К использованию некоторых алгоритмов С. Д. Коробова в задачах автоматизированного проектирования и предпроектных исследованиях Текст научной статьи по специальности «Математика»

© A.M. Валуев, 2012

УДК 681.31:622.270 A.M. Валуев

К ИСПОЛЬЗОВАНИЮ НЕКОТОРЫХ АЛГОРИТМОВ С.Д. КОРОБОВА В ЗАДАЧАХ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ И ПРЕДПРОЕКТНЫ1Х ИССЛЕДОВАНИЯХ

Приведены алгоритмы С.Д. Коробова для выделения кондиционных интервалов и границ кондиционных пластов для сложноструктурных угольных месторождений, и основанные на них методы разделения карьерного пространства на технологические зоны и моделирования горных работ.

Ключевые слова: карьер, уголь, сложноструктурный пласт, кондиционный интервал, триангуляция, технологическая зона, моделирование.

Обширное научное наследие С.Л. Коробова — плод 35 лет исключительно интенсивной, целеустремленной и разноплановой работы, коснувшейся самых разных аспектов моделирования месторождений и их открытой разработки, — опубликовано далеко не в полном объеме. Настоящая работа — попытка частично заполнить эту брешь, основываясь главным образом на материалах отчетов по НИР, в которых наряду с С. Л. Коробовым принимал участие и автор, а также обратить внимание на возможности применения разработанных им подходов и методов.

Предмет настоящей работы — моделирование разработки сложно-структурных угольных залежей. Некоторые принципиальные вопросы моделирования горизонтальных и пологих месторождений были рассмотрены С.Л. Коробовым еще в 1960-е годы и нашли отражение в работах [1, 2]. В 1990-е годы. исследования были возобновлены в связи с проблемой разработки угольных месторождений Восточной Сибири и Лальнего Востока, отличающихся сложной структу-

рой пластов (и возникающей в связи с этим проблемой организации их селективной разработки) и рядом других особенностей. Требовалось также реализовать расчеты по использованию комбинированной технологической схемы, предусматривающей бестранспортную перевалку драглайном во внутренний отвал слоя вскрыши непосредственно над пластом и в ме-ждупластии наряду с транспортным перемещением остальной вскрыши, непостоянство количества угольных уступов. В дополнение к перечисленным нестандартным условиям разработки нужно добавить, что в качестве информационной базы были использованы не обработанные данные в виде гипсометрии пластов, как это обычно бывает в предпроектных исследований и при проектировании, а первичная геологическая информация. Таким образом, требовалось создание новых средств моделирования, аналоги которых до сих пор не реализованы в промышленных программных комплексах моделирования, проектирования и планирования открытых горных разработок, в связи с чем представленный здесь материал,

на наш взгляд, имеет научный и практический интерес.

Идеи и методы упомянутык работ 1960-х годов, нашедшие применение и в исследованиях 1990-х годов, сводятся к двум основным положениям.

Во-первык, для разработки горизонтальных и пологих месторождений, где глубина карьера постоянна или почти постоянна, основное значение имеет форма борта в плане. В работах [1, 2] было предложено для различных этапов применять разные системы декартовых координат, так, чтобы ось ординат шла примерно вдоль линии фронта горных работ (ФГР), и строить для каждой такой системы совокупность прямых линий, параллельных оси ординат, с равными расстояниями между ними. В пределах этапа форма криволинейного ФГР характеризуется ординатами точек его пересечения с построенными линиями. Здесь предвосхищается секторная модель борта карьера, предложенная И.Б. Табакманом [3], с тем, однако, отличием, что сектора фактически являются изогнутыми полосами с ломаными границами.

Во-вторых, моделирование залежи есть в данном случае моделирование поверхностей кровли и почвы пласта (или пластов). Исходными данными для этого служат высотные отметки кровли и почвы для разведочных скважин. По этим данным поверхность может быть аппроксимирована методом триангуляции, подобно земной поверхности. Были предложены алгоритмы соединения точек (устьев скважин) для разбиения плоскости на треугольники. Эта идея была развита с той, однако, поправкой, что для сложноструктурной залежи границы пласта в месте расположения скважины необязательно определяются высотами границ самого верхнего и самого нижнего угольного интервала в 106

колонке скважины и зависят от параметров кондиций.

Итак, в рамках рассматриваемой проблемы основными задачами являлись:

1. Задача выделения кондиционных и некондиционных интервалов в пределах отдельных скважин

2. Задача их распространения на окружающую площадь, результатом чего является построение границ кондиционных пластов.

3. Задача разбиения карьерного поля на технологические зоны.

4. Задача адаптации методов моделирования развития горных работ применительно к выбранной технологии и структуре карьерного поля.

Рассмотрим эти задачи последовательно. При открытой разработке сложноструктурных угольных пластов показатели кондиции существенно влияют на результаты подсчета запасов, сортность угля, его зольность и засоренность породными включениями. Пласты разделяются на кондиционные угольные и породные комплексы — пачки угольных прослоев и породных пропластков, допускающих селективную выемку (исходя из заданной минимальной мощности шу угольного комплекса и максимальной мощности шу породного прослойка, включаемого в угольный комплекс), зольность которых соответственно ниже и выше бортовой зольности х — параметра эксплуатационных кондиций. Пересечение угольных и породных комплексов разведочной скважиной представляет собой соответственно кондиционные угольные и породные интервалы, объединяющие последовательности пластопересече-ний. Метод и программные средства по их выделению разработаны на основе принципа максимальной контрастности. В качестве меры контрастности можно взять сумму квадратов от-

клонений средних зольностей интервалов от бортовой зольности х:

* = I (Ск - х)2

(1)

где т — количество интервалов; к — порядковый номер интервала, содержащего пробы от / до у (¡>1).

В качестве исходной информации используются данные проб по колонке разведочной скважины (/ = 1, п). Лля каждой пробы известны зольность с, , длина пробы ¡,- и плотность материала 5,. Нужно объединить пробы в угольные и породные интервалы. Каждый интервал (у, » считается угольным или породным в зависимости от того, превышает ли его средняя зольность предельную:

С = I Ск • 4 А/ 14А < х (]>!). (2)

к = 1 / к = 1

Цель объединения проб — максимизировать г при следующих ограничениях:

1) Если с > х и ]Фп, то ¡¡¡>тп;

2) Если с > х , то ¡¡>ту.

Здесь ¡д — длина интервала, содержащего пробы от 1 до у включительно, ¡>1). Задача может быть решена методом динамического программирования. Сначала вычисляются среднее содержание с# в интервалах

для 1= 1, п и у= /, п . Значения с образуют треугольную матрицу. С ее помощью строится граф возможных объединений проб в интервалы.

Левая граница интервала всегда находится на главной диагонали матрицы. Ее номер равен номеру строки 1. Правая граница интервала определяется номером столбца . Каждому элементу матрицы ставится в соответствие вершина графа. Вершины графа соединяются дугами. От

вершины (/, у) дуга идет влево до главной диагонали, а затем вверх до вершины (к, /-1). Такая дуга соответствует объединению проб в соседние интервалы (к, /-1) и (/, ¡). От вершины (к, М) дуга может быть проведена таким же образом влево до главной диагонали и вверх до вершины (¡, к-1). Этой последовательности дуг будут соответствовать интервалы (¡, к-1), (к, /-1) и (/, у). Если дуга заканчивается в вершине, принадлежащей первой строке матрицы, то последним звеном будет дуга (¡, к-1). Ограничения на допустимый уровень селекции проверяются следующим образом. Расстояние от вершины (/,у) до главной диагонали должно быть не меньше величины ту, если сн <х и

" У

не меньше тп, если ~с >х. Если же

вершина (/,у) принадлежит первой строке или последнему столбцу, и С >х, то такая проверка не делается

и ограничение снимается. В случае, когда ограничения на уровень селекции не удовлетворяются, то вершина (/,/) исключается из множества С вершин графа.

Далее всем вершинам графа присваиваются оценки, равные р = (с9 _ х)2. На

множестве вершин графа отыскивается максимальный путь по следующему алгоритму:

1. Для 1= 1 положим гх. = Р. (вершина (1/)е в, ]= 1, п).

2. Для 1= 2, п положим г„ =

= тах Г+ Р„], к = 1, /-1 (к;), (у)е в

к Ч. Соответствующая максимуму дуга графа отмечается стрелкой.

3. В столбце п находим тах гПп,

1 = 1, п, (/п)е в и по стрелкам восстанавливаем оптимальный путь.

к= 1

Пример расчета приведен в таблицах 1-3 для условий ту=тп=1м, х=45 %.

Оптимальное разбиение содержит следующие пластопересечения: 1—1; 2-4; 5-5. Характеристики этих интервалов содержатся в табл. 4.

Интервалы 1-1 и 5-5 являются угольными, а 2-4 — породными.

Поскольку выделение технологических зон на угольном разрезе предусматривает рассмотрение различных кондиционных мощностей, определяемых выемочным оборудованием, необходима геометризация угольных комплексов для каждого варианта кондиционной мощности. Лля формального решения задача ставится следующим образом. Нужно соединить между собой кондиционные пласты в соседних скважинах (рис. 1). Поскольку это можно сделать самыми разными способами, используется соображение, что свита пластов имеет в среднем направление и угол падения, определяемые подстилающими коренными породами. Отсюда возникает формулировка оптимизационной задачи: соединить между собой кондиционные пласты в соседних скважинах так, чтобы сумма квадратов отклонений координат векторов падения пластов от координат вектора падения подстилающих коренных пород в этих скважинах была минимальна. Способ решения задачи существенно зависит от того, что понимается под соседними скважинами. Лля двух соседних скважин вдоль выбранного профиля и для трех скважин, образующих вершины треугольника триангуляционной сети, задача решается методом динамического программирования. Само выделение таких троек описано ниже.

Осуществлена следующая формализация задачи. Лля двух соседних

скважин все возможные варианты соединения пластопересечений, включая возможные выклинивания пластов, изображаются в виде плоского последовательного графа, каждая вершина которого расположена в узле прямоугольной сети и определяет вариант соединения двух данных пла-стопересечений, а дуги определяют допустимость сочетания двух соединений. Четный номер строки — это удвоенный порядковый номер пла-стопересечения в первой скважине, считая сверху. Нечетный номер строки — это удвоенный порядковый номер без единицы для обозначения возможного выклинивания для любого пласта, проводимого от пластопе-ресечения во второй скважине. Аналогично четный номер столбца — это удвоенный порядковый номер пла-стопересечения во второй скважине, а нечетный — удвоенный порядковый номер без единицы (а для последнего плюс единица) для обозначения расположения точки выклинивания пласта, идущего от пластопересечения в первой скважине. Количество вершин графа равно произведению (2пу+1)х

х(лу+1), где лу и лу — количества пла-стопересечений в первой и во второй скважинах соответственно.

Любой путь через вершины графа от единственной вершины последнего уровня (правая нижняя вершина) к единственной вершине первого уровня (левая верхняя вершина) определяет некоторый вариант соединения всех пластопересечений в двух скважинах. Каждая вершина графа, имеющая четные индексы, получает оценку, равную сумме квадратов отклонений углов наклона кровли и почвы угольного комплекса а от некоторого заданного угла аг (угла наклона коренных пород).

Таблица 1

Данные по пластопересеченням

№ п/п 1 2 3 4 5

Мощность, м 1,0 0,4 1,9 0,6 2,1

Зольность, % 33,6 57,8 34,6 82,1 34,6

Плотность, т/м3 1,4 1,9 1,4 2,3 1,4

Таблица 2

Матрнца средннх зольностей в объеднненных пластопересеченнях с номерамн от 1 до ] включнтельно

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5 6

1 33,6 42,1 38,0 47,8 43,5

2 39,8 51,9 45,3

3 34,6 50,8 44,0

4 82,1 49,8

5 34,6

Таблица 3

Матрнца значеннй Ру (чнслнтель) н крнтерня ziJ• (знаменатель)

1 2 3 4 5

1 130,0* ** 8 49,0 78 2,2

130,0 8,4 49,0 7,8 2,2

2 27,0* 47,6* 0,1

157,0 177,6 130,1

3 108,2 33,6 1

110,0 142,0 9,4

4 23,0

180,0

5 108,2*

204,8

* — помечен тах

Таблица 5.4

Характернстнкн оптнмального объедннення пластопересеченнй в ннтервалы

Интервалы Мощность, м Зольность, % Плотность, т/м3

1-1 1 33,6 1,4

2-4 2,9 51,9 1,66

5-5 2,1 34,6 1,4

Теперь задача сводится к нахождению минимального пути через вершины графа и легко решается с помощью алгоритма Беллмана-Калаба [5]. Предложенный способ задания

вариантов соединения пластопересе-чений в виде последовательного графа позволяет легко задавать или запрещать некоторые априорные соединения и их комбинации. Лля за-

Рис. 1. Вариант соединения пластопересечений в скважинах

3

2

прещения соединения каких-то пла-стопересечений достаточно присвоить соответствующей вершине графа положительную бесконечную оценку. Для задания априорных соединений в графе оставляют вершины, соответствующие этим соединениям, и вершины, лежащие на всех путях, проходящих через них от последней вершины к первой.

Для формирование линейной модели пластов в пространстве применяется аналогичная постановка для задачи с тремя соседними скважинами. Вершины графа располагаются в узлах прямоугольной трехмерной сети (рис. 2) и определяют варианты соединения между собой пластопересе-чения в трех скважинах. Дуги графа определяют допустимость комбинации двух соединений.

Каждый путь через вершины графа от вершины с максимальными индексами (2лу+1, 2пу+1 2пк+1) к вершине с наименьшими индексами (1, 1, 1) задает некоторый допустимый вариант соединения пластопе-ресечений в трех скважинах, включая выклинивания. Вершины графа имеют три индекса, каждый из которых может быть четным и нечетным. Индексы определяют вариант со-

единения пластопересечений с номерами 1, у, к в трех скважинах. Если все три индекса четные (2/, 2у, 2к),то вершина определяет соединение пластопересечений 1, у, к в соответствующих скважинах в сплошной пласт (рис. 3, а). Если один из индексов нечетный — вершины (2',2у,2к±1), (21',2у±1,2к) или (21±1, 2у, 2к), то пласт выклинивается и имеет форму усеченной пирамиды (рис. 3, Ь). Если два индекса нечетные — вершины (2У,2Д1, 2к±1), (2У±1, 2у, 2к±1) или (21±1, 2у±1,2к), то выклинивание имеет форму клина (рис. 3, с). Три нечетных индекса не определяют никакого соединения, а служат для связи между вершинами.

Для каждого типа соединения по координатам граничных точек плоскостей вычисляются координаты нормальных векторов и суммы квадратов отклонений от координат нормального вектора плоскости подстилающих пород. Таким образом, каждая вершина графа получает числовую оценку. Оптимальный вариант соединения определяется минимальным путем через вершины графа с данными числовыми оценками, алгоритм построения которо-

1 2 3 4 5 6 7 I Рнс. 2. Объемный граф допустимых варнантов соедннення пластопересеченнй

13 13

Ь)

N 2

1

с)

Рнс. 3. Тнпы соедннення пластопересеченнй н выклнннваннй

го аналогичен использованному для Задача триангуляции сети скважин

выделения кондиционных интервалов между геологическими разрезами ре-

(с заменой операции максимизации на шается одновременно и для того,

минимизацию). чтобы найти тройки соседние сква-

к

к

3

к

1

Рис. 4. Триангуляция между разведочными скважинами

жин и соединять пластопересечения и, затем, для построения модели поверхностей пласта. Существуют различные методы триангуляции, обеспечивающие более или менее равномерное соединение устьев скважин в непересекающиеся треугольники [6].Учитывая тот факт, что на угольных месторождениях с пологим залеганием пластов разведочные скважины обычно группируются вдоль разведочных линий, алгоритм оптимальной триангуляции может быть упрощен. Скважины вдоль соседних разведочных линий группируются в непересекающиеся треугольники таким образом, чтобы сумма длин боковых сторон треугольников с основаниями на разведочных линиях была минимальной (рис. 4).

Разработанный алгоритм триангуляции представляет собой метод поиска «кратчайшего пути» на графе, выражающего множество вариантов построения треугольников, в котором, однако (как и в предыдущей задаче), веса приписываются вершинам, а не дугам. Вершины графа — это возможные варианты соединения вершин, т.е. пары сторон (/)-(/), а веса вершин — их длины. Луги выражают «отношение порождение» соединений,

т.е. в котором порождающее соединение — это пара (/)-(/), а порождаемое — следующее соединение, которым может быть либо (У)-(/+1), либо (/+1)-(/). Исходная и конечная вершина, между которыми нужно найти кратчайший путь, соответствуют соединению первых 1-1 и последних /*-/*, скважин обеих линий. Поиск кратчайшего пути через вершины графа осуществляется аналогично ранее рассмотренным задачам.

Что касается двух других задач, они связаны с построением разрезов карьерного поля по линиям разведочных скважин. При разделении зоны по высоте кровля зоны бестранспортной вскрыши строится на разрезе как эквидистанта по отношению к кровле пласта. Ее поверхность в пространстве определяется по тем же алгоритмам триангуляции.

Что касается положений горных работ, в основу их представления для рассматриваемого случая С. Л. Коробов положил описание ФГР по полосам между разведочными линиями. Формальное описание такого варианта секторной модели, пригодное как для интерактивного моделирования, так и для решения оптимизационных задач, приведено в работе автора [6].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ржевский В.В., Школьников А.Д., Коробов С.Д. Использование электронных вычислительных машин для планирования и управления технологическими процессами на карьерах. — М.: ЦНИИТЭИуголь, 1965.

2. Проектирование, планирование и управление производством на карьерах посредством ЭВМ / Под ред. В.В. Ржевского. - М.: Недра, 1966.

3. Табакман И.Б. Принципы построения АСУ на карьерах. — Ташкент: Фан, 1977.

4. Боярский Э.Ф., Погорелое A.M. Построение цифровых моделей шахтопластов на основе базы геолого-разведочных данных // Изв. вузов. Горный журнал. — 1984. — №11. — С. 11-15.

5. Кофман A. Введение в прикладную комбинаторику.— М.: Наука, 1975.

6. Валуев A.M. Горно-геометрическое моделирование открытой разработки пологих угольных залежей // Горный информационно-аналитический бюллетень. — 2005. — №7. — С. 67-70. S2E

КОРОТКО ОБ АВТОРЕ -

Валуев A.M. — доктор физико-математических наук, профессор, amvaluev@online.ru, Московский государственный горный университет, Moscow State Mining University, Russia, ud@msmu.ru

A

--РУКОПИСИ,

ДЕПОНИРОВАННЫ1Е В ИЗДАТЕЛЬСТВЕ «ГОРНАЯ КНИГА»

АВТОМАТИЗИРОВАННАЯ СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ РОБОТОМ-МАНИПУЛЯТОРОМ С ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ РАБОЧЕЙ ЗОНОЙ ДЕЙСТВИЯ (854/01-12 от 26.10.11) 13 с. Овчинников Алексей Павлович, кандидат технических наук, доцент, e-mail: alexm0l@mail.ru,_M0CK0BCKèé государственный горный университет. Рассмотрена автоматизированная система управления роботом-манипулятором с цилиндрической рабочей зоной действия применяемой в современном сварочном производственном процессе. Приведена кинематическая схема, математическая модель системы.

Ключевые слова: автоматизированная система управления, робот-манипулятор, математическая модель.

Ovchinnickov А.P. AUTOMATED CONTROL SYSTEM ROBOT-HANDLER WITH CYLINDRICAL WORKING MOVEMENT ZONE

The automated control system of the robot-manipulator with a cylindrical working operative range, which is using in modern welding production is considered. The kinematic scheme, mathematical model of system are given.

Key words: the automated control system, the robot-manipulator, mathematical model.