CC BY
6Кадрик К. А., студентка, Мкртычев О. В., ст преп.,
Белгородский государственный технологический университет им. В.Г. Шухова,
филиал в г.Новороссийске
К ДИНАМИКЕ И КИНЕМАТИКЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ С СИСТЕМОЙ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ИЛИ КОНЦЕНТРИЧЕСКИХ СРЕД
oleg214@ya.ru
В статье рассматриваются некоторые стороны энергетического взаимодействия с системой плоскопараллелъных и концентрических сред (на примере светового излучения в рамках геометрической оптики). Полученная математическая модель описывается рекуррентными соотношениями типа треугольника Паскаля и даёт простой и наглядный алгоритм определения временных флукту-аций энергии при таком взаимодействии, связанных с геометрией взаимодействующих элементов.
Ключевые слова: плоскопараллельные среды, концентрические среды, рекуррентные уравнения
Задачи взаимодействия излучения с многослойными системами представляют и теоретический, и практический интерес [1-4]. К ним относятся задачи распространения тепла в конструкциях и элементах оптики в приборостроении, и процессы распространения светового излучения, где возникают вопросы, связанные с технологией получения тонкоплёночных покрытий с заданными геометрооптическими и теп-лофизическими характеристиками.
Далее мы рассматриваем идеальный световой луч, падающий на идеальную плоскую границу раздела двух полубесконечных однородных и изотропных сред. Цель работы описать процесс взаимодействия светового луча в динамике и определить временные флуктуации излучения, возникающие только из-за геометрической структуры строения прослойки, состоящей из плоскопараллельных или концентрических сред. В точке падения луч падающий разбивается на луч преломлённый и отражённый, каждый из которых
ственной среде. Предположим теперь, что между двумя полубесконечными средами находится система плоскопараллельных однородных и изотропных сред с идеально плоскими границами. Каждый луч, отражённый и преломлённый на какой-либо границе внутри прослойки, будет испытывать многократные отражения и преломления от прилегающих к этой границе верхней и нижней границ прослойки. Попытаемся определить число вновь возникающих точек взаимодействия светового луча на каждой границе.
Из одной полубесконечной среды (среда падения-отражения) свет преломляется во вторую полубесконечную среду (среда преломления) через систему плоскопараллельных слоёв (прослойка). Пренебрегая временными различиями, т. е. считая время прохождения светом пути от одной границы до другой в каждой среде прослойки одинаковым (шаг по времени), попытаемся определить число точек взаимодействия на каждом шаге по времени.
продолжает движение в соответ-
Рис. 1. Точки, образующиеся на верхней и нижней границах прослойки из одной среды, на каждом шаге
по времени Шаг по времени выделен кружком.
На рис.1 показан ход луча в прослойке, состоящей из одной среды. Видно, что на каждом шаге времени на каждой границе, поочерёдно, образуется по одной новой точке взаимодействия светового луча с границей раздела сред. При этом на каждом нечётном шаге по времени образуется новая точка на верхней границе, а на чётном - на нижней границе.
На рис.2 показан ход луча в прослойке, состоящей из двух сред. В этом случае количество образовывающихся точек взаимодействия света с границей зависит от номера шага по времени. Например, для верхней границы на шаге 1 и 3 образуется одна точка, на шаге 5 образуется две новых точки, на шаге 7 - четыре. При этом на всех чётных шагах на верхней границе не обра-
зуется ни одной новой точки. Для нижней границы всё аналогично, за исключением первого шага по времени. Количество точек на промежуточной границе растёт таким же образом, но на чётных шагах по времени, а на нечётных шагах промежуточная граница «отдыхает». Видно, что количество вновь образующихся точек зависит от номера шага и от номера границы в прослойке.
Если провести подобные исследования для прослоек с несколькими средами, можно установить последовательность образования новых точек взаимодействия на каждой границе. Результаты исследования для прослоек из одной, двух, трёх и четырёх сред записаны в таблице 1.
Рис. 2. Точки, образующиеся на верхней, нижней и промежуточной границах прослойки из двух сред, на каждом шаге по времени. Шаг по времени выделен кружком
Таблица 1 Количество образующихся точек взаимодействия в системе плоскопараллельных границ для первых 10 временных шагов
Шаг по времени Количество сред в прослойке
1 1 2 | 3 | 4
Количество границ в прослойке
2 3 4 5
1 (1,0) (1,0,0) (1,0,0,0) (1,0,0,0,0)
2 (0,1) (0,1,0) (0,1,0,0) (0,1,0,0,0)
3 (1,0) (1,0,1) (1,0,1,0) (1,0,1,0,0)
4 (0,1) (0,2,0) (0,2,0,1) (0,2,0,1,0)
5 (1,0) (2,0,2) (2,0,3,0) (2,0,3,0,1)
6 (0,1) (0,4,0) (0,5,0,3) (0,5,0,4,0)
7 (1,0) (4,0,4) (5,0,8,0) (5,0,9,0,4)
8 (0,1) (0,8,0) (0,13,0,8) (0,14,0,13,0)
9 (1,0) (8,0,8) (13,0,21,0) (14,0,27,0,13)
10 (0,1) (0,16,0) (0,34, 0, 21) (0,41,0,40,0)
В таблице 1 наборы чисел в скобках означают следующее. Общее количество чисел в скобках равно числу границ в прослойке. На первом месте в скобках стоит число вновь образовавшихся точек на первой границе прослой-
ке(считая от среды падения-отражения) на данном шаге по времени. На втором месте - число точек, образовавшихся на второй границе и так далее. Например, в строке шага по времени равного четырём в крайнем правом столбце стоит скобка (0,2,0,1,0). В скобке стоит пять чисел -это означает, что прослойка имеет пять границ. При этом на четвёртом шаге по времени на первой, третьей и пятой границе не образуется новых точек, на второй образуется две новые точки и на четвёртой - одна новая точка взаимодействия светового луча с этой границей.
Обозначим количество точек
п,образующихся на к-ом шаге по времени на 1-ой границе, п=п(к,1). Общая формула проглядывает достаточно очевидно
п(к, 0 = п(к-1,1-1) + п(к -1,1 + 1), (1) где 1=1,2,...,Ь (Ь - число границ в прослойке), с первыми членами вида (п(1Д) = 1,
1п(1,у) = 0, ] =2,3,...!,
и краевыми членами
(2)
(п(к, 0) = 0, [п1к,Ь + 1) = 0.
(3)
п(1,0) пС2,0) п(к-1,0) п(к,0)
п(1Д) п(2Д) п(к-1Д) п(кД)
п(1,2) п(2,2) п(к-1,2) п(к,2)
п(1,/-1) п(2,/-1) п(к-1,/-1) п(к,/-1)
п(1,/) п(2,/) п(к-1,/) п(к,/)
п(1,0 п(2,/+1) п(к-1,/+1) п(к,/+1)
п(1, Ь) п(1,Ь) п(к-1,Ъ) п(к,Ь)
п(1,Ь+1) п(2,Ь+1) п(к-1,Ъ+1) п(к,Ь+1)
Рис. 3. Прямоугольная таблица по формулам 1-3
Крайний левый столбец - столбец начальных точек, в котором значение с индексом (1,1)
равно единице, все остальные равны нулю. Верхняя и нижняя строки таблицы (отделённые горизонтальными прямыми) состоят из нулей и введены для удобства математической записи Данные соотношения позволяют вычислить двумерную прямоугольную таблицу чисел, показанную на рис.3.
Подобное исследование можно провести и для прослойки, состоящей из системы концентрических окружностей. Результаты исследования для прослоек из одной, двух, трёх и четырёх сред записаны в таблице 2.Смысл величин, входящих в таблицу 2, аналогичен смыслу величин в таблице 1.
Таблица 2 Количество образующихся точек взаимодействия в системе концентрических границ для первых
Шаг по времени Количество сред в прослойке
1 1 2 | 3 | 4
Количество границ в прослойке
2 3 4 5
1 (1,0) (1,0,0) (1,0,0,0) (1,0,0,0,0)
2 (0,1) (0,1,0) (0,1,0,0) (0,1,0,0,0)
3 (1,1) (1,0,1) (1,0,1,0) (1,0,1,0,0)
4 (1,2) (0,2,1) (0,2,0,1) (0,2,0,1,0)
5 (2,3) (2,1,3) (2,0,3,1) (2,0,3,0,1)
6 (3,5) (1,5,4) (0,5,1,4) (0,5,0,4,1)
7 (5,8) (5,5,9) (5,1,9,5) (5,0,9,1,5)
8 (8,13) (5,14,14) (1,14,6,14) (0,14,1,14,6)
9 (13,21) (14,19,28) (14,7,28,20) (14,1,28,7,20)
10 (21,34) (19,42,47) (7,42,27, 28) (1,42,8,48,27)
И в случае концентрических границ, формула вычисления аналогична формуле (1), с те-
ми же первыми членами вида (2), но с другими краевыми членами
(п(к, 0) = 0,
п(ЛД + 1) = 0, Л = 1,2 ...1-1,
[п(к, 1 + 1)= п(к, Ь), к = 1,1 + 1,...
(4)
Теперь будем учитывать различие скорости света в каждой среде. Обозначим время прохождения лучом света пространства от первой границе ко второй через от второй к третьей -и т.д.
Вернёмся к прослойке, состоящей из одной среды с плоской границей раздела (рис.1). Видно, что на верхней границе время возникновения каждой точки взаимодействия светового луча составляет следующую последовательность значений - 0, 2Х\, 4t¡, 6X1,... А на нижней границе -1 3X1, 5X1, 7X1,.
Если рассмотреть эти же последовательности времён для прослойки состоящей из двух сред (рис.2), то можно легко составить для точек на верхней границе (табл.3) и для точек на нижней границе (табл.4) последовательность «последовательностей» значений. Следует помнить, что в один и тот же момент времени может образовываться несколько новых точек отражения и преломления.
Аналогично возникают точки отражения и преломления и в случае произвольного количества сред в прослойке. Видно, что эти временные интервалы представляют собой наборы всех чётных (для верхней границы) и всех нечётных (для нижней границы) сочетаний числа для случая одной среды. Для случая двух сред к этим числам добавляются суммы пар чисел (п1Х1,
Таблица 4
п2^), где п1, п2 натуральные числа, принимающие значения независимо друг от друга, с соблюдением условия чётности и нечётности значений этих чисел на верхней и нижней границах,
соответственно. Для трёх сред, соответственно, добавятся суммы триад чисел (п1Х1, п2?2,п3?3) и т.д.
Время образования новых точек отражения на первой границе
Таблица 3
0 2и 4и 6t1 Последовательность возникающая в момент времени t=0 с периодом 2t1
2t1+2t2 4t1+2t2 6^2 Последовательность возникающая в момент времени t=2t2 с периодом 2t1
2^2 4t1+4t2 6tl+4t2 Последовательность возникающая в момент времени t=4t2 с периодом 2t1
Последовательность возникающая в момент времени t=2t1 с периодом Последовательность возникающая в момент времени t=4t1 с периодом 2t2 Последовательность возникающая в момент времени t=6t1 с периодом 2t2
Время образования новых точек отражения на последней границе
tl+t2 3t2 +Ь 5t2 +tl Последовательность возникающая в момент времени t= + с периодом 2t2
t2 +3tl 3t2 +3^ 5t2 +3t1 Последовательность возникающая в момент времени t= ^ +3^ с периодом 2t2
t2 +5tl 3^ +5t1 5^ +5t1 Последовательность возникающая в момент времени t= ^ +5^ с периодом 2t2
Последовательность возникающая в момент времени t= с периодом 2t1 Последовательность возникающая в момент времени t=3t2 +и с периодом 2t1 Последовательность возникающая в момент времени t=5t2 +и с периодом 2t1
Рассмотрим две среды с границей раздела в виде окружности. Видно, что на этой границе время возникновения каждой точки взаимодействия светового луча составляет следующую последовательность значений - 0, Х1, 2t1, ЪХ1, 4t1, 5^, 6t1,...
Если рассмотреть эту же последовательность времён для системы, состоящей из двух
концентрических окружностей, то к этой последовательности значений добавится последовательность «последовательностей» значений, показанная в табл.5.
Здесь при добавлении очередной границы новые последовательности значений не добавляются к предыдущим, а заменяют их. При этом образуются суммы пар чисел (п^, п^2), где п1,
п2натуральные числа, принимающие значения независимо друг от друга. При этом в промежуточном кольце числа п1 принимают только чётные значения, а во внутреннем круге числа п2 принимают все значения натурального ряда. Для
трёх концентрических окружностей, соответственно, возникнут суммы триад чисел (п1Х1. n2t2,n3t3), где п1, п2 натуральные числа, принимающие только чётные значения, а п3 - натуральное число, принимающее все значения и т. д.
Таблица5
Время образования новых точек отражения на внешней концентрической окружности
0 2ti 4ti 6t1 Последовательность возникающая в момент времени t=0 с периодом 2t1
2tl+t2 4ti+t2 6ti+t2 Последовательность возникающая в момент времени t=t2 с периодом 2t1
2t,+2t2 4ti+2t2 6ti+2t2 Последовательность возникающая в момент времени t=2t2 с периодом 2t1
2t,+3t2 4ti+3t2 6ti+3t2 Последовательность возникающая в момент времени t=3t2 с периодом 2t1
Последовательность возникающая в момент времени t=2t1 с периодом t2 Последовательность возникающая в момент времени t=4t1 с периодом t2 Последовательность возникающая в момент времени t=6ti с периодом t2
При этом прохождение света в каждой среде сопровождается процессом экстинкции светового луча, что будет характеризоваться соответственным коэффициентом экстинкции излучения в среде, а переход света через границу каждый раз сопровождается разбиением энергии падающего луча на энергию луча отражённого и преломлённого, что связано с квадратом относительного показателя преломления двух граничащих сред [3,4]. Используя современные вычислительные средства, например МаШешайса™ или МаЙаЬ [5], можно легко провести вычисления с заданной степенью точности. Интересны будут также и аналитические обобщения подобных сумм в теоретическом плане.
Рассмотренные в статье идеальные процессы взаимодействия светового излучения с системой плоскопараллельных и концентрических сред, переносятся на взаимодействие любого энергетического поля. При этом прохождение энергии в каждой среде сопровождается процессом диссипации энергии, что будет характеризоваться соответственным коэффициентом поглощения/ослабления энергии, а переход энергии через границу двух сред каждый раз сопровождается разбиением энергии падающего луча на энергию луча отражённого и преломлённого, с выполнением закона сохранения энергии [4].
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Mkrtychev O.V., Shemanin V.G. Moment method in laser ablation thermal model / Physics of extreme states of matter. XXVIII International Conference of Interaction of Intense Energy Fluxes with Matter // March 1-6, 2013. Elbrus, Kabardino-Balkaria, Russia. Ed. by Fortov V.E. Moscow. 2013. P.47-49.
2. Аткарская А.Б., Мкртычев О.В., Шема-нин В.Г. Изменение показателя преломления наноразмерных плёнок при модифицировании стеклянных подложек // Известия высших учебных заведений. Физика. 2012. №8/2. С.238-239.
3. Бреховских Л.М.Волны в слоистых средах // М. Наука. 1973. 343 с.
4. Мкртычев О.В. Аналитическое исследование энергетических коэффициентов отражения и преломления света // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. 2012. №4. С.36-37.
5. Мкртычев О. В. Компьютерное моделирование при кинематическом анализе плоских механизмов // ТММ СПбГТУ, №1, 2012. - С. 46-53.
