К асимптотической теории зарождения отрыва около щитка при обтекании охлажденного тела гиперзвуковым потоком на режиме слабого гиперзвукового взаимодействия Текст научной статьи по специальности «Математика»

_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И

Том VI : 1975

№ 3

УДК 533.6.011.55

К АСИМПТОТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ЗАРОЖДЕНИЯ ОТРЫВА ОКОЛО ЩИТКА ПРИ ОБТЕКАНИИ ОХЛАЖДЕННОГО ТЕЛА ГИПЕРЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ НА РЕЖИМЕ СЛАБОГО ГИПЕРЗВУКОВОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

В. Нейланд, Л. А. Соколов

Исследовано зарождение отрыва около щитка при обтекании охлажденного тела гиперзвуковым потоком на режиме слабого гипер-звукового взаимодействия.

Показано, что существенное влияние на течение около точки отрыва оказывают профили распределения параметров во всем невозмущенном пограничном слое.

Решение задачи в безразмерных переменных определяется полностью значениями двух безразмерных параметров.

В ранних работах отрыв пограничного слоя исследован на основе анализа решений уравнений пограничного слоя при заданном внешнем распределении давления. Решение такого типа в общем случае не удается продолжить за точку отрыва. Изучение асимптотического поведения решений уравнений Навье — Стокса [1, 2] показывает, что при отрыве пограничного слоя в сверхзвуковом потоке с гладкой поверхности главное влияние на течение в малой окрестности точки отрыва оказывает большой локальный градиент давления, индуцируемый при взаимодействии с внешним потоком.

Можно предполагать, что и в общем случае всегда найдется достаточно малая окрестность точки отрыва, в которой отрыв является самоиндуцированным.

В данной работе исследовано зарождение отрыва около щитка при обтекании охлажденного тела гиперзвуковым потоком на режиме слабого гиперзвукового взаимодействия.

Показано, что существенное влияние на течение около точек отрыва оказывают профили распределения параметров во всем невозмущенном пограничном слое. Решение задачи в безразмерных переменных определяется полностью значениями двух безразмерных параметров, характеризующих угол отклонения щитка и степень охлаждения тела.

1. Постановка задачи. Рассмотрим простейшую возможную схему течения. Пусть имеется плоская пластинка длиной I. За ней щиток отклонен на угол а<^1. Отношение энтальпии газа около стенки к энтальпии торможения гиперзвукового набегающего потока — gw^ 1- Предполагаем, что на основной части тела взаимодействие невязкого потока с пограничным слоем является слабым. Это означает, что индуцируемый при взаимодействии перепад давления Др по порядку величины много, меньше, чем статическое давление в набегающем потоке, ре.

Если учесть, что толщина пограничного слоя 8 имеет порядок ZMeRe_1/2, то согласно линейной теории сверхзвуковых течений при Ме -> оо , '

<1Л>

здесь х — продольная координата, направленная вдоль пластины и отсчитываемая от ее передней кромки; Ье — расстояние от оси х до внешней границы пограничного слоя. (Поскольку рассматривается предел Ме оо, то внешняя граница определена в первом приближении точно). Число Рейнольдса Re =Ре и? 1 ■, где индексом е отмечены

Но

значения переменных (в данном случае — плотности и скорости) на внешней границе пограничного слоя,{л0 — коэффициент вязкости, вычисленный при температуре торможения набегающего потока.

Следуя [1—3], будем считать отрыв „самоиндуцированным“. Это значит, что он вызывается большими градиентами давления, приложенными на коротких расстояниях (Ар — малы) и передаваемыми механизмом взаимодействия пограничного слоя с внешним потоком.

Малый перепад давления вызывает малые возмущения скорости и плотности в основной части струек тока пограничного слоя, которую в дальнейшем будем называть областью 2.

(12)

U Ре Ро ' V ' '

Тогда соответствующие возмущения толщины вытеснения имеют оценку

0-3)

Однако относительная величина возмущений не может оставаться малой вплоть до стенки. Иначе не будет отрыва. Поэтому в дальнейшем отдельно будет рассмотрена область 3, в которой невозмущенная величина скорости мала, а возмущение ее происходит в основном порядке. В работе [3] показано, что при достаточно малых gw изменение толщины вытеснения области 3 становится малым по сравнению с ее величиной для области 2. (Это существенно отличает режим gTO<Cl от режима gw—1, рассмотренного в работах [1, 2]). Соотношения (1.1) и (1.3) позволяют определить характерную длину возмущенной области течения, на которой перепад достигает предельного значения, равного, согласно (1.1),

Ме*ре.

~ ~ ~ ~т~ ^ , Дх~МД (1.4)

ре Ах Ах ре ’ е v '

Теперь произведем оценки для области 3. Для этого получим распределения функций течения вблизи стенки в невозмущенном пограничном слое. Заметим, что величины теплового потока д и напряжения трения т внутри пограничного слоя вплоть до поверхности тела сохраняют свои порядки величин. Тогда справедливы оценки

дН

дУ

' Р-о'

где Л — энтальпия. Предполагая

да

ї-дї

Iі = !*о

Р-о -

2_Л

„2

при у/Ь -> О,

получаем

1 + и

— + п с> т

■Ро

/(г® 4--^

(1.5)

(1.6)

(1.7)

В зависимости от величины gw можно в области 3 рассматривать три типа течений, для которых

(1.7а)

Начнем со второго, так как результаты для остальных двух можно будет получить, совершая подходящие предельные переходы.

Таким образом, в невозмущенном пограничном слое около стенки имеем оценки:

и

и„

п+1

Н-о

_р_

Ро

_5_|п+1

У

(1.8)

Уравнение импульса, описывающее течение в области 3, должно содержать, кроме инерционного члена, градиент давления (чтобы мог появиться отрыв) и хотя бы главный вязкий член (иначе не будет безотрывного участка течения, так как Ар^>0, а ит = 0).

Тогда должны быть верны оценки:

ри2

ІХ

Ар

Ах

‘Ау* ’

(1.9)

Поскольку Ах — Ме§, то для нахождения ри, Ар, Ду имеем соотношения (1.8), (1.9). Разрешая их, получим для области 3

(1.10)

Д£_„ Ре 1 ~х"+2 , 1 > 1 М-е 2п+3 х"+*\ 1 — ~ уП+2 . ие X- ’

п _р_ Ро 1

_Р_ г М-о ^ X —X я+2 > Х = Щ йе-1/2.

2. Решение для области 2. Используя оценки (1.2—1.4) и (1.10), введем переменные для области 2, которые сохраняют порядок единицы при совершении предельного перехода « 1

Ие -> оо, Мг -* оо, £да-*0, х-0 при £да~хл+2 • (2-1)

Ниже эти переменные отмечены индексом 2.

1

р=ре(} +хл+2/?2Н—);

1

р = реме 2[р*(/2) + х"+2р2(*2> /г)+•••];

(2.2)

1

и = ие [и* (/2) + х«+2 м2 (л:, /2) +...];

1

v •= иеMe 1 х"+2 v2(x2, /а) 4-

1

у — I Ме Re-1/2 [.у* (/8) + хя+2 З'з (■*, /а) +• ■ •];

здесь /—функция тока; индексом отмечены профили функций невозмущенного слоя.

Подстановка (2.2) в уравнения Навье—Стокса и совершение предельного перехода (2.1) приводят к системе уравнений для области 2, в которой опущены черточки над переменными:

Последнее уравнение, описывающее сохранение энтропии вдоль линии тока локально невязкого течения, получено, как обычно, при использовании уравнений энергии и состояния для совершенного газа с отношением удельных теплоемкостей у. Из первого и последнего уравнений (2.3) находим зависимость и2, р2 от р2 и подставляем в третье уравнение (2.3). Интегрируя его, получаем

здесь а2 = 0 до угловой точки; /. — интеграл, стоящий в правой части (2.4).

В зависимости от его знака толщина пограничного слоя растет (Z. > 0) или уменьшается (Z.<0) с ростом давления. В работе [4] исследованы решения этого типа для энтропийных слоев и показано, что при £<0 подрастание давления в главном члене происходит за угловой точкой, до этой точки р2 = const:

дуз

д/ъ

Н_____jh.

(2.3)

СО

(2.4)

о

Подстановка (2.4) в (1.1) дает уравнение

рг = а2 + L ^ , а2 = т Ме ах "+2 при ' х > 0; (2.5)

Если L^>0, то давление растет до угловой точки:

(2.6)

Теперь для определения критического значения а2, приводящего к появлению отрыва, нужно решить задачу для области 3. Введем переменные, сохраняющие для области 3 величины порядка единицы при совершении предельного перехода (2.1):

2я+3

Х — 1 — 1-)(X, у—1х^М

1

е Уз<

и = иехп+2 иа+..., „2 1

п+2

Рз>

к-

X

п + 2

р = Ре Ме 2 х "+2

Рз-

(2.8)

Подставим (2.8) в уравнения Навье—Стокса и совершим предельный переход (2.1). В приведенной ниже системе уравнений опустим черточки над переменными

ди3 , ди з , 1 с1р?

Рз«з^+Рз^з-^ + Т *

йх

д

дуз

дщ \ .

дУъ ) ’

Рз«з%- + Рз^з^

,Л_(Рз_ д£з_\ . дуз \ а ду3 ) '

д?з и3 . дрз г/3 _____

дх ^ ду3 ~~и’

Рз:

!*« = «?•

(2.9)

Приведем граничные условия на теле, а также граничные условия, получающиеся из сращивания с решением в области 2 и профилями распределения функций в невозмущенном пограничном слое:

«з,

Ня

— ®з»=-0, гз = £з..' Л = 0,

а, Уз

-»■ —со для > 0.

а дуг ' •'* гз ду3 или я = 0 для /,<[ 0, или х

(2.10)

Безразмерные постоянные а и Ь связаны с размерными параметрами невозмущенного течения формулами:

а ■■

, I м„

ие Ие1/2

2 Ццу I

и2 М'о Ке1/2

(2.11)

Формулы (2.6) и (2.7) позволяют определить входящий в (2.9) градиент давления:

1 <1рз. 7 йх "

ехр(-

(2.12)

Для 1>0 интегрирование ведется в области *<0, а при переходе в область д:>0 давление в главном порядке не меняется. Градиент давления исчезает в локальной области с длиной порядка; толщины невозмущенного пограничного слоя, где Д/?/ре~а.

Для £ < 0 интегрирование начинается сл; = 0. Появление в этой точке градиента давления также объясняется существованием локальной области с &р!ре ~ а.

Из физических соображений можно ожидать, что при £>0> отрыв впервые появляется при х = 0, а при Ь < 0 — где-то во внутренней точке области х>0.

3. Выявление законов подобия. Для установления законов подобия попытаемся для системы соотношений, определяющих полностью задачу (2.9), (2.10), и (2.12), ввести аффинную замену переменных, чтобы исключить „лишние" параметры,

/ \ "+1 = \ЦХ-, Л = 1\)МУ’

-ЬУ-

а ( Ьа у — 1 I г і I п+2 ТТ «в — -у-(-у —2~ I£ I ) ^3 —

р3 = іаЬ\Ь\

2 п+2

Рз

_ 2 /63

Т — 1 \ а

V а 2 '

'Ъз 7 -1 |

а 2 1

( 63 Т-1

п п+2

М;

і

л+2

/?.

В новых переменных краевая задача принимает вид

(3.1)

дШГ

<1х дДУ

дх

ду

0;

£/(*, 0)= У(х, 0) = 0, 0(х, 0)=*=0.

йР

«” «(*

Ж^дО_ О ду

1, М др1 -► 1 ПРИ >> ОО ИЛИ

лг0;

(3.2)

здесь л:0— оо при /.>0 и л;0 = 0 при 1<0.

О™ = —

1

п+2

1

п+2

«X

1

п+2

їМе

7«6 I /, I

я±1

п+2

(3.3)

Таким образом, решение задачи в безразмерных переменных определяется полностью значениями двух безразмерных параметров а*, (/да и знаком

Связь с размерными переменными вытекает из приведенных выше формул и имеет вид <

2л+3

Ах = г\цх- ,

1 , 1 • Р = Ре(\ +Х"+2 ЕРУ, и = иехп+2 Ви-,

<v = uex Me kV\

и2 J_ A=-f Xfl+2 60;

n — 1 /о3 T 1 J U 2

n+l ^ ,\n+2

1 . ~ /63 T — 1

Q = (_ 1_

L!

jn+2

P=l*oX

n+2

QM;

P = Ре Me 2 X n+2 AR;

~{ab\L |

n+l n + 2

Т-1

n+2

l \ a

1

n+2

4. Течение около „умеренно охлажденной" стенки. Напомним, что в соответствии с формулой (1.7 а) выше проведено рассмотрение только одного случая, для которого выполняется вторая оценка (1.7 а). Первый случай не требует отдельного изучения, так как для его изучения достаточно в (3.2) положить вГ1) = 0.

Таким образом, осталось изучить поведение решения задачи для третьего случая „умеренно охлажденной" стенки. Если при этом £>0, то решение для него дано в работе [3]. Режим О также можно было бы изучить, следуя [3]. Однако можно использовать приведенные выше результаты, стараясь найти решение задачи (3.2) при Ош -* оо.

Для этого введем замену переменных:

U-.

1-п 2+п

й\ v=G~rv-, Р-.

G = GWG- tf = 7r/?; М = G® М;

UW

_ 1+2 п __

* = *; У = 0 * Y.

1 + 2 п________

G 3 Р;

70) ?

(4.1)

Подставим (4.1) в (3.2) и совершим предельный переход Ото^оо:

#UdJL =

дХ дУ ' dX дГ\ дУ

RU^ + RV^B- = -L(—^r\ ;

дХ дУ дУ\°дУ)

М = G"; R — G~x\

U(X, 0)=у(Х, 0)— 0; ё(Д0)=1;

dP dX

№ dG г. й д U . 7т -т> ч>

— <ГР ’ Y^°°’ Х-Хо-

(4.2)

Решение уравнения энергии в (4.2) 0 = 1. Поэтому /? = М=1

1+2п

в соответствии с результатами [3] а*, = а* С^3 .

Таким образом, решение (4.2) зависит от одного параметра, а законы подобия принимают вид:

2/їЦ-З 1+2л

«-І

(4.3)

Ах = х\ЦХ-, у = 1Хп+2 Ме 06^ Г;

и2 1 _ _ _ 1 1-я _

к= —■ х"+2 (20ш0; и = иехп+2 Вв 3 1]\

2+п п

ъ=иехМ71кОт 3 I/; ^ = [х0х"+2 <301М;

, _ !±?5

' Р = Р« X "+2 ^ д-/?; а*, = «,6 8 .

Суммируя результаты [1—3] и настоящей работы, можно указать пределы применимости решений и особенности всех режимов течений, возникающих при уменьшении gw.

Исходная теория отрыва, развитая в работах [1, 21 для (1),

остается справедливой в следующем диапазоне значений gw:

Х2(2п+1)С^^О(1).

При этом распределение индуцированного давления полностью зависит от течения в области 3, а течение в этой области остается изотермическим.

Решения, сосчитанные в [3] для умеренно охлажденного течения, верны при

г*~ха№,+1) •

Течение в области 3 в этом случае по-прежнему изотермическое, но на распределение давления уже влияет и область 2.

Приведенное выше решение (3.2) описывает режим течения для самых низких значений температурного фактора

1

п+2

В этом случае течение в области 3 уже неизотермическое, а давление не зависит от течения в области 3.

Последнее решение описывает и случай ^ = 0. Второй и третий типы решений дают одинаковые решения типа (4.2) в промежуточном диапазоне значений gw:

Хи+2 <&<Х2(2“+1) •

В этом диапазоне задача является наиболее простой, так как область 3 уже не влияет на распределение давления и еще является изотермической.

Краевая задача (4.2) получена при использовании двух предельных переходов

і

М, -► оо, Ие0 -*-оо, х -* 0, gw ч- 0 при Gw = gwx п+% — О (1).

В работе [3] такая же задача получается при других предельных переходах:

— 1

Мое ОО, Иео -* оо, X -*■ 0, Р при gwx 2<2п+1> = 0(1).

Таким образом, -* оо при gw ■l 2с2«+1) -> 0, т. е. медленнее, чем

______з п

^ ' 2 (п+1) (2л +1) ;

5. Интегрирование уравнений. Интегрирование системы уравнений (3.2—3.3) проводилось с помощью полустандартной программы, разработанной в ЦАГИ. Для того чтобы поле интегрирования привести к стандартному виду,нужно преобразовать систему уравнений к новым переменным. Для /.<0 интегрирование начинается с ^ = 0. Введем переменные

о=ев-нл*1/8£, Р=С5,

где А =

2 У/3

в =

3 \ 2/3

с =

2 \1/з

зу ,-------{2) ,

В новых переменных система уравнений имеет вид:

(ЯМГУ -л^/г1 || + 4-/'2-/Г + \х{ГГ- -гГУ

= 4-/'г—/г' + 4-^ (/'£' —/■£');

аГА'

/(*, 0) =/' (А-, 0) = ё (X, 0) = 0; ^ = а*, ег

^^'=1, /?М/" = 1; т^ос; А' 0;

ЯМ^С”-1; Р^О"1; ««=-5-.

(5.1)

(5.2)

Для /.>0 интегрирование ведется в области ^<0. Введем переменные

У '

где

О

С = ею + ^/з^ Р= С X, 2 \1/з

(5.3)

в=^2/3.

с =

_2_\1/3

з ) ' \ 2 ; ’ \ з

В переменных (5.3) система уравнений имеет вид:

(рмл' = я-1 ^| Е(^/- -/-Л;

(^Г 4 = £ [\fe-fe') + -/Г);

/(*, 0) (X, 0)-g(X, 0) = 0;

РМ/" = 1, *м

£'=1, ТГ) —> оо, А” оо;

(5-4)

3—Ученые записки № 3

33

Системы уравнений (5.2) и (5.4) решались на ЭЦВМ. Задавались значением и подбирали а„2 такое, что для О отрыв впервые появляется при А" = 0, а £ <0 — где-то во внутренней точки области X > 0.

Связь найденного значения а* 2 с значениями критического угла в радианах выглядит так:

2

ЧтГ

“X

/1+2

уМе

у ab | L

\ я

п+1 л+2

На фигуре представлены критические значения а,. г, приводящие к появлению отрыва в зависимости от температурного фактора при различных значениях числа з, я-степени в Законе изменения вязкости от температуры и разных знаках

Как видно из фигуры, все эти параметры оказывают заметное влияние на зарождение отрыва.

ЛИТЕРАТУРА

• . ■ . I ■

1. Н е й л а н д В. Я. К теории отрыва ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке. ,Изв. АН СССР, МЖГ , № 4, 1969,

2. Stewartson К., W i 11 i a m s P. Self-induced separation. Proc. Roy. Soc. A., 312, 1969.

3. H e й л а н д В. Я. Особенности отрыва пограничного слоя на охлаждаемом теле и его взаимодействие с гиперзвуковым потоком. .Изв. АН СССР, МЖГ", № 6, 1973.

4. Нейланд В. Я., Соколов Л. А. Влияние энтропийного слоя на об-

текание аэродинамических органов управления гиперзвуковым потоком. „Ученые записки ЦАГИ“, т. IV, № 1, 1975. ,

Рукопись поступила 2/Х 1974 г.