Э1 = С;, Г, sin ад + Т3 sin <р3 - Щщ = С2, (3)
где
Г}п = cos Д + /sin Д, ?712 = sin Д - /cos Д, ?721 = cos Д + / sin Д2, rj22 = ±sm/32 + fcos/32, 7731 = -С08Д + /sinД, ?732 = sinД + /совДз, А1 = /?0F0m2 (cos ад + cos <рг) - Рг sin Д, А2 = p0F0w2 (sin ад + úrnp,,) + Px cos Д, B1 = p0F0w2(cos (р2 + cos <pi)± P2 sin Д2, B, = p:iFüir (sin<p2 - sin <p¡)- P2 cos Д,
C] = p0f'j<2 (cos <pt - cos (p3) - Рг sin ДC2 = p<yF\¿í' (sin + sin f/>3) - cos fi,r. Уравнения (l)-(3) служат для определения неизвестные натяжения Тv
T2? и давления Rv Rp Ry Исключая неизвестные реактивные силы эти уравнения представим в виде
Г,(т]иcos<рх - т]иsin фТ2(ijl2cos<р2 - т]пsin(р2) = А/д2 - Л2т)п, (4)
Т-, (т722 cos (р2 - т]21 sin <рг) - Тг (t)22 eos <p3 + r¡2¡ sin q>3 ) = - B2r¡2l, (5)
Тъ(ц31 Sin </л + %2 cos (p-: )-r'l\ (% . sin (p ~tjn coscp,) = Cfa-Cfa . (6)
Введем обозначения
an = r/,2 eos % - r¡n sin q>1, a12 = r¡n eos cp2 - r¡n sin cp2, A = - A^, «21 = Ъ.2 cos(p2- rj21 sin <P2, агг = n22 cos + í?21 sin <p3, В = i?^, - /i,?73l. a31 =rj31 sin - r¡y2 eos (px, аЪ1 = /73] sin <p3 + r¡i2 eos <o3, С = C2tj3l - С,?732. Тогда уравнения (4)-(6) принимают вид
Тгап + Тга12 = Л, Т,а,л + Т:ап = В, + Г3а32 = С . (7)
Отсюда найдем
^ Аа21а32 - Д<?12а32 + Са22а12 7, Ад^и - С сс22ссп +
j j - " " ~ , 2 "
апа2\аЪ2 + ana22aíl а12аЪ1а72 + ^aftl^ll
С се, .а,, -Аа„а3|
Г, =
1) 2) ' "^чг"*?!
аЪ2а\\а\г + а22а\гаъ\
Неизвестные силы реакции определяются из уравнения (1)-(3)
_ sin(<-/>-, - ) - Д sin + A; cos ^ _ Т2 sin(^3 \ <р?)-В. sin ср, - В2 cos ух 7/j J sin - rfn COS <p2 ' 2 Г]21 sin (ръ + rj^ cos ц>ъ
_ - Тъ sin(<ja, f ) - Cj sin (p + C2 cose/», '/si sin % -/?32cos^;
Полученное решение позволяет установить законы распределения параметров движения между ветвями 1, 2, 3 ремня и зависимости натяжения от конструкционных показателей и скорости вращения механизма, а также свойства материала ремня.
Наличие силы Рг, Р,, и Р, в уравнениях закона количества движения и в полученном решении позволяют рассматривать любого из двух внутренних шкивов ведущим, а другого ведомым. Если, например первый шкив является ведущим, остальные шкивы ведомыми, то конечно Рг>Р2 и Р1>Ру Силы Р2 и Р3 в данном случае могут быть полезными силами возникающие в моменты пуска и останова механизма, а также вращении шкивов.
Если отказаться от предположения, что силы сопротивления равны силам трения, то коэффициенты г|, А. В и С принимают вид
??1Л = cos Д, % = sin Д, t]21 = собД, , i]22 = sin P2, % = COS&, í?32 = +sin^3, Л = лЛм 2 (cos г/), - cos ад) + Рг sin Д Я®, A, = pítF::u2 (sin ад + sin ад2) + Jf> cos Д - i?®, Д = p0/yr(cos + eos ад) ± sin A + Ф2}' B2 - p0F0u2 (sin ад + sin ад ) - P2 eos Д2 + R(c2>, C, = /;>,/>2 (eos ад, + cos ад j + E sin Д -R^ ,
C2 = p0F0w2(sin ад - sin ад) - Д cos Д3 + /i'?'1.
Все остальные коэффициенты и решение задачи остаются без изменения.
Таким образом, если известны закон задание силы сопротивления вала или ее экспериментальные значения, то в основных уравнениях и полученных решениях силы трения легко можно заменить заданным выражением или значением силы сопротивления. Такая методика позволяет рассматривать любую форму задания силы сопротивления.
Начальные и текущие натяжения ремня следует выдерживать в заданных пределах: оно не должно быть излишне тугим или, наоборот, слабым, так как назначение ременной передачи - осуществлять связь валов без жестких сочленений, передавая при этом постоянное усилие.
Определение начальные натяжения ремня в момент пуска механизма. Пуск приводного механизма происходит в течении некоторого времени 0 £ г s t*. При t = О силы привода Pv Р2 и Р3 равны нулю, а при возрастании времени t от 0 до t* силы Р. (i = 1, 2, 3) возрастают до некоторого постоянного значения, достаточного для привода механизма к движении. Натяжение ремня в период времени 0 s í í t* возрастает от Тст до некоторого значения Т*, где Тгт - значение статического натяжения, возникающего при Р. = 0 и и = 0. При Т а Т* механизм начинает вращаться. В рассматриваемой задаче при t С силы Р. и 1] fe Т" постоянные величины.
Условия равновесия ремня на поверхности шкивов имеют вид: cos ад + Тг cos ад, - R, (cos Д + / sin Д) = -I] sin Д, Г, sin ад + Т2 sin ад2 - Д (sin Д - / cos Д) = Рх cos Д; Тг eos ад + Г3 cos ад3 - ü2(cos Д2 + / sin Д) = ±Р2 sin Д, Т2 sin ад2 - Т3 sin ад3 - 2?2(±зт Д + / cos Д) = -Р2 cos Д2; 1\ cos ад - Тъ созад, - /í3(-cos Д, + / sin Д3) = -Р3 sin Д3,
Т. sin <рх + Г3 sin<p3 - Л, (sin /?- + / cos Д) = -Р3 cos Д.. Здесь и в дальнейшем звездочку над х будем опускать. Последние уравнения напишем в виде:
7¡ cos <рх - Т2 cos q>2 - R= MX; Tx sin (p{ + T2 sin q>2 - Rxrfx2 = M2; (8)
T2 cos (p2 + 71 cos % - R2n2l = JVj.; Г2 sin q>2 + T3 sin <ръ - R2r¡22 = Л'2; (9)
7¡ cosf/j, + Т.. cos<p, - = , 7¡ sin ^ - T3 sin^>3 - fí3?/., = K2, (10)
где: M] = ~PXsinД, M2 = Plcos^x; JVj = ±P2siny?2, iV2 = -P2cos/?2; A' = -P3 sin /?з, Á'2 = -P3 eos Д. Исключая неизвестные силы реакции, уравнения (8)-(10) приводим к виду
Tx(r¡x2 созд-г^ sin ^)+T2(r¡n cos <р2-г)п sin Ф2) = МХГ]Х2-M2t]n, (И)
T2 (r¡21 cos (p2 - í?21 sin <p2) + T3 (n22 cos <p3 + tj21 sin <p3) = A',??,-, - N2r¡lx, (12)
T^sin^ - rj32 cos<р^)+Тъ{r¡31 sin<ръ + ^32cos«p3) = K2r¡3l ~K¿j32. (13)
Введем обозначения
M = М{цп -M2r¡u, N =Nxn12 -N2r)2V K = K2t]3l- Кlr¡zr Тогда последние уравнения принимают вид
Тхсс1х + Т2аи = М , Т,а21 + Т3а22 = N, Ta3i + Т,а,2 = К. (14)
Система линейных алгебраических уравнений (14) имеет решение = Ma2Xa32-Nal2aí2+Ku12a12 т = Ma3xa22-Kanaxi+Na32an апа21а32+а31а22аи ' 2 а12«3 хос22+а21а32ап
т Капа21 - Ма21аЪ1 + Nana3l аъгапап + «22«12«31
Неизвестные силы реакции определяются из уравнения (8)-(10) Тх sm(</>2 -q\)-М,sin<рг + М2cosд>2 т/п sin <р2 - TJ12 cos (рг '
Т2 sm(y3 -i- q>7) - sin % - N2 eos (p, r)2X sin cp3 + r¡22 eos (p3 '
- Тъ sin(<p3 + y,) - Kx sin <px + K2 eos <px
y)^ j sin <px — t]y¿ cos
Полученные решения позволяют проследить за изменениями и перераспределением натяжения между ветвями ремня до момента начало вращения с заданной скорость u = const.
К
R3 =
ЛИТЕРАТУРА
1. Жураев А.Ж. Динамика рабочих механизмов хлопкоперсрабатывающих машин- Ташкент: Фан, 1987.
2. Пономарев СЛ. и др. Основы современных методов расчета на прочность в
машиностроении - М.: Машгиз, 1952.
3. Эргашов М., Мавлонов М.Т. Скольжение гибкой нити по поверхности неподвижного твердого тела.// Прикладная механика - 2002 - №6 - С. 89-96.
4. Эргашов М, Максудов Р.Х., Усманкулов А.К., Курбанова З.М. Определение натяжения композитного ремня передаточного механизма.// Композиционные материалы- 2003.- № 3.
