К оценке сейсмического эффекта при падении на землю метеорита Текст научной статьи по специальности «Физика»

Электронный журнал «Техническая акустика» http://www .ejta.org 2011, 4

Ю. М. Заславский, В. Ю. Заславский

Институт прикладной физики Российской академии наук

Россия 603950, Н.Новгород, ул. Ульянова, 46, тел.(831)4164764, факс: (831)4365976

E-mail: [email protected]

К оценке сейсмического эффекта при падении на Землю метеорита

Получена 04.02.2011, опубликована 24.02.2011

Обсуждаются особенности возбуждения сейсмических волн при падении метеорита с космической скоростью на земную поверхность. Представлены оценки пикового значения силового воздействия и длительности взаимодействия. Анализ амплитудных зависимостей для колебательных смещений в импульсных сейсмических откликах выполнен для каждого из типов волн — продольных, поперечных и поверхностных — на удалениях от эпицентра, соответствующих дальней волновой зоне. Используется модель твердого полупространства и предположение о вертикальном падении тела. Сейсмические отклики анализируются как аналитически, так и путем численного расчета интегральных выражений, описывающих указанные волны, а для исходного силового воздействия принимаются импульсы разной формы.

ВВЕДЕНИЕ

Повышенный интерес к проблеме метеоритной опасности в значительной мере стимулируют сообщения в СМИ о неизбежности столкновения астероида Апофис-99942 с Землей в 2029 г. или в 2036 г. В этой связи в последнее время все активнее обсуждаются возможные последствия такого падения, в том числе сейсмического возмущения, создаваемого на земной поверхности и в недрах. Специальный сайт в сети Интернет [1], а также статья с пояснительными расчетами [2] предоставляют возможность с использованием задаваемых «входных» данных о падающем метеорите получить строгие оценки некоторых важных физических параметров, характеризующих результаты падения, могущие интересовать специалистов, развивающих конкретные области общего научного анализа этой проблемы. При этом в связи с определенными сложностями при рассмотрении вопросов контактного взаимодействия с грунтом, недостаточного освещенными в литературе, но необходимыми при анализе сейсмического эффекта, целесообразно непосредственное заимствование упомянутых оценок.

Ключевые слова: падение малого метеорита, эпицентр, космическая скорость, сейсмические волны, импульс сейсмического отклика, упругое однородное полупространство

В связи с актуальностью вышеуказанной проблемы рассмотрим количественную оценку сейсмического отклика, вызванного падением с космической скоростью V~ 7...15 км/с на земную поверхность внеземного тела небольшой массы (т ~ 8 т) и размера (площадь сечения £ ~ 1 м2) — наиболее типичного астрофизического события такого рода (в среднем 1 раз в год). На указанном сайте эффект сейсмического воздействия тела (с указанными параметрами), падающего на сухопутную территорию, на дистанциях от 0.1 км до 1 км от эпицентра (точка начального соприкосновения небесного тела с грунтом) оценивается в 1-1.2 балла по шкале Рихтера. Экспериментальная регистрация сейсмического отклика, выполненная

непосредственно на практике, или даже теоретический анализ эффективности возбуждения сейсмических волн, могут оказаться полезными и важными для прогноза последствий метеоритной бомбардировки при повторных возникновениях этого события. Поскольку подробный расчет и анализ характеристик сейсмического отклика на сайте отсутствуют, представляет интерес рассмотреть результаты анализа классической задачи возбуждения сейсмических волн в твердом полупространстве импульсным силовым источником, действующим на его свободную поверхность. Заметим, что из-за сложности строгого описания явления, реализующегося в рассматриваемом событии, в применяемой расчетной схеме используются некоторые упрощения реальной ситуации, которые позволяют обеспечить лишь приближенное подобие результатов моделирования, хотя при этом достигается понимание принципиально достижимых значений сейсмического отклика, причем в разных волновых типах. Одно из упрощений состоит в ограничении рассмотрения рамками случая строго вертикального падения. Использование модели однородного упругого полупространства для описания процессов возбуждения и распространения сейсмических волн также представляет собой очевидное упрощение строения реальной среды, поскольку в такой модели, например, невозможен учет сейсмических волн, преломленных под критическим углом на резких регулярных границах слоев реальной структуры грунта, залегающих на подповерхностных горизонтах, где скорость Р-волн меняется скачком, хотя такие волны также будут возбуждаться при падении метеорита. Известно, что они имеют большое значение в прикладной сейсмике, поскольку часто регистрируются и широко применяются при проведении работ по геологоразведке, поиску залежей и т. д. Тем не менее, в связи с более доступными возможностями своего описания, в настоящей статье мы ограничимся анализом именно объемных Р, £-волн, имеющих временную зависимость, напоминающую аналогичную зависимость для упомянутых преломленных волн, а также анализом поверхностных волн, роль которых в применяемой модели будут играть рэлеевские волны. Использование этого типа волн, моделирующих реальные, также является упрощением, поскольку вследствие слоистого строения грунта вместо Р-волн фактически вблизи земной поверхности возбуждаются так называемые интерференционные поверхностные воны, имеющие модовую структуру с характерной для фазовой и групповой скорости каждой моды «волноводной» зависимостью от частоты.

Вследствие невозможности учета дисперсионных эффектов при волновом распространении вдоль земной границы в рамках такой модели, анализ этих волн остается достаточно условным. При косом падении, которое мы исключаем из рассмотрения, дополнительно к вертикальной возникла бы и тангенциальная компонента силы и, соответственно, появилась бы необходимость учета возбуждения не только поверхностных волн Рэлея, но и волн Лява. Для последних также характерна дисперсия - частотная зависимость фазовой и групповой скорости, подобная зависимости для интерференционных волн, при которой форма переносимого ими импульсного сигнала меняется по мере распространения от точки к точке. Тем не менее, оценки уровня сейсмического отклика с использованием перечисленных упрощений представляются оправданными. Итак, цель работы состоит в расчетах амплитудной зависимости объемных P, £-волн от пространственно-угловой

координаты, а также в исследовании осциллограмм импульсных сигналов, соответствующих этим волнам. В случае поверхностной R -волны представляет интерес количественная оценка уровня волны на свободной границе, т. е. при z = 0, а также ее осциллограмма. Именно поверхностными волнами будет определяться «бальность» сейсмического проявления анализируемого события.

1. АНАЛИЗ СИЛЫ И ДЛИТЕЛЬНОСТИ ВОЗДЕЙСТВИЯ

Вначале следует оценить величину силы при ударе тела о поверхность грунта и длительность промежутка времени взаимодействия. Значения этих параметров будут определяться, исходя из самых общих известных данных о характеристиках падающего тела и о грунте, принимающем на себя удар. В их число по данным [1, 2] входят масса тела, его поперечный размер, скорость движения, угол входа, измеряемый от вертикали (ось z ), либо от плоской горизонтальной земной поверхности. Будем использовать

mV02 V

условия сохранения энергии —и импульса mV0 тела, а также учтем, что при ударе

образуется кратер. В частности, метеорит с параметрами, указанными выше, падающий вертикально (а = 90° — отсчет от границы однородного упругого полупространства, в = 0° — отсчет от вертикали z) на мягкую осадочную породу (sedimentary rock), создает кратер диаметром ~ 40 ми глубиной ~ 10 м. Сейсмический эффект в [1, 2] оценивается на основе эмпирического подхода, исходя из предположения о том, что 10-4 доля от кинетической энергии падающего тела преобразуется в сейсмическую энергию поверхностных волн (со скоростью распространения 5 км/с). В настоящей работе примем расчетную модель, в которой имеет место внедрение тела в грунт с образованием пустого колодца цилиндрической формы с площадью сечения, приблизительно равной площади S поперечника метеорита. Частицы среды перед надвигающейся лобовой частью метеорита не «растекаются» радиально, а как бы продолжают «осевое» движение вплоть до его остановки. Считая объем колодца равным объему кратера, имеющего строго конусную форму (и выше указанные диаметр и высоту), несложно вычислить глубину колодца h. Упомянутая высота

цилиндрического столба составляет h = 2670 м. Такая идеализация позволяет оценить F0 иг, входящие в расчетные соотношения для анализа сейсмических (упругих) P, S, R - волн.

При торможении тела в течение временного отрезка г имеет место соотношение

г

| Fdt = mV0. (1)

0

При постоянстве величины силы, т. е. при F = const, это ведет к связи

Ft = mV0. (2)

Внедрение метеорита в грунт, как сказано выше, - сложный процесс. Он порождает импульсное силовое воздействие, которое является источником возбуждения упругих волн. При упрощенном рассмотрении преобразование кинетической энергии в работу по выдавливанию метеоритом эквивалентного столба среды (высотой h ) описывается следующим уравнением для величины силы F , которая в дальнейшем расчете принимается за пиковое значение импульсного воздействия F0:

mil

2

п

|Рёг . (3)

0

Это сводится к равенству, с помощью которого определяется неизвестная сила Г :

р = т^0- . (4)

2И

Подстановка выражения (4) в (2) приводит к формуле для длительности взаимодействия:

2И

V (5)

т=

Использование вышеуказанных количественных значений, характеризующих падающее тело, позволяет получить численную оценку параметров силы Г, действующей на грунт, и длительности воздействият : Г = 3.375-1010Н, т = 0.3555 с. Полная затрачиваемая энергия по данным [1, 2] составляет Ж = 6 • 1011 Дж.

В дальнейшем при описании импульсного воздействия будут использованы два вида аппроксимации формы:

[0, X < 0

1-я зависимость — Г (X) = < с пиковым значением силы Г0 и длительностью

I Р0е , X 0

импульса т (отсчет времени ведется от момента падения на поверхность) и 2-я

0, X < 0

Р08т(2п/т) 0 < X <т/2 - полупериод синусоиды, имеющей

0, X > т/2

зависимость — F (t) =

период т .

2. РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ СЕЙСМИЧЕСКИХ ВОЛН, ВОЗБУЖДАЕМЫХ ПАДАЮЩИМ ТЕЛОМ

Поскольку реальная глубина области, в которой происходит силовое взаимодействие, заключается в небольших пределах 0 < |г| < 10 м, при расчетах будем

полагать, что точка приложения переменной силы в пространстве неизменна и расположена на поверхности грунта, т. е. на свободной границе однородного упругого полупространства.

Принимаем в качестве исходной формулу для смещений в дальней зоне упругой Р-волны, порождаемой гармонически осциллирующей силой, приложенной вертикально к точке на плоской границе полупространства [3-6]:

и

P-wave 0

iR

F0 cosв(2sin2 в - offct2 ) c‘

(б)

2ж/Ж (т2 в-с^/с2)2 + 4Бт2 вооъв^с]/с] -Бт2 в

где Р0 — амплитуда силы, Я — расстояние между точками воздействия и наблюдения, в — угол между нормалью к границе и направлением на точку наблюдения, с1 ,сг — скорость продольных и поперечных волн в упругом полупространстве, /и = рс] — константа упругости среды (Лямэ), р — ее плотность, о — частота, г — время. Учитывая, что спектр для первого вида силового воздействия дается формулой

/• юг — т

Р (ю) = Р Г е тйг = —р±—, (7)

2п0 2п(ют-1) v ;

нетрудно придти к выражению для осциллограммы волнового смещения в Р-волне:

/ \ -iwt+i^~R

uF-wave =_________________cos 0 (2sin2 в- cf / cf)_______________F0T | £__________2

R (2sin2 в- cf I cf )2 + 4sin2 в cos в cf! cf - sin2 в 4п'^ -L WT-1

где отсчет в ведется от нормали к границе, которое после вычисления интеграла, например, путем взятия вы чета в точке ю = -i/т, имеет окончательный вид:

t R_

Ie-------------------da , (8)

J 7/71 T — 1

uP-wave _ _F____________________COsв(2sІn2в- cf/ ct )___________________________________ St t > R (9)

R / \o I-------------- , .

2nfM (in2 в-cf I cf ) + 4sin2 в cos вуї cf I cf - sin2 в

Построение осциллограммы сигнала, т. е. зависимости от времени в указанной волне, что уже отмечено выше, возможно аналитически. Как следует из (9), для момента вступления импульсного отклика в Р-волне, принимаемого на удалении Я, имеет место задержка по времени на Я/с1 относительно момента воздействия. В принципе,

формула (9) допускает модификацию — учет поглощения энергии по мере распространения Р-волны в среде. Такой учет приближенно обеспечивается введением

© ршЯ

в (9) множителя е 2с‘ , где ©р, т — декремент поглощения Р-волны и частота

максимума в спектре воздействия (т = 2п/т).

Спектр силового воздействия второго вида:

^ ч Рпг(1 + е1атП)

р(а) = (2 V ( ) . (10)

(2п) -(от)

Поэтому при той же, как и в (9), зависимости от пространственной координаты в этом

случае имеет место зависимость от времени sin

( R /Л

2n(t------) т

с

R R т — < t < — + —.

ci ci 2

В дальнейшем все расчетные формулы будут даны только в записи, соответствующей первому виду воздействия, а полученные из расчета осциллограммы волновых импульсов будут представлены для обоих видов воздействия.

Сказанное выше касается и отклика в объемной волне сдвига. Аналогично (6) выпишем исходную формулу для смещений в дальней зоне упругой £ -волны, порождаемой гармонически осциллирующей силой:

S-wave _ F0 sinecosect7cf - sin2 ee

u

S-wave ____ 1 0 J111 ^ / '"''I ^AAA is ^ (11)

In1 цК (in2 в-1) + 4sin2 в cos в cf / cf - sin2 в

После перемножения со спектром воздействия (7) и интегрирования по частоте приходим к выражению для осциллограммы волнового смещения в £-волне:

I------------- 11 -~ I

S F„ sinOcosOJс2/cf - sin2 0 -L_fLi r

use-wave =-----------------------------------------------------------------------------г-- -e - , t > — . (12)

n/jR (in2 0-1)2 + 4sin2 0cos0^cf /cf - sin2 0 ct

Теперь задержка фронта волнового импульса по времени составляет R/ct, но осциллограмма характеризуется той же длительностью импульса, как и у Р-волны.

В последнем из рассматриваемых случаев обратимся к рэлеевской поверхностной волне, описываемой формулами для z, r -компонент в случае гармонически

осциллирующего вертикального силового воздействия на поверхность упругого полупространства:

uR _ iF0Vi

uz _--

т

2nrcR

Fk

R _ 0 R

r

fjDen'(kR ) ^

т

2ncR

(e( -( -kf )))-)r-W4,

(13)

ifvve ( -(kR - kf ) ) )-»r-n/4,

с

где Den(kR ) _ (2kR - kf )2 - 4kRv,vt, vl

kR-^V_ R cf’Vt-■

kR cf :

Den' _ -4k.yjvtvt 4kR - j

k2 k

2 + + kR

v

t J)

Формулы, описывающие частотную зависимость компонент Р-волны на границе г = 0. упрощаются:

uR-wave(z _ 0) _ - lF0Vlkt

R-wave

(z _ 0) _ n "k'(i ) (vt - kR2) + kt )-juDen (kR )

т ~іт\t-~ rn/4

-e R'

2nrcR

(14)

т -irnj t-------|-in/4

-e

2nrcR

Для анализа достаточно рассмотреть только г-компоненту волновых смещений. Перемножая спектр силового воздействия (7) с ир -м’ае (г = 0) (14) и выполняя численное интегрирование по о, получаем выражение для г -компоненты смещений в Р -волне, которое описывает осциллограмму импульса, переносимого указанной волной:

I--- г— ~іт\ t-

Fo^li-4^ "

e(z _ 0) _-

c

глісоє '

- iтт-1

-dт

(15)

1 - cR/cf 1 - cH ct

+ 2

3. АНАЛИЗ ФОРМЫ ОТКЛИКА СЕЙСМИЧЕСКИХ ИМПУЛЬСОВ И ОЦЕНКА ИХ УРОВНЯ

Для получения осциллограмм откликов объемных волн, порождаемых импульсной силой, используется интегральное выражение (8) для Р и аналогичное — для S -волны. Воздействия, задаются осциллограммами обоих типов, причем интегрирование по а проводится либо численно, либо аналитически — путем взятия вычета в точке а' = -i/г, что в результате приводит к формулам (9), (12). Ввиду идентичности осциллограмм импульсов Р, S -волн последние представлены одним графиком на

рис. 1а (1-й тип воздействия) и на рис. 2а (2-й тип). Вследствие отсутствия частотной зависимости амплитуды и без учета факторов, обуславливающих дисперсию при распространении объемных Р, S -волн в однородном упругом пространстве, волновые

импульсы по форме идентичны исходному силовому импульсу, а также друг другу. Для определения формы отклика в R -волне применяется численный метод интегрирования — вычисление по формуле (15) выполняется с использованием adaptive Gauss-Kronrod quadrature method. Как видно из рис. 1б и рис. 2б, в этом случае осциллограмма не

r

г

u

Z

2

2

1

1

повторяет форму исходного импульса в источнике и зависит от ее вида. Импульс Я -волны, идущий с задержкой т/сЯ, в отличие от 2-х предыдущих случаев, соответствующих объемным волнам, имеет увеличенную длительность и искаженную по отношению к ним форму.

10

0

з

го

'-10

-20

-8 -4 0 4 8

1 (с)

а) б)

Рис. 1. Функция отклика (1-й вид воздействия): а - Р, 3 -волны, б - Я -волна

Таким образом, сравнение импульсов объемных и поверхностных волн показывает, что для первых - необходим учет вклада только вычета в точке полюса о' = -1/т (О = ± 2лг/т - во втором случае), находящейся внутри или на границе контура интегрирования, а для вторых - существенен также вклад, вносимый за счет прохождения участка, лежащего на пути интегрирования вблизи нее. Сопоставление осциллограмм импульсов объемных и поверхностных волн может найти применение при контроле падения метеоритов, т. е. как признак их обнаружения, а также при пространственной локализации места их падения. Количественное отличие пиковых значений отклика в разных волнах может быть учтено соответствующим коэффициентом, характерным для каждого волнового типа, на который необходимо умножить значения на представленных осциллограммах. Так, по направлению на максимум диаграммы в Р -волне (в1р = 0°) указанный коэффициент составляет

К

о

4прс,Я

( О 0 0

применительно к максимуму в 3 -волне (в^ ~ агсБШ — +е, 5°...10°) он

V С У

ко

равен -----0----. Для поверхностной Я -волны аналогичный коэффициент имеет вид

4.62прс Я

А______

2 'гсят

1.2

0.8

з

го

- 0.4

0

-8 -4 0 4

1 (с)

8

2

1

■ 0 -1

-8-4 0 4

1 (с)

8

а) б)

Рис. 2. Функция отклика (2-й вид воздействия): а -Р, 3 -волны, б - Я -волна

В таблице 1 представлены численные оценки пиковых значений волновых смещений на дистанциях 0.1 км, 0.2 км, 0.3 км, 0.5 км, 1 км и 2 км от эпицентра без учета и с учетом поглощения (данные в скобках) в Р, 3, Я -волнах. Значения декрементов

затухания, принятые для учета волновых потерь, следующие

©Р = 0.1, ©3 = 0.3, ©Я = 0.3. Частота максимума в спектре при учете волнового

затухания принята равной 3 Гц, плотность грунта р = 1800 кг/м3, а значения скоростей:

с1 = 1500 м/с, с = 500 м/с, сЯ = 500 м/с.

Таблица 1.

Спад уровня сейсмического отклика в Р, 3, Я -волнах с удалением от эпицентра

дистанция, км 0.1 0.2 0.3 0.5 1 2

Р -волна 6.63(6.2) 3.32(2.9) 2.2(1.83) 1.33(1) 0.66(0.3) 0.33(0.1)

3 -волна 52(29) 26(8.34) 17(3.16) 10(0.6) 5.2(0.02) 3(3-10'5)

Я -волна 27(15) 19 (6.13) 16(2.85) 12(0.7) 8.5(0.03) 6(7-10"5)

а

52

ММ

39.083 '■

I

°'3:?).1 0.48 0.86 1.24 1.62 2

КМ

б

29

ММ

21.75

0.1 0.48 0.86 1.24 1.62 2

КМ

Рис. 3. Пиковое значение сейсмических смещений в импульсе Р, £, Я-волн: а — без учета затухания, б — с учетом затухания

Учет волнового поглощения показывает, насколько значительна количественная коррекция в оценках уровня различных волновых типов на дистанциях, как меньших, так и превышающих 0.5 км от места падения, причем этот учет менее всего сказывается на уровне К-волны, а более всего — на £-волне (см. графики на рис. 3 а, б). Если без учета диссипации имеет место преобладание отклика по уровню в £ и Я-волнах относительно К-волны вплоть до полукилометровой дистанции, то при учете затухания, начиная с указанной дистанции и выше, именно К-волна становится преобладающей. Расчеты показывают, что при падении метеорита с принятыми параметрами уверенная регистрация всех типов волн на практике возможна до удалений от эпицентра, не превышающих ~ 1.5 км. Оценки выполнены со 100-метровой дистанции от эпицентра падения такого тела, и при удалениях, больших, чем 250...300 м, воздействие сейсмического толчка на сооружения в плане вызываемых им последствий, вероятно, может рассматриваться как относительно безопасное.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Результаты исследований, полученные в настоящей работе, вероятно, дают несколько более детальное представление о волновом составе и амплитудном уровне сейсмических волн, порождаемых падающим метеоритом, чем на сайте [1], хотя привязка к «бальности» события в наших оценках отсутствует. Анализ выполнен на основе рассмотрения упрощенной модели среды, с применением идеализации контактного взаимодействия — удара метеорита о землю. Исключен из рассмотрения механизм генерации сейсмических волн за счет т. н. эффекта «каплинга» — падения на земную поверхность ударной звуковой #-волны, возбуждаемой метеоритом при его движении по плотным атмосферным слоям со сверхзвуковой скоростью. Но и при этих ограничениях полученные результаты будут способствовать проведению дальнейших тщательных исследований событий, связанных с наблюдением явлений падения метеоритов, причем регистрируемых как оптически, так и спустя некоторое время сейсмическими приборами (с применением хронометрирования возникновения оптической вспышки и момента вступления сейсмосигналов). Вывод расчетных формул, анализ формы импульсов сейсмических волн разных типов и данные о пиковых значениях откликов могут иметь отношение не только к исследованию поставленной задачи. Например, в связи с успешными испытаниями т. н. «рельсотронных» ускорителей, вероятно, появится и другая возможность регистрации и моделирования сейсмического отклика, порождаемого телами, быстро (с космической скоростью) падающими на земную поверхность.

ЛИТЕРАТУРА

1. Robert Marcus, H. Jay Melosh, and Gareth Collins. Earth Impact Effects Program. http://impact.ese.ic.ac.uk/cgi-bin/crater.cgi.

2. Robert Marcus, H. Jay Melosh, and Gareth Collins Earth Impact Effects Program: A Web-based computer program for calculating the regional environmental consequences of a meteoroid impact on Earth // Meteoritics & Planetary Science, 40, 6, 817-840 (2005).

3. E. Ewing, W. Jardetzky, F. Press. Elastic waves in layered media. New York. McGrow-Hill, 1957. - 454.

4. G. F. Miller, H. Pursey. On the partition of energy between elastic waves in a semiinfinite solid // Proc. Royal. Sci. Ser.A. 1955. V.233, № 1192. P. 55-63.

5. Е. Ф. Саваренский. Сейсмические волны. М.: Наука, 1977, 250 с.

6. Ю. М. Заславский Излучение сейсмических волн вибрационными источниками. ИПФ РАН, Н.Новгород, 2007, 200 с.