Изменения характеристик тепломассопереноса в коаксиальном реакторе в фиксированных областях при возрастании параметра Франк-Каменецкого Текст научной статьи по специальности «Физика»



удк 532.135

Б.Р. Абайдуллин

ИЗМЕНЕНИЯ ХАРАКТЕРИСТИК ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА В КОАКСИАЛЬНОМ РЕАКТОРЕ В ФИКСИРОВАННЫХ ОБЛАСТЯХ ПРИ ВОЗРАСТАНИИ ПАРАМЕТРА ФРАНК-КАМЕНЕЦКОГО

B.R. Abaydullin

CHANGES OF HEAT AND MASS TRANSFER CHARACTERISTICS IN A COAXIAL REACTOR AT FIXED AREAS WITH INCREASING FRANK-KAMENETSKY PARAMETER

Приведена математическая модель тепломассообмена процесса полимеризации в реакторе коаксиального типа, позволяющая рассматривать распределения характеристик процесса при критическом режиме теплообмена в условиях течения неньютоновской жидкости. Результаты численного исследования представлены в виде распределений по длине и по радиусу канала температуры, осевой и радиальной компонент скорости, вязкости и концентраций мономера и инициатора при варьировании параметра Франк-Каменецкого. На границе канала задаются тепловые граничные условия первого рода.

НЕНЬЮТОНОВСКАЯ ЖИДКОСТЬ; ПАРАМЕТР ФРАНК-КАМЕНЕЦКОГО; КРИТИЧЕСКИЙ РЕЖИМ ТЕПЛООБМЕНА; КОАКСИАЛЬНЫЙ РЕАКТОР; КОЭФФИЦИЕНТЫ ДИФФУЗИИ МОНОМЕРА И ИНИЦИАТОРА.

The paper contains a mathematical model of heat and mass transfer polymerization reactor coaxial type, which allows to consider the distribution of the characteristics of the process provided a critical mode of heat transfer in the flow of non-Newtonian fluids. The results of numerical studies presented in the form of distributions of temperature, axial and radial components of the velocity, viscosity and concentration of the monomer and the initiator of the length and radius of the channel by varying the parameter Frank Kamenetz. At the edge of the channel are set thermal boundary conditions of the first kind.

NON-NEWTONIAN FLUID; THE PARAMETER FRANK-KAMENETSKYY; A CRITICAL MODE OF HEAT TRANSFER; COAXIAL REACTOR; THE DIFFUSION COEFFICIENTS OF THE MONOMER AND THE INITIATOR.

В работе [3] рассматривались установившееся течение и теплообмен неньютоновской жидкости в коаксиальном канале бесконечной длины со сформировавшимся профилем температуры. На практике чаще всего наблюдается изменение профиля температуры по длине. В связи с этим наибольший интерес представляет исследование влияния основных безразмерных параметров на условия возникновения критических режимов теплообмена в канале с учетом изменения температуры по длине и по радиусу. Численная реализация поставленных задач усложнена в силу того, что необходимо учитывать конвективный

теплоперенос, особенности изменяющегося неньютоновского характера поведения среды, убывание концентраций при условии химической реакции. Поэтому по данной тематике опубликовано небольшое количество работ. Исследование распределений температуры и компонент вектора скорости на начальном участке коаксиального канала в зависимости от интенсивности химического и диссипативного источников при условии преобладания одного из них уже рассмотрены в [4]. Проведены исследования этих характеристик и некоторых других основных определяющих параметров [5, 6].

Постановка задачи

Строя математическую модель стационарного тепломассобмена при течении неньютоновской жидкости в коаксиальном реакторе, как и в [4], приняли следующие допущения: течение — ламинарное, осесимметричное, стационарное; теплофизические характеристики жидкости, такие, как плотность, теплопроводность и теплоемкость, меняются в рассматриваемом диапазоне температур незначительно и приняты постоянными; силы тяжести входят в уравнения неявно через избыточное давление; перенос тепла вдоль основного направления движения за счет теплопроводности много меньше вынужденного в этом же направлении; время гидродинамической релаксации много меньше тепловой. Процесс будем считать квазистационарным, так как для рассматриваемых сред число Прандт-ля Рг »1. Соответственно профиль вектора скорости почти мгновенно подстраивается под изменение температурного поля. Поэтому можно допустить, что изменение соответствующих составляющих вектора скорости в поперечных направлениях много больше их изменений в направлении основного движения (среда при этом предполагается несжимаемой капельной жидкостью). Присутствует химический источник теплоты, распределенный по всему объему канала, заданный реакцией дробного порядка. На границе задаются гидродинамические условия прилипания, а также тепловые и концентрационные граничные условия первого рода.

При сделанных допущениях и некоторых преобразованиях решаемая система уравнений в цилиндрической системе координат будет выглядеть следующим образом:

д ( ду

д -Р + 2цдуг-дг

дг

(

= Р

( (дк дуг

д

+ —

дг ду

( (ду„ Ц

\\

дуг

—- + —г

дг дг

V V уу

+ /1 =

дг

дг

\

дг

Ц

V V

дг дг

\\

у;

д( + —

дг

-Р +

дг

+ /2 =

= Р

( г дУг г дг

- + у.

дуг.

дг

1 д дуг

——(угг ) = 0; г дг дг

дТ дТ у--+ у -:

уг дг уг дг

= а

(д 2Т

1 дТ

—Т + дг2 г дг

V У

Ц1.

2_ + QoК0 е ктмтГ•

РСР С

м

дм дм

у--+ у -:

г дг уг

дг

= Б

м

( д2М дг 2

д/ д/ п

уг эт+уг эг=Б

1

+1 дМ

г дг

(

- К0е ЯТ мт/п

д2/ +1 д/ дг2 г дг

V У

1 („ ду г

А

- К^ ЯТ/п, (1)

где /1 =—3(2цу) + - 2ц—г г г дг

V /

1 ( (ду? ду,

\\

и /2 =~

Ц

+

дг дг

V УУ

В этих уравнениях г <г< г2, 0 < г < Ь ; ((0 — тепловой эффект химической реакции; к0 — константа скорости химической реакции; Е — энергия активации химической реакции; а — коэффициент температуропроводности; ц = ц(Т , 12) — динамическая вязкость; Р — плотность жидкости; Я — универсальная газовая постоянная; ср — удельная изобарная теплоемкость; см — удельная молярная теплоемкость; Т — температура; уг, у г — компоненты вектора скорости у ; Р — давление; ^,г2 — соответственно внутренний и внешний радиусы коаксиального канала; Ь — длина канала; К10 — константа скорости реакции инициирования; Е1 — энергия активации процесса инициирования; р — плотность жидкости; Я — универсальная газовая постоянная, М — концентрация мономера; / — концентрация инициатора; Бм ,Б/ — коэффициенты взаимной диффузии мономера и инициатора. Второй инвариант тензора скоростей деформации 12 представлен выражением

Гдуг ду г ^ „( ду г л2 —г + —г- + 2 —г-дг дг дг

12 =

+ 2

(у *

г

V У

+2

дг

2

(2)

Для системы уравнений (1) граничные условия задаются в следующем виде

1) V = о, Т _ Т0, = 0, М = 0,

/ _ 0;

2) _ = 0, у\ _ = 0, Т

= Т0, М _ 0,

0 1г _г2

Ф» _ ( - (1 - М)) ехр

(-с2 + с3(1 - М )Л

в(1 + Р0)

Д;

(7)

Л _ 0;

3) М|г_0 _М0, /\£_0 _л0, т£_0 _т0,

(3)

0 0' 1г _0 '

V,

г £ _0

_ 0, уг|г_0 _ у£0(г), И£_0 .

1г_0

где Т0 — температура окружающей среды; Т — температура на входе в коаксиальный канал.

На ходе в канал задается расход 0 , и на входе в канал профиль компоненты уг вектора скорости V (то есть функция уг (г)) является решением задачи

1 д_ г дг

( ду7

г ц

дг

дР дг '

(4)

при этом Т| _0 _ Т0 , а составляющая градиента дР_

давления — в направлении оси г определяется дг

из выражения

2

др 1 2п г2 л \

аг"с 0 (^Ч^) (5)

где 0 — расход жидкости через поперечное сечение канала. То есть получается, что поскольку на вход в реактор жидкость подается по коаксиальному каналу, то на входе в реактор профиль скорости такой же, как сформировавшийся профиль скорости в конце коаксиальной трубы. Для получения этого профиля V^ (г) решается задача (4)—(5).

В качестве реологической модели используется модель Кутателадзе — Хабахпашевой [1] для структурно вязкой жидкости, подробно описанная в [4].

Для приведения системы уравнений (1) к безразмерному виду используются те же обозначения, что и в [2, 4].

Приведя вязкость, как и в [4], к безразмерному виду, получим

1 Ф

1

Ф»- (Ф»- с8ф0)ехр

-с90

С7Т

Ф»- С8Ф0

Ф0 _ (4 - (1 - М) )ехр

(-с5 + сб(1 - М)Л

Р(1 + Р0)

0_(1 -М )ехр

-С5 + Сб(1 - М)

в(1 + Р9)

(8)

Подставляя (б) в (1) и переходя к безразмерным параметрам, как и в [4], получаем

д (, -у-, г (о + г )ц(72,0)-

дг

дг

_-(0 + г )|Д(/2,0)

(эщ

дг

V У

(о + г)dr;

д дЩ

—((о + г )У) + (о + г)— _ 0; дг дг

д0

д0

(о + г)I уУ—+ уЖ— дг дг

(о + г)д0 дг I дг

+ 8(о + г )Мт/п ехр

(

1 + р0

+ Х(о + г )Д(72,0)72;

(о + г)

( ТудМ „удМЛ

1МУ —

(

дг

(о + г )— дг

-8М (о + г )Мт/п ехр

(о + г)

(

дг

, _.д/ (о + г )— дг

1 + р0

Т^ д/ т;> д/

ьУя+уЩ эг

-8Л (о + г )/п ехр

( 0 Л 1+Р е

(9)

После перехода к безразмерным параметрам граничные условия первого рода (3) примут следующий вид:

1) _ 0, У\ _ 0, 01 _ 0, М\ _ 0,

/ _ 0;

1г_0

. (б) 2) Щ _ 0, У _ 0, 01 = 0, М\ _ 0,

г; (б) 1г _1 \г _1 1г _1 \г _1

/ _ 0;

1г_1

(10)

3) м = 1, / = 1, 8_0 = о, ц|. 0 = 1,

г=0 г=0

\г=0

г=0

г=0

V _0 = 0, Ж 0 = Wо(г).

г=0 г=0

В формулах (6)—(10) присутствуют следующие параметры: г = Ь — безразмерная продоль-

ная координата; г =

г - г г2 - г1

параметр, число Аррениуса; 8 = -

ЯТ0

радиальная компонента вектора скорости у ;

т (2п)\г2 -гх)6 т й й

12 =-(2——12 — безразмерный второй инвариант тензоров скоростей деформации;

= 02 - г!)2

Ь

2

— безразмерный параметр соотно-

шения радиуса и длины коаксиального канала;

о = -

г1

г2 - г1

. АГ0 В2=

щий за геометрию канала; сх =-, с2 =-

Кв

с=

с=

АП с4 = К

п=0

КА„

вп=0

с5 = -°—

А)

(

К

7 — о , со —

7 2лк, (г2 - г1)3 8 К

А0

, с9 =

КВ0

с6 = —:—

К

КА

— рео-

ЫТ02

х ехр

( Б Л

v ят0 у

— безразмерный параметр Франк-

Каменецкого, характеризующий интенсивность химического источника тепловыделения;

8 = кмт-/0 (г2 - г1)2ехр ( -Л

°м =

д = К10/0

Бм

"-1(г2 - г,)2

ЯТ(}

0

(

БТ

ехр

ЯТ0

— безразмерная поперечная координата; в = — безразмерный

Б

-(Т-Т0) —

— безразмерные параметры Франк-Каме-нецкого, характеризующие интенсивность мас-совыделения в результате химической реакции;

— безразмерный параметр,

О 2б

К^4п2ХЯТ02(г2 -г1)4

безразмерная температура; Ж = 2п(г~2—уг —

безразмерная осевая компонента вектора ско-

„ 2пЬ(г_г )

рости у ; V =-2—— уг — безразмерная

характеризующий интенсивность тепловыделения

О О

Ум =:

от вязкого течения; у=

2пЬа

2пЬБ

1/ =

О

м

2пЬБ

— безразмерные параметры, связыва-

/

дР 2п(г -г)4А0 ющие расход и длину канала; — = —^—1 ^ х

дг О

(

х ехр

в

ЯТ0

0

лдР дР (

э7' а* = М

дЖ дг

2

(о + г )с1г —

— безразмерный параметр, отвечаю-

логические параметры; в/ = -А — число Арре-

т /

нуса из уравнения для инициатора, / =--нор/0

мированная по длине концентрация инициатора; л7 м

м =--нормированная по длине концентра-

м0

ция мономера; Ц = ЦК^ — коэффициент динамической вязкости; 8 = QоKо(2_2f^~мт/П х

безразмерный перепад давления. Для решения системы уравнений (9) с граничными условиями (10) используется тот же итерационный алгоритм, что и в [4]. Он включает в себя решение соответствующих трехточечных разностных уравнений методом прогонки с пересчетом всех коэффициентов уравнений, зависящих от искомых функций. Вследствие нелинейности системы уравнений (9) и неявного вида функции вязкости были введены дополнительные итерации по вязкости и по нелинейному свободному члену.

Необходимая точность вычисления определяемых параметров задается величиной е, с которой на каждом слое по координате г сравнивается относительное среднеквадратическое отклонение значений определяемых параметров на предыдущей и последующей итерациях.

Результаты

Для коаксиального реактора были рассмотрены зависимости характеристик, определяющих процесс, от параметра 8 интенсивности химического источника в точке с фиксированными координатами г = 0,06, г = 0,1, г = 0,5 и г = 0,5. При этом остальные определяющие параметры, кроме 8 , были зафиксированы и определены в [5].

0

а)

100

0,1

2

4

г = 0,5

Ь ъ г г = 1 = 0,25

Г = 0,5 ь н ъ *! 4»

Г = 0,0

6

8

б)

Ж

1,4

0,9

0,5

0

0

2

4

-¡< 0, 5

/

Г = 0,2? г = 0,5

г = 0,06

6

10 5

Рис. 1. Зависимости температуры 0 (а) и скорости Ж (б) от параметра 5

8

10 5

Принцип исследования зависимостей характеристик, определяющих процесс, от управляющих параметров в реакторе аналогичен порядку исследования этих зависимостей на начальном тепловом участке в коаксиальном канале в [5].

На рис. 1 представлены графики изменения температуры в точках Г = 0,06, г = 0,1, г = 0,5 и г = 0,5 при изменении параметра 5 . Как следует из рис. 1, для рассматриваемой точки критическими являются значения параметра 5 > 6 . При 5>6 в области начиная с точки г = 0,5 всегда существует критический режим.

Отметим, что в распределении температуры 0 по г в [6] при 5 = 6 область с критическим режимом теплообмена начинается при г ~ 0,8125. Также из графиков температуры на рис 1, а и графиков ее распределений по длине при различных 5 в [6] можно сделать вывод, что при уменьше-

нии 5 область критического режима теплообмена смещается (по длине г) к концу реактора. Таким образом, каждому критическому значению 5 соответствует свое (критическое) значение г.

При возрастании параметра 5 (5<5кр) компонента скорости Ж в центре межстеночной области (то есть при г = 0,5 и Г = 0,5) увеличивается (как видно на рис. 1, б), а при г = 0,1 уменьшается. Зависимость К(5) показана на рис. 2, а.

При условии постоянства расхода очевидно, что при увеличении скорости Ж в центре меж-стеночной области у стенок она уменьшается, и появляется V. Изменения V в зависимости от 5 при 5<5* (где 5* = 6 для г = 0,5) наиболее существенны.

а)

V 0,02

0,01

б)

г = 0,06 ^ 0, г 25 = 0,5

Г = 0,5

-

8 10 5

0,95

0,89

0,84

г = 0,25 N =0 / ,5

3 г = = 0,5

г = = 0,06 \ У

8 10 5

Рис. 2. Зависимости скорости V (а) и концентрации инициатора 7 (б) от параметра 5

1

0

0

а) М

0,66

0,33

- = 0^06 N 1 г-- V. = 0,5

г = 0,5 г / = 0,25

б) Д

1,2

0,9

0,6

0,3

г = 0, 0 г = 6

г = 0,5 0,5

/ г = 0,25

10

10

Рис. 3. Зависимости концентрации М (а) и вязкости Д (б) от параметра 8

На рис. 2, б и рис. 3, а представлены зависимости концентраций инициатора / и мономера М от параметра 5 для этих же координат. Из них следует, что для данной координаты при возрастании параметра, отвечающего за интенсивность химического источника тепла, может произойти резкое падение концентрации / и М в области реактора, близкой к точке с координатами г = 0,5, г = 0,5. Что, конечно же, приводит к нежелательным последствиям. На рис. 3, б представлена зависимость вязкости Д от параметра 5 .

Как видно из рисунка, вязкость с ростом 5 уменьшается за счет большого роста температуры, поэтому при увеличении 5 не происходит закупорки канала, как это бывает довольно часто на производстве

Предложена математическая модель течения обобщенной ньютоновской жидкости в реакторе коаксиального типа при совместном действии химического и диссипативного источников тепловыделения и проведен анализ результатов

численных исследований, полученных на основании этой модели.

В силу специфичности свойств неньютоновской жидкости в режимах, близких к критическим, было обнаружено изменение по длине профиля как продольной, так и поперечной компонент скорости жидкости. Как показали расчеты, в предкритическом режиме теплообмена поперечная скорость жидкости при г = 0,5 (то есть в центре межстеночной области коаксиального канала) близка к нулю.

Динамическая вязкость жидкости сильно зависит от температуры, однако в режимах, близких к критическим, также наблюдается влияние на нее и градиента скорости.

Наряду с аналогичными распределениями характеристик в [5] и [6], распределения характеристик 0, Ж, V, Д, /, М по длине при различных значениях параметра 5 дают ясную картину о процессах, происходящих в условиях критического режима теплообмена при течении неньютоновской жидкости в коаксиальном канале.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кутателадзе С.С., Хабахпашева Е.М., Попов В.И. К гидродинамике жидкостей с переменной вязкостью // ПМТФ. 1966. №1. С. 45-49.

2. Франк-Каменецкий Д.А. Теплопередача и диффузия в химической кинетике. 3-е изд. М.: Наука. 1987. С. 320-358.

3. Абайдуллин Б.Р. Влияние геометрии бесконечного коаксиального канала и реологических характеристик жидкости на критические значения темпера-

туры, скорости и вязкости // Труды Академэнерго. 2006. №3. С. 16-27.

4. Абайдуллин Б.Р., Назмеев Ю.Г. Расчет критических состояний течения обобщенной ньютоновской жидкости на начальном участке коаксиального канала при диссипативном источнике тепловыделения // VII Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию. Красно -ярск, 2006. С. 33-34.

1

0

0

5. Абайдуллин Б.Р. Исследование влияния основных определяющих параметров на критический теплообмен при течении неньютоновской жидкости на начальном участке коаксиального канала // Труды Академэнерго. 2007. №1. С. 13-24.

6. Абайдуллин Б.Р. Зависимости характеристик тепломассобмена от параметра Франк-Каменецкого при критическом режиме теплообмена неньютоновской жидкости в реакторе // Труды Академэнерго. 2012. № 4. С. 20-28.

REFERENCES

1.Kutateladze S.S., Khabakhpasheva E.M., Popov V.I.

K gidrodinamike zhidkosty s peremennoy viazkost'yu. PMTF. 1966. №1. S. 45-49. (rus.)

2. Frank-Kamenetskiy D.A. Teploperedacha i diffu-ziia v khimicheskoi kinetike. 3-e izd. M.: Nauka, 1987. S. 320-358. (rus.)

3. Abaydullin B.R. Vliianie geometrii beskonechnogo koaksial'nogo kanala i reologicheskikh kharakteristik zhid-kosti na kriticheskie znacheniya temperatury, skorosti i viazkosti. TrudyAkademenergo. 2006. №3. S. 16-27. (rus.)

4. Abaydullin B.R., Nazmeev Yu.G. Raschet krit-icheskikh sostoianiy techeniya obobshchennoy n'iutonov-skoy zhidkosti na nachal'nom uchastke koaksial'nogo

kanala pri dissipativnom istochnike teplovydeleniyia. VII Vse-rossiiskaia konferentsiya molodykh uchenykh po matematiches-komu modelirovaniyu. Krasnoyarsk, 2006. (rus.)

5. Abaydullin B.R. Issledovanie vliianiia osnovnykh opredeliaiushchikh parametrov na kriticheskii teploobmen pri techenii nen'iutonovskoi zhidkosti na nachal'nom uchastke koaksial'nogo kanala. Trudy Akademenergo. 2007. №1. S. 13-24 (rus.)

6. Abaidullin B .R. Zavisimosti kharakteristik teplomas-sobmena ot parametra Franka Kamenetskogo pri krit-icheskom rezhime teploobmena nen'iutonovskoi zhidkosti v reaktore. Trudy Akademenergo. 2012. № 4. S. 20-28. (rus.)

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ

АБАЙДУЛЛИН Булат Равилевич — младший научный сотрудник лаборабории ТФИ Исследовательского центра проблем энергетики науки Казанского научного центра Российской академии наук , г. Казань, 420056, ул. Компрессорщиков, д. 31; 8(843) 239-82-83.

AUTHOR

ABAYDULLIN Bulat R. — Research center for power engineering problems Federal government budgetary institution of science Kazan scientific center Russian Academy of Sciences; Kazan, 420056, Kompressorshi-kov str., 31; 8 (843) 239-82-83

© Санкт-Петербургский государственный политехнический университет, 2014