CC BY
81
3. Поляк Б. Т., Щербаков П.С. Множества достижимости и притяжения линейных систем с ограниченным управлением: описание с помощью инвариантных эллипсоидов. Сб. «Стохастическая оптимизация в информатике» / Под ред. О.Н. Граничина. Вып. 4. - СПб.: СПб ГУ, 2008. - С. 3-23.
4. . ., . .
качества // Мехатроника, автоматизация, управление. - 2008. - № 4. - С. 7-12.
5. Гайдук А.Р. Теория и методы аналитического синтеза систем автоматического управления (Полиномиальный подход). - М.: Физматлит, 2011.
Статью рекомендовал к опубликованию д.т.н., профессор Н.И. Витиска
Гайдук Анатолий Романович - Технологический институт ф едерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге; e-mail: [email protected]; 347904, г. Таганрог, ул. Слесарная 26, кв. 2; тел.: 88634626287; кафедра систем автоматического
; . . .; .
Бееклубова Ксения Валериевна - e-mail: [email protected]; 347904, г. Таганрог, . , 8/1, . 33; .: 88634387349; .
Gaiduk Anatoly Romanovich - Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Au-
tonomy Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”; e-mail: [email protected]; 26, Slesarnaya street; app. 2; Taganrog, 347904, Russia; phone: +78634626287; the department of automatic control systems; dr. of eng. sc.; professor.
Besklubova Ksenia Valeryevna - e-mail: [email protected]; 8/1, Yablochkina street, app. 33, Taganrog; 347904, Russia; phone: +78634387349; the department of automatic control systems; magister.
УДК 681.5
Го Пэн
МЕТОД СИНТЕЗА СИСТЕМ С РЕГУЛЯТОРОМ ПО ВЫХОДУ И ВОЗДЕЙСТВИЯМ
Рассматривается аналитический метод синтеза регуляторов по выходу и воздействиям. Регуляторы этого типа позволяют управлять не только полюсами системы, но и её , -тами произвольного вида как устойчивыми, так и неустойчивыми. При этом учитываются условия физической реализуемости регуляторов, а условия устойчивости не противоречат условиям астатизма и точности. Решение задачи синтеза структуры и параметров требуемого регулятора сводится к решению систем линейных алгебраических уравнений. Эффективность предложенного метода показана на численном примере.
Объект; регулятор; система; устойчивость; качество; синтез; расчетные уравнения.
Guo Peng
DESIGN METHOD OF SYSTEMS WITH CONTROLLER ON OUTPUT
AND DISTURBANSES
The article deals with an analytical method for the design of systems with controller on output and disturbances. Controller of this type allow you to control not only the poles of the system, but also its zeros, which ensures stability control systems linear objects of arbitrary type as stable or unstable. This takes into account the conditions of physical realizability controller, and stability conditions do not contradict the conditions of astatism and accuracy. Solution to the problem of synthesis of structure and parameters of the desired controller is reduced to solving systems of linear algebraic equations. The effectiveness of the proposed method is shown on the numerical example.
Object; controller; system stability; the quality; design; the calculated equation.
Существует множество практических проблем исследования океанов и морей, для выполнения которых подводные роботы (ПР) могут рассматриваться как основное средство. Подводные роботы, как бы совершенны они ни были, эффективны только при изучении мелкомасштабных процессов в локальных областях. При этом возникает задача выполнения ряда типовых команд, которые ПР должен выполнять автоматически, без участия оператора [1].
В данной работе предлагается регулятор по выходу и воздействиям для выполнения одной из таких задач: автоматическое управление линейной скоростью ПР. В системе с регулятором по выходу и по воздействиям, схема которой приведена на рис. 1, варьируемыми предполагаются параметры всех вводимых связей, т.е. по управлению и, по измеряемой величине у , по задающему воздействию § и по измеряемому возмущению / [2]. На этом рисунке неизменяемое возмущение обозначено /Ш1.
Рассматривая особенности системы данного типа, будем предполагать, что объект управления (ОУ) задан скалярным уравнением вход-выход:
А( р) у = В( р)и + в1( р) ^ + В2(р) ^, (1)
где А(р), В(р), В1(р) и В2(р) - многочлены.
Рис. 1. Система с регулятором по выходу и по воздействиям Регулятор по выходу и воздействиям (РВВ, рис. 1) представляет собой дина, , все доступные измерению воздействия и переменные системы. Поэтому в соответствии с рис. 1 уравнение вход-выход РВВ можно записать так
Я(р)у = Q(р)§ - Ь(р)у + Ql(р)/. (2)
(1)
быть определены в процессе синтеза системы управления, исходя из требований к .
(2) :
^ * 7 *
Г - Ч ^уу , Г - 1 ^уу ,
где г = deg Щ р), ч = deg Q(p), I = deg Ь(р), ^ - заданная относительная .
, (2) , , :
управляемой переменной - у (выходу) и по задающему воздействию § , поэтому он называется регулятором по выходу и воздействиям.
(2)
требованиям к качеству синтезируемой системы.
. (1) -вить следующим образом:
В( р) = Рт1Во( р) Вй (P), (3)
А( р) = А (р) А(р^ (4)
где Рт - коэффициент многочлена В(р) при р в старшей степени т ; а через А (р) , В (р) обозначены многочлены, корни которых располагаются в области
комплексной плоскости, допустимой для данной системы.
Для уменьшения порядка РВВ в данном методе принимаются следующие :
о( р) = В (р) А (рЖ р), Вп ( р) = РтВ( р),
где О(р) - гурвицевый многочлен, выбираемый по условиям качества синтези. .
Как известно, для обеспечения астатизма порядка V§ по задающему воздействию необходимо, чтобы в прямой цепи системы управления было V § «чистых» интеграторов. Если А(р) = рА0(р), причем V0 < V § , то в ДУУ необходимо дополнительно ввести V = шах^§ - V0; 0} интеграторов. Поэтому в предлагаемом методе полагается
й( р) = вп (р) р4 Й( р), Ь( р) = а (р) Ь( р), (5)
где Й (р), Ь (р) - неизвестные пока многочлены. При этом характеристический полином О(р) замкнутой системы имеет вид
В0 (р) А (р)О(р) = А(р)В (р)р^Й(р) + РтА (р)В (р)Ь(р).
Так как равенство (3) выполняется, то общие множители А (р) и В (р)
.
О (р) = А- (р) р У Й( р) + РтЬ( р). (6)
Полученное выражение (6) является многочленным уравнением, которое эквивалентно системе алгебраических уравнение, относительно г +1 коэффициентов полинома Й(р) степени г = г - т0 -V и I +1 коэффициентов полинома
Ь(р) степени I = г - р,*у - пп, т0 = т .
Степень Л многочлена О (р) в (6), очевидно, равна степени произведения А (р)рУЙ(р). Следовательно, в системе уравнений, эквивалентной уравнению
(6), содержится Му = Л +1 уравнений и Ык = г +1 + 2 неизвестных коэффициентов, т.е.
Му ='Л + 1 = ий +Г-т0 +1, М = 2г + 2-па -т0-У-^уу.
Для разрешимости указанной системы необходимо, чтобы Мк = Му. Отсюда, используя приведенные выражения, найдём
Г = П + У+Ц*уу - l, Г = П + ^*уу - т0 - l,
'Л = п + Пг + '^ + ^4'-т0-1, 1 = па +V-1. (7)
Для выбора коэффициентов полинома О(р) степени Ц используются стандартные передаточные функции, приведённые, например, в [1]. По заданному порядку астатизма Vg , степени Ц и перерегулированию а % из неё Птаб = Г| выбираются коэффициенты Аі и величина ґртаб. Далее вычисляются временной масштабный коэффициент Ю0 = ?ртаб Др , а затем желаемые коэффициенты многочлена О (р) по формуле
8 = А^, і = 0, Ц . (8)
Многочленнному уравнению (6) соответствует [2] система алгебраических уравнений следующего вида (9).
Матрица этой системы имеет I +1 столбцов, составленных из коэффициента Р т, и г +1 столбцов, составленных из коэффициентов многочлена А( р) = ру ^ (р).
'Ро 0 0 0 0 0 0 0
р1 0 0 0 «1
р0 0 §2
Рт р1 0 0 0
0 0
0 0 т 0 0 0 -Рг. л.
Решение этой системы позволяет записать многочлены
Я(р)=Ер.-Р и Ь(р)=Ъ^р‘ ,
1=1 .=1
а затем многочлены Я( р), Ь( р) по приведённым выше выражениям (5). Многочлен Q(р) определяется по формуле
2( р) = Рт1 \(р)(5„, -1 р4 8 - +'' ■ + §о). (10)
В некоторых случаях измеряемыми являются отклонение £ = 8 — У и управляемая переменная у = фВЬ1Х (г). Поэтому, заменяя в (4) 8 п0 формуле 8 = 8 + у и приводя по добные члены, получим следующее уравнение:
я (р )и = Q (р )Е — м (р )ФВЬ1Х, (11)
где М (р) = Ь (р) — Q (р).
Таким образом, выражения (3) - (11) позволяют найти все полиномы искомого УУ и записать его уравнение (4). Поэтому они являются расчетными соотношениями предлагаемого метода синтеза систем управления. Покажем эффективность этого метода на численном примере.
.
уравнением
(р3 + 6,4 р2 +3,38 р) у (р ) = (1,8 р + 3,8)и (р), где у = у (г) - скорость ПР; и - управление, формируемое искомым УУ. Необходимо найти УУ, при котором обеспечивается первый порядок астатизма к задаю, -
вания г*р < 25 с, |и = 1. В данном случае
W(р)=-
1,8 р + 3,8
р3 + 6,4 р2 + 3,38 р . . (1)
А(р) = А(р) = р3 + 6,4р2 + 3,38р , (9)
В( р) = РХ ( р) = 1,8( р + 2,1111). (10)
Степени этих многочленов: п = deg А( р) = 3, т = deg В( р) = 1. Положим Ра (р) = р + 2,1111, Рт = 1,8, (11)
я(р) = (р + 2,1111)Я(р). (12)
По формулам (7) находим: г = 3, г = г —1 = 3 — 1 = 2, I = г—1 = 3—1 = 2, ^ = 3 + г — 1 = 5. При этом многочлены равны Я (р) = р2 р2 +р1 р + р0,
Ь (р) = А 2 р2 + Х1 р + X 0, Й (р) = 85 р5 +84 р4 + 83 р3 + 82 р2 +81 р + 80.
В данном случае необходимы коэффициенты передаточной функции, соответствующей системе пятого порядка, так как deg Й (р) = 5 с астатизмом первого порядка и без перерегулирования. Этим данным удовлетворяет передаточная функция со стандартными коэффициентами: А0 = 1, Д1 = 5 , А2 = 10, А3 = 10,
А4 = 5, Д5 = 1 и гртаб = 10,5 с .
Для обеспечения требуемого времени регулирования вычисляется значение масштабного коэффициента ю0 = = 10,5/25 = 0,42 . Желаемые коэффици-
енты многочлена Й(р) определяются по формуле 8. = А.Ю0—'' при п = 5. Подстановка численных значений даёт: 80 = 0,0131, 81 = 0,1556, 82 = 0,7409, 83 = 1,764, 84 = 2,1, 85 = 1.
(9)
"1,8 0 0 0 0 0 V 0,0131
0 1,8 0 3,38 0 0 *1 0,1556
0 0 1,8 6,4 3,38 0 ^2 0,7409
0 0 0 1 6, 4 3,38 Р0 1,764
0 0 0 0 1 6,4 Р1 2,1
0 0 0 0 0 1 _Р2_ 1
Решение этой системы: X0 = 0,0073, А1 = —48,5555, X2 =—83,6171, р 0 = 25,904 , р1 = —4,3 , р2 = 1 позволяет записать многочлены:
Я(р) = Вп (р)Я(р) = (р + 2,1111)(р2 — 4,3р + 25,904),
Ь (р) = —83,6171 р2 — 48,5555 р + 0,0073,
Q(р) = Вп(р)80 = (р + 2,1111) • 0,01845 .
(2) ,
(р + 2,1111)(р2 — 4,3р + 25,904)и(р) = (р + 2,1111) • 0,018458 (р) — —(—83,6171 р2 — 48,5555р + 0,0073) у( р).
Для исследования качества синтезированной системы она была промоделирована в МЛТЬЛБ. В результате получен переходный процесс, приведенный на рис. 2.
Gttp Response
15---------------------------------------------
Рис. 2. Переходная функция системы
По графику переходной фукнции можно установить, что время регулирования равно 25 с, перерегулирование отсутствует; статическая ошибка равна нулю, т.е. синтезированая система удовлетворяет предъявленным требованиям.
На основе изложенного можно заключить, что предложенный метод синтеза позволяет получать уравнения регуляторов по выходу и воздействиям, которые обеспечивают заданные показатели качества непрерывных САУ в переходном и в .
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Агеев М.Д., Киселев Л.В., Матвиенко ЮМ. и др. Автономные подводные роботы. Системы и технологии. - М.: Наука, 2005.
2. ГайдукА.Р. Теория автоматического управления: Учебник. - М.: Высшая школа, 2010.
3. Гайдук А.Р., Беляев В.Е., Пьявченко ТА. Теория автоматического управления в примерах и задачах с решениями в MATLAB. - СПб.: Лань, 2011.
4. Го Пэн. Оптимальное управление электроприводом руля ПА // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2010. - № 1 (102). - С. 164-167.
5. . ., . ., -
ва // Мехатроника, автоматизация, управление. - 2008. - № 4. - С. 7-12.
Статью рекомендовал к опубликованию д.т.н., профессор Н.И. Витиска
Го Пэн - Технологический институт федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге; e-mail: [email protected]; 347904, г. Таганрог, ул. Петровская, 17, кв. 308-3; тел.: +79514969807; кафедра систем автоматического управления; аспирант.
Guo Peng - Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Autonomy Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”; e-mail: [email protected]; 17, Petrovskaya street, app. 308-3, Taganrog, 347904; Russia; phone: +79514969807; the department of automatic control systems; postgraduate student.
