CC BY
130
УДК 378.147:518 ББК Ч 486.29
Е. И. Холмогорова
Изучение курса «численные методы» в вузе
В статье рассматривается двухэтапный подход к изучению курса «Численные методы» в вузе. Первый этап -обучение применению численных методов с помощью математических пакетов. Второй этап - обучение программированию численных методов с помощью функциональных языков программирования.
Ключевые слова: численные методы, прикладные математические пакеты, функциональные языки программирования
E. I. Kholmogorova
Studying the course "numerical methods" at institutions of higher education
The article deals with a two-stage approach for studying the course "Numerical methods" at institutions of higher education. The first stage is teaching application of numerical methods with the help of mathematical packages. The second stage is teaching numerical methods programming with the help of functional programming languages.
Key words: Numerical methods, mathematical application package, functional programming languages
Информационные и коммуникационные технологии решительно вторгаются в научнопрактическую и образовательную деятельность. Стремительно повышаются требования к уровню подготовки в этой сфере специалистов различных областей. Одной из важнейших дисциплин профессиональной подготовки будущего учителя становится вычислительная математика, которая развивает идеи численного решения задач, возникающих в процессе компьютерного математического моделирования реальных явлений в различных предметных сферах.
Численные методы, вычислительная математика - это раздел прикладной математики, в котором производится разработка, обоснование и реализация методов приближенного решения разнообразных задач на уровне математических моделей. Численный анализ математических моделей - метод, алгоритм, программа, вычислительный эксперимент - является в настоящее время актуальным и наиболее эффективным аппаратом конструктивного исследования прикладных проблем.
Курс «Численные методы» - один из способов изучения приближенных вычислений, который позволяет систематизировать знания, полученные в таких разделах информатики, как «алгоритмизация», «языки и методы программирования», «информационные технологии», и применять эти знания к решению различных задач вычислительной математики. Рациональное и грамотное использование средств компьютерных технологий является обязательным качеством современного специалиста практически любой области деятельности. Поэтому целью курса «Численные методы» является построение математических моделей для решения специальных задач, формирование навыков решения задач математическими методами, обработка результатов эксперимента статистическими методами. Будущий специалист должен овладеть следующими ключевыми компетентностями:
• быть теоретически подготовленным к решению профессиональных задач;
• быть готовым к практическому применению информационных технологий и законов математики в профессиональной деятельности.
• знать различные методы численного решения одной и той же задачи, правила учета погрешностей.
Цель реализуется выполнением следующих задач:
• сформировать у студентов в систематизированной форме понятия о приближенных (численных) методах решения прикладных задач, источниках ошибок и методах оценки точности результатов;
• привить студентам навыки в применении численных методов в различных сферах практической деятельности;
• углубить представление о применении информационных технологий в приложениях математики (физики);
• закрепить и углубить навыки программирования и работы с пакетами прикладных программ.
Реализация компетентностного подхода должна предусматривать широкое использование в
учебном процессе активных и интерактивных форм проведения занятий в сочетании с внеаудиторной работой с целью формирования и развития профессиональных навыков студентов. Полученные
в курсе «Численные методы» знания студенты применяют при исследовании математических моделей в курсе компьютерного моделирования.
Численные методы носят компьютерно ориентированный характер. Курс «Численные методы» несет интегративную нагрузку - здесь необходимы прочные знания курса линейной алгебры и математического анализа, основы алгоритмизации и построения математических моделей, основы программирования. Таким образом, дисциплина широко использует межпредметные связи.
Главная особенность обучения основам численных методов, которая все отчетливее проявляется в последние годы, связана с интенсификацией процессов использования различных специализированных математических пакетов и систем программирования вычислительных методов как инструмента решения прикладных задач. В связи с этим явное включение в содержание дисциплины вопросов, раскрывающих применение современных информационных технологий в прикладной математике, является необходимым требованием времени.
Теория приближенного решения математических задач постоянно пополняется все более совершенными численными методами, появление которых стимулируется как особенностями машинной математики, так и расширением функциональных возможностей прикладных программных средств. Все это требует определенного уровня понимания, который необходимо обеспечить в рамках дисциплины «Численные методы».
При построении курса численных методов необходимо ответить на принципиальный вопрос: нужно ли студентов учить программировать численные методы или их нужно учить применять численные методы? Хотя в разных вузах изучение курса «Численные методы» зависит от направления вуза, все-таки лучше использовать оба подхода. Многие преподаватели дисциплины «Численные методы» последнее время стали отдавать предпочтение различным математическим пакетам (Maple, Mathematica, MathLab, MathCad и т. д.), и изучение курса «Численные методы» стало сводиться к изучению выбранных программных продуктов и решению различных математических задач с помощью этих пакетов. Почему так произошло?
Главным преимуществом использования математических пакетов является значительная экономия времени при изучении различных разделов курса. Ведь при использовании математических пакетов не надо тратить время на программную реализацию какого-либо алгоритма и отладку получившейся программы, а достаточно только ввести в математический пакет данные конкретной задачи и сразу получить ее решение. Вторым плюсом является возможность наглядного представления полученных результатов, все современные математические пакеты позволяют представить различные числовые выражения в виде графиков, причем графики могут иметь различную сложность. К тому же, математические пакеты могут не только строить график, но и рассматривать его с различных углов. Применение при преподавании курса математических пакетов позволяет не думать о деталях реализации методов, а сосредоточиться на их применении для решения практических задач.
Для преподавателей численных методов в вузах существует еще ряд плюсов, связанных с тем, что математические пакеты позволяют проводить решение практических задач и анализировать полученные результаты за более короткий срок. Это вызвано прикладной направленностью изучения данной дисциплины.
Если преподаватели станут учить студентов только работе в математических пакетах, почти не уделяя времени теоретическим основам курса и реализации изученных алгоритмов на языках программирования, то в этом случае мы получим большое количество грамотных пользователей, способных решать прикладные задачи с помощью математических пакетов. Но что делать, если для решения поставленной задачи ни в одном математическом пакете не окажется готовой функции. Чтобы не возникла такая проблема, необходимо уделять время не только решению прикладных задач численных методов с помощью математических пакетов, но и теоретическим основам курса и программированию алгоритмов. В результате студенты смогут выбирать пути решения прикладной задачи, определять эффективность этих путей и реализовывать имеющиеся алгоритмы на компьютере. При отсутствии готового алгоритма решения задачи, студенты смогут самостоятельно разработать и реализовать различные алгоритмы.
Но и в этом случае имеется ряд недостатков. Во-первых - это большие временные затраты при детальном изучении алгоритмов, уже имеющихся в курсе, и их обосновании возникает проблема недостатка времени. Реализация всех алгоритмов на языке программирования, то есть создание и отладка программы, так же занимает много времени. Поэтому для программирования численных методов лучше использовать функциональные языки программирования. Функциональные языки применяются преимущественно для научных вычислений. Это языки сверхвысокого уровня, и основное их назначение - реализация сложных вычислительных алгоритмов. При этом производитель-
140
ность полученной программы может превышать производительность эквивалентной программы на языках типа C/C++. Время же, затраченное на разработку и отладку, а также качество и читабельность кода просто несопоставимы.
Функциональное программирование - раздел дискретной математики и парадигма программирования, в которой процесс вытисления трактуется как вытисление значений функций в математическом понимании последних (в отличие от функций как подпрограмм в процедурном программировании).
Императивные программы имеют склонность акцентировать последовательность шагов для выполнения какого-то действия, а функциональные программы к расположению и композиции функций, часто не обозначая точно последовательность шагов. В отличие от императивного стиля, описывающего шаги, ведущие к достижению цели, функциональный стиль описывает математические отношения между данными и целью.
В выборе средств обучения курсу «Численные методы» надо основываться на целях и задачах вуза. Но нельзя выбирать только одну ветвь направления (только изучение математических пакетов или только программирование и теория). Необходимо использовать все средства обучения, чтобы учащиеся могли сделать для себя выбор, чем пользоваться в дальнейшем.
Сегодня представляется целесообразным начинать обучение с применения численных методов и лишь после овладения каким-либо из стандартных пакетов переходить к программированию численных методов. Первый этап можно условно назвать уровнем пользователя, а второй - уровнем профессионала. На первом этапе студенты учатся применять стандартные численные методы, заложенные в пакет, а на втором - программировать численные методы и создавать интерфейс.
К сожалению, не все преподаватели данной дисциплины знают программирование и/ или математические пакеты на достаточном уровне, чтобы использовать на занятиях оба подхода. Таким образом, можно сделать вывод, что курс «Численные методы» можно и нужно изучать в два этапа, вначале с помощью любого математического пакета, а после того как студенты поймут суть методов, можно переходить к их программированию на функциональных языгках программирования.
Список литературы
1. Беликов В. В. Обучение численным методам в условиях информатизации образования. URL: http://cis.rudn.ru/document/show.action
2. Водолазская И. В. Об одном из вариантов использования компьютеров в процессе обучения в техническом университете / / Физическое образование в вузах. 2001. № 1, С. 98-106.
3. Ляхов А. Ф. Современные IT технологии и проблемы преподавания курса «Численные методы» на математических факультетах/ URL: http://www.it-education.ru/2008/reports/Lyakhov.htm
4. Ляхов А. Ф., Петрова О. С. Основы методов проектирования систем компьютерного назначения / / Мат. вестник пед. вузов и университетов Волго-Вятского региона. 2004. № 7. СЧ. 12.
5. Розина И. Н. Педагогическая коммуникация в электронной образовательной среде: исследовательские и образовательные подходы / / Педагогическая информатика. 2004. № 1.
УДК 517.956 ББК В 311
С. Е. Холодовский, Н. Н. Шадрина
Решение первой краевой задачи для уравнения Лапласа в полосе с трещиной (завесой)
Выведены формулы, позволяющие по известному решению классической задачи Дирихле в полуплоскости, строить решения первой краевой задачи в кусочно-однородной полосе с трещиной (завесой), параллельной границам полосы.
Ключевые слова: краевые задачи, трещины, завесы, метод свертывания разложений Фурье.
S. Ye. Kholodovskiy, N. N. Shadrina
Solution of the first boundary value problem for Laplas equation in the strip with a crack (screen)
There have been derived formulas that make it possible with the known solution of the Dirichle task in the semiflatness to construct solutions of the first boundary value problem in the piece-homogeneous strip with a crack (screen) that is parallel to the boundaries of the strip.
Key words: boundary value problems, crack, screen, a method of convolution of Fourier expansions.
