CC BY
1
УДК 372.851 DOI: 10.31862/2218-8711-2024-4-228-238
ББК 74.262.0
ИЗУЧЕНИЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ ЗАДАЧ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ НА ОСНОВЕ СИСТЕМНОГО ПОДХОДА
STUDYING PARAMETRIC OPTIMIZATION PROBLEMS IN SECONDARY SCHOOL BASED ON A SYSTEM APPROACH
Насонова Екатерина Дмитриевна
Доцент кафедры математики, информатики, физики, Балашовский институт (филиал) Саратовского государственного университета имени Н. Г. Чернышевского, кандидат физико-математических наук, доцент E-mail: [email protected]
Nasonova Ekaterina D.
Assistant Professor at the Department of Mathematics, Computer Science, and Physics, BaLashov Institute (branch) of Saratov State University, PhD in Physics and mathematics, Associate Professor E-mail: [email protected]
Аннотация. Статья посвящена вопросам формирования навыков решения оптимизационных задач, содержащих параметр, в основной и средней школе. Модели этого типа относятся к классу задач оптимизации, изучаемых в рамках дисциплины «Математика и информатика». Также их можно считать параметрическими задачами, которые отражены в контрольно-измерительных материалах единого государственного экзамена по профильной математике. В статье анализируются общие подходы к изучению оптимизационных задач и задач с параметром, реализуемые на уроках математики и информатики основной и средней школы, рассмотрен отдельный вид
Abstract. The article deals with the issues of developing skills in solving optimization problems containing a parameter in primary and secondary schools. Models of this type belong to the class of optimization problems studied within the "Mathematics and Computer Science" discipline. They can also be considered parametric tasks which are reflected in the testing and measuring materials of the unified state exam in specialized mathematics. The article analyzes general approaches to the study of optimization problems and problems with a parameter, implemented in mathematics and computer science lessons in primary and secondary schools, and considers a separate
Ф 1 Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License The content is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License
© Насонова Е. Д., 2024
школьных параметрических оптимизационных задач, решаемых элементарными методами. Автор подчеркивает отсутствие целостного подхода изучению оптимизационных моделей в области «Математика и информатика», так как содержание этих дисциплин включает только отдельные темы, такие как поиск экстремума функции одной переменной, моделирование и формализация, и другие разделы, не связанные общей логикой изложения. Для реализации системного подхода к изучению оптимизационных задач, в том числе и оптимизационных задач с параметром, предлагается разработка междисциплинарного элективного курса по математике и информатике, в рамках которого могут быть изучены методы математики и информатики, применяемые к решению оптимизационных задач разных типов.
type of school parametric optimization problems solved by elementary methods. The author emphasizes the lack of a holistic approach to the study of optimization models in the field of "Mathematics and Computer Science", since the content of these disciplines includes only individual topics, such as searching for the extremum of a function of one variable, modeling and formalization, and other sections that are not connected by the general logic of presentation. To implement a systematic approach to the study of optimization problems, including optimization problems with a parameter, it is proposed to develop an interdisciplinary elective course in mathematics and computer science within which methods of mathematics and computer science applied to solving optimization problems of various types can be studied.
Ключевые слова: оптимизационная задача, параметрическая задача, исследование функции, системный подход, ЕГЭ.
Keywords: an optimization problem, a parametric problem, a function study, a system approach, Unified State Examination.
Для цитирования: Насонова Е. Д. Изучение параметрических оптимизационных задач в средней школе на основе системного подхода // Проблемы современного образования. 2024. № 4. С. 228-238. DOI: 10.31862/2218-8711-2024-4-228238.
Cite as: Nasonova E. D. Studying parametric optimization problems in secondary school based on a system approach. Problemy sovremennogo obrazovaniya. 2024, No. 4, pp. 228-238. DOI: 10.31862/2218-8711-20244-228-238.
Введение
Научно-технический прогресс, результаты которого проявляются во всех сферах человеческой деятельности, требует наличия навыков проектирования, разработки, управления и прогнозирования функционированием сложных систем. Для решения данной задачи используются информационные и, в частности, математические модели реальных процессов, учитывающие многофакторность, управляемость, наличие неконтролируемых факторов и прочие параметры, присущие сложным системам, для разработки которых требуются квалифицированные специалисты в области
инженерии, системотехники, кибернетики, обладающие компетенциями в сфере математического моделирования и теории управления.
Проблема формирования представлений о моделировании нашла отражение в современных Федеральных государственных образовательных стандартах основного общего и среднего общего образования посредством указания соответствующих образовательных результатов в предметной области «Математика и информатика». Так, для уровня основного общего образования указаны требования по развитию умений моделирования реальных ситуаций на языке математики, навыков исследования построенных моделей и решения соответствующих практических задач. А для среднего общего образования указывается необходимость владения опытом разработки и применения математических и компьютерных моделей для исследования реальных процессов [1]. Указанные навыки являются неотъемлемой частью подготовки специалистов, способных решать задачи, поставленные перед современной наукой.
Используемые в математике модели можно классифицировать по различным признакам. Например, в теории управления изучаются оптимизационные модели, цель моделирования в которых ассоциируется с максимизацией или минимизацией некоторого критерия, определенного на заданном множестве допустимых альтернатив.
Поиск альтернативы, удовлетворяющей критериальным требованиям, называют задачей выбора. Такие задачи изучаются на протяжении всего школьного курса математики, начиная с начальной школы, где учащимся предлагают решить простейшие дискретные задачи, например отбор содержимого продуктовой корзины, и заканчивая сложными задачами исследования непрерывных функций с помощью производной при наличии ограничений на область определения.
Следует также отметить отсутствие в школьном курсе моделирования целостного, системного подхода к оптимизационным задачам, которые рассматриваются только как фрагменты некоторых тем: либо решение практико-ориентированных задач в начальной и основной школе, либо исследование гладких функций с помощью производной. Однако это связано с самой природой оптимизационных задач, имеющих разнообразные постановки, различную сложность описываемых систем, наличие нескольких переменных и неконтролируемых факторов, ограничений, при этом используемые методы оптимизации по большей части не изучаются в курсе средней школы.
Тем не менее уже само наличие задач выбора в школьном курсе математики и информатики, несомненно, положительно влияет на подготовку учащихся к решению практико-технических задач. Необходимо также совершенствовать компетенции обучающихся в области решения задач на оптимальный выбор, как непосредственно относящихся к предметной и повседневной деятельности каждого человека. И для этого следует использовать все методы, изучаемые в школьном курсе математики и смежных дисциплин [2]. Рассмотрим далее некоторые задачи оптимизации повышенного уровня сложности, которые могут быть предложены обучающимся в старших классах.
1. Этапы формирования навыков решения оптимизационных задач
при изучении математики
Развитие умений решать задачи оптимизации, как уже отмечалось, осуществляется на протяжении всего времени изучения математики в школе и начинается с простейших задач выбора на дискретных множествах, которые решаются обычным перебором вариантов. Подобные задачи встречаются в перечне практико-ори-ентированных заданий № 5 ОГЭ по математике, в которых требуется, например, определить оптимальный вариант использования посевных площадей с целью максимизации массы урожая либо найти наиболее дешевый вариант покупки товара из списка предложенных и подходящих по всем допустимым параметрам. Также следует отметить наличие в курсе алгебры основной школы подводящих задач, касающихся исследования элементарных функций. К ним относятся:
• задания на изучение поведения линейной функции, в зависимости от углового коэффициента и свободного члена, поиск ее наибольшего и наименьшего значения на некотором промежутке;
• задания на изучение свойств квадратичной функции, ее промежутков возрастания и убывания, знакопостоянства, поиск экстремумов с использованием формулы вершины параболы;
• задания на исследование свойств прочих элементарных функций, таких как У — л[х, У — \х\.
При этом следует отметить наличие во всех современных учебно-методических комплексах по математике (алгебра 7-9 УМК Ю. Н. Макарычева, УМК «Лаборатория А. Г. Мордковича», УМК А. Г. Мерзляка и др.) достаточно большого объема заданий, посвященных вопросам отработки навыков исследования свойств элементарных функций, решаемых в курсе алгебры 9-го класса.
В старших классах средней школы систематизируются и обобщаются знания, касающиеся ранее изученных функций, а также изучаются новые виды зависимостей. К решению же оптимизационных задач учащиеся возвращаются после изучения понятия производной. Использование производной непрерывной дифференцируемой функции одной переменной, таким образом, является основным инструментом решения задач оптимизации в курсе алгебры и начал анализа во всех используемых УМК (например, алгебра и начала математического анализа (10-11) УМК А. Г. Мерзляка, УМК Ю. М. Калягина, УМК Ш. А. Алимова) [3]. Заметим также, что изучение производной в каждой линейке УМК представлено достаточно полно, подробно, подкреплено большим количеством задач как теоретического плана, так и имеющих практико-ориентированный контекст из физико-технической предметной области.
Решение оптимизационных задач на базовом уровне также нашло отражение в задачах № 8 и № 12 актуальной версии ЕГЭ по профильной математике. Более сложные задачи оптимизации, предлагаемые для решения во второй части экзаменационных материалов по профильной математике, можно увидеть в заданиях
№ 16 и № 18, направленных на проверку умений составлять и исследовать математические модели реальных процессов, а также решать задачи с параметром.
Нельзя также оставить без внимания достаточно большой блок оптимизационных задач по теме «Моделирование и формализация», присутствующий в курсе информатики 9-11-х классов, отраженный в УМК многих авторов, решение которых осуществляется при помощи разработки информационных моделей и программирования [4].
2. Формирование навыков решения задач с параметрами в школьном курсе математики
Развитие аналитических способностей учащихся в ходе обучения математике происходит в том числе при разборе задач, допускающих различные варианты решения и имеющих несколько ответов, удовлетворяющих условию. Подобные задания относятся к группе нестандартных, развивающих задач и присутствуют в ограниченном объеме во всех УМК по математике, начиная с начальной школы.
Первые задачи, подводящие к параметрическим, появляются уже в 5-м классе при изучении простейших линейных уравнений, они представляют собой линейные уравнения с двумя переменными, значение одной из которых заранее известно. В 6-м классе появляются первые задачи, в которых предлагается исследовать представленное линейное уравнение с двумя переменными на наличие или отсутствие действительных, целых или натуральных решений в зависимости от значения одного из параметров.
В дальнейшем задачи на определение значения параметра, при котором решение уравнения или системы уравнений удовлетворяет заданному условию, регулярно встречаются в курсе алгебры основной школы при изучении линейных, квадратных, дробно-рациональных, простейших иррациональных уравнений и их систем. Также имеются параметрические задачи, содержащие линейные и квадратные неравенства, а также их системы [5].
Следующим шагом к расширению постановок и усложнению задач с параметром является начало изучения функциональных зависимостей. Так, использование свойств квадратичной функции позволило включить в список решаемых задач курса алгебры 9-го класса поиск значений параметра, при которых квадратичная функция удовлетворяет определенным требованиям, накладываемым на нули функции, промежутки возрастания и убывания, промежутки знакопостоянства, точки экстремума. При этом решение этих задач осуществляется как аналитическим методом, так графически [6].
Построение графиков функциональных и нефункциональных зависимостей, пучков параллельных и пересекающихся прямых применимо для решения параметрических линейных, нелинейных уравнений и их систем, а также прочих параметрических задач, представленных в задании № 22 ОГЭ по математике. Отметим, что все рассматриваемые в школьной программе параметрические задания имеют высокий и повышенный уровень сложности.
В старших классах средней школы с расширением перечня изучаемых функций, уравнений, неравенств и их систем соответственно значительно увеличивается
разнообразие видов задач с параметром, которые также нашли отражение в заданиях № 18 ЕГЭ по профильной математике.
3. Особенности параметрических задач оптимизации в курсе алгебры и начал
анализа средней школы
Оптимизационные задачи с параметром начинают рассматриваться еще в курсе алгебры 9-го класса при изучении квадратичной функции. Для их решения используется либо графический метод, либо аналитические формулы дискриминанта, корней квадратного уравнения, вершины параболы и пр. В частности, в учебнике алгебры 9-го класса из УМК А. Г. Мерзляка [7] предлагается следующая задача.
Пример 1. При каком значении а сумма квадратов корней уравнения X2 + ах + а — 2 = 0 будет принимать наименьшее значение?
Заметим, что требование минимизации критерия, равного сумме квадратов корней данного уравнения, определяет эту задачу в разряд оптимизационных.
С началом изучения производной функции в старших классах средней школы в учебниках всех авторов также появляются задачи высокого уровня сложности, в которых предлагается исследовать поведение функции в зависимости от значений неизвестных числовых коэффициентов, параметров. Подобные задачи присутствуют в УМК многих авторов. Например, в учебнике «Алгебра и начала анализа» за 11-й класс УМК Ю. М. Калягина [8] предлагаются задания следующего плана.
Пример 2. При каких значениях а функция f(pc) = X3 — 3ах2 + 11X — 5 имеет единственную стационарную точку?
Пример 3. Найти все значения Ь, при каждом из которых производная функции /(х) = sin 2х — 8(Ь + 2) cos X — (4b2 + 16b + 6)х отрицательна на всей числовой прямой.
Следует отметить, что в большинстве своем предлагаемые задачи, в конечном счете, сводятся к исследованию квадратичных функций, свойства которых хорошо известны учащимся, а методы решения становятся уже стандартными на данном этапе обучения. Также среди заданий с параметром, предлагаемым для изучения при подготовке к ЕГЭ по профильной математике, присутствует некоторое количество задач, по сути либо являющихся оптимизационными, либо использующих для решения оптимизационные методы.
Пример 4. Найдите, при каких неотрицательных значениях а функция f(x) = Зах4 — Sx3 + Зх2 — 7 на отрезке [-1; 1] имеет ровно одну точку минимума [8].
Также на профильном ЕГЭ по математике в 2019 г. предлагалась следующая задача.
Пример 5. Найдите все значения а, при каждом из которых наименьшее значение функции fix) = ах — а — 1 + \х2 — 4х + 3| меньше (-2).
Разумеется, применение методов теории оптимизации и аппарата высшей математики с расширением размерности пространства позволяют более-менее единообразно решать подобные задачи, однако на школьном уровне такие методы не изучаются. К тому же некоторые оптимизационные задачи с параметром можно решать элементарными
методами, что делает их решение простым и доступным для понимания школьниками [9]. Ограниченное количество учебного материала, касающееся параметрических задач, в частности и оптимизационных, требует увеличения объема задач параметрической оптимизации, доступных для решения в средней школе, например, в рамках дополнительных занятий по математике.
4. Оптимизационная задача с параметром
Рассмотрим параметрическую задачу оптимизации, которую можно предлагать обучающимся, знающим свойства степенных функций, владеющим навыками отыскания рациональных корней многочленов и использования производных для исследования функций с целью закрепления указанных навыков.
Необходимо исследовать на экстремум функцию
11 1
/О) = -х4 - - (2а - З)х3 - - (а - 1)2х2 + (2а3 - Та2 + 8а- 3)х + 1, 4 3 2
где а - действительное число.
Решение.
Прежде чем искать производную и приравнивать ее к нулю, следует обратить внимание учащихся на то, что заданная функция является степенной функцией четвертой степени, которая определена на всей числовой прямой, непрерывна, а также lim-^+oo f(x) = оо. Это означает, что на промежутке (—оо; Ь] функция будет убывать, а на промежутке [с; +оо) - возрастать, где Ъ и С - некоторые числа. А значит, эта функция будет иметь хотя бы одну точку минимума при любом значении параметра а.
Производная заданной функции легко находится и имеет вид:
f'(x) =х3- (2а - 3)х2 - (а2 -2а + 1)х + 2а3 - 7а2 + 8а - 3.
Для поиска стационарных точек необходимо найти корни полученного многочлена с параметрическими коэффициентами. В общем случае задача такого типа является достаточно сложной, однако в данном примере предполагается, что указанный многочлен можно разложить на множители, не решая кубическое уравнение общего вида. Так как старший коэффициент представленного многочлена равен единице, то можно попробовать поискать его корни среди делителей свободного члена, для чего предварительно необходимо и свободный член разложить на множители.
Рассмотрим свободный член многочлена и разложим его на множители. Для этого введем многочлен
д(а) = 2а3 - 7а2 + 8а-3.
Все его рациональные корни принадлежат следующему множеству чисел:
Проверяя эти числа с помощью простой подстановки либо по схеме Горнера, получим разложение:
д(а) = 2(а - I)2 (а - = (а - 1)2(2а - 3).
Таким образом, будем искать корни производной f'(x) на следующем множестве чисел: {+(а — 1); +(2а — 3)}. Можно также использовать схему Горнера, однако в данном случае проще воспользоваться методом группировки:
f'(x) =х3- (2а - 3)х2 -(а - 1)2х + (а- 1)2(2а - 3) = = х2(х - С2а - 3)) - (а - 1)2(х - (2а - 3)) = = (х2 - (а - 1)2)(х - (2а - 3)) = (х + (а - 1))(х - (а - 1))(х - (2а - 3)).
Получим следующие стационарные точки:
хг = а — 1; х2 = —а + 1; х3 = 2 а — 3.
Если эти точки различны, то получим три различных корня ^хЛгЛъ многочлена третьей степени, а значит, в этих точках функция f'(x) будет менять свой знак. Следовательно, с учетом убывания функции f(x) на интервале (—°о; fj], и возрастания на интервале [£3; +00), f(x) имеет две точки минимума и одну точку максимума.
Выделим случаи кратных корней производной. Возможны следующие варианты:
1) Х1 =
а — 1 = —а + 1> а = 1
2) xi =
а — 1 = 2а — 3>
4
а = -
з
3) х2 = *3;
—а + 1 = 2а — 3; а = Ъ
Заметим, что случай хг= х2= х3 невозможен. В рассмотренных случаях производная f'(x) имеет двукратный корень, в котором она не меняет знак, и однократный корень, являющийся точкой минимума.
Ответ: при а Е jl; функция имеет одну точку экстремума - точку минимума; в остальных случаях функция имеет три точки экстремума: две точки минимума и одну точку максимума.
Представленная задача значительно усложнится, если в условие добавить требование, аналогичное указанному в примере 4.
Разумеется, если применить к этой задаче аппарат исследования операций, то ее можно решить и другими способами, однако в данном случае было необходимо реализовать решение методами, доступными учащимся средней школы.
Заключение
Оптимизационные модели описывают широкий диапазон прикладных проблем и применяются в инженерии, военном деле, экономике, и многих других областях человеческой деятельности, находясь на стыке наук: математики и информатики.
В школьном курсе на этих дисциплинах рассматривается достаточное количество задач подобного типа, однако при этом системный взгляд на оптимизационные задачи не формируется.
При изучении оптимизационных моделей отсутствует согласованная межпредметная подача теоретического и практического материала, которая бы обеспечивала их эффективное изучение в рамках указанных дисциплин. И это несмотря на то, что оптимизационные задачи присутствуют в заданиях ЕГЭ с развернутым ответом и по профильной математике, и по информатике. Отдельно следует упомянуть и оптимизационные задачи с параметром, которые могут быть предложены на ЕГЭ по профильной математике при решении задания № 18.
Для преодоления указанных противоречий можно предложить разработку и внедрение междисциплинарного элективного курса «Основы оптимизации», в рамках которого необходимо рассмотреть комплексный подход к оптимизационным задачам, рассматриваемым на математике и информатике [10].
Данный курс должен содержать темы, посвященные исследованию основных математических зависимостей и их графиков, применению производной для исследования функций на экстремум, решению простейших задач линейного и нелинейного программирования, а также оптимизационных задач с параметром. Разработка и внедрение данного элективного курса будет способствовать формированию системы знаний в области оптимизации и обеспечит высокий уровень подготовки обучающихся при решении оптимизационных задач в различной постановке.
Также следует уделить внимание решению практических задач школьного уровня, связанных с поиском наилучшего набора параметров, в области химии, физики, информатики, инженерии, экономики, биологии, которые могут быть рассмотрены в рамках проектной деятельности по различным дисциплинам [11; 12]. Разработка проекта может осуществляться с использованием математического аппарата и информационного сопровождения, рассматриваемого на элективном курсе с привлечением соруководителей из других предметных областей.
Список литературы
1. Приказ Минобрнауки России от 17.05.2012 № 413 (ред. от 11.12.2020) «Об утверждении федерального государственного образовательного стандарта среднего общего образования». URL: https://fgos.ru/fgos/fgos-soo/ (дата обращения: 22.10.2023).
2. Насонова Е. Д. Задачи на оптимальный выбор как средство развития функциональной грамотности в основной школе // Заметки Ученого. 2022. № 12. С. 88-90.
3. Свердлова О. Л., Кондратьева Л. М., Давидюк В. В. Применение производной функции при решении оптимизационных задач // Современные технологии и научно-технический прогресс. 2023. № 10. С. 231-232.
4. Штепа Ю. П. Роль обучения решению задач по информационному моделированию для развития ИКТ-компетентности старшеклассников // Вестник ДВГСГА. Сер. 1: Гуманитарные науки. 2009. № 1 (2). С. 28-44.
5. Файзулина А. Н. Линия задач с параметрами в школьном курсе алгебры // Актуальные проблемы современного образования. 2023. № 9 (34). С. 195-201.
6. Хубаева Н. Х. Особенности решения заданий с параметрами на уроках математики в средней школе // National science journal. 2023. № 7. С. 7-13.
7. Алгебра. 9 класс: учебник / А. Г. Мерзляк [и др.]. М.: Вентана-Граф, 2023. 320 с.
8. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учебник / Ю. М. Калягин [и др.]. М.: Просвещение, 2022. 384 с.
9. Леонтьева Н. В. Методические аспекты обучения школьников решению математических задач повышенной сложности // Вестн. Томского гос. пед ун-та. 2023. № 2 (226). С. 16-25.
10. Насонова Е. Д., Грибанова-Подкина М. Ю. Системный подход к изучению оптимизационных задач в школьном курсе математики и информатики // Continuum. Математика. Информатика. Образование. 2021. № 4. С. 32-50.
11. Сорокин А. Н. Организация проектной деятельности с использованием программируемого комплекса Arduino // Азимут научных исследований: педагогика и психология. 2023. Т. 12, № 2 (43). С. 91-94.
12. Власов Д. А. Элементы математических методов в экономике в контексте профессиональной ориентации школьников // Профессиональная ориентация. 2018. № 1. С. 27-30.
References
1. Prikaz Minobrnauki Rossii ot 17.05.2012 № 413 (red. ot 11.12.2020) "Ob utverzhdenii federalnogo gosudarstvennogo obrazovatelnogo standarta srednego obshchego obrazovaniya". Available at: https://fgos.ru/fgos/fgos-soo/ (accessed: 22.10.2023).
2. Nasonova E. D. Zadachi na optimalnyy vybor kak sredstvo razvitiya funktsionalnoy gramotnosti v osnovnoy shkole. Zametki Uchenogo. 2022, No. 12, pp. 88-90.
3. Sverdlova O. L., Kondratyeva L. M., Davidyuk V. V. Primenenie proizvodnoy funktsii pri reshenii optimizatsionnykh zadach. Sovremennye tekhnologii i nauchno-tekhnicheskiy progress. 2023, No. 10, pp. 231-232.
4. Shtepa Yu. P. Rol obucheniya resheniyu zadach po informatsionnomu modelirovaniyu dlya razvitiya IKT-kompetentnosti starsheklassnikov. Vestnik DVGSGA. Ser. 1: Gumanitarnye nauki. 2009, No. 1 (2), pp. 28-44.
5. Fayzulina A. N. Liniya zadach s parametrami v shkolnom kurse algebry. Aktualnye problemy sovremennogo obrazovaniya. 2023, No. 9 (34), pp. 195-201.
6. Khubaeva N. Kh. Osobennosti resheniya zadaniy s parametrami na urokakh matematiki v sredney shkole. National science journal. 2023, No. 7, pp.7-13.
7. Merzlyak A. G. et al. Algebra. 9 klass: textbook. Moscow: Ventana-Graf, 2023. 320 p.
8. Kalyagin Yu. M. et al. Algebra i nachala matematicheskogo analiza. 11 klass: textbook. Moscow: Prosveshchenie, 2022. 384 p.
9. Leontyeva N. V. Metodicheskie aspekty obucheniya shkolnikov resheniyu matematicheskikh zadach povyshennoy slozhnosti. Vestn. Tomskogogos. ped un-ta. 2023, No. 2 (226), pp. 16-25.
10. Nasonova E. D., Gribanova-Podkina M. Yu. Sistemnyy podkhod k izucheniyu optimizatsionnykh zadach v shkolnom kurse matematiki i informatiki. Continuum. Matematika. Informatika. Obrazovanie. 2021, No. 4, pp. 32-50.
11. Sorokin A. N. Organizatsiya proektnoy deyatelnosti s ispolzovaniem programmiruemogo kompleksa Arduino. Azimut nauchnykh issledovaniy: pedagogika ipsikhologiya. 2023, Vol. 12, No. 2 (43), pp. 91-94.
12. Vlasov D. A. Elementy matematicheskikh metodov v ekonomike v kontekste professionalnoy orientatsii shkolnikov. Professionalnaya orientatsiya. 2018, No. 1, pp. 27-30.
Интернет-журнал «Проблемы современного образования» 2024, № 4
Статья поступила в редакцию 06.11.2023 The article was received on 06.11.2023
