К проблеме синтеза инвариантных многомерных систем управления Текст научной статьи по специальности «Математика»

2. Основы теории систем управления высокоточных ракетных комплексов Сухопутных войск / Б.Г.Гурский, М.А.Лющанов, Э.П.Спирин: Под ред. В.Л.Солунина. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2001.

3. Щербинин В.В., Кравченко П.П., Хусаинов Н.Ш. Методология разработки информационно-алгоритмического обеспечения перспективных систем посадки на малооборудо-ванные и необорудованные аэродромы по информации от автономной системы ближней радионавигации //Известия ЮФУ. Технические науки. Тематический выпуск "Интеллектуальные САПР". - Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2006. - № 2.

4. Кравч енко П.П., Хусаинов Н.Ш. Синтез алгоритмов системы управления летательного аппарата на основе теории оптимизированных дельта-преобразований второго порядка // Известия ТРТУ. Специальный выпуск "Материалы ХЫХ научно-технической и научно-методической конференций профессорско-преподавательского состава, аспирантов и сотрудников ТРТУ. -№ 1(36). - Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2004. - С.66-71.

УДК 62 - 501.462

А.Р. Гайдук

К ПРОБЛЕМЕ СИНТЕЗА ИНВАРИАНТНЫХ МНОГОМЕРНЫХ СИСТЕМ

УПРАВЛЕНИЯ

Введение

Задача управления многомерными объектами была поставлена в тридцатых годах прошлого века ИЛ. Вознесенским [1], как задача автономного (независимо) .

..

воздействиям систем управления [2]. Этим задачам посвящены многочисленные публикации [3 - 9], поскольку с практической точки зрения целесообразно придавать системам управления сложными объектами свойство инвариантности.

Основная сложность решения задачи синтеза многомерных систем автоматического управления (МСАУ) связана с их многомерностью, т.е. наличием несколь-, ,

. , то задача осложняется условиями разрешимости задачи синтеза инвариантных САУ [8].

Анализ известных решений задачи синтеза МСАУ приводит к выводу, что указанные сложности обусловлены использованием обратных связей и для обеспечения требуемых вход-выходных соотношений, и для придания устойчивости. В то же время известно, что для автономного или связного управления и инвариантности необходимы определённые значения передаточных нулей, а для устойчивости - .

В работе [7] было предложено разделить средства решения этих задач: для обеспечения автономности или связности использовать управление по воздействи-( ), - . этого подхода метод является полностью аналитическим и позволяет построить , , переходном и в установившемся режиме.

Ниже излагается метод синтеза инвариантных к воздействиям МСАУ, мини, -менным и прямые связи по измеряемым воздействиям.

Постановка задачи

Многомерный объект управления можно описать уравнениями:

А(5)У (^) = ХВ (5)и; (5) + (5)Л (5Х 1 = 1 Р , (1)

] =1 к=1

где у. (5), Uj (5) и /к (5) - изображения по Лапласу управляемой величины У ^ ), управления и^ ($ ) и возмущения Л О1); А(5) = ^(*Еп- A), В (5) = С а4)(5Еп - А)Ь; , Н.к (5) = С а4)(5Еп - АЖ . Здесь ЧИСЛО п - размерность вектора состояния X € К" , А - системная матрица; С, и Ь ,

Нк - строки и столбцы числовых матриц С и В , Н уравнений объекта (1).

(1) , , - , стабилизируемым [7]. Будем предполагать, что управляемые переменные у., задающие воздействия и часть возмущений /к измеряются.

Уравнения устройства управления (УУ) приводятся ниже. Здесь отметим только, что оно является линейным, поэтому уравнения «вход-выход» замкнутой системы имеют следующий вид:

У, (5) = 1х (5)g¡ (5) + (5 )/к (5) , I = , (2)

]=1 к=1

где у, (5), (5) и /к (5) - изображения по Лапласу управляемой величины

у, (I), задающего воздействия ^ (?) и возмущения /к«); (5),

V* (5) - .

Предположим, на комплексной плоскости выделена область а допустимого расположения полюсов системы (2). Если нули некоторого полинома Н(5) в

области а , то будем писать Нп (5) , в противном случае - на(5).

, (1) , -вим задачу определения УУ так, чтобы нули характеристического полинома Б( 5) замкнутой системы (2) располагались в области а, а её передаточные

функции WiJ (5) каналов —— у, удовлетворяли условиям:

)

Wii(5) = К(5X WiJ(5) = 0 . * J, ., J =1Р; (3)

)

К (5) = К(^ ., ] =1 р . (4)

Здесь К* (5) - желаемые передаточные функции, сформированные с учетом: условий инвариантности или желаемого порядка астатизма; соответствующих ус, -

(2).

К возмущениям система должна быть либо абсолютно инвариантной, если это возможно; либо селективно инвариантной, если известно К0 -изображение [8]

возмущения (/) , или же астатической в противном случае, т.е.

Уа С?) = 0 к е[1, Я] угк С?) = Угк (?)¥к (?Х к =1, Я, к * к . (5)

Здесь ¥к (?) - либо Кп -изображение возмущения /к (?), где оператор В

заменён на ?, либо ^ (?) = ? /к , где V^к - желаемый порядок астатизма сис-

темы к возмущению /к « ).

Синтез системы (2) рассматриваемым методом выполняется в два этапа. На 1. -

менным используются в нём, если не выполняется условие

А я) = А (я).

(6)

Прямые связи вводятся в УУ1 лишь по тем измеряемым возмущениям /к ,

к е [1, т] , -

антность синтезируемой системы [8]. На втором этапе синтеза обеспечивается автономность или связность каналов, а также другие требования к качеству системы. Рассмотрим порядок выполнения первого этапа.

Устойчивость и абсолютная инвариантность , -

нённой матрицы [7] может образовываться неполный объект, полюсы неполной части которого могут не принадлежать области ^. Поэтому декомпозировать таким способом можно лишь такой объект, полином А( ?) которого удовлетворяет условию (6). В связи с этим, обратные и прямые связи целесообразно формировать

, . 1, . 1, .

Л /я

УУі

ОУ

-Уі

-У2

-Ур

I

ОУ

УУі

'Уі

~Уд -Ур

Рис. 1.Типы обратных связей МСАУ

В этом случае указанные уравнения будут линейными, а УУ иметь либо один

, , .

, , . 1, , . . 1 описывается уравнением

и

1

и

и

и

и

и

2

и

2

и

и

р

и

р

б

а

Я(5)иц (?) = Я(5)иц - ]Г£цг (?)у1 (?) + ]ТМЦк (?) /к (?), (7)

г=1 к=1

где й - обозначение управления объекта (1), которое используется для ввода и

, (1), (7)

А(?)У,(?) = X В (?) й, (?) + ^ГЙ1к (?)/к (?), I = 1, р, (8)

}=1 к=1

где

А(?)=я( ?) А(?)+ЕЕи,(?) В,и?;

I=1

и, = й,, , = 1, р; , *и, (9)

В,, (?) = Я( ?) В, (?) + '¿Еи, (?) А>)[ В, (?) В, и (?) - В,и (?) в,, (?)], (1°)

I=1, I

Н,к( ?) = X Еи,( ?) А"1( ?)[ Н,к ( ? ) В,и ( ?) - В,и ( ?) Н1к ( ? )] +

,=1,1

+^(?)Н ,к (?) + В,и (?)Мик (?). (11)

Если какие-то возмущения , не измеряются, то соответствующий полином

в (7) и в (11) (?) = 0 . В случае УУЬ показанном на рис. 1,а, условие стаби-

(1)

НОД{ А( ?), НОК[ В,и (?)]} = Оп (?), (12)

I=1, р

где О^ (?) - некоторый полином или постоянное число.

Если же обратные связи введены, как показано на рис. 1,6, т.е. УУ1 описывается уравнениями :

Я(?)й,(?) = Я(?)й, - Ь.и (?) Уи (?) , =1, р, (13)

где у и - управляемая переменная, используемая для образования обратных свя-

, - (8), -

номы определяются несколько другими выражениями, а именно:

__ у

А( ?) = я(&') А(?) + £ Ь1 и (?) Ви,(?), (14)

1=1

В,,(?) = Я(?)Ви(?) + ¿¿,и(?)А-‘(?)[В,, (?)Ви,(?) - В,(?)Ви,(?)], (15)

I=1

Н,&) = К(я)Н1„ (ї)+(ї) А-г(*)[ Н,„ (*)В„ (ї) - В„ (ї)^ (ї)].

1=1

к = 1, Я, (16)

(1)

нод{ А( ?), дак[ в и, (?)]} = О* (?), (17)

,=1, р

где О* (?) - некоторый полином или постоянное число.

, (7) - (17) ,

из интервала [1, р], которые соответствуют управлениям й, или управляемым

переменным У, , используемым В УУ1 (7) или (13).

Условия физической реализуемости УУ1 (7) и (13) запишем в виде неравенств

тах^Ь ,(?)} < degЦ(?) -иУ,

,=1, р

max{degМ^(?)}< degЦ(?)-и*, (18)

к=1, я *

*

и У - 1

сительной степени соответствующих передаточных функций.

Заменяя в выражениях (9) или (14) полином А( ?) полиномом

А* (?) = А* (? )Оп (?) О* (?) - (12) (17),

А*( ?) - желаемый полином степени П - deg О* (?) систем (1), (7) или (1),

(13), (9) (14) -

тельно полиномов Ц(?) и Ьи,(?) или Ь,и (?) . Эти уравнения эквивалентны

системам линейных алгебраических уравнений, решения которых определяют ко-

1. -гебраических уравнений обеспечивается, как показано в [9], выбором степеней

полиномов Ц(?) и Ьи,(?) или Ьи (?) с учетом условий (18) и переменных,

используемых для образования обратных связей.

Условия абсолютной инвариантности, как известно, достигаются довольно редко [8]. В данном случае, они могут быть обеспечены по отношению к некоторому возмущению /к, к * к лишь при использовании УУ! (7), схема которого

приведена на рис. 1,а. Необходимое условие Н.^ (?) = 0, к * к может быть

достигнуто, например, если при всех , е [1, р] и некоторых к е [1, Я], к * к * и ре [1, р] выполнены условия

Н,к (?) = %Н„( ?), В,и (?) = ви Н о( ?),

£ Ьи(?)А-‘(?)[В,и(?)Н,-к (?) - В,и(?)Н,-к (?)] = Н°(?)Т,к(?), (19)

/ =1, / Ф,

где Но(?) и Т,к-(?) - . (7)

(11) следует положить М_к(?) = -(Л,кЦ(?) + Т,к)/ви, а Мик(?) = 0, при к * к .

Таким образом, задавшись полиномом А*(?), составив и решив одну из

, (9) - (11)

(14) - (16) (8) , -

(6). -

екта будет равен П = П + deg Ц(?) . Если найдутся к е [1, я] , при которых выполняются условия (19), то все его переменные у, (?) будут абсолютно инвариантными К возмущениям Л •

Отметим, что если исходный объект управления (1) удовлетворяет условию (6), то в уравнениях (7) или (13) все полиномы Еу (?) = 0 , т.е. обратные связи по управляемым переменным не вводятся. Аналогично, если условия (19) не выполняются ни при каких к , то в (7) и в (11) все полиномы Мик (?) ^ 0.

Многомерное управление

Для построения управления й , при котором выполняются условия (3) или (4) представим, следуя [7], уравнение (8) найденного в п. 3 объекта или уравнение (1) , (6),

А( ? ) У = Вуи ( ? )й ( ? ) + НуЛ (? )Л ( ? ), (20)

где Вуи (?) и НуГ (?) - р х р и р х я

известные числовые коэффициенты.

Далее найдём передаточную матрицу Wyй (?) = А 1(?)В уй(?), её определитель ^ №уи(?) и диагонализирующую матрицу П( ? ):

^ №уй ( ? ) = В 0(? )/ А 0( s),

п (?) = А 0( ?)а4) №уй(?) = [п,,(¿ХЪ (21)

где А0(?) = А(?)/О0(?). Здесь О0(?) - некоторый полином, причём

О 0(?) = О0 *(?), поскольку А(?) = А *(?) . Затем проведём факторизацию

полинома В 0( ? ) относительно области , т.е. найдём представление

В 0(?) = В * (?)В * (22)

где Вп ( s) - нормированный полином или единица, а

B П( s) = B о( s )/B n( s)-

Обозначим KD -изображение j -го задающего воздействия g (t)

j = 1, p при замене оператора D на s как Gj (s), j = 1, p и введём полиномы

F(s) = HO_K{Fi(s), ...,F/s)} Фj(s) = HOK{Gj(s),F(s)}, j = ~P• (23)

кфк 4

Будем считать также, что выполняются следующие условия [8]:

degO(s) > 1, НОД{Вй (s), Фj (s)} = Const, j = 1, p. (24)

, KD - j - -

СТВИЯ gj (t) не известно, то в (23) можно полагать Gj (s) = s S], где

Vgj - желаемый порядок астатизма канала gj —> yj .

Обозначим

z j = max{deg PjJ (s)}, m a = deg Ba (s), m й = deg Вй (s);

ге 1, p

R o(s) = ^ (s) R( s),

где ^(s), R(s) , а также L(s) - p Xp диагональные матрицы, составленные ИЗ ПОЛИНОМОВ Nj (s), Rj (s), Lj (s), j = 1, p •

При этом deg R] (s) = Z +V*y -ma, Nj(s) = R о j(s) / Rj(s) , а deg Lj (s) = deg Ф j (s) -1 . Пусть также Q(s) - p Xp матрица общего вида,

a Qjj( s), jJ = 1 p • (18)

niax{ deg Qjl (s )} < deg N] (s) - ¡Ty.

l=1, p

Полиномы Rjs) =Bn(s)Ф].(s)R0/.(s), причем degR0j(s) = Z] +2|ly -1 -mn, a

численные значения коэффициентов полиномов R о j (s) и Lj (s) определяются решением полиномиальных уравнений

Ф j (s) R о j (s) + В й( s) L] (s) = D] (s), j = ^ p , (25)

где Dj( s) -

St — yj, fk— у] , ПР™ degDj(s) = degФj(s) + degR j(s), j,,^' = 1, p •

Полиномы 0,, (?) определяются решением полиномиальных уравнений

0,, (?) + О (^ (?) = Ь, (?), (26)

причем

deg 0, (?) = ^ О, (?) -1 а deg V, (?) = deg Ь, (?) - deg О, (?).

Если обеспечивается селективная инвариантность канала £, —— у, , причём

О, (?)*^ , то коэффициенты соответствующего полинома В, (?) из (25) , .

Полиномы д, (?) = 0 при , * , , если синтезируется автономная система, т.е. в соответсвии с условиями (3). Если же требуется обеспечить определённую , - - ,

соответсвующий полином 0 , (?) выбирается, исходя из того, что передаточная функция замкнутой системы по каналу ^, —— у,, , * , определяется выражением ж,(?) = в* (? )0,,(?)/ В1 (?).

Управление и в уравнении объекта (20) определяется уравнениями:

и (?) = В *1( ?) П (?) Ц-1( ?) к (?), (27)

к(?) = ^ (?) [0 (?)g(?) - Ь (?)у(?)] , (28)

где к(?) - изображение вектора промежуточных переменных к(?) е Ц .

Для реализации УУ1 и УУ2 сначала осуществляется переход к уравнениям в переменных состояния, подробно рассмотренный в [7].

Пример

Проиллюстрируем методику синтеза многомерных инвариантных систем управления предложенным методом на примере объекта из работы [6], который

(1),

П = 4, р = 2, Я = 2, а полиномы:

А(?) = (? + 0,2 )2 (? + 0,5)?, (29)

В 11(?) = 0,4 (? + 0,4)(? + 0,5)?, В 12(?) = 0,8 (? + 0,2)(? + 0,5)?,

В21(?) = 0,1(?-1) + 0,2)?, В22(?) = 2(? + 0,2)2(? + 0,5), (30) Н 11( ?) = 0,2 (? + 0,5) + 0,2)?, Н 12( ?) = 0,3 (? + 0,5)(? + 0,2)?,

Н 21( ?) = 0,8 ( + 0,5) + 0,2)(? + 0,175), Н 22(?) = 0,4 ( + 0,2 )2 ? .(31)

Измерению доступны векторы у , 8 = g - у и /. Необходимо найти авто, -му воздействию gl(t) с частотой ю = 7 9,86 , -

ствию g 2(* ) , длительность 1р1 переходной функции по каналу g 1 —— у1 не более 1,7 с, а по каналу g2 —— у 2 - не более 3 с. Степень устойчивости не хуже 0,15.

: 1 (7) иу = 0, а для УУ2 (27) и (28) и* = 1.

Переходя к решению задачи, определим область * условием

Яе ? <-0,15 . (29) (6) .

Так как желательна абсолютная инвариантность системы к возмущениям, примем

1 (7). (29) (30) ,

(12) и = 2 (7).

полином А*(?) = (? + 0,2)2 (? + 0,5)(? + 2), (9)

Ц( ?) = 1, Ь 22( ?) = 1. Подставляя полиномы (29) - (31) в (11) заключаем, что

условия (19) не выполняются ни при к = 1, ни при к = 2 . Поэтому все полиномы М, к (?) - 0 и уравнение УУ1 (7) принимают вид и2 = и2 - у2, й = и^.

(20) -

тойчивого объекта принимают вид:

В (ї) =

И (ї):

А* (ї) = (ї + 0,5)( ї + 0,2)2( ї + 2). (32)

0.4ї 3+ ї2 + 0,68ї + 0,08 0,8ї 3+ 0,56 ї2 + 0,08ї

0,1ї3- 0,08ї2- 0,02ї 2ї 3+ 1,8ї2 + 0,48ї + 0,04

(33)

0,2ї3- 0,1ї2- 0,132ї - 0,016 0,3ї 3+ 0,49ї 2+ 0,38ї + 0,06 0,8ї 3+ 0,7ї 2+ 0,178ї + 0,014 0,4ї 3+ 0,16ї2 + 0,016ї

Перейдём к определению УУ2. Вычислив по (32) и (33) передаточную функцию ^ ( ? ) и матрицы а^^- (?) и П (?),

найдём следующие полиномы:

В 0(?) = 0,72( ? + 0,7384)(? + 0,1505), П 11( ?) = В 22( ?),

П 12(?) = -В 12(?) , П 21(?) = -В 21(?) , П 22(?) = В 11(?) , при ЭТОМ ^ 1= С 2= 3 .

Факторизуя по (22) полином В0(?) , получим В*(?) = ?2+ 0,889? + 0,111,

В*(?) = 0,74, т.е. т*= 2. В рассматриваемом случае 01(?) = ?2+ 9,86, а в соответствии с требованиями к системе в установившемся режиме

Е 1(ї) = Е 2(ї) = ї , С 2(ї) = ї 2. Поэтому по (23) Е(ї) = ї , а

Ф 1(ї) = ї 3+ 9,86ї, Ф 2(ї) = ї 2 , причём условие (24) выполняется.

Степени полиномов:

deg Я 01(ї) = 3 + 3 +1 = 7, deg Ь 1(ї) = 3 -1 = 2, deg Я 01(ї) = 7 - 2 - 3 = 2, deg В1(ї) = 3 + 1 + 3 - 2 = 5, degби(ї) = 3-1 = 2. degЬ 1(ї) = 0.

Коэффициенты 51г- полинома В 1(ї) выберем по коэффициентам А 5 = 1, А 4 = 2,7, А 3 = 4,9, А 2 = 5,4, А1 = 3,4, А 0 = 1 нормированного полинома, при которых время регулирования Ґ = 5,43 С. Полагая временной масштабный коэффициент Ю01= ^ / Ї р1= 5,43/1,7 ~ 3,2, найдем [10]:

515 = 1, 514 = 8,64, 513= 50,18, 512= 176,95, 511= 356,52,

510=335,54.

, = 1 (25) (26)

(ї 3+ 9,86ї) Я 01(ї) + 0,72Ь 1(ї) = В 1(ї),

Q и( ї) +(ї 2+9,86)^ 0= Ь 1( ї).

Решения систем алгебраических уравнений, соответсвующих этим уравнениям [10], :

Ь1(ї)=127,4ї2 - 57,4ї+466,1, Q11( ї) = -57,4ї + 790,1, Я 01( ї)=(ї2+ 0,8889ї+0,1111)(ї2+8,64ї+40,32)( ї3+9,86).

При І = 2 аналогично находим:

deg Я 02(ї) = 2 + 3 +1 = 6, deg Ь 2(ї) = 2 -1 = 1,

deg Я 02(ї) = 6 - 2 - 2 = 2, В2(ї)=2+1+3 - 2=4,

^Q22(ї) = 2 -1 =1 deg^2(5) = -1, т^. У 2(ї) = 0.

Коэффициенты 52і полинома В2(ї) выберем по коэффициентам А4 = 1,

А3 = 7,2, А2 = 16,3, А1 = 11,8, А0 = 1 стандартной передаточной функции 2- , -мя регулирования Ґ = 12 С . При Ю02 = 12/3 = 4 найдем 524= 1,

523 = 28,8, 522 = 261, 521 = 755, 520 = 256. Уравнения (25) и (26) здесь принимают вид

.

? 2 Ц 02 (?) + 0,72 Ь 2( ?) = В 2( ?), 0 22( ?) = Ь 2(?).

В результате решения этих уравнений находим следующие полиномы:

д22(?)=Ь2(?)=1048,6?+355,6,

Ц 02(?)=(?2+0,889?+0,111)( ?2+28,8?+261)?2.

Для записи уравнений УУ2 найдем deg Ц (?) = 3 +1 = 4

; далее, полагая

Ц(?) = В * (?)Ц 0,(?) , получим N (?) = Ф, (?) , ,= 1,2. Это (27), (28) 2 :

позволяет

и (ї) =

0,1

(ї2 + 0,889ї + 0,111)

20ї3 + 18ї2 + 4,8ї + 0,4 ї2 + 8,64ї + 40,32 - ї3 + 0,8ї2 + 0,2ї ї2 + 8,64ї + 40,32

-ї3 - 5,6ї2 - 0,8ї ї2 + 28,8ї + 261 4ї3 + 10ї2 + 6,8ї + 0, ї2 + 28,8ї + 261

>1(ї)' К( ї).

... -57,4? - 790,1 127,4 ..

к 1( ?) = , 2 + а„А, 81( ?)---у 1( ?),

?(? + 9,86) ?

, . . 1048,6? + 255,6 . .

к 2(?) = ~Т^^^^8 2( ?). ?(? + 9,86)

, 2 . -

2 .

Путем вычисления передаточных функций или моделирования на ЭВМ, мож-, -ных выше требований к качеству синтезируемой системы.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИИ СПИСОК

1. Вознесенский И.Н. О регулировании машин с большим числом регулируемых параметров // АиТ. - 1938. - № 4. - С. 4-5.

2. Щипаное Г.В. Теория и методы проектирования автоматических регуляторов // АиТ.

- 1939. - № 4. - С. 44-66.

3. Баранчук Е.И. Взаимосвязанные и многоконтурные регулируемые системы. - Л.: Энергия, 1968.

4. Янушвеский Р.Т. Теория линейных оптимальных многосвязных систем управления.

- М.: Наука, 1973.

5. Уонэм М. Линейные многомерные системы управления: Геометрический подход. М.: Наука, 1980.

6. Медеедее В.С., Романова ТА. Синтез алгоритмов управления, обеспечивающих незави-

// . . .

- 1995. - № 1. -С. 42-49.

7. ГайдукА.Р. Об управлении многомерными объектами // АиТ. - 1998. - № 12. - С. 22-37.

8. Гайдук А.Р. Условия достижимости инвариантных систем управления энергетическими объектами // АиТ. - 2006. -№ 5. - С. 93-101.

9. Гайдук А.Р. Выбор обратных связей в системе управления минимальной сложности // АиТ. - 1990. - № 5. - С. 29-37.

10. Красовский А.А.,Поспелов ГС. Основы автоматики и технической кибернетики. - М.

- Л.: Госэнергоиздат, 1962.