CC BY
33
В силу того, что результаты перемножения в частотной области соответствуют свертке результатов во временной области, получим выполнение условия равенства по модулю парциальной
ВКФ h\ t *h*2 t основных кодовых последовательностей ансамбля с парциальной ВКФ
//2 t t дополнительных кодовых последовательностей.
Видно, что выполняется условие (5), определяющее одинаковую интенсивность сигналов в двух частотных каналах при условии воздействия одного и того же сигнала в двух каналах одновременно.
Отметим, что за счет изменения величин длительностей ИХ ФФ, СжФ и Ф можно обеспечить требуемое отношение сигнал/шум на управляющем входе УГ и необходимую точность восстановления опорной частоты f. Это позволяет повысить качество демодуляции принимаемых
сообщений s 1 t и Л 2 I перед их подачей на соответствующие СФ с ИХ п j t и /7 2 ) ■
Таким образом, анализ выражений (14)-(16) и приведенный пример позволяют сделать вывод о том, что рассмотренный алгоритм, использующий ССВП, позволяет получать величину управляющего напряжения, которое не зависит от характеристик сообщения и прямо пропорционально зависит только от величины расстройки F .
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Клич. С.М., Кривенко А.С., Носикова Г.Н. и др.; Проектирование радиоприемных устройств: учеб. пос. / под ред. А.П. Сиверса. М.: Сов. радио, 1976. 488 с.
2. Литюк В.И., Литюк Л.В. Методы цифровой многопроцессорной обработки ансамблей радиосигналов. М.: СОЛОН-ПРЕСС, 2007. 592 с.
3. Литюк В.И., Литюк Л.В. Введение в основы теории математического синтеза ансамблей сложных сигналов: учеб. пос. Таганрог: Изд-во Таганрог. радиотех. ун-та, 2006. 80 с.
4. Литюк В.И. Обработка ансамблей сложных сигналов в цифровых системах радиосвязи // Известия ВУЗов России. «Радиоэлектроника». 1998. Вып. 2. С. 35-43.
5. Литюк Л.В., Литюк В.И., Бейко С.А. О слежении за частотой сигнала в информационных системах со сложными сигналами второго порядка // Известия ВУЗов России. «Радиоэлектроника». 2010. Вып. 4. (в печати).
6. Литюк Л.В., Литюк В.И. Анализ требований, предъявляемых к линейным частям приемо-передающих трактов информационных радиосистем // Телекоммуникации. 2008. № 1. С. 27-29.
В.И. Переверзев
ДИСПЕРСИЯ СВЕТА, ПРОХОДЯЩЕГО СКВОЗЬ ПРОЗРАЧНОЕ ВЕЩЕСТВО
Толчком к написанию статьи явилось тестовое задание для выпускников школы по дисперсии света. Возникла необходимость напомнить его составителям, что суть дисперсии света составляет зависимость абсолютного показателя преломления п вещества (внутренне присущее свойство) от длины волны X лучей, обнаруживающаяся как только угол / падения последних на границу раздела сред отличен от нуля, и показать, что при прохождении света сквозь прозрачное вещество спектр наблюдается всегда (при любой геометрии его поверхности).
В общем случае поверхности раздела сред, сквозь которые проходит луч света, произвольные. К каждой из них в точке падения луча можно провести касательную плоскость и нормаль к ней. Углы I и ] между нормалью в точке падения и направлением распространения луча в предыдущей и последующей среде называют углом падения и углом преломления. Связь между ними определяется законом Снеллиуса:
зт/Дт у = п /п ,
где под п и п понимаются показатели преломления предыдущей и последующей среды относительно вакуума, являющиеся функциями длины волны А, лучей. Через показатели п и п угол преломления ] зависит от длины волны л лучей. Если среда однородная, то луч любой длины волны распространяется в ней вдоль прямой линии.
Будем рассматривать прохождение лучей света сквозь однородные прозрачные среды. Касательные плоскости к первой и второй поверхности среды по ходу луча в точках входа и выхода в общем случае не параллельны и пересекаются вдоль некоторой прямой. В частном случае касательными плоскостями являются сами плоские поверхности раздела сред. Среда, ограниченная не параллельными плоскими поверхностями, образует плоский клин. Линия пересечения этих плоскостей (реальная или воображаемая) называется ребром, а линейный угол 0 двугранного угла клина - преломляющим углом. Преломляющий угол может иметь значение 0"<6<180".
Пусть плоский клин граничит с первой и третьей средой, показатели преломления пх и п3, которых могут быть как одинаковыми, так и разными, но не равными показателю преломления п2 вещества клина. Ориентация плоскости падения луча из первой среды на поверхность клина относительно ребра двугранного угла может быть самая разная. Однако рассматривать его распространение во всех трех средах наиболее просто, когда плоскость падения перпендикулярна к ребру. Относительно нормали NN в точке А падения первой поверхности (рис. 1) луч в этой плоскости может распространяться по или против направления клина (к или от ребра) под углом О0 < / < 900. Угол] его преломления в точке А определяется на основе закона Снеллиуса.
Рис. 1
Если в точку A под одним и тем же углом i падают лучи всего видимого диапазона (белого света), то, из-за дисперсии на первой и второй поверхности, они будут распространяться под разными углами, которые и составляют спектр, наблюдаемый, как правило, в третьей среде.
В дальнейшем будем полагать, что преломляющий угол 9 меньше 900, а показатель преломления первой среды n1 меньше показателя преломления n2 вещества клина, т.е. n2> n1. В этом случае угол j преломления луча в точке A меньше угла i падения (рис. 1). Значение угла j падения луча в точку В второй поверхности клина зависит от направления его распространения относительно ребра, величины преломляющего угла 9 и угла j (показателей преломления n1 и n2 и угла падения i).
Пусть в точку А первой поверхности клина луч света падает против направления клина (рис.1а). В этом случае при любом значении угла 9 в пределах от О0 до 900 угол его падения в точку В второй поверхности (находится из треугольника АВА) j = j + 9 и является функцией длины волны X. От точки А основания перпендикуляра АЛ! ко второй поверхности клина, имеющего длину d, точка В всегда находится в стороне, противоположной ребру. Угол i преломления луча в точке В второй поверхности клина зависит как от показателей преломления nb n2 и n3, так и углов 9 и i (есть функция длины волны X).
Из закона Снеллиуса следует, что sin i = (n2/ n3) sin j =(n2/ n3) sin (j+ 9).
Поскольку угол / не может превышать значение 900, то на основе последнего соотношения находим, что при заданном угле 9 клина угол падения луча на его первую поверхность может иметь значение
О0 < г < arcsin((n2/ П1) 8Щ/пр), где /пр = агс8ш(п3/ п2) - 9. Прохождение лучей в третью среду может иметь место, если угол преломления клина
О0 < 9 < агсБт(п3/ п2).
Следовательно, при падении луча против направления клина преломляющий угол 9 не должен быть большим.
Направление распространения луча в третьей среде составляет с первоначальным угол д, равный разности углов ГЕЕ и ЛЛЕ и называемый углом отклонения. Он имеет значение д1 = / - г -9 при п3 < п2 и 52 = г - / + 9 при п3 > п2. Последние соотношения можно представить так:
§1 = (/ -/)+(/ - г) и 52 = (/ -/)+(/ - /). Поскольку угол г! зависит от показателей преломления п1, п2 и п3 и углов 9 и г, то угол отклонения 5 является функцией длины волны X. Эта зависимость в значительной степени влияет на возможность наблюдения спектра в третьей среде (результат дисперсии света). В дальнейшем будем полагать, что показатель преломления п3 третьей среды меньше показателя преломления п2 вещества клина, т.е. п3 < п2.
Точка Е падения луча на вторую поверхность клина смещена от первоначального направления его распространения на расстояние к (катет ЕВ). Из треугольников ЛБЕ и ААЕ находим, что смещение
И = с! 8П1(/ - 7')/с08(# + у).
При одном и том же значении угла г падения луча на клин через посредство показателей преломления я, и я2 смещение к зависит от его длины волны /, (суть дисперсии света), т.е. к = к(к). Кроме того, величина к зависит от преломляющего угла 0 клина: она минимальна при 9 = 0° (клин переходит в плоскопараллельную пластину толщины аТ). Разность смещений точек падения фиолетовых и красных лучей на вторую поверхность ( ширина спектра) имеет значение 1= кф-к=а№п(1-/ф)/^(9+/ф) - sin(ij)/cos(9+JK)].
Пусть в точку Л первой поверхности клина луч света падает в направлении клина (рис. 1б). В этом случае точка В его падения на вторую поверхность в зависимости от значений углов 9 и / и показателей преломления п1 и п2 может быть как справа, так и слева от точки Л основания перпендикуляра ЛЛ . Точки Е и Л совпадают при падении луча под углом /' = агсвт^г/и^шб).
Угол падения луча имеет значение / / 9, если точка В справа, и / = 9 -у, если слева от точки. I и не зависит от показателя преломления п3. Через показатели преломления п1 и п2 он зависит от длины волны /, луча.
Угол г преломления луча на второй поверхности клина зависит как от показателей преломления п\, п2 и п3 (есть функция длины волны X), так и углов 9 и /. Функцией длины волны /, и углов 9 и / является и угол 5 отклонения направления распространения луча в третьей среде от первоначального, имеющий значение
5 !=/ - 9 + /', если точка Е слева, и 52= / - 9 - /,
если она справа от точки А . Последние соотношения можно представить так: й| = (/' /)+(/ —у) и 52 = (/ /)+(/ - /'). При / и 9, стремящихся к нулю, угол отклонения луча света распространяющегося в третьей среде, 5 ~ 9(п - 1).
Из треугольников ЛВЕ и ЛЛ'Е находим, что точка Е падения луча на вторую поверхность клина смещена от первоначального направления его распространения на расстояние к = с/5т(/-/)/со5(/-0). если
она справа, и И = =с/5т(/-/)/со5(6-/). если слева от тонкий. Из последних соотношений следует, что при одном и том же значении угла i падения луча на клин величина к имеет минимальное значение при 0=/.Разность смещений точек падения фиолетовых и красных лучей на вторую поверхность имеет значение
1= кф-кк=ф/п(/ -]ф)1^(1ф - 0) - sin(i -- 0)], если они справа от точки А',
1= кф - кк=ф /п(/ - jфф)/cos( 0 - уф) - sin(i - jк)/cos(0 - ук)], если слева от неё. Так как угол преломления j=arcsin[(n1/n2)sini], то при падении лучей и по, и против направления клина величина I оказывается функцией длины ё перпендикуляра АА', углов I и 0 и длины волны X.
При падении в точку А первой поверхности лучей разных длин волн и по, и против направления клина, из-за зависимости угла отклонения 8 от X, направления их распространения в третьей среде не параллельны между собой. Расхождение лучей имеет место даже при п3=пь Если лучи падают против направления клина, то точка выхода в третью среду красного луча расположена левее, чем фиолетового (рис. 1а). Так как в этом случае /"ф> /"к, то, распространяясь в третьей среде в направлении против клина, эти лучи на некотором расстоянии от второй поверхности пересекаются. При падении лучей в направлении клина (рис. 1б) точка выхода в третью среду красного луча расположена правее, чем фиолетового. В этом случае /"ф< / к и лучи выходят в направлении клина, когда точки выхода находятся справа, и I 'ф> I 'к и лучи выходят против направления клина, когда слева от точки А' основания перпендикуляра АА'. Распространяясь в третьей среде эти лучи расходятся (пересечения нет).
При падении на клин узкого параллельного пучка белого света, из-за отражений и преломлений внутри него на первой и второй поверхности, в первую и третью среду могут выйти несколько пучков, наблюдаемых как спектры, в которых лучи разных длин волн распространяются по разным направлениям. Число этих пучков зависит от значений углов / и 0. Ширина пучков и их интенсивности изменяются по мере удаления от поверхностей клина. Например, при падении параллельного пучка света, шириной а, в направлении клина (рис.2) первый пучок на расстоянии й\ от его второй поверхности в третьей среде имеет ширину 8 = [ё\( tgi\- tgi'ф) + d(tgу'k - tgу'ф) + а(со50/со57 - tgу'sin0/cosi)]cosi'k , если входит в третью среду в направлении ребра, и ширину ^[ё^ tgi'ф - tgi'к) + d(tgj'ф - tg/"к) + a(cos0/cosi - tgj'ф sin0/cosi)]cosi'ф ,
если от ребра. Здесь ё-длина перпендикуляра от точки падения левого луча пучка на первой поверхности до второй поверхности клина.
Рис. 2
Ширина первого пучка
Наложение лучей разных длин волн в первом пучке не приведет к исчезновению спектра.
Если клин рассечь плоскими поверхностями, параллельными и нормальными его ребру так, что у каждой части точка В соответствует точке А падения луча под углом /, то образующиеся части представляют собой призмы. И у треугольных, и у четырехугольных призм основным является угол плоского клина, из которого они получаются. Такие воображаемые рассечения позволяют любое вещество, сквозь которое проходит свет, рассматривать как совокупность огромного числа призм, образующихся из плоских клинов со всевозможными направлениями, непрерывно переходящими друг в друга.
Пониманию дисперсии света в значительной степени может способствовать рассмотрение прохождения луча сквозь однородную плоско- параллельную пластину (рис. 3), представляющую собой предельный случай плоского клина (9 = 00).
JV
п,
«2 d J ф JK -V \ АФ 1
«3 iV
Рис. 3
При m < п2 смещение точки В его падения на вторую поверхность от первоначального направления распространения имеет значение h = d(sin(i-/')/cos/'),
где d- толщина пластины. Закон Снеллиуса позволяет это соотношение представить в виде:
h = d sin i -J {-sin2 ^П2 - sin2 i J,
где n = n2/n - относительный показатель преломления на первой поверхности пластины. Из-за зависимости показателя преломления п от длины волны X, составляющей сущность явления дисперсии света, смещение h также является функцией X. Угол i может иметь любое значение в пределах от О0 до 900 Смещение минимально (равно нулю) при i =00 и максимально (равно d) при i = 900.
При одновременном падении в точке А пластины всех лучей белого света разность смещений фиолетовых и красных лучей, достигших второй поверхности (ширина спектра), имеет значение
^h^ hK= d sin i ^ {-sin2 ij^m -sin2 i^ ^ sin2 ij^tfp - sin2 i J,
т.е. является функцией толщины d пластины, угла i и длины волны X (рис. 3). Обозначение зависимости l от угла i через f(i) позволяет данное соотношение записать так: l = df(i). Исследовать функцию f(i) можно либо путём нахождения производных df/di и df/di2, либо путём составления таблицы её значений и последующего построения графика. Первый путь нецелесообразен, так как выражения производных оказываются очень громоздкими и решение уравнений, следующих из них, сложным. Второй путь гораздо проще. Для его реализации достаточно лишь знания значений относительных показателей преломления пк и Пф.
В качестве примера составим таблицу значений функции f(i) для стеклянной пластины (легкий крон), находящейся в воздухе. Согласно табличным данным ([1], с. 186) для красных лучей (X=7590 Á) показатель преломления стекла пк = 1,51, а для фиолетовых лучей (X=3970 Á) он имеет значение Пф = 1,531. Рассчитанные на основе этих данных значения функции f(i) приведены в таблице 1.
Таблице 1
i fi) i fi) i fi)
50 0,000792998 40° 0,006009997 58° 0,007139861
10° 0,001583874 45° 0,00654556 60° 0,007089967
15° 0,002373181 50° 0,006939744 65° 0,00679200892
20° 0,00315288 55° 0,007138353 70° 0,006009116
25° 0,00392514 56°30' 0,00715118 75° 0,004949064
30° 0,004670128 56035' 0,007151197 80° 0,003513678
35° 0,005369676 56040' 0,007151135 85° 0,0018282241
Видим, что функция /(I), определяет собой гладкую кривую, обращенную выпуклостью вверх и достигающую максимального значения при /э = 56035/ . Разность смещений фиолетового и красного лучей, падающих на стеклянную пластину под углом /э, имеет значение
/ = 0.007151197 б/ . Например, при толщине пластины d = 5-10" м / ^3.6-10
-4
м.
Закон Снеллиуса позволяет установить, что угол i падения луча в точку A пластины и угол i его выхода в точке В в третью среду связаны соотношением sin i' = (n1/ n3) sin i. Отсюда следует, что только в случае n3 = n1 углы i и i равны. Отклонение направления распространения луча в третьей среде от первоначального составляет угол 5 = 0 при n3 = nb 5 = i - i при n3 < n1 и 5 = i - i при n3 > n1. При n3 Ф n1 направления распространения лучей разных длин волн в третьей среде оказываются не параллельными (i' = i' (X)).
Пусть на прозрачную пластину под углом i падает параллельный пучок света видимого диапазона, ширина которого равна a (рис. 4).
Рис. 4
И на первой, и на второй поверхности произойдут отражения и преломления. Отражающийся от первой поверхности под углом / =/ пучок, также имеет ширину а. Из-за многократных отражений и преломлений на обеих поверхностях внутри пластины, в первую и третью среду выходит к пучков, интенсивность которых меньше первоначального. Расстояние между серединами соседних и чётных, и нечётных пучков непосредственно на поверхности пластины '2 -2. " •,/ ¡£2-2 °
L = d sin i
№
-Sin 7 -J
! - sin 2 i acosi .
:пространя!
Sk= a+dk~ l^os i sin i ^д/ Пф -sin2 i J- 1Д/ ni - sin2 ,
*ф 7 V "»к ' ,>>
Ширина к-го нечётного пучка, распространяющегося в первой среде, имеет значение
"Тр л! Пл ЦТ"
где к=1,3,5,..., п=п2/п1-относительный показатель преломления. Ширина к-го чётного пучка в третьей среде на расстоянии й\ от второй поверхности пластины имеет значение
sin2 i ^ а/cos i Y}
i
где к = 2,4,6,... Видим, что показатель преломления п3 не может быть меньше щяШ. Причиной изменения ширины чётных пучков является расхождение лучей (зависимость углов 5 и V от X), проявляющееся в виде спектра. Их чёткость будет лучше в случае п3 > пь При п3 = п последняя формула переходит в предыдущую. Кроме того, в этом случае расстояние между серединами соседних пучков и в первой, и в третьей среде
У выходящих в первую среду нечетных пучков правые края имеют голубоватый оттенок, а левые -оранжевый; у выходящих в третью среду чётных пучков порядок оттенков краёв обратный. Ширина этих краёв мала. Например, у второго пучка (рис. 4) в третьей среде, имеющей показатель преломления п3 = пь край с голубоватым оттенком между направлениями 1-2, и край с оранжевым оттенком между направлениями 3-4 (проявление спектра) имеют ширину I. Именно это наблюдается при прохождении сквозь стеклянную пластину толщиной ё = 5см и длиной 15см параллельного пучка света, падающего под углом /э (наблюдалось три пучка).
Итак, поскольку любое однородное прозрачное вещество по своей сути есть совокупность призм со всевозможными направлениями, непрерывно переходящими друг в друга, то свет, выходящий из него в первую и третью среду, из-за расхождения лучей разных длин волн, должен распространяться в последних в разных направлениях и иметь окрашенности, являющиеся проявлениями спектров (дисперсии).
ИССЛЕДОВАНИЕ АППРОКСИМАЦИИ И УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ ДЛЯ ОДНОМЕРНОЙ МОДЕЛИ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ НАНОСОВ В ПРИБРЕЖНОЙ ЗОНЕ
Важными факторами изменения берегов и прибрежного рельефа служат волны и прибойный поток, в яркой форме проявляющиеся в береговой зоне моря. Среди природных процессов и явлений, наблюдающихся в водоемах под воздействием волн и течений, важное место занимает перемещение наносов в береговой зоне. Динамика берегов и прибрежного рельефа дна во многом определяется характером перемещения наносов в береговой зоне. Возведение и эксплуатация гидротехнических сооружений, создание проектов защиты берегов, проблемы обеспечения экологической безопасности береговой зоны невозможны без учета всех факторов и процессов, определяющих состояние берегов.
При конструктивном преобразовании и изменении рельефов следует учитывать динамику процессов образования берега, исследовать формирование профиля дна в прибрежной зоне водоема под воздействием волновых процессов. Возникает необходимость в построении математических моделей процессов перемещения наносов на мелководье под воздействием поверхностных гравитационных волн.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИИ СПИСОК
1. Енохович А.С. Справочник по физике и технике. М.: Просвещение, 1983. С. 255.
Е.А. Проценко
