CC BY
20
УДК 536.46 DOI: 10.15350/17270529.2020.1.13
К ЧИСЛЕННОМУ РЕШЕНИЮ МОДЕЛЬНОЙ ЗАДАЧИ
САМОРАСПРОСТРАНЯЮЩЕГОСЯ ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНОГО СИНТЕЗА
ТИТОВА А. В., КАРПОВ А. И.
Удмуртский федеральный исследовательский центр Уральского отделения РАН, 426067, г. Ижевск, ул. Т. Барамзиной, 34
АННОТАЦИЯ. Проведено численное исследование закономерностей самораспространяющегося высокотемпературного синтеза на примере модельной задачи на основе разработанного вычислительного алгоритма решения уравнений, описывающих распространение волны твердофазного горения. Получены зависимости скорости распространения твердофазного пламени от основных теплофизических параметров. Результаты расчетов показали хорошее согласование теоретических и экспериментальных значений скорости распространения волны твердофазного горения для различных СВС-систем, таких как ^^ TiB, TaB, TaC, ZrSi.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: самораспространяющийся высокотемпературный синтез, твердофазное горение, численное моделирование.
Самораспространяющийся высокотемпературный синтез (СВС), открытие которого определено 1967 годом [1], является перспективным технологическим методом создания новых материалов и важной составляющей развития материаловедения в направлении получения веществ с заданной структурой и свойствами. С физической точки зрения образование твердых конечных продуктов в СВС-процессе происходит при распространении волны твердофазного горения как фронта суммарно экзотермических химических реакций [2 - 4]. Таким образом, базовые принципы методов математического моделирования рассматриваемого процесса основаны на классической теории горения [5 - 6] с учетом особенностей твердофазных (безгазовых/безжидкостных) субстанций с соответствующими особенностями, как упрощающими, так и усложняющими постановку задачи.
Здесь рассматривается модельная задача СВС-процесса: исходные твердофазные компоненты (порошки) A и B перемешаны до возможно достижимого гомогенного состояния и находятся в заданном стехиометрическом соотношении. В процессе единственной макроскопической реакции образуется твердофазный продукт AB. Система уравнений, описывающих данный процесс, имеет вид
дт д(лдтл __
dt дх v дх J
(1)
дУг д( дУх Л Р^7 = ^1 PD я "PW'
дt дх V дх J
(2)
начальные и граничные условия:
T(х,0) = T0, T(0,t) = T. ,
дТ (L, t) дх
= 0,
(3)
¥>(х,0) = Y®, ¥¿0,t) = Y®, = 0 .
дх
(4)
Здесь t - время; х - продольная координата; T - температура; с - удельная теплоемкость; р = const - плотность; X - коэффициент теплопроводности; D - коэффициент диффузии; Q - тепловой эффект реакции; ¥ - массовая концентрация исходного компонента
(смеси порошков А и В); Ь - длина расчетной области; Т{ - температура инициирования
реакции; у0 - массовая концентрация исходного реагента. Коэффициент диффузии
Ье X
определятся как О =-, где Ье - число Льюиса. Концентрация продукта реакции АВ
Рс
определяется как У2 = 1 - У\. Скорость химической реакции определяется законом Аррениуса
Ж = кУгехр Г-^ 1, (5)
где к - предэкспоненциальный множитель; Е - энергия активации; Я® - универсальная газовая постоянная.
Для численного решения уравнений (1) - (2) используется неявная разностная схема второго порядка аппроксимации по пространственной координате, что приводит к системе квазилинейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей коэффициентов, которая решается методом прогонки. Отметим, что соотношение (5) для реакции первого порядка позволяет провести линеаризацию правой части уравнения (2) относительно переменной У1 , что обеспечивает безусловную устойчивость данной части алгоритма.
Для формирования совокупности исходных данных для расчета используются доступные справочные материалы по теплофизическим характеристикам (согласно принятой постановке задачи они полагаются одинаковыми для исходных компонентов и продуктов реакции). Для оценки значений теплового эффекта реакции и адиабатической температуры
Та=То + , (6)
принимаются данные [7]. Заметные неопределенности возникают при определении кинетических параметров реакции. Здесь в качестве модельной СВС-реакции рассматривается образование карбида титана из исходной прессованной смеси порошков титана и углерода. В [8] решалась задача моделирования СВС-процесса с учетом гетерогенности структуры с использованием безразмерных параметров
р = ЯоТа у = ^Р ЯоТа (7)
Р Е ' 0 Е '
и были установлены их значения, обеспечивающие устойчивое распространение фронта безгазового горения: Р = 0.05, у = 0.143 без возникновения пульсирующего режима. Исходные данные для расчета синтеза TiC приведены в табл. 1.
Таблица 1
Исходные данные для синтеза ПС
Параметр Обозначение Значение Размерность
Начальная температура 300 К
Адиабатическая температура Та 3200 К
Удельная теплоемкость С 844 Дж/(кг К)
Коэффициент теплопроводности X 6.7 Вт/(м К)
Тепловой эффект реакции Q 2990000 Дж/кг
Энергия активации Е 531840 Дж/моль
Плотность Р 4930 кг/м3
Число Льюиса Ье 10-5 -
Предэкспоненциальный множитель к 1012 -
Скорость распространения фронта химической реакции определяется по движению точки максимального теплового потока:
V =
х ( ^шах )
(8)
Здесь V - скорость распространения волны горения, х (qшax) - координата расчетной
области, в которой имеет место максимальное значение теплового потока.
На рис. 1 представлена зависимость скорости распространения фронта горения от времени, показывающая, что на интервале порядка 0.007 с от момента воспламенения формируется стационарный режим распространения. Скорость распространения фронта составила величину порядка 1.3 см/с, что согласуется с экспериментальными данными [7].
1.40
1.20 -
§ 1.00 >
0.80 -
0.60
0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010
^ э
Рис. 1. Зависимость линейной скорости распространения фронта горения от времени
На рис. 2 представлены распределения температуры и концентрации продукта реакции по длине расчетной области (Ь = 0.005 м). Отметим, что в профилях температуры присутствуют периодические всплески в которых температура превышает адиабатическое значение, что, очевидно, нефизично. Данный эффект является следствием конечно-разностной аппроксимации нелинейного (по правой части) уравнения (1) и невозможности достижения гладкой непрерывной функции для температуры. Снижения (вплоть до почти полного устранения) этого эффекта можно добиться уменьшением шага интегрирования и соответствующим ростом вычислительных затрат. Здесь было проведено нормирование (обрезание) значений температуры по ее адиабатическому значению. Отметим также, что в профиле концентрации такого эффекта нет за счет отмеченной выше линеаризации источника в уравнении (2) для реакции первого порядка.
5000 4000 3000 2000 1000
0
0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 х, т
1.2 1.0 0.8 £ 0.6 0.4 0.2 0.0
Ь)
0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 х, т
Рис. 2. Распределение параметров по длине в различные моменты времени: а) - температура, Ь) - концентрация продукта реакции
г
На рис. 3 показаны результаты расчетов, демонстрирующих влияние основных теплофизических и кинетических параметров на закономерности стационарного распространения одномерного пламени по реакционной среде. При увеличении начальной концентрации исходного реагента скорость распространения пламени, что естественно, также увеличивается (рис. 3, а) начиная со значения У1=0.7. Уменьшение энергии активации (рис. 3, Ь) и увеличение теплового эффекта реакции (рис. 3, с) приводит к увеличению скорости распространения.
У1
7 6 5
14
о
> 3 2 1 0
Ь)
100 200 300 400 500 Е, и/то!
600
700
Рис. 3. Зависимость скорости распространения пламени от параметров: а) - начальная концентрация реагента, Ъ) - энергия активации, с) - тепловой эффект реакции
В табл. 2 приведены результаты расчетов распространения волны безгазового горения для некоторых соединений различных типов СВС-систем, показавшие, что результаты моделирования качественно согласуются с известными экспериментальными данными по скорости распространения фронта реакции.
Таблица 2
Сравнение скорости распространения волны безгазового горения для некоторых соединений
Соединение TiB TaB TaC ZrSi
Температура горения, К 2500 2670 2550 1850
Экспериментальная скорость горения, см/с [7] 3,0-10 0,2-2 0,4-0,5 0,1-1
Расчетная скорость горения, см/с 5,634 0,205 0,328 1,347
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (Проект № 20-08-00481_а).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Мержанов А. Г., Боровинская И. П., Шкиро В. М. Явление волновой локализации автотормозящихся твердофазных реакций // Государственный реестр открытий СССР. Диплом № 287. Приоритет от 05.07.1967 г. Бюллетень изобретений, 1984, № 32. С. 3; Вестник АН СССР, 1984, № 10. С. 141.
2. Мержанов А. Г. Твердопламенное горение. Черноголовка: ИСМАН, 2000. 224 с.
3. Merzhanov A. G. Worldwide evolution and present status of SHS as a branch of modern R&D (to the 30th Anniversary of SHS) // International Journal of Self-Propagating High-Temperature Synthesis, 1997. vol. 6, no. 2, pp. 119-163.
4. Амосов А. П., Боровинская И. П., Мержанов А. Г. Порошковая технология самораспространяющегося высокотемпературного синтеза материалов: Учебное пособие, под научной редакцией В. Н. Анциферова. М.: Машиностроение-1, 2007. 567 с.
5. Франк-Каменецкий Д. А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. М.: Наука, 1967. 491 с.
6. Зельдович Я. Б., Баренблатт Г. И., Либрович В. Б., Махвиладзе Г. М. Математическая теория горения и взрыва. М.: Наука, 1980. 478 с.
7. Мержанов А. Г., Мукасьян А. С. Твердопламенное горение. М.: Торус Пресс, 2007. 336 с.
8. Шульц Д. С., Крайнов А. Ю. Математическое моделирование СВС процесса в гетерогенных реагирующих порошковых смесях // Компьютерные исследования и моделирование. 2011. Т. 3, № 2. C. 147-153.
On the Numerical Solution of the Model Problem of Self-Propagating High-Temperature Synthesis
Titova A. V., Karpov A. I.
Udmurt Federal Research Center UB RAS, Izhevsk, Russia
SUMMARY. Model problem of self-propagating high-temperature synthesis has been studied numerically by mathematical formulation based on one-dimensional energy and diffusion equations including single-step macro-reaction for solid flame combustion. Numerical modeling of self-propagating high-temperature synthesis showed a reasonable agreement between the predicted and experimental values of the propagation velocity of an exothermic chemical reaction. The temperature distribution and concentration fields along the length of the sample are obtained, the profiles of which coincide with the profiles published in the literature. The influence of thermophysical parameters on the speed of flame propagation has been studied. A theoretical calculation of the burning rate of some compounds of different types of SHS reaction systems showed good qualitative agreement between the numerical and experimental gas-free combustion propagation velocities.
KEYWORDS: self-propagating high-temperature synthesis, solid-phase combustion, numerical simulation.
REFERENCES
1. Merzhanov A. G., Borovinskaya I. P., Shkiro V. M. Yavlenie volnovoy lokalizatsii avtotormozyashchikhsya tverdofaznykh reaktsiy [The phenomenon of wave localization of self-braking solid-state reactions]. Gosudarstvennyy reestr otkrytiy SSSR. Diplom № 287 [State register of discoveries of the USSR. Diploma No. 287]. Prioritet ot 05.07.1967 g. Byulleten' izobreteniy, 1984, № 32, p. 3; Vestnik AN SSSR, 1984, № 10, p. 141.
2. Merzhanov A. G. Tverdoplamennoe gorenie [Solid flame burning]. Chernogolovka: ISMAN Publ, 2000.
224 p.
3. Merzhanov A. G. Worldwide evolution and present status of SHS as a branch of modern R&D (to the 30th Anniversary of SHS). International Journal of Self-Propagating High-Temperature Synthesis, 1997, vol. 6, no. 2, pp. 119-163.
4. Amosov A. P., Borovinskaya I. P., Merzhanov A. G. Poroshkovaya tekhnologiya samorasprostranyayushchegosya vysokotemperaturnogo sinteza materialov [Powder technology of self-propagating high-temperature synthesis of materials]. Uchebnoe posobie, pod nauchnoy redaktsiey V. N. Antsiferova. Moscow: Mashinostroenie-1 Publ., 2007. 567 p.
5. Frank-Kamenetskiy D. A. Diffuziya i teploperedacha v khimicheskoy kinetike [Diffusion and heat transfer in chemical kinetics]. Moscow: Nauka Publ., 1967. 491 p.
6. Zel'dovich Ya. B., Barenblatt G. I., Librovich V. B., Makhviladze G. M. Matematicheskaya teoriya goreniya i vzryva [The mathematical theory of combustion and explosion]. Moscow: Nauka Publ., 1980. 478 p.
7. Merzhanov A. G., Mukas'yan A. S. Tverdoplamennoe gorenie [Solid flame burning]. Moscow: Torus Press Publ., 2007. 336 p.
8. Shul'ts D. S., Kraynov A. Yu. Matematicheskoe modelirovanie SVS protsessa v geterogennykh reagiruyushchikh poroshkovykh smesyakh [Mathematical modeling of SHS process in heterogeneous reactive powder mixtures]. Komp'yuternye issledovaniya i modelirovanie [Computer Research and Modeling], 2011, vol. 3, no. 2, pp. 147-153.
Титова Анастасия Вячеславовна, лаборант-исследователь лаборатории физико-химической механики Института механики УдмФИЦ УрО РАН, e-mail: titovaspace@ya. ru
Карпов Александр Иванович, доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник Института механики УдмФИЦ УрО РАН, e-mail: karpov@udman.ru
