Изометрии на группе поворотов сдвигов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник КемГУ №3j1 2011 Вещественный анализ

= / ф*ш.

и ПдХ)

Таким образом, выбрав на дХ конечное покрытие и разбиение единицы, подчиненное этому покрытию, получаем (5). □

Литература

[1] Водопьянов, С. К. Интегрирование по Лебегу: учебное пособие / С. К. Водопьянов. - Новосибирск: НГУ, 2011. - 144 с.

[2] Гольдштейн, В. М. Дифференциальные формы на липшицевом многообразии / В. М. Гольдштейн, В. И. Кузьминов, И. А. Шведов // Сиб. мат. жур. - 1982. - Т. 23, 2. - С. 16 - 30.

[3] Гольдштейн, В. М. Интегральное представление интеграла дифференциальной формы / В. М. Гольдштейн, В. И. Кузьминов, И. А. Шведов // Функциональный анализ и математическая физика.- Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1985. - С. 53 - 87.

[4] Спивак, М. Математический анализ на многообразиях / М. Спивак. - М.: Мир, 1968. -164 с.

[5] Стейн, И. М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций / И. М. Стейн. - М.: Мир, 1973. - 344 с.

[6] Федерер, Г. Геометрическая теория меры / Г. Федерер. - М.: Наука: Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. - 760 с.

УДК 517.988.2, 514.763.2

ИЗОМЕТРИИ НА ГРУППЕ ПОВОРОТОВ - СДВИГОВ

Д. В. Исангулова

ISOMETRIES ON ROTO - TRANSLATION GROUP D. V. Isangulova

Описана группа C2-гладких изометрий на контактном субримановом многообразии — группе поворотов-сдвигов. Найдены условия, при которых векторное поле порождает локальную однопараметрическую группу контактных или локально билипшицевых преобразований группы поворотов-сдвигов.

We describe the group of C2-smooth isometries on contact sub-Riemannian manifold, precisely on roto-translation group. We find the conditions providing for a vector field to generate the local one-parameter group of contact or local biLipschitz transformations of roto-translation group.

Ключевые слова: группа поворотов-сдвигов, изометрия, однопараметрическая группа преобразований.

Keywords: roto-translation group, isometry, one-parameter group of transformations.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (№ 11-01-00819) и Совета по грантам Президента РФ по поддержке Ведущих научных школ (НШ-6613.2010.1).

1. Введение

В настоящей работе мы исследуем изометрические и билипшицевые отображения группы поворотов-сдвигов RT (roto-translation group). Группа поворотов-сдвигов — это трехмерное топологиче-

ское многообразие, диффеоморфное координатами (x, y, в) и умножением

х S'1

(x0,y0, в0) • (x,y, в) =

= (x0 + x cos в0 — y sin в0,y0 + x sin в0 + y cos в0

Векторные поля

д д д

A = cos в— + sin в—, B = —, dx dy дв

дд C = — sin в——+ cos в— ox c)y

являются левоинвариантными. При этом выполняются следующие коммутационные условия:

[А, В] = -С, [С, В] = А, [А, С] = 0.

Заметим, что алгебра Ли группы КТ не является нильпотентной.

На группе поворотов-сдвигов можно ввести субриманову структуру, то есть выделить горизонтальное подрасслоение Н = врап{А, В} в касательном расслоении, которое своими коммутаторами порождает все касательное расслоение и определяет субримановую метрику (метрику Карно — Каратеодори). Метрика Карно — Кара-теодори ! задается как инфимум длин всех горизонтальных кривых, соединяющих две точки (кусочно-гладкая кривая называется горизонтальной, если ее касательный вектор принадлежит Н почти всюду). Для измерения длин горизонталь-

с

Вестник КемГУ №3/1 2011 Вещественный анализ

ных кривых введем такое внутреннее произведение на H, при котором векторные поля A и B ор-тонормированы.

Отметим, что локально геометрия группы поворотов-сдвигов близка к группе Гейзенберга H1, поскольку H1 является касательным конусом к RT в смысле Громова [3]. Подробное описание группы RT с явным видом геодезических можно найти в книге [1].

Группа поворотов-сдвигов возникает в вопросах моделирования неголономного движения и оптимального контроля. Рассмотрим простейший пример средства передвижения — одноколесный велосипед. Для моделирования его движения в плоскости введем стандартные координаты на плоскости: (х,у), и переменную 9, описывающую угол отклонения колеса от оси х. Пространство R2 х S1 описывает все возможные положения велосипеда. При прямолинейном движении без изменения угла, путь можно задать как (х + t cos 9,y + t sin 9). Беря производную по переменной t, получаем одно из возможных направлений движения: A = cos 9 dx + sin 9 ду. Поскольку велосипедист может поворачивать колесо, стоя на месте, второе направление движения — это просто B = д-^. Таким образом, мы получаем группу RT в качестве модели движения одноколесного велосипеда. Отметим, что мы не можем начинать движения в направлении векторного поля C = — sin 9 дх +cos 9 дуу, поскольку оно ортогонально оси колеса. Однако, комбинируя движение вперед и повороты, велосипедист может достичь любой точки на плоскости с любым наперед заданным углом 9. Таким образом, нахождение геодезических в метрике Карно

— Каратеодори d эквивалентно задаче нахождения оптимального пути.

Геометрия группы поворотов-сдвигов возникает также в задаче визуализации при моделировании восприятия человеческим мозгом плоского черно-белого изображения (см. работы А. Сарти и Дж. Читти [2], Р. К. Хладки и С. Д. Полса [4]). В построенной модели (х, у) — координаты точки на плоскости, а 9 — направление градиента изменения цвета. То есть предполагается, что человек видит не сам цвет, а изменение цвета, что находится в полном соответствии с физиологическими исследованиями (см., например, Ж. Петито [6]). Построен алгоритм [4] восстановления закрытой части изображения с использованием минимальных поверхностей в субримановой метрике.

Настоящая работа посвящена исследованию изометрий, контактных и билипшицевых отображений на группе RT. Напомним, что гомеоморфизм F: Q ^ Q' областей Q, Q' с RT называется изометрией, если он сохраняет расстояние: d(F(g),F(п)) = d(£,v) для всех £,п € Q. В следующей теореме приведено описание группы

C2-

гладких изометрий.

Теорема 1. Всякая C2-гладкая изометрия на

группе RT есть композиция следующих отображений:

1(х0,у0,в0)(х,У,9) = (х0,У0,90) • (x,y,9),

i(x, У, 9) а(х,у, 9)

= (—х, у, —9 = (—x, —y,f

отра,жения.

Заметим, что, в отличие от евклидового пространства или группы Гейзенберга, на группе RT не определены аналоги поворотов.

Пусть Q — область в RT. C 1-гладкое отображение F: Q ^ RT называется контактным, если оно сохраняет горизонтальное пространство: AF(g),BF(£) € HF(£) для всех £ € Q. Известно (см., например, [7]), что гладкие липшицевые отображения являются контактными. Приведенное понятие контактности совпадает с классическим, поскольку на RT определена контактная левоинвариантная форма ш = — sin 9 dx + cos 9 dy. При этом контактная структура согласована с субримано-вой: ker ш = H.

Говорят, что векторное поле v генерирует поток отображений Fs, если -d Fs = v о Fs, Fo = id. Поле v называется также инфинитезимальным генератором потока Fs, причем Fs будет (локальной) однопараметрической группой преобразований. В теореме 2 приведены условия на v, при которых генерируемый поток является группой контактных преобразований.

Теорема 2. Векторное поле вида

v = —BqA + AqB + qC

(здесь q — произвольная гладкая вещественнозначная функция) генерирует локальную однопараметрическую группу контактных преобразований. Обратно, всякое гладкое векторное поле v, которое генерирует локальную однопараметрическую группу контактных преобразований, имеет такой вид с q = (ш,ю).

Теорема 2 показывает, в частности, что пространство контактных отображений на группе RT бесконечномерно.

Далее мы исследуем следующий вопрос: когда контактный поток Fs будет потоком локально би-липшицевых отображений? Напомним, что отображение F: Q ^ RT, Q с RT называется локально L-билипшицевым, L ^ 1, если для всякой точки £ € Q определена окрестность U с Q, такая, что Ld(Z,n) ^ d(F(Z),F(п)) < Ld(Z,n) для всех Z,n € U. Ответ дает следующая теорема.

Теорема 3. Пусть q — гладкая функция и векторное поле v = —BqA+AqB+qC порождает локальную однопараметрическую группу преобразований Fs. Если

k= supXj (ABq)2 + (BAq)2 + 2(A2q—B2q—q)2

< +rc>,

Вестник КемГУ №3/1 2011 Вещественный анализ

то Fs — локально Lg-билипшицево с

1 (l2 + L2) «

При доказательстве теорем 2 и 3 мы будем опираться на работу [5], где доказаны сходные факты для контактных и квазиконформных потоков группы Гейзенберга Н1.

Несколько слов о структуре работы. Во втором параграфе доказывается теорема 1. Третий параграф посвящен доказательству теорем 2 и 3. Также в нем приведены два примера инфинитези-мальных генераторов изометрических потоков.

2. Описание С2-гладких изометрий

Нетрудно проверить, что левые сдвиги и отражения являются изометриями, причем

22 і = а

id,

і о а = а о і,

1 О 1(xg,yo,^g) = 1i(xg,yo,^g) О і,

а о l

(xo,yG,

^(xo,yG,

Покажем, что они порождают всю группу С2-гладких изометрий на КТ.

Пусть С2-гладкое отображение

Р: (х,у,в) ^ и,д,ф)

является изометрией. Тогда Р будет дифференцируемым в субримановом смысле (Недифференцируемым, см., например, [7]) и, в частности, Р будет контактным, то есть выполняется

АР (£) = ац А(С) + й21В(С ),

ВР (£) = а12А(С)+ а22В(С), где £ = (х,у, в), £ = Р(£), или, эквивалентно:

Af = an cos y, Ag = an sin y, Ay = a2l,

Bf = al2 cos y, Bg = al2 sin y, By = a22.

Матрица с элементами

\a21 a22

all

al2

Af Ag

cos у Bf

sin у Bg

cos у sin у

a2l = Ay,

a,22 = By

называется горизонтальным дифференциалом и обозначается символом D^F. Применяя левые сдвиги, если требуется, всюду далее будем считать, что cos у = О и sin у = О.

Если F — изометрия, то как и в евклидовом случае DhF должен быть ортогональной матрицей. Очевидно, что

|a11| = |a221, |a12 1 = |a211,

2 2 2 2 a11 + a12 = a21 + a22 = 1

Рассмотрим последнее равенство: a2l + a22 =

= (Ay)2 + (By)2 = І. Введем новую переменную функцию а : (х,у,в) ^ (— п, п], такую, что

Ay = — cos а, By = sin а.

Далее рассмотрим два возможных случая: det DhF > О и det DhF < О.

1) det DhF > О. Тогда an = a22, a2l = — al2. Покажем, что все производные от f и g выражаются через y и а. Действительно:

I an = a22, a2l = —al2,

Af Ag

cos y sin y Bf Bg

cos y sin y

By,

—Ay,

Af = cos y sin а, Bf = cos y cos а, Ag = sin y sin а, Bg = sin y cos а.

Отсюда получаем так называемые условия контактности:

Af sin у = Ag cos у, Bf sin у = Bg cos у. (1)

I ац ai2

Соответственно,

(2)

Cf = [B, A]f = cos y(Bа cos а + Aа sin а) — sin y

Cg = [B, A]g = cos у + sin y(Ba cos a + Aa sin a).

Для вычисления функции a мы воспользуемся соотношениями на коммутаторы: [A, C] = 0 и [B, C] = A. Имеем:

а.

и

Вестник КемГУ №3/1 2011 Вещественный анализ

О =[A, C]f = ACf — CAf = sin vBa.+

+ cos y(cos а — AаBа sin а + 2ABа cos а — BAа cos а + (Aa)2 cos а + A2а sin а),

О =[B, C]f — Af = BCf — CBf — Af =

= sin у Aa + cos y(—AaBa cos а + ABа sin а — 2BAа sin а + (5а)2 sin а — B2а cos а), О =[A, C]g = ACg — CAg = — cos у Ba—

— sin y(cos а — AаBа sin а + 2ABа cos а — BAа cos а + (Aa)2 cos а + A2а sin а),

О =[B, C]g — Ag = BCg — CBg — Ag =

= cos у Aa — sin y(—AaBa cos а + ABа sin а — 2BAа sin а + (Ба)2 sin а — B2а cos а).

Сравнивая (3) с (5), и (4) с (б), получаем, что

Bа = О,

cos а — AаBа sin а + 2ABa cos а — BAа cos а + (Aa)2 cos а + A2a sin а = О,

Aa = О,

— AaBa cos а + ABa sin а — 2BAa sin а + (Ba)2 sin а — B2a cos а = О.

(3)

(4)

(5)

(6)

Откуда очевидно следует, что Aa = Ba = О, cos а = О

п п

а =-----или а = —.

2 2

Если а = П, то

F(x, у, в) = (x cos в0 — y sin в0 + хо,

х sin во + у cos во + уо, в + во) =

= l(xo,yo fio) (х,у,в)-

Если а = — п, то

F(х, у, в) = (— х cos во — у sin во + хо,

— х sin во + у cos во + уо, во — в) =

= l(x0,y0,e0) ◦ 1(х, у, в)-

2) detDhF < 0. Имеем an = —a^2, a 12 = ^21. Как и в предыдущем случае, производные от f и g можно выписать через а и у.

Af = — cos у sin а, Bf = — cos у cos а,

Cf = sin у — cos у(Ва cos а + Аа sin а);

Ag = — sin у sin а, Bg = — sin у cos а,

Cg = — cos у — sin у(Ва cos а + Аа sin а).

Выписывая коммутационные соотношения [A, C] =0 и А = [C, В] для функций f и g, мы получим в точности те же самые уравнения (3)—

(6), что и в предыдущем случае (с точностью до умножения на —1). Соответственно, функция а может быть равна только — П или п..

Если а = п, то

F(х, у, в) = (— х cos во + у sin во + хо,

— x sin во — y cos во + yo, в + во)

Если a = — П, то

F(x, y, в) = (x cos в0 + y sin в0 + x0,

x sin во — y cos во + yo, во — в) =

= l(xo ,уо,во) О 1 О a(x, y, в). Теорема 1 доказана.

З. Однопараметрические группы преобразований

3.1. Генератор контактного потока

В данном параграфе мы приведем доказательство теоремы 2.

Рассмотрим векторное поле

д д д

v = a^~ + Ъ— + c— = pA + cB + qC, дх dy дв

где

=l

(xo,yo,

о о(х, y, в).

p = a cos в + Ъ sin в, q = —a sin в + Ъ cos в,

a = p cos в — q sin в, b = p sin в + q cos в.

Здесь мы воспользовались следующими простыми соотношениями.

д д

— = cos в А — sin в C, —— = sin в А + cos в C,

дх ду

д = В

дв .

Шаг 1. Пусть a, b, c,p,q — гладкие функции и поле v задает однопараметрическую группу контактных отображений Fs = (f^gs^) в виде решения дифференциального уравнения.

dFs = v о Fs, Fо = id. ds

Поскольку Fs — контактные отображения, то выполнены условия (1). Продифференцируем их по переменной s и перейдем к пределу при s ^ 0:

и

Вестник КемГУ №3/1 2011 Вещественный анализ

n d і ■ АГ л Л dPs . , , . , dfs , . dPs . .dgs

О = — (sin PsAfs — cos PsAgs) = cos Ps^~ Afs I sin PsA— I sin Ps^~ Ags — cos PsA—

ds

s^G

7 J s 1 f s 1 1 f s і СУ s I s 7

ds ds ds ds

cos вcAx I sin вAa I sin вcAy — cos в^э = c I sin вAa — cos вМ),

О d ( •п, с ) dPsD^ I ^ T3dfs I ^ dPs D Ddgs

О = — (sin PsBfs — cos PsBgs ) = cos Bfs I sin PsB— I sin Ps~r Bgs — cos Ps B—---------------->

ds ds ds ds ds

s^G

Отсюда выводим 2 соотношения: c I sin вAa — cos вAЪ = О

cos вcBx I sin вBa I sin вcBy — cos вBЪ = sin вBa — cos вBЪ.

Окончательно получаем, что v является инфини-тезимальным генератором контактного потока, если

sin вBa — cos вBЪ = О.

Следовательно,

Aq = A(—a sin в I Ъ cos в) =

= — sin вAa I cos вAЪ = c

Bq = B(—a sin в I Ъ cos в) =

= — sin вBa — a cos в I cos вBЪ — Ъ sin в = —p.

v = —Bq A I Aq B I qC,

где

(u,v) = —a sin в + bcos в =

= — sin 9(p cos в — q sin 9)+cos 9(p sin в + q cos 9) = q.

Теорема 2 доказана в одну сторону.

Шаг 2. Обратно, пусть q — гладкая функция и векторное поле v = —BqA + AqB + qC порождает локальную однопараметрическую группу преобразований Fs = (fs,gs,9s). Нам надо показать, что Fs удовлетворяют условиям контактности (1). Пусть £ = (x, у, в) е RT, F(£) = С = (xi, yi, вi) е 1ZT. Имеем:

и

и

и

d (sin Ps Afs — cos PsAgs ) = cos Psc(C )Afs I sin PsA(a О Fs) I sin Ps c(C )Ags — cos PsA(Ъ о Fs) ds

cos PsAq(C)Afs I sin P^Afs I djyal-Ags I дв-Ap^ I sin PsAq(C)Ags —

f дЪ дЪ дЪ \

— cos P^ Afs I д Ags ^ дв~ APsJ .

Выписывая функции a,Ъ через функции p, q, и, следовательно, sin psBfs — cos psBgs = О. Таким а производные по xl, yl через производные вдоль образом, Fs удовлетворяет системе (І) и является A, C, после несложных вычислений получаем, что контактным.

d (sin ps Afs — cos PsAgs) ds

Теорема 2 доказана.

Cq(C )(sin ps Afs — cos PsAgs).

3.2. Поток локально билипшицевых преобразований

Следовательно, Данный параграф посвящен доказательству тео-

. . . г r<n(Z) ремы 3. Прежде чем переходить к доказательству,

sin psAfs — cos psAgs = const -eJ rq(Z) .

s s s s приведем вспомогательную лемму.

Подставляя начальные данные (sin psAfs — Лемма. Пусть q — гладкая функция и век-

—cos psAgs)|s0 = 0 (так как F0 = id является кон- торное поле v = —BqA + AqB + qC порожда-

тактным), выводим, что sinpsAfs — cos psAgs = 0. ет локальную однопараметрическую группу кон-

Аналогично проверяем, что тактных преобразований Fs. Тогда

dDhFs = V ■ DhFs,

d (sin ps Bfs — cos PsBgs) = dsb>hl's V b>h

= Cq(C)(sin PsBfs — cos PsBgs), где

—ABq —B2q — q

(sinPsBfs — cos PsBgs)\s=G = О V I A2q BAq

Вестник КемГУ №3/1 2011 Вещественный анализ

определяются соотношениями (2): £ = (х,у,в) Є

Доказательство. Положим Р = (/,д,ф) Р(£) = С = (хі,Уі,@і) Є^Т.

(мы будем опускать нижний индекс в), Прс®ерим, что для любой С -^гаадкот функ-

/аіі аі2А ции Н выполнено правило дифференцирования

Вь¥ = , где элементы матрицы Вь¥

п \а2і а22 / п композиции:

dh dh dh

A(h о F(£)) = —(С)Af (О + dyl(С)Ag(£) + -щ(С)Af(£) = (Ah(С)cos f - Ch(С)sin fAf+

+ (Ah^) sin f + Ch(С) cos f)Af tg f + BhAf = Aha 11 + Bha21,

dh dh dh

B(h о F(О) = (С)Bf (£) + ^(С)Bg(0 + ^(С)Bf(£) = (Ah^)cos f - Ch(С)sin fBf+

+ (Ah(С) sin f + Ch^) cos f)Bf tg f + BhBf = Aha 12 + Bha22.

Выпишем элементы матрицы dsDhFs покомпонентно:

d f Af

~ra 1 1 , і

ds ds cos f

І

cos f ds

cos2 f ds

І df sin f

-------A( j" ) +------------2— c(С) Af

cos f ds cos2 f

-A(a о F) + tg fc^) a 1 1

І

■(Aaa 11 + Baa2 1) + tg f c^)a 11 = V 1 1a 11 + V1 2a2 1.

cos f cos f

d „22 = d (Bf) = b^

a(£) = p(£) cos в - q(£) sin в, c = Aq и p = -Bq. ds ds ^ ds

Следовательно,

Вычислим V11 и V12. Для этого вспомним, что —а22 = — (Bf) = b(—^ =

= p(£)cos в - q(£)sin в, c = Aq и p = -Bq. ds ds V ds )

= B(c о F) = Ac(С) „і2 + Bc(() a„ =

Aa = Ap cos в - Aq sin в,

Ba = Bp cos в - p sin в - Bq sin в - q cos в =

= (-B2q - q) cos в.

Имеем:

І

Vll =

cos f

І

(Ap^) cos f - Aq^) sin f)+

+ tg fAq(C) = -ABq(C),

V12 =-В„(С) = -В^(С) - qtf).

cos f

Аналогично выводим:

d

ds

al2

d f Bf

ds cos f

І d (Bf) + conf ^B/:

cos f ds

І

b(1/i +

cos2 f ds sin f

, і і 2 ^(С) Bf cos f ds cos2 f

І

cos f

-B(a о F) + tg f c^) a 12

І

cos f

-(Aaai2 + Ba a„) + tg f c(С)ai2

= Viiai2 + Vi2a22. Осталось найти производные по s от „2і и a„:

d d f df

-Гa2l = ds (Af) = A /

ds ds ds

= A(c о F) = Ac(С) aii + Bc^) „2і =

= V2iaii + V22a2l,

= V2iai2 + V22a22,

где vn = Ac(Z) = A2q(C), V22 = Bc(Z) = BAq(Z).

Доказательство теоремы 3. Пусть поток v = -BqA + AqB + qC порождает локальную

однопараметрическую группу контактных преобразований Fs. Обозначим M = DhFs. В силу леммы 1 имеем dsM = V • M. Отсюда:

— (M tM) = M t(Vt + V )M = 2M tSM,

где

S=

V t+V 2 "

-ABq

A2q-B2q-q

V

2

A2q-B2q-q ' 2

BAq

Получаем дифференциальное неравенство:

^- ум ||2 = 2ЦМ‘ 5М) = 2tr(SMM^) <

< 2||5|| ||М||2 < 2к||М||2.

Здесь ЦМ||2 = а2 1 + а22 + а21 + а22 = tr(M*М),

а |s|^^/(Aвq^+{вAq)2+2(A2q-в2q-q)^ < к <

по Условию теоремы.

Следовательно, ||М||2 можно оценить сверху:

||М||2 < е2ф|.

Выведем из этой оценки, что Р8 локально билип-шицево. Обозначим через Л1 ^ Л2 > 0 собственные числа матрицы МгМ. Тогда ^ > Х1 > 0

d

Вестник КемГУ №3/1 2011 Вещественный анализ

— собственные числа матрицы (Ы-1)гЫ-1. Для того чтобы отображение Р8 было локально Ь-билипшицевым, необходима ограниченность величины Ь2 = 8иршах{Л1, } на всей области опре-

деления.

Если Л1 ^ ^, то

L2 + -2 < Ai + Л2 < 2e2kls. L2

Если Ai < ^, то для функции F-s будет выполнено

L2 + ^ 1 1=\\DhF-s\\2 = \\M-1||2 < 2e2k' s '.

L2 Ai Л2

3.3. Примеры изометрических потоков

1) Рассмотрим q = —x0 sin в + y0 cos в. Тогда

Aq = 0, Bq = —x0 cos в — y0 sin в и

v = (xo cos в + y0 sin в) A+

д d

+ (—xo sin в + yo cos в)С = xo dx + У0 dy.

Поле v порождает однопараметрическую группу левых сдвигов по переменным x,y:

Fs(x,y, z) =

= l(sx0,sy0,0)(x, y, z) = (sx0 + x, syo + y, в).

2) Пусть q = воx cos в + вoy sin в. В этом случае Aq = во, Bq = —вox sin в + вoy cos в и векторное поле

v = (вox sin в — вoy cos в) A + в0В+

+ (вox cos в + вoy sin в)С =

П д д д

= — в0^^---+ в0 xт, + в0 ттт:

дx дy дв

порождает однопараметрическую группу левых сдвигов по переменной в:

Fs(x,y,z) = l(0,0,se0)(x,y,z) =

= (cos^i^x — sin^i^y, sin^i^x + cos^i^y, sв0 + в).

Литература

[1] Capogna, L. An Introduction to the Heisenberg Group and the Sub-Riemannian Isoperimetric Problem / L. Capogna, D. Danielli, S. D. Pauls, J. T. Tyson // Basel; Boston;Berlin;Birkhauser, 2007.

[2] Citti, G. A cortical based model of perceptual completion in the roto-translation space / G. Citti, A. Sarti // J. Math. Imaging Vision. - 2006. - Vol. 24, no. 3. - P. 307 - 326.

[3] Gromov, M. Carnot — Caratheodory spaces seen from within / M. Gromov// In: Sub-Reimannian Geometry. — Basel: Birkhauser, 1996. — P. 79 - 323.

[4] Hladky, R. K. Minimal surfaces in the roto-translation group with applications to a neuro-biological image completion model / R. K. Hladky, S. D. Pauls // J. Math. Imaging Vision. — 2010. — Vol. 36, no. 1. — P. 1 - 27.

[5] Koranyi, A. Quasiconformal mappings on the Heisenberg group / A. Koranyi, H. M. Reimann // Invent. math. - 1985. - Vol. 80. - P. 309 - 338.

[6] Petitot, J. The neurogeometry of pinwheels as a sub-Riemannian contact structure / J. Petitot // Journal of Physiology. - Paris.: March, 2003. - Vol. 97, no. 2. - P. 265 - 309.

[7] Vodopyanov, S. K. Geometry of Carnot -Caratheodory spaces and differentiability of mappings / S. K. Vodopyanov, V. I. Burenkov (ed.) et al. // The interaction of analysis and geometry. International school-conference on analysis and geometry. Novosibirsk, Russia, August 23 -September 3, 2004. — Providence, RI: American Mathematical Society. Contemporary Mathematics.

— 2007. - Vol. 424. - P. 247 - 301.