CC BY
52УДК 372.851
Кривоплясова Е.В., канд.пед.наук, доцент Давлетова Р.А., студентка 5 курса ФГБОУВО ОГПУ (Оренбург, Россия)
ИЗУЧЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ
ИНФОРМАТИКИ
Аннотация. В статье рассмотрена одна из интереснейших тем в курсе математики и информатики - теория множеств. Изучение элементов теории множеств способствует развитию логического мышления детей в любом возрасте. Проведет анализ ряда учебно-методических комплексов по информатике на вопрос изучения элементов теории множеств в школе.
Ключевые слова, методика обучения информатике, теория множеств, элементы множеств, диаграмма Эйлера-Венна
На сегодняшний день в качестве одного из планируемых предметных результатов изучения курса информатики в основной школе, согласно действующей версии примерной основной образовательной программы основного общего образования, является умение «определять количество элементов во множествах, полученных из двух или трех базовых множеств с помощью операций объединения, пересечения и дополнения», достигаемое в процессе изучения следующего содержания. «Множество. Определение количества элементов во множествах, полученных из двух или трех базовых множеств с помощью операций объединения, пересечения и дополнения»[6]. Кроме того, элементы теории множеств включены в государственную итоговую аттестацию по информатике (задание № 8 в ОГЭ). Поэтому необходимо уделить внимание изучению теории множеств в школьном курсе информатики. Из вышеуказанного следует актуальность выбранной темы.
Множество - это совокупность объектов, объединенных некоторыми общими признаками. Примерами множеств могут служить, множество целых чисел, множество букв русского алфавита, множество всех жителей Оренбурга и т.п. Для наглядного изображения множеств часто используют диаграммы Эйлера-Венна, названные в честь авторов Леонарда Эйлера и Джона Венна. Точками внутри могут обозначать за элементы данного множества (рис. 1).
Рис. 1. Множество А
Множества, содержащие конечное число элементов, называют конечными множествами. Примером такого множества может являться множество студентов физико-математического факультета. Количество элементов в конечном множестве А называется мощностью этого множества.
Проанализируем основные учебно-методические комплекты (далее УМК), используемые в обучении, на предмет изучения элементов теории множеств в основной школе.
В УМК по предмету «Информатика» 7-9 класс, автором которого является Босова Л.Л., множества изучаются в 8 классе [1, 3].
В учебнике по информатике для 8 класса данная тема представлена в главе 1 «Математические основы информатики» в §1.3 «Элементы теории множеств и комбинаторики» перед изучением элементов алгебры логики. Основные понятия, рассматриваемые на уроке: множество, подмножество, объединение множеств, пересечение множеств, дополнение. Весь материал разбивается три пункта: «Множество», «Операции над множествами», «Правила суммы и произведения».
В первом пункте вводится понятие «множество», выделены 2 способа задания множеств: перечисление всех его элементов и словесное описание. Здесь же рассматриваются и круги Эйлера. Далее автор знакомит обучающихся с понятиями элемента множества, подмножества, пустого множества, универсального множества. Для операций над множествами даны чёткие определения и их наглядное изображение с помощью кругов Эйлера. Также автор вводит понятие мощности множества. В конце параграфа зафиксированы основные определения, изученные на уроке.
После изложения материала к параграфу имеются вопросы и задания. В рабочей тетради этого же автора также можно найти задания по данной теме.
Материал всего параграфа сопровождается достаточным количеством примеров. При представлении материала автор использует наглядность. Тема изложена доступным языком.
В УМК по предмету «Информатика» 7-9 класс, автором которого является Угринович Н. Д., множества изучаются в 9 классе [1,7].
В учебнике по информатике для 9 класса данная тема представлена в главе 3 «Логика и логические основы компьютера» в пункте 2 «Алгебра множеств» после изучения алгебры логики. Знакомство с темой начинается с введения понятий «множество», «элемент множества», «пустое множество», «универсальное множество». Автор также выделяет способы задания множеств и операции над множествами. В конце проводится аналогия между логическими операциями и операциями над множествами, что позволяет обучающимся видеть связь с изученной ранее темой.
После изложения материала к параграфу имеются вопросы и задания. В рабочей тетради этого же автора задания по данной теме отсутствуют.
При представлении материала используется наглядность (круги Эйлера). Тема изложена доступным языком.
В УМК по предмету «Информатика» 7-9 класс, автором которого является Поляков К. Ю., множества изучаются в 9 классе [1,4].
В учебнике по информатике для 9 класса данная тема представлена в главе 2 «Математическая логика» в §12 «Множества и логика» после изучения «Логических выражений». Основные понятия, рассматриваемые на уроке: множество, дополнение, пересечение, объединение, диаграмма Эйлера-Венна, поисковый запрос. Весь материал разбивается четыре пункта: «Множества», «Диаграммы Эйлера-Венна», «Количество элементов во множестве», «Сложные запросы в поисковых системах».
Понятие «множество» вводится в первом пункте. Для конечных, бесконечных и пустых множеств автор не даёт чёткого определения, они описываются через количество элементов, содержащихся в них. Второй пункт посвящён диаграммам Эйлера-Венна. Операции над множествами вводятся с помощью этих диаграмм. Далее автор показывает, как вычислить количество элементов множества в тех или иных случаях. В последнем пункте рассматриваются задачи, решаемые с помощью множеств. А именно задачи, связанные с запросами для поисковых систем. В конце параграфа даются краткие выводы.
После изложения материала предлагается выполнить задание: зафиксировать в тетради интеллект-карту этого параграфа. В рабочей тетради этого же автора также можно найти задания по данной теме.
Материал всего параграфа сопровождается достаточным количеством примеров. При представлении материала автор использует наглядность. Тема изложена доступным языком.
Результаты анализа отобразим в таблице 1.
Таблица 4.
Сравнительный анализ УМК на предмет изучения элементов теории множеств
^^^^^АвторУМК Критерий сравнения ^^^^^^^^ Босова Л.Л. Угринович Н.Д. Поляков К.Ю.
Наличие теоретического + + +
материала
Уровень материала Базовый Базовый Базовый/ Углублённый
Основные понятия множество, подмножество, объединение множеств, пересечение множеств, дополнение. множество, универсальное множество, пересечение множеств, объединение множеств, дополнение, множество, дополнение, пересечение, объединение, диаграмма Эйлера-Венна, поисковый запрос.
разность множеств.
Наличие примеров + + +
Наглядность + + +
Наличие контрольных
вопросов и заданий к параграфу в учебнике + + ±
Наличие заданий в рабочей + +
тетради
На примере этих же УМК рассмотрим методические особенности обучения элементам теории множеств.
Таким образом, можно сделать вывод о том, что тема, связанная с теорией множеств, наиболее удачно раскрывается в учебниках Босовой Л.Л. и Полякова К. Ю.. Однако во всех трёх УМК отсутствуют задачи с занимательным содержанием. Задания, предлагаемые авторами, скорее носят «тренировочный» характер. Для развития обучающихся нужно ставить нестандартные задачи «практического» характера, способ решения которых они не знают. Отсюда возникает необходимость в разработке системы таких задач, которые позволят освоить обучающимся теорию множеств не на поверхностном, а на более глубоком уровне.
Система задач по теме «Элементы теории множеств» будет включать:
1) задачи на понятие множества, элемента множества;
2) задачи на операции над множествами;
3) задачи на запросы в поисковых системах;
4) задачи, решаемые с помощью диаграмм Эйлера-Венна.
Задания на понятие множества, элемента множества:
1) Путем перечисления всех элементов задайте:
а) множество букв в слове «информатика»;
б) множество всех цифр, которые используются для записи чисел в
шестеричной системе счисления;
в) множество нечётных двухзначных чисел, кратных семи.
2) Определите количество элементов в следующих множествах:
а) множество героев сказки «Колобок»;
б) множество решений уравнения: (х-3)(х+4)(х-2)=0.
3) В данном множестве все элементы, кроме одного, обладают некоторым свойством. Опишите это свойство и найдите элемент, не обладающий им.
а) {зеленый, фиолетовый, голубой, длинный, красный};
б) {2; 18; 12;13; 54};
в) {Paint;GIMP;Word; AdobePhotoshop}.
Задачи на операции над множествами
1) Множество А - школьники, участвующие в соревновании по лёгкой атлетике, множество В - школьники, участвующие в соревновании по шахматам. Осуществите следующие операции АПВ, А иВ, А\В, В\А и дайте им графическую интерпретацию с помощью диаграмм Эйлера-Венна, если A = {Галямов, Оверчук, Парфёнов, Казанин}^ = {Горбуков, Виньков, Галямов}.
2) Определите, из каких элементов состоит множество С, если известно, что: А -множество студентов филологического факультета, В - множество всех студентов педагогического университета и С = А П В?
3) Согласно статистике 60% города владеют английским языком, а 30% - немецким. На обоих языках могут разговаривать 10%. Каков процент людей этого города, не владеющих ни одним из языков?
Задачи на запросы в поисковых системах
1) Ниже приведены результаты поисковых запросов в сети Интернет (символ « » обозначает операцию И, а «|» - операцию ИЛИ)._
Запрос Найдено страниц (в тысячах)
соборы замки 800
замки 650
соборы замки 210
Сколько страниц (в тысячах) будет найдено по запросу соборы?
2) Ниже приведены результаты поисковых запросов в сети Интернет (символ « » обозначает операцию И, а «|» - операцию ИЛИ)._
Запрос Найдено страниц (в тысячах)
подарки ёлки 430
фейерверки ёлки 390
(фейерверки подарки)ёлки 560
Сколько страниц (в тысячах) будет найдено по запросу фейерверки подарки ёлки? 3) Ниже приведены результаты поисковых запросов в сети Интернет (символ « » обозначает операцию И, а «|» - операцию ИЛИ)._
Запрос Найдено страниц (в тысячах)
Италия Греция 350
Греция (Италия Чехия) 558
Италия Греция Чехия 220
Сколько страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Греция Чехия?
Задачи, решаемые с помощью диаграмм Эйлера-Венна.
1) 100 человек принимали участие в опросе. Цель опроса заключалась в том, чтобы выяснить, каким социальным сетям люди отдают предпочтение: «Вконтакте», «Instagram» или «^кТок». В результате 12 человек назвали «Вконтакте», 21 - «Instagram», 29 - «ЛкТок». Однако среди опрошенных были и те, кто не смог до конца определиться с выбором. Так, 7 человек сказали, что отдают одинаковое предпочтение «Вконтакте» и «Instagram», 15 человек - «^кТок» и «Instagram», 5 человек - «Вконтакте» и «^кТок», а четверо из опрошенных утверждали, что социальными сетями не пользуются вообще. Некоторые ответили, что отдают одинаковое предпочтение и «Вконтакте», и «Instagram», и «^кТок». Сколько было таких людей?
Решение: Решим задачу с помощью кругов Эйлера (Рис. ).
Рис. 2. Решение задачи
Обозначим за I область людей, которые предпочитают «Вконтакте», II - «Instagram», III - «TikTok», IV - «Вконтакте» и «Instagram», V - «TikTok» и «Instagram», VI - «Вконтакте» и «TikTok», VII - «Вконтакте», «Instagram» и «TikTok».
Значит, чтобы узнать, какое количество людей предпочитают все три социальные сети, нужно:
100-12-21-29-7-15-5-4 = 7.
Ответ: 7.
2) У троих друзей имеется общее поле (прямоугольной формы), на котором они вместе выращивают картофель. Друзья поливают картофель по очереди, заранее договариваясь. На этот раз договориться им не удалось, так как следующий день обещал быть нестерпимо жарким и никто не захотел работать в такую погоду. На следующее утро один из друзей, решив, что его товарищи не станут ездить на поле, поехал поливать картофель. Однако из-за жары он не смог закончить работу и полил всего лишь 80 % поля. Через несколько часов, когда вода уже успела впитаться, на поле приехал второй из друзей. Он, как и первый, решил сам полить картофель. Однако работу он не закончил и успел полить лишь 70 % от всего поля. Спустя некоторое время точно также поступил и третий, при этом он полил 60 % поля. Сколько процентов поля заведомо было полито 3 раза за этот день? Считается, что нет участка земли, которое не было полито.
ЛИТЕРАТУРА
1. Авторские мастерские. Информатика. - Текст: электронный // Издательство «БИНОМ. Лаборатория знаний»: [сайт]. - URL: https://lbz.ru/metodist/authors/informatika/ (дата обращения: 21.01.2022).
2. Босова Л.Л. Занимательные задачи по информатике / Л. Л. Босова, А. Ю. Босова, Ю. Г. Коломенская. - 5-е изд. - Москва: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2013. -152 c.
3. Босова Л.Л. Информатика. 8 класс: учебник / Л. Л. Босова, А. Ю. Босова. - 6-е изд. - Москва: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2016. - 176 c.
4. Поляков К.Ю. Информатика. 9 класс / К. Ю. Поляков, Е. А. Еремин. - Москва: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2019. - 288 c.
5. Поляков К.Ю. Информатика. 9 класс: рабочая тетрадь в 2-х ч. Ч. 1 / К. Ю. Поляков, Е.А. Еремин. - Москва: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2019. - 96 c.
6. Примерная основная образовательная программа основного общего образования (одобрена решением федерального учебно-методического объединения по общему образованию, протокол от 08.04.2015 № 1/15). - Текст: электронный // Судебные и нормативные акты РФ: [сайт]. - URL: https://sudact.ru/law/primernaia-osnovnaia-obrazovatelnaia-programma-osnovnogo-obshchego-obrazovaniia/1/1.2/1.2.5/1.2.5.9/ matematicheskie-osnovy-informatiki/ (дата обращения: 20.01.2022).
7. Угринович Н.Д. Информатика: учебник для 9 класса / Н.Д. Угринович. - 4-е изд. - Москва: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2016. - 152 c.
