К проблеме многокритериального выбора и упорядочения объектов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Осипов П.М., Юрков Н.К. К ПРОБЛЕМЕ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОГО ВЫБОРА И УПОРЯДОЧЕНИЯ ОБЪЕКТОВ

Показано, что в реальных задачах традиционные модели исследования операций зачастую оказывается неприемлемым. Стремление учесть в моделях больше факторов делает их более сложными и многоаспектными. Обосновывается применимость методов многокритериального выбора и упорядочения объектов для решения многокритериальных задач.

В течение многих лет теоретическую основу программного планирования составляли традиционные модели исследования операций. Эти модели, несмотря на свою математическую строгость и наработанную алгоритмическую базу, имеют один существенный недостаток - использование одномерных критериев качества исследуемых систем.

В реальных задачах, приближенных к жизни и практике, такой подход зачастую оказывается неприемлемым. Стремление учесть в моделях больше факторов делает их более сложными и многоаспектными.

При этом многие задачи переводятся в разряд многокритериальных и требуют для своего решения соответствующих методов и подходов. Теоретическую основу для решения многокритериальных задач составляют методы многокритериального выбора и упорядочения объектов [2, 3].

1. Постановка задачи многокритериального выбора и упорядочения объектов

В общем случае задачу многокритериального выбора и упорядочения наглядно можно представить в виде следующей схемы (см. рис. 5.2.): имеется множество объектов А (альтернатив, вариантов и т. д.), каждый из которых оценивается совокупностью критериев G (показателей) и имеется человек -лицо принимающее решение (ЛПР), которому на основе оценок объектов и его представлений об относительной важности критериев необходимо выбрать один наилучший объект (задача выбора) или все рассматриваемые объекты расположить в определенной последовательности - от самого лучшего к самому худшему (задача упорядочения).

Для получения оценок коэффициентов относительной важности критериев и некоторых оценок объектов по ряду критериев при необходимости привлекается группа экспертов.

Задачу упорядочения можно записать следующим образом:

Opt {ft (ai) > g2 (ai ) > ■■■> gm (ai) |ai e A},

(P.l)

где A={ax,a2,...an} конечное множество объектов, G={gx,g2,...gn} - конечное множество критериев,

gj(aj)- количественная оценка i-го объекта (i = 1, n) по j-му критерию (j = 1,m),

Р - бинарное отношение предпочтения, т.е. ajPaj, если объект а^ предпочтительнее aj

I- бинарное отношение неразличимости, т. е. aiIaj если объект неразличим c aj.

В результате решения такой задачи на множестве сравниваемых объектов А должны быть установлены бинарные отношения предпочтения Р и неразличимости I. При этом при построении этих отношений оптимальным образом (смысл знака Opt) должна быть использована информация об оценках объектов по

отдельным критериям и учтена относительная важность критериев, которую им придает ЛПР.

В результате решения задачи упорядочения на множестве оцениваемых объектов должно быть установлено отношение нестрогого порядка (квазипорядок), которое мы обозначили (Р,I) и которое является объединением отношений Р и I, т. е. (P,I) = PVI.

Решив задачу многокритериального упорядочения мы получим и решение задачи выбора. Можно выде-

лить подмножество недоменируемых решений, а затем из этого подмножества осуществить выбор наилучшего объекта. При этом объем вычислений в данном случае может быть существенно сокращен.

Задачу выбора можно записать следующим образом :

OPt {gl (ai) > g2 (ai ) > ■■■> gm (ai) |ai e A},

ai

Pr ef {gl (a ) , g 2 (ai ) ,■■; gm (ai)\ai e A} ,

ai

или в других обозначениях

Показатели (критерии)

gl g2 ... gm

Матрицы оценок

gi(ai) g2(ai) gm(ai)

gi(aO g2(a2) gm(a2)

gi(an) g2(an)

Wl W2 ... / / Wm

Коэффициенты относительнойважности критериев /

Vi

N

/

К

гИ

Количественные оценки предпоч тительности объектов

Ф(а2)> ф(аз)> Ф(а5)

а? > аз > а5

а2 - лучший объект (наиболее предпочтительный) а - худший объект (наи меше предпочтительный)

gm(an) - оценка n-го объекта по т-

АНАЛИЗ И КОРРЕКТИРОВККА

му критерию

ЭКСПЕРТА!

® ® ... ®

ЛИЦО, ПРИНИМАЮЩЕЕ РЕШЕНИЕ

Рис.5.2. Схематическое представление задачи и многокритериальной сравнительной оценки объектов

где знак Pref - обозначает выбор наиболее предпочтительного объекта (используется сокращение от английского слова preferable - предпочтительный).

Пример:

Рассмотрим иллюстративный пример задачи многокритериального выбора. Ее приводят во многих зарубежных журнальных статьях по многокритериальному выбору.

Правительство одной из европейских стран приняло решение о закупке партии самолетов-истребителей у США. Официальные лица Пентагона предложили на выбор четыре модели истребителей из тех, которые могут быть проданы в данную страну.

Специальная комиссия военно-воздушных сил этой страны решила, что в процессе выбора наилучшей модели следует принять во внимание следующие характеристики:

а) скорость;

б дальность полета;

в) бомбовая нагрузка;

г) закупочная стоимость (цена);

д) надежность;

е) маневренность.

Фактические данные об указанных характеристиках, представленные американской стороной, приведены в таблице 5.2.

Таблица 5.2

Модель истребителя Критерий

Скорость, число М Дальность, мили Нагрузка, фунты Цена, млн. долл. Надеж- ность Манев- ренность

модель о 1500 20000 5 5 средняя очень высокая

модель 2.5 2700 18000 6.5 низкая средняя

модель 1.8 2000 21000 4.5 высокая высокая

модель 2.2 1800 20000 5.0 средняя средняя

Желательное направление измерения у+ у+ у+ V- у+ у+

Коэффициенты относительной важности 2 о 0.1 0.1 1 0 0.2 т 0

В таблице приведена также информация о желательном изменении оценок по каждому из критериев и коэффициентах относительной важности.

Необходимо обосновать выбор наилучшей модели истребителя.

В дальнейшем данный пример будет использоваться для демонстрации сущности методов многокритериального выбора и упорядочения объектов.

2. Общая схема решения задачи многокритериального выбора и упорядочения

В схеме решения, принятой в большинстве автоматизированных систем поддержки решений, можно условно выделить следующие 5 этапов.

Этап 1. Построение модели (формулировка задачи).

На данном этапе ЛПР уясняет для себя содержательную постановку конкретной задачи: формирует

множество объектов (альтернативных вариантов) и множество критериев для их оценки, определяет способ получения оценок и соответствующие измерительные шкалы.

Работы, характерные для данного этапа, известный российский специалист в области принятия решений Ларичев О.И. относит к искусству [2]. Работы первого этапа выполняются ЛПР неформально, не автоматизированы и предшествуют наполнению задачи конкретными данными.

Этап 2. Получение оценок объектов по каждому из критериев.

Оценки объектов (альтернатив) по отдельным критериям, в зависимости от специфических особенностей конкретной задачи, могут быть получены из документов, на основе технических измерений и испытаний, моделирования, расчетным путем или в результате экспертного опроса.

Для последующего применения формальных методов желательно, чтобы оценки носили количественный характер, т. е. измерялись в абсолютной шкале, в шкале интервалов, отношений или разностей

[7].

Результатом второго этапа является получение матрицы g11 g12 ■ ■ ■ Sim

g21 g21 ■ ■ ■ g2m

G =

8п1 ёп2 ■ ■ ■ ёт

где gij - оценка 1-го объекта по 31-му критерию.

Этап 3. Определение коэффициентов относительной важности критериев И.

Коэффициенты относительной важности критериев могут быть назначены ЛПР непосредственно или определены по результатам обработки матриц парных сравнений. Наиболее известны и широко используются три основных метода обработки матриц парных сравнений [4,5]: метод наименьших квадратов,

метод неполных строчных сумм и метод собственных значений. В результате третьего этапа определяется вектор коэффициентов относительной важности критериев -

т

W

= ( wi

w, w0

, w„

.), Z

j

j=1

Этап 4. Решение задачи выбора или упорядочения одним из формальных методов.

В случае задачи многокритериального выбора, прежде чем воспользоваться одним из формальных методов, можно сократить объем вычислительной работы за счет выделения множества недоминируемых решений (множества Парето).

Результатом четвертого этапа является указание лучшего объекта или упорядочение от лучшего объекта к худшему.

Этап 5. Анализ решения и оценка его устойчивости.

В конечном итоге, результаты, полученные на предшествующем этапе, являются всего лишь «подсказкой» или рекомендацией для ЛПР. Окончательное решение остается за человеком. Поэтому для того, чтобы убедиться в надежности результатов, ЛПР может проверить устойчивость полученного решения путем внесения изменений в модель или исходные данные. Для этих целей ЛПР может вернуться к этапу 1 или 2, исключить некоторые объекты или добавить новые, изменить набор критериев, уточнить цифровую информацию или свои предпочтения на этапе определения весовых коэффициентов.

Кроме того, ЛПР всегда может решить задачу другими методами и убедиться в надежности решения, сопоставив результаты нескольких прогонов модели.

3. Определение коэффициентов относительной важности критериев

Под определением оценок относительной важности критериев обычно понимают процесс, состоящий из двух этапов:

этапа измерения, или получения данных от ЛПР;

этапа обработки данных формальными математическими методами.

В результате этого процесса каждому критерию ставится в соответствие неотрицательное число

I —1+ffT, такое что

О < w < 1, Z W, = і, i = 1, m,

где т

i=1

количество оцениваемых критериев

При этом числа

W (i, m) ,

называемые коэффициентами относительной важности, не только задают

упорядочение критериев по важности, но и характеризуют во сколько раз один критерий важнее другого.

Числовые оценки такого типа называют оценками в шкале отношений.

Для равноценных критериев, то есть критериев, для которых невозможно установить приоритет по важности, значения весовых коэффициентов ^^3 выбираются одинаковыми

1 ■ ю ^ =-, г =1Д.„, т.

т

Для неравноценных критериев, то есть критериев, для которых ЛПР может установить приоритет по важности, значения весовых коэффициентов обычно определяются с использованием специальных методов шкалирования [1, 2].

Наиболее надежным и широко используемым методом решения задачи определения коэффициентов относительной важности критериев является метод собственных значений Т. Саати.

m

При использовании этого метода на первом этапе ЛПР осуществляются парные сравнения оцениваемых критериев. Практика показывает, что парные сравнения - это наиболее удобная для человека форма выражения своих предпочтений. Затруднения, которые испытывает ЛПР при осуществлении парных сравнений критериев, сводятся до минимума, а избыточная информация, содержащаяся в целиком заполненной матрице парных сравнений, позволяет в процессе обработки существенно уменьшить влияние ошибок, допущенных экспертами при осуществлении элементарных операций попарного сопоставления ценностей отдельных критериев.

ЛПР, пользуясь вербально-числовой шкалой, заполняет матрицу парных сравнений

аи

назначаются

лт\ ит1 ■■■ ит1 _

где а^к- результат сравнения 31-го критерия с к-м.

При этом в соответствии с вербально-числовой шкалой [4, 5] значения а^к, з,к = 1т следующим образом:

1, Апёё ] - е ё е- е ебеоабее е!а^о 1аё1ае1ао^ ааюпши;

3, апёё ] - еебёоабёе 1 а! 11 а! ааю1 аа к-а! ебёоабёу;

5, апёё ] - еебёоабёе пой апоаа111 ааю1 аа к-а! ебёоабёу;

7, апёё ] - еебё оабёе 91 а^-ёоаёш1 ааю1 аа к-а! ебёоабёу;

9 апёё ] - еебёоабёе аат ё^ о11 ааю1 аа к-а! ебёоабёу.

Кроме того, ЛПР может, в случае необходимости, назначать промежуточные значения а ^к, т.е.

4, 6, 8.

На элементы матрицы парных сравнений накладывается также требование взаимной дополненности

ак =<

2,

к

= -—, к,] = 1,ш .

ак

Подробное описание вербально-числовой шкалы и правил ее использования приводится в [6].

Основная цель применения вербально-числовой шкалы состоит в том, чтобы облегчить задачу ЛПР и

обеспечить единое толкование оценок различными людьми.

Элементы матриц парных сравнений а 1К рассматриваются в качестве

оценок отношений Wj и Ши , т.е. и к =— , где ш = (ш , М2 ,■■■, Ш ) -" " шк

вектор действительных искомых коэффициентов относительной важности критериев.

В идеальном случае оценки а^к должны быть связаны определенными соотношениями. Например, если критерий 3 важнее критерия к в два раза, а критерий к важнее критерия 1 в три раза, то можно было

бы считать, что 31-й критерий важнее 1-го в шесть раз, если же а^ =2, а1к =3, но а^к =1, а не 6,

то ЛПР, назначивший эти оценки, был явно непоследовательным.

Если оценки назначены справедливо, то они должны удовлетворять условию

V/, л к им ■ ик = ик ■

Матрица, в которой указанное условие выполняется для всех элементов, называется сверхтранзи-тивной.

Оценка коэффициентов относительной важности критериев по сверхтранзитивной матрице не представляет особого труда и сводится к расчету по формуле,

*ік

(к - номер любой строки) с последующей их нормировкой.

Если свойство согласованности элементов матрицы не соблюдается и имеет место непоследовательность в ответах ЛПР, то задача оценки коэффициентов относительной важности сводится к определению

ф

максимального собственного значения матрицы А и соответствующегоему собственного вектора

Одним из простейших методов решения данной задачи является так называемый степенной алгоритм. Работу алгоритма можно представить в виде следующей многошаговой процедуры:

Шаг 1. Положить к=0 и рассчитать начальные оценки весовых коэффициентов:

т — 1 / = 1т I 1ё1Жедй ^ = 10_10

' Ш'

-к

Л-1

Шаг 2. Присвоить к = к +1 и рассчитать & = А

Шаг 3. Рассчитать оценку максимального собственного значения

Шаг 4. Определить о и произвести нормировку по формуле

фк =ф

Если |^к — Як 1 <5 (где 5 - заранее заданная точность определения максимального собственного

значения), то перейти к шагу 5. В противном случае - к шагу 2.

Шаг 5. Отнормировать полученные значения коэффициентов относительной важности по формуле

Шаг 6. Конец процедуры.

Для характеристики степени согласованности степени суждений каждого ЛПР в методике Саати рассматривается величина индекса согласованности

£2 Лпах ~ m m -1

Если представить себе самого непоследовательного ЛПР, то он, по всей видимости, должен давать случайные ответы подобно обычному датчику случайных чисел. Основываясь на этом предположении Саати смоделировал результаты работы непоследовательного ЛПР для матриц парных сравнений различно размерности.

По 500 реализациям матриц, заполненных случайными целыми числами из диапазона 1-9, Саати рассчитал средние значения индекса соответствия для матриц каждого размера, назвав их случайными индексами Я.

Они позволяют судить о том, насколько ответы конкретного человека согласованы и не случайны. Случайные индексы для матриц размерностью от 1 до 10 приведены в таблице 5.3.

Отношение индекса согласованности к случайному индексу называется отношением соответствия СЯ

В результате многочисленных экспериментов Саати установил, что можно говорить о неслучайности ответов ЛПР и использовать представленную матрицу парных сравнений без уточнений для дальнейших расчетов, если СЯ <0,1.

Таблица 5.3

Случайные индексы Я для матриц различной размерности

Размерность матрицы 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

Я 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49

Получение групповой оценки с использованием коэффициентов компетентности экспертов Простейший способ получения групповой оценки - это условие, что все эксперты равны, при этом вычисляются средние оценки 1 N

Щ = Тг2м,л> 1 = 1,2,~>т

^ к=1

Однако на практике эксперты отличаются компетентностью, объективностью и информированностью. Для учета этих факторов введем весовые коэффициенты компетентности экспертов

Як (к = 1,2,..., N

Тогда оценки вычисляются так:

N

Щ = 2 ьщк, 1 = 1,2,....=т

Численные значения коэффициентов компетентности могут быть получены по информации о том, насколько оценки к-го эксперта согласованы с оценками других экспертов. Для этого мы можем использовать следующую итерационную процедуру.

Начальное значение вектора компетентности выбирается из условия, что все эксперты равноправны:

-0

Я

Г 2. ^

N

1

N

N

Последующие итерации выполняются по формулам:

—г —г-1

w = Жд ,

(дг )Т = ^ ^Щ■

т N

г=22^>к,(г=1,2...>.

I=1 к=1

к=1

После нескольких итераций при выполнении условия Шах Wi — W/■ <3

получается групповое

решение о значениях коэффициентов wri ,1 = 1,2,...,т с учетом компетентности экспертов.

Пусть, например, имеем матрицу оценок, созданную тремя экспертами (N=3) для пяти объектов (1=5):

Ж =

При предположении равноправности всех экспертов для вектора коэффициентов компетентности можно записать

-о

д =

1/3 ^

1/3

13

Тогда на 1-м шаге получаем следующие средние оценки для весовых коэффициентов Их:

—1

w

-о

-Жд =

0.45 0.1 0.6 ' 0.38л

0.26 0.15 0.2 '1/3 > 0.20

0.16 0.05 0.1 X 1/3 = 0.10

0.07 0.3 0.05 IV3, 0.14

0.06 0.5 0.05 „ °.20,

Пересчитаем вектор коэффициентов компетентности с учетом полученных значений W . Для этого

вычислим вектор Следовательно

г 0.41^1 0.20 0.10 0.12 0.17

(w 1) Ж = (0.29 0.22 0.30) и получим, что Z1 =0.81. Тогда (д) = (0,36 0,27 0,37).

—2 -1

w = Жд =

—3 w =

Аналогично вычисляем ^ )ТЖ, 72 , получаем (д)Т = (0.35 0.26 0.39)

г 0.4Л 0.20 0.11 0.12 Ч 0.17 ^

—3 — 2

w w Сравнивая и , видим, что с точностью до 3= 0,01 получена групповая оценка для весовых коэффициентов ы при условии, что компетентность экспертов оценивается вектором (я2)т =(0.35; 0.26;

0.39).

ЛИТЕРАТУРА

1. Белкин А.Р., Левин М.Ш. Принятие решений: комбинаторные модели аппроксимации информации.

М.: Наука, 1990. 160 с.

2. Ларичев О.И. Теория и методы принятия решений. М.: «Логос», 2002.391 с.

3. Макеев С.П., Шахнов И.Ф. Упорядочение объектов в иерархических системах//Известия АН СССР, Техническая кибернетика.1991 № 3, с.29-46

4. Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий. М.:Радио и связь, 1993. 223 с.

5. Саати Т., Кернс К. Аналитическое планирование. Организация систем. М.: Радио и связь, 1991.

6. Саати Т.Л. Взаимодействие в иерархических системах.// Техническая кибернетика. 1979. № 1

7. Хованов Н.В. Математические основы теории шкал измерения качества. Л.: Изд. ЛГУ, 1982.184с.

8. В.М. Буренок, В.М.Ляпунов, В.И.Мудров. Теория и практика планирования и управления развитием вооружения. М., Изд. «Вооружение. Политика. Конверсия», 2004, 419 с.