К геометрии и-упорядоченных групп Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2007 Математика и механика № 1

УДК 519.48

Г.Г. Пестов, А.А. Тоболкин К ГЕОМЕТРИИ и-УПОРЯДОЧЕННЫХ ГРУПП

В статье описаны базисы конечномерного линейного пространства, которые можно построить из элементов двух непересекающихся базисов. Доказана соответствующая теорема для и-упорядоченных групп. Построено счётное множество конечных 4-упорядоченных групп.

1. Теорема о двух базисах

Мы придерживаемся определений и-упорядоченного множества и группы, изложенных в [1, 2] При и = 1 получаем линейно упорядоченные группы [3]. Циклически упорядоченные группы 2-мерно упорядочены [4, 5]. Группа Н8 допускает 4-упорядочивание [6].

Теорема 1.1. Пусть А и В - два базиса и-мерного линейного пространства Ь, А = (аь ..., ап) над И. Тогда можно так упорядочить базис В: В = (аи+ь..., а2п), что для каждого к, 1 < к < и + 1, множество (а*,..., ак+п.1) есть базис Ь.

Доказательство. Нумерацию элементов базиса В зададим по индукции.

1) Пусть хеВ. Рассмотрим множество (а2,..., ап, х).Если это множество линейно зависимо, то существуют такие с2,..., с„еИ, что с2а2 + ... сиаи + си+1х = 0, где си+1^ 0, так как (а2, ..., а„) линейно независимы. Следовательно, х равен линейной комбинации элементов а2, ., ап. Итак, для каждого хеВ выполнено одно из двух:

1) х равен линейной комбинации элементов а2, ., ап;

и) множество (а2,..., а„, х) линейно независимо, то есть (а2,..., а„, х) есть базис Ь.

Если бы 1) выполнялось для всех хеВ, то множество В было бы линейно зависимым. Итак, существует такой х0еВ, что множество (а2,..., а„, х0) линейно независимо. Обозначим аи+1 = х0.

2) Пусть аи+1,., аи+8еВ и таковы, что все множества (а*,..., ак+п.1), где 1 < к < я + 1, линейно независимы. Опишем выбор элемента а„+5+1еВ. По предположению индукции, множество (а5+1,..., а„+8) линейно независимо. Следовательно, линейно независимо и множество из (и - 1) элемента (аа+2,., аи+8).

Аналогично 1) найдётся такой хеВ, что множество (а5+2,..., аи+8, х) линейно независимо. Обозначим а„+,+1 = х.

Теорема доказана.

Теорема 1.2. Пусть А и В - два базиса и-мерного линейного пространства Ь без общих элементов. Тогда существует не менее 2" различных базисов пространства Ь, составленных из элементов множества АиВ.

Доказательство. Пусть к < и, где и = |А| + |В|. Из множества А выберем к произвольных элементов а^аг-к. По предыдущему, найдётся такое множество

элементов +1 ,..., аг-п) из В, что (а^,..., а^, а^+1,..., а^) есть базис линейного пространства Ь. Выбирая различными способами подмножества (а^,..., аг-к) множества А, получим С* различных базисов пространства Ь, каждый из которых содержит к элементов из А.

Меняя к от нуля до и, получим всего С0 + С +... + СП = 2п базисов Ь.

2. Теоремы о гиперплоскостях в упорядоченной группе

Теорема 2.1. Пусть Р есть (и-1)-мерная плоскость в и-упорядоченной группе

О, айР, А с Р, В с Р, |А| = |В| = и, А п В = 0.

Если ^(А, а) * 0, ^(А, Ь) * 0, А = (аь ..., ап), то найдётся такая нумерация элементов множества В = (а„+ь---, а2п), что для каждого натурального к, 1 < к < и + 1, выполнено

С(а*,.., а*+"-1) * 0.

Доказательство. Так как множество 5 = АиВи{а} является и-упорядоченным и его мощность равна (2и + 1), то это множество реализуемо в И". Пусть f есть инъекция 5 в И", реализующая порядок ^ как ориентацию п в И".

Обозначим векторf (х) -f (а) через х . Положим

А = {(х) - ф(а) | х е А}, В = {(х) - ф(а) | х е В} .

Теперь А и В есть базисы И". По теореме 1.1 можно так упорядочить множество В = (аи+1,...а2п), что при каждом натуральном к, 1 < к < и + 1, множество (акап+к _1) есть базис И", следовательно, ^(а*,., ак+"-1) * 0.

Теорема 2.2. Пусть <О,^> - и-упорядоченная группа, множество

А = {а1, ..., ак+1} - к-грань <О,^>. Для того чтобы плоскость РА была подгруппой группы О, необходимо и достаточно, чтобы V/, у е 1, к +1 (агауеРА).

Необходимость очевидна.

Достаточность. Пусть V/, у е 1, к +1 (ага/еРА). Покажем, что РА < О. Рассмотрим произвольный элемент хеРА, тогда

УСеО"-*-1 (С(А, С, х) = 0).

Функция порядка £ согласована с алгебраической структурой группы О, поэтому

V/ е 1, к +1 УСе О"-*-1 (С(Аа;, Са,, ха,) = 0).

Из леммы 5 получаем, что Аа, и хА являются к-гранями <О,^>. Из леммы 4 вытекает, что для всех г справедливо хаг- е РАа., но тогда хА с РА. По теореме 1

получаем, что РхА = РАа.. По условию для всех г выполнено АагсРА, следовательно, (теорема 1) = РА. Таким образом, РА = РхА. Пусть теперь у - произвольный

элемент РА, тогда

УСеО"-*-1 (С(хА, С, у) = 0).

Умножая слева все аргументы функции ^ на х-1, получим

УСеО"-*-1 (С(А, х-1С, х-1у) = 0).

Из леммы 4 получаем, что ух-1еРА. Таким образом, для любых х и у из РА элемент ух-1 тоже принадлежит РА. Поэтому РА < О. Теорема доказана.

48

Г.Г. Пестов, А.А. Тоболкин

3. Один класс 4-мерно упорядоченных конечных групп.

а! Ь1 С1 $1 1

2 <3 Ь2 С2 $ 2 1

а3 Ь3 С3 dз 1

а4 Ь4 С4 $ 4 1

а5 Ь5 С5 $5 1

В этой работе будем придерживаться определения и-упорядоченных групп, введенных в [1]. Тоболкиным А.А. доказано, что мультипликативная группа кватернионов Н допускает 4-упорядочивание и не допускает и-упорядочивания при и<4 [2]. Каждый элемент группы Н можно представить в виде

И = а + Ыг + с/ + ^£,

где а, Ы, с, ^еИ.

Функция 4-порядка ^ задается на Н следующим образом. Пусть

Иь И2, И3, И4, И5 еН, И = а5 + Ы5 г + с/ + ^ к для всех 5 = 1,5 .

Тогда полагаем

С(Л , Й2, Ьъ , НА , И5 ) =

Подгруппу Н, образованную элементами г,/, обозначим, как обычно, Н8.

2тс,

Введем обозначения еи = е ” , С„ = <е„> - подгруппа с образующей е„.

Лемма 3.1:

(1) Если Ие<г>, то Иеи = еиИ;

(2) Если ИеН8\ <г>, то Иеи = еи-1И.

Доказательство. В случае (1) И и еи принадлежат абелевой мультипликативной группе комплексных чисел.

Рассмотрим случай (2). Достаточно проверить его только для И = /. Пусть е„ = а + р/, тогда

Ие„ = /(а + РО = (а - Рг')/'= е„-1И.

Лемма 3.2:

Зададим на Н функцию /

1, если И е< I >,

[-1, если И й< I >.

Тогда для всех натуральных г выполнено: Нг*п = И .

Доказательство ведется индукцией по г.

Лемма 3.3:

Н8СИ < Н.

Доказательство. Пусть х, уеН8С„, тогда существуют И1, И2еН и г1, г2е2, такие, что х = НхгП , у = . Имеем

ХУ = = ААеП+/№)'1 е Н8Сп ,

/ (А) =

х-1 = (V П1 )-1 = г -1 Й- = й-1г П7 № )(1 е Н 8 С, Следовательно, Н8СП является подгруппой группы Н.

Теорема 3.4. Существует бесконечно много конечных групп, допускающих 4-упорядочивание.

Доказательство. Группа H8Cn конечна, так как является произведением конечных групп. Группа H допускает 4-упорядчивание, значит, и каждая ее подгруппа, содержащая невырожденную пятерку элементов, будет допускать 4-упорядочивание. Порядок, индуцируемый с H на H8Cn, не вырожден для всех n Ф 1, 2, 4, так как в H8Cn есть невырожденная пятерка: 1, i, j, k, s„.

Следовательно, при n > 5 4-мерный порядок на H8Cn не вырожден. Заметим, что при m, n > 5 выполнено

H8C„ = H8Cm о n = m.

Поэтому множество { H8Cn }n > 5 состоит из счетного числа конечных 4-упорядоченных групп. Теорема доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Пестов Г.Г. и-упорядоченные множества // Труды Иркут. гос. ун-та. Т. 74. Вып. 6. С. 146 - 169.

2. Забарина А.И., Пестов Г.Г. Об и-мерно упорядоченных группах // Вестник ТГУ. 2003. № 280. С. 40 - 43.

3. Кокорин А.И., Копытов В.М. Линейно упорядоченные группы. М.: Наука, 1972.

4. Swierczkowski S. On cyclically ordered groups // Fund. Math. 1953. V. 47. P. 161 - 167.

5. Забарина А.И., Пестов Г.Г. О критерии циклической упорядочиваемости группы // Упорядоченные множества и решетки: Межвуз. науч. сб. Вып. 9. Саратов: Изд-во Са-рат. ун-та, 1986. С. 19 - 24.

6. Тоболкин А.А. Теорема о мультипликативной группе кватернионов // Актуальные проблемы математики и методики её преподавания: Материалы заочной Всероссийской научно-практической конференции. Томск: Изд-во Том. гос. пед. ун-та, 2007. С. 21 - 32.

Принята в печать 04.12.07.