К нестационарной задаче простого преследования Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.977 © А. С. Банников

К НЕСТАЦИОНАРНОЙ ЗАДАЧЕ ПРОСТОГО ПРЕСЛЕДОВАНИЯ1

Рассматривается нестационарная задача простого преследования несколькими управляемыми объектами одного убегающего с фазовыми ограничениями на состояние убегающего и одинаковыми динамическими возможностями всех участников. Получены достаточные условия поимки и уклонения.

Ключевые слова: дифференциальные игры, фазовые ограничения, кусочно-программные стратегии и контрстратегии.

Введение. Рассматривается нестационарная задача простого преследования несколькими управляемыми объектами одного убегающего с фазовыми ограничениями на состояние убегающего и одинаковыми динамическими возможностями всех участников. Стационарный случай а(г) = 1 рассматривался многими авторами. В работах [1,2] получено решение задачи без фазовых ограничений. В работе [3] получено решение задачи с фазовыми ограничениями, когда множество, ограничивающее управления игроков, — шар единичного радиуса, терминальные множества — выпуклые компакты.

В данной работе рассмотрен нестационарный случай, когда множество допустимых управлений игроков и терминальные множества — выпуклые компакты, фазовые ограничения — выпуклое многогранное множество.

Постановка задачи. В конечномерном евклидовом пространстве Мк (к ^ 2) рассматривается дифференциальная игра Г и+1-го лица: и преследователей Р1,..., Рп и одного убегающего Е. Законы движения каждого из преследователей и убегающего имеют следующий вид:

Рг : Жг(£) = а(£)«г(£), Жг(£о) = Ж°, Пг € Я,

Е: у(г) = а(ф(£), у (г о) = у0, V € Я,

причём х0 = х0 — у0 / Мг, г € ^га={1,...,и}, Мг С Мк — заданные выпуклые компакты, а (г): [г0, +го) ^ М — измеримая по Лебегу функция, интегрируемая на любом компактном подмножестве полуоси [г0, +го), Я С Мк — выпуклый компакт.

Предполагается, что убегающий Е в процессе игры не покидает пределы выпуклого многогранного множества В с непустой внутренностью

В = |ад € Мк Кру, ад) ^ ^, ] = 1,..., г | ,

где р1,..., рг — единичные векторы, ^1,..., цг — вещественные числа, такие что 1П В = 0. Пусть хг(г) = хг(г) — у (г), г € Нп, х(г) = (х1(г),..., х,п(г)), х0 = х(г0). Тогда

хг(г) = а(г)(щ(г) — v(г)), хг(г0) = х°. (1)

Игра рассматривается в паре позиционные контрстратегии преследователей — позиционные стратегии убегающего.

Определение 1. В игре Г возможно уклонение от встречи, если для любого

Т > г 0 существует такая стратегия V убегающего Е, что для любых контрстратегий и г пре-

следователей Рг, г € Жп, выполнено

хг(г) ^ Mi, г € [г0,Т], г € Nп■ хРабота поддержана РФФИ (грант № 12-01-00195).

Определение 2. В игре Г происходит поимка, если существует Т > г0 и для любой стратегии V убегающего Е существуют контрстратегии иг преследователей Рг, г € Жп, момент времени т € [г0,Т] и номер т € {1,... ,и} такие, что

zm (т) € И„

Достаточные условия поимки и уклонения. Введём функции Лг (Л^ ) следующим образом:

Лг^, тг) = max{Л|v — Л(х0 — тг) € Я, V € Я}, Лг^) = тах Лг^, тг),

Л~^,тг) = тах{Л|-ш — Л(х0 — тг) €—Я, w € — Я}, Л~(ад) = тах Л~^,тг),

Лп+у Ы = {Ру,v), v € Q, Л-+ ^ = {Ру ,w), W €—д.

Так как Я — выпуклый компакт, то функции непрерывны и существуют ([4])

6(х0) = тт тах ЛгМ, 6~(х0)= тт тах Л~^).

г&Ип+г г&Ип+г %

Теорема. Пусть начальная позиция х0 и функция а(-) таковы, что Т = тт|г ^ г01 5(х0) J а(в) йв + £_(х0) J |а(в)| йв ^ и| < +то.

{т е[*0,*]|а(т )>0} {т е[*0,*]|а(т )<0}

Тогда в игре Г происходит поимка.

Следствие (см. [5]). Пусть Я — шар с цент/ром, в нуле, |а(в)| йв = +го, число элементов множества {_}П=1(х0 — Мг) не меньше к. Для того, чтобы в игре Г происходила поимка, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

0 € 1п1еопу{х0 — М1,... ,хП — Мп,р1,... ,рг}.

Список литературы

1. Пшеничный Б.Н. Простое преследование несколькими объектами // Кибернетика. 1976. № 3. С. 145-146.

2. Григоренко Н.Л. Игра простого преследования-убегания группы преследователей и одного убегающего //

Вестн. МГУ. Сер. вычисл. матем. и кибер. 1983. № 1. С. 41-47.

3. Петров Н.Н. Теория игр: учеб.пособие. Ижевск: Удмуртский университет, 1997. 197 с.

4. Чикрий А.А. Конфликтно управляемые процессы. Киев: Наук. думка, 1992. 384 с.

5. Об одной задаче группового преследования // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2009. Вып. 3. С. 2-11.

Поступила в редакцию 01.02.2012

A. S. Bannikov

About non-stationary problem of simple pursuit

The sufficient conditions of capture and evasion are obtained for non-stationary problem of simple pursuit. Keywords: differential games, phase restrictions.

Mathematical Subject Classifications: 49N70, 49N75

Банников Александр Сергеевич, ассистент, кафедра дифференциальных уравнений, Удмуртский государственный университет, 426034, Россия, г. Ижевск, ул. Университетская, 1. E-mail: asbannikov@gmail.com

Bannikov Aleksandr Sergeevich, Assistant Lecturer, Department of Differential Equations, Udmurt State University, ul. Universitetskaya, 1, Izhevsk, 426034, Russia