CC BY
80
УДК 528.48
К ОПРЕДЕЛЕНИЮ КООРДИНАТ ТОЧЕК ОБРАТНЫМИ УГЛОВЫМИ ЗАСЕЧКАМИ МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ.
Соколов Юрий Григорьевич к. т. н., профессор
Г убанова Наталья Яковлевна
Г урский Иван Николаевич
Кубанский государственный аграрный университет, Краснодар, Россия
В работе рассматривается вопрос определения координат геодезических пунктов для сгущения плановых сетей, привязочных и других работ путем выполнения угловых измерений на определяемых пунктах. Исходными при этом являются два геодезических пункта на каждую определяемую точку. Приведен алгоритм вычисления координат искомых точек и числовой пример его реализации.
Ключевые слова: ПУНКТЫ, ЛИНЕЙНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ, ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ,
ПОПРАВКИ
Для определения координат точек, которые могут быть использованы в дальнейшем как пункты съемочного обоснования или как пункты, необходимые для решения любых практических задач, существует множество различных способов. Многие из них основаны на использовании прямых угловых и обратных засечек. Для их реализации и с целью контроля требуется иметь не менее 3-4 исходных пунктов для каждой определяемой точки, что не всегда возможно. В работе предлагается обойти эти ограничения путем использования метода последовательных приближений.
Пусть пункты А, В, С и Б - исходные с известными координатами , на которых измерены углы Рь р2, р3 и Р'ь Р'2, (рис.1).
Для определения координат точки Е имеются два исходных пункта А и В. Координаты третьего пункта - точки Б неизвестны, но можно найти их приближенные значения по плану или карте.
UDC 528.48
TO DEFINITION OF CO-ORDINATES OF POINTS BY RETURN ANGULAR NOTCHES BY THE METHOD OF CONSECUTIVE APPROXIMATIONS
Sokolov Yuri Grigorievich Cand. Tech. Sci., professor
Gubanova Natalya Yakovlevna assistant professor
Gurskiy Ivan Nikolaevich senior lecturer
Kuban State Agrarian University, Krasnodar, Russia
In this article the question of definition of co-ordinates of geodetic points for a condensation of planned networks, survey controls and other works by performance of angular measurements on defined points is considered. Initials here are two geodetic points on each defined point. The algorithm of calculation of co-ordinates of required points and a numerical example of its realisation is resulted.
Keywords: POINTS, LINEAR MEASUREMENTS, ESTIMATION OF ACCURACY, CORRECTIONS
Тогда, решая обратную угловую засечку одним из известных способов [1,2,3] можно определить в первом приближении координаты точки ХЕ , У#.
Рис 1. К определению координат точек Е и Р обратными засечками.
Нами предлагается использовать для этой цели способ Ансермета (весового среднего), который на наш взгляд, более простой. В результате получим
с I = ХАР0 А + ХВР0 В + Х0 р Р° р = [хр0 ] ;
Е _ Р0л + Р0в + Р°р ~ [р0 ] ’
(1)
у I = УАР0 А + УВР0 В + У0 К Р0 К = [ур 0 ]
Е _ Р0 Л + Р0 в + Р0 р ~ [р 0 ] ' где: Х°р и У0'р - приближенные координаты точки Б определенные по
плану или карте.
Р0А, Р0В, Р°р - приближенные значения весов пунктов вычисленные по формулам
Р = 1 • р0_ _ 1 • р0_ = 1
Р А - ---^------— • Р В - ------т----— , Р ^ -
^А° - В° - 0 - ^рз
А0, В0 и ^ - приближенные значения углов при точках А, В, Б вычисленные по разностям дирекционных углов
А0 — а ар - Мав ; В0 — ссва- ар; Р — 0,в- 0ра .
о 0 У0р - УА 0 У0р - Ув 0 УА - У°р
Здесь: а ар = ат^—0-------------—; а вр = ат^—0-------------- ; а ра = ат^—А---------^
0 0 0 X р — Ха X р — Хв Ха — X р
Далее по исходным координатам точек С и Б и координатам точки Е , найденным в первом приближении XЕ , Уе, вычисляют координаты точки Б по аналогичным формулам .
= ХіеРіе + ХСР1С + ХвР1п = [хр 1 ];
Xі г>1 . V т>1 . V т>1 І Лґт>1
Хр = РіЕ + РіС + РіО ~ Р1
У = У\Р\ + УСРс + У0Р1П = [ур 1 ] ;
Р = РіЕ + РіС + Рв ~ Р1 ;
где: Ре = * • Рс = „і V ; Р1» =
(2)
^Е - сї%С - ^Р'2
еб - а ес ; С —0се - асБ : Б — а»с-0ве'
і , Ув - У]Е : і , Ус - У]Е : і ^ Vі Е - ¥0
ї еб = ат^—в------: а ес = ат^—С-----------------------— : а бе = ат^— -—
в ^Х Е Хс ^Х Е ^Х Е ^Х в
Опираясь на исходные пункты А и Ви координаты точки ХР и Ур находят координаты точки Е во втором приближении Xі Е, У11 Е и т.д.
Процесс приближений заканчивается, как только два следующих друг за другом приближения для искомых координат точек Е и Б будут одинаковыми. Эти приближенные значения и являются окончательными значениями координат искомых точек.
Следует отметить, что в формулах для вычисления весов пунктов А,В,С, Д, Е и Б фигурируют котангенсы углов при этих пунктах, которые целесообразно находить непосредственно через их координаты. Запишем
с,еА‘ = оСа, -ав)= ^АР ^ +1 (4)
^аАВ - ^а ар
Выражая через координаты котангенсы дирекционных углов и после несложных преобразований получим
сЫ0 = Х0Р + У0Р * ЧаАВ - (ХА + УА * 1%аАВ ) . (4)
* У0 р - X0 р * tgaАв-(а - Ха * №в ) ; 1 '
1
сь В0 = Х0р + У0р * - (ХВ + УВ * щаВА) ; (5)
* X0 р * tgaвл - У0 Р -(в * tgaвл - Ув ) ' ' 1
0 = ХУ + У°рг - Х\(Хл + Хв )-У\(Ув - Ул )+(УУл + ХвХл) (б)
* Ур (в - Хл)+ х ° р (УА - Ув )+(хлУв - улХв) '
Аналогично для пунктов Е, С и Б будем иметь
і = Х'ег + Уе 1 -Х'е(Хб + Хс)-Уе(Ув + Ус)+(ХрХс + УвУс) . (7)
* Уе Уб - Хс)+ Xі Е (Ус - Ув )+УсУв - ХУ) ’
сщС і = Х'е + У' Е * ^асв - (Хс + УС * ^аСБ ) .
“ т Т1 у! ;
Е - X Е
УЕ - ХЕ * ІЩасВ - (с - Хс * ІЩасВ У Х'е + У1 Е * іщаВс - (Хр + У Б * іщаВс
Х Е * ІЩавс - у1 Е - (У * ІЩавс - УБ )'
сІЩіБі = Х Е + У Е * Іщавс (Хв + Ув * Іщавс ) (9)
Заметим, что ^ Р и ^ Е1 по формулам (6) и (7) можно и не вычислять, а, получив по формулам (4) и (5), (8) и (9) значения котангенсов А0, В0, С1 и Б1, найти углы Б 0 и Е1 , как дополнения до 1800. Формулы же (6) и (7) могут служить для выполнения контрольных вычислений.
Рассмотрим пример реализации предлагаемого способа вычислений.
Исходные данные для определения координат точки Е в первом приближении
!щалв =
Хи р =750,3м
X А =0,000
X В =1000,000
У0 р = 1566,8м
У А =0,000
У В =0,000
Вычисление значений углов при точках А, В, Р.
X0 р + У0 р * tgaАв - (Ха + У А * tgaАв) .
^щВ°
У0 р - X0 Р * 1.аАВ - (УА - Ха * tgaAB )
X0 р + у 0 р * 1.ава - {Хв + ув * 1.ава ) ;
X 0р * tgaвA - У0 р-{Хв * tgaвA - Гв ) о = X 0Р2 + У0 Р 2 - X 0Р АХа + Хв)-У0 р (Ув - У А УАУвУа + ХвХа )
* Ур (Хв - Ха ) + X 0Р (Ха - Ув )+ХаУв - УаХв )
Контроль Р0=180°-(А0+В0)
Определение весов для решения обратной засечки
V - V В А = 0
Хв - Ха
іїщА =0,478874; А 0 —64,41145 ° . ^щВ 0= 0,159369; В 0 —80,94496°.
іїщр — 1,447225;
Р0 =34,64360 ° . р0=34,64359°;
Д = 960,20671 ^ Д =-0,1087533 р = 1 • Ра = 0 ^ ’ ^щА - сщр1 Р0а— 1,701758
ь2 = 1230,79108 Р0в = 0,106938
^ р 2 =-9,191828 р3 = 900,00221 р 0в = о1 о ; аёВ - ^р 2 Р°р = 0,690959
ctg р3 =-0000039 Р Р = 0 п ■ аёР -
[Р]= 2,499656
Вычисление координат точки Е1 в первом приближении
ХАР0 А + ХВР0 В + Х0 р Р0 р
Р0 А + Р° В + Р° Р
УАР0 а + УВР0 в + У0 р Р0 Р
Р ° А + Р ° В + Р ° Р
Хе = 250.180 У1е = 433.098
Исходные данные для определения координат точки Р в первом приближении Хе = 250.180; Хс = 1000,000; Хп = 0.000
У1е = 433.098; Ус = 2000,000: Уп = 2000.000
Вычисление значений углов при точках С, Б, Е.
1 = Х]Е + У]Е * гдасо - (ХС + ус * 1дасп),
*
^ас
Ур - Ус Хэ - Хс
У1 Е - Xі Е * tgaсD - (Ус - Хс * tgaсD)
сі^іР1 =
X1 Е * гёаВс - У1 Е - (Хв * гёаВс - Ув У
Х\2 + У1 Е2 -Х\(.Хп + Хс)- У1 Е (Уп + Ус)+ (ХпХС + УпУс)
У1 Е {Хв - Хс ) + Х1 Е (Хс - Ув )+ ХсУп - ХБУс ) '
Контроль________Е1 =180о-(с1+П )
Определение весов для решения обратной засечки
1
^с1 =0.478537 с1 = 64.42716°
сі^Р= 0.159665 Р= 80.92842°
^Е1 =1,447181 Е1 = 34.64442°
Е1 = 34.64442°
в'! =89,99800°; ^Р'і =0,000035
в’2 =96,20586°;
^в’2 = - 0,108738;
в'з = 173,79614° ^Р'з = -9,199384
Ре =
Р 1с =
Р1 р =
Вычисление координат точки Р в первом приближении
& о - с^р \
1
^с1 - с^р '2
1
+^р '3
[ Р в первом
Ре = 0.691015
Рс = 1.702779 Рр = 0.106848
[Р] = 2,500644
і Х1еР1е + ХсРс + ХОРо
Ре + Рс + Р1
У
I У!еР\ + Урс + УОРо
Ре + Рс + Р1
X р = 750.070 Ур = 1 5 67 .0 1 0
Ниже приведены сводные результаты приближений по определению координат точек Б и Е.
Хр=750,3;
X р = 750.070; Xі р = 750.027; X11 р = 750.021; Xу р = 750.020;
У°р = 1566,8;
VI р = 1567.010;
VII р = 1566.985;
VIII р = 1566.982; Уу р = 1566.982.
Хе = 250.180; XіЕ = 250.043; ХПе = 250.027; ХУе = 250.025; Хе = 25 0 . 0 . 25 ;
Уе = 433.098;
V е = 433.016;
У11 е = 433.009;
VI уЕ = 433.008; УУе = 433.008.
Третьи и четвертые приближения оказались одинаковыми и окончательные значения искомых координат составили Хр =750.020; У=1566.982 Хе=250.025; Уе=433.008
Проведены исследования быстроты сходимости значений координат при различных погрешностях определения приблизительного значения координат точки Б.
р
О
р
О
Номер приближения Координаты точки р Координаты точки Е Координаты точки р Координаты точки Е
X У X У X У X У
При погрешности 2 м При погрешности 5 м
Начальное 752 1565 - - 755 1572 - -
I приближение 750.327 1567.051 251.262 433.720 750.406 1567.211 251.219 433.695
II приближение 750.059 1567.004 250.043 433.016 750.060 1567.005 250.148 433.079
III приближение 750.024 1566.984 250.037 433.015 250.037 433.015
Как видно из приведенных данных, уже на уровне 2-3 приближения независимо от величины погрешности в определении приближенного значения координат точки Б наблюдается быстрая сходимость определяемых координат.
В результате исследований установлено, что процесс приближений быстросходящийся и при определении приблизительного значения координат точки Б даже с точностью 10-15м достаточно выполнить 3-4 приближения, чтобы получить окончательное значения координат определяемых точек.
Изложенная методика может быть использована и для определения координат трех точек Е, М и Б , если на точке М выполнить угловые измерения на точки Е и Б и на одну исходную точку, например, точку Б (рис.2).
Рис 2. К определению координат точек Е, Р и М обратными засечками.
Как и в предыдущем случае координаты точки М определяют графически по плану (карте), а на пунктах Е,М, и Б измеряют горизонтальные углы Д, Ь2, Ь3, А , Ьг , Ь3/", Р\ , ЬЛ Ь3 соответственно.
Решая обратные угловые засечки определяют координаты точек Е и Б в первом приближении. Затем по полученным координатам точек Е и Б и исходным координатам точки Б в результате решения обратной угловой засечки находят координаты точки М в первом приближении. Далее переходят опять к определению координат точек Е и Б во втором приближении и координат точки М, используя полученные координаты точек Е и Б во втором приближении и т.д.
Литература.
1. Г аньшин В.В., Коськов Б.И., Хренов Л.С. Г еодезические работы в строительстве. М.,Стройиздат,1975; -208с.
2. Данилов В.В, Хренов Л.С., Кожевников Н.П., Кононов Н.С.Геодезия, Недра, 1976 ;-483с.
3. Соколов Ю.Г. и др. Лабораторный практикум по геодезии (ч.2), Краснодар, КубГАУ, 2005-120с.
