CC BY
7
_Доклады БГУИР_
2009 № 8 (46)
ИНФОРМАТИКА
УДК 517.977
К ПРОИЗВОДНЫМ ФУНКЦИИ ОПТИМАЛЬНОГО ЗНАЧЕНИЯ
ЛИ. МИНЧЕНКО, А.А. ВОЛОСЕВИЧ, СИ. СИРОТКО, АН. ТАРАКАНОВ
Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники П. Бровки, 6, Минск, 220013, Беларусь
Поступила в редакцию 10 сентября 2009
Рассматривается подход, основанный на развитии метода аппроксимаций первого порядка В.Ф. Демьянова и А.М. Рубинова, и позволяющий исследовать производные функции оптимального значения в параметрических задачах оптимизации с неединственным решением.
Ключевые слова: оптимизация, многозначные отображения, псевдолипшицевость отображений.
Введение
Пусть f{x,у), h.(х. V) i = \,...,p —непрерывно дифференцируемые функции из R"xRm в R . Рассмотрим параметрическую задачу Р(х) минимизации функции / (х, у) по переменной у на множестве F(x), где F(x) = j^g Rm | ht(x,у) < 0 i е/, hj(x,y) = 0 j<eI0 ,
/ = {1,...,5}, I0 ={s+l,...,/?} ИЛИ I0 = 0.
Обозначим через ф(х) функцию оптимального значения,
т.е. ср(х) = inf ^(х,у) I у g F(x) J и через со(х) множество оптимальных решений задачи Р(х) :
со(х)= y^F(x)\f(x,y) = <$(x) .
В данной задаче F — многозначное отображение, ставящее в соответствие каждой точке х (Е R" замкнутое множество /' (х) а Ii'". Будем везде в дальнейшем считать, что многозначное отображение F равномерно ограниченно в окрестности точки х0 е domF, т.е. существуют окрестность Х0 точки х0 и компакт Y0 а К" такие, что F(J0)c70.
Пусть х е R". х,. х2 е R". z, = (х,. у\). Для функции оптимального значения ф(х) , наряду с производной по направлению х в точке х0 : ф'(х0:х) = lim / 1 (ф(х0 + /х) — ф(х0)). введем производную второго порядка в точке x0 по направлениям хг, Х2:
ф"(х0; Jl7 х2) = Нш2Г2(ф(х0 +Щ +t2x2) -ф(х0) JJ) .
Производные по направлениям функции оптимального значения используются в исследовании устойчивости и чувствительности экстремальных задач и их решении относительно возмущений параметров, построении алгоритмов решения минимаксных задач, в развитии квазидифференциального исчисления и в его приложениях. Вычислению
производных по направлениям функции оптимального значения (р(х) посвящены многочисленные работы [1-6].
Целью статьи является получение достаточных условий дифференцируемости функции оптимального значения по направлениям.
Введем понятия и обозначения, необходимые для вывода и формулировки результатов. Пусть г = (х,у), г0=(х0,у0). Для задачи Р(х) введем функцию Лагранжа
Обозначим через А(г)= Яр | = О, А,,.>0 и А,Д(г) = 0, / е / множество
множителей Лагранжа и через Кг) — /1 И^г) — 0 множество индексов активных ограничений в точке г = (х,у) е .
Пусть р(х, С) = к^"||х - у\\, где ||у| — евклидова норма вектора у, В — открытый
единичныи шар с центром в нуле в соответствующем пространстве.
Определение ([7]). Будем говорить, что многозначное отображение F R -регулярно е точке z0=(x0,y0), если найдутся числа а>0, 8j>0, 62>0 такие, что
р (у, F(x)) < а max h (x,y)i el, (x, j)| j g I0 для всех x g x0 + 5j5, у g y0 + S2B.
Отметим, что достаточным условиям R -регулярности (во многих работах именуемоИ error bound property) посвящена обширная литература [8].
Определение. Многозначное отображение F будем называть псевдолипшицевым сверху в точке z0 =(х0,у0) g grF, если существуют окрестности V(x0) и V(y0) точек х0 и у0
и постоянная / >0 такие, что F(x)nF(_y0)cF(x0) + /|x-x0|5 для всех xeF(x0).
Понятие псевдолипшицевости сверху играет важную роль в многозначном и негладком анализе. В ряде современных работ для псевдолипшицевости сверху употребляется термин calmness [9].
Производные первого и второго порядка
Пусть z0=(x0,y0)e grF, z = (x,y). Рассмотрим множество Г(г0;х) = = jGr|(VA,(z0),z)<0/e/(z0),(VA,(z0),z) = 0/e/0 .
Полагая ^(х^й), z2=(x2,y2), I2(z0,z1)= r^I(z0)l(Vh(z0),z1) = 0 , где y1€T(z0;x1), введем множество r2(z0,z1;x2) = {y2eRml(Vhi(z0),z2j +
(V/^^ + i^V2/^ i e/0}.
Пусть
г* Oo; ) = ^ G r(z0; Xj) I ( V/(z0), (Xj ,yj) = _ rnin (V/(z0), (ж,, у)) , <D(z0, zx, z2) =
ye 1
= (V/(z0),Z2> + -(Z1,V2/(^O)^i), A2(Z0;X) = ^A(z0)|(V^Z^),X)= max(V .
Лемма 1. Пусть многозначное отображение F R -регулярно в точке z0 - (х0,у0) е gra. Тогда при xei?" для и любых последовательностей , Д. , ^
таких, что xk =х0 +tkx + o(tk), уке(о{хк), _y0jt ею(х0), \yQk-ук\^М\х0-хк\, М — const > 0 при всех к = 1,2,... и ук —> уд g со(х0) справедливы, начиная с некоторого значения k = k0, разложения yk =уок +tkylk +o(tk), <р(ж*)-ф(x0) = tk{Vf(z0k),zlk} + o(tk), где zok = (х0,у0к), zlk—(x,ylk), 3i /, —ограниченная последовательность такая, что ylk е T(zQk,x).
Доказательство. В силу условий леммы для последовательностей yk е (»(х^), к = 1,2,... и уок gco(x0), к = 1,2,... найдется ограниченная последовательность ^ такая, что
У к ~ Уок - hvk' к = \,2,... Полагая zk-(xk,yk), z0k-(x0,y0k), имеем h^z^-h^z^^O для всех ie.I(zok) и h(zk)-h(zok) = 0 для всех iel0. Откуда нетрудно получить, что существует последовательность \x{tk)—»0 такая, что ¡i(tk)>0 и Jii{zok),x) + (уyhi{zok),vl}i <\x{tk)
при i&I {zok ), \(Vxk {zok ), x) + (Vyh {zok \i(tk ) при iel0.
Поскольку R -регулярность многозначного отображения F в точке z0 = (x0,y0) е gra сохраняется и в окрестности этой точки, то Г(гп,:х) Ф 0 [5]. Тогда, применяя лемму 6.16 [5], получим p(vk,T(zok,x)) < a max ilM] jafi(^), где а и Мх — некоторые положительные постоянные.
Следовательно, существует бесконечно малая последовательность ¿Д такая, что ylk-vk-qk€.Y{zok,x). Иными словами, vk-ylk+qk, где ylk&T(zük,x) . Таким образом, получаем yk-y0k+tkylk+o(tk), где ylk&Y(zok,x) . Отсюда, обозначив zlk — (x,ylk), получаем ф(** ) - ф(*0) = /(**, У к ) - f(xo, У Ok ) =
= {У/ЫЛхк -х0,ук-Уйк)) + o(tk) = tk{Vf(zük),zlk) + o(tk).
Теорема 1. Пусть многозначное отображение F R -регулярно во всех точках z0—(x0,y0) таких, что _у0ею(х0), а экстремальное многозначное отображение ю(х) псевдолипшицево сверху во всех точках z0-(x0,y0) е {х0}хю(х0). Тогда функция ф(х) дифференцируема в точке х0 по любому направлению х е R", причем
ф'О0;*)= inf min (V/(z0),z)= inf max (V xL(z0,X\x). (1)
y0ee>(x0) yeT(z0-,x) 1 ' y0eo(x0) ^A (z0) 1 '
Доказательство. Доказательство теоремы 1 следует из леммы 1, леммы 6.28 [5], теоремы двойственности в линейном программировании и оценок пределов
liminfГ1(ф(х0 +£г)-ф(х0)), НтзирГ1(ф(х0 + £г)-ф(х0)).
<^0 <^0
Замечание. Точную нижнюю грань в формуле (1), вообще говоря, нельзя заменить на минимум.
Пусть х,. х2 е R" и пусть tk -I 0. Положим xk = х0 + tkxl + t2kx2 и рассмотрим последовательность ук g а>(хк), к —1,2,... Не ограничивая общности, можно считать, что ук —» у0 при к —> со; причем у0 е со(х0) в силу леммы 6.22 [5].
Лемма 2. Пусть функции h и f C2 -дифференцируемы, многозначное отображение F R-регулярно в точке z0-(x0,y0), где у0 еф0). Тогда при любых х,,х2 е R", tki 0 для любых последовательностей 4 . . ^ таких, что xk =х0 +tkxl + t2kx2 +o(tl)edomF, уке(о(хк), уок g ю(х0), \у0к-ук\<М\х0-хк\, М = const >0, и ук^у0& ю(х0) при к^со, справедливы, начиная с некоторого значения k-k0 разложения yk = уок +tkylk + t2ky2k +o(fl),
ф(х,) -Ф(х0) = tk{Vf(zok),zlk) +1\ (VJ{z,k\z2k) + Uzlk,V2f(z0k)zlk)
+ o(tk), где z0k=(x0,y0k),
zlk =(xl,ylk), z2k = (x2,y2k), а ^ , у^к — ограниченные последовательности такие, что
0k
У2k G Г (Z0k?Zlk
Доказательство. Доказательство леммы 2 проводится по схеме, аналогичной использованной при доказательстве леммы 1.
Обозначим со(х0Д) = {Су0,3?1)|^0е0)(х0),3?1£Г((х0^0);^), min max (Щх0,у),(х1,У)) =
Теорема 2. Пусть множество co(x0,xj) не пусто, многозначное отображение F R-регулярно во всех точках z0-(x0,y0) таких, что у0еа(х0), а экстремальное многозначное
отображение ю(х) псевдолипшицево сверху во всех точках z0=(x0,y0) таких, что _у0 е ш(х0). Если функции h и f C2 -дифференцируемы, то существует вторая производная функции ф(х) в точке х0 по любым направлениям х,, х2 gR", причем (p"(x0;xl,x2)= inf inf 2Ф (z0,zl,z2) =
= inf sup ^VxL(z0,X),x2} + (z1,V2L(z0,'k)z1Sj.
(.УсьЛ)ет<>оЛ) XEA2(z0;i!)
Доказательство. Доказательство теоремы 2 проводится на основании леммы 2 и теоремы 1, с применением леммы 6.80 [5] и теоремы двойственности.
ON DERIVATIVES OF THE OPTIMAL VALUE FUNCTION
L.I. MINCHENKO, A.A. VOLOSEVICH, S.I. SIROTKO, A.N. TARAKANOV
Abstract
The sufficient conditions of the directional differentiability of the optimal value function are obtained. The approach is based on the works of V.F. Demianov and A.M. Rubinov. This approach allows to obtain sufficient conditions for the parametric nonlinear programming problem with non only solution.
Литература
1. Демьянов В.Ф., Рубинов А.М. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление. М., 1990.
2. Bonnans J.F., Shapiro A. Perturbations analysis of optimization problems. New York, 2000.
3. Auslender A., Cominetti R. // Optimization. 1990. Vol. 21. P. 351-363.
4. Shapiro A. // SIAM J. Control and Optimization. 1988. Vol. 26. P. 628-645.
5. Luderer B., Minchenko L., Satsura T. Multivalued analysis and nonlinear programming problems with perturbations. Kluwer Acad Publ., Dordrecht, 2002.
6. Minchenko L., Tarakanov A. // Optimization. 2005. Vol. 54. P. 433-442.
7. Федоров В.В. Численные методы максимина. М., 1979.
8. Bosch P., Jourani A., Henrion R. // Appl. Math. and Applications. 2004. Vol. 50. P. 161-181.
9. Henrion R., Jourani A., Outrata J. // SIAM J. Optimization. 2002. Vol. 13. P. 603-618.
