CC BY
11
УДК 534.2 DOI 10.18522/1026-2237-2020-1-17-25
ИЗЛУЧЕНИЕ ЗВУКА ТОЧЕЧНЫМ ИСТОЧНИКОМ ВБЛИЗИ ПОВЕРХНОСТИ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА*
© 2020 г. Н.К. Мусатова1, М.А. Сумбатян1
1 Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия
SOUND RADIATION BY A POINT SOURCE NEAR A SURFACE OF AIRCRAFT
N.K. Musatova1, M.A. Sumbatyan1
1Southern Federal University, Rostov-on-Don, Russia
Мусатова Наталия Кристиановна - магистр, кафедра теоретической и компьютерной гидроаэродинамики, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, Россия, e-mail: musatova.nataliasfedu.ru@gmail.com
Сумбатян Межлум Альбертович - доктор физико-математических наук, профессор, кафедра теоретической и компьютерной гидроаэродинамики, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, Россия, e-mail: sumbat@math.sfedu.ru
Natalia K. Musatova - Master, Department of Theoretical and Computational Hydroaerodynamics, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science, Southern Federal University, Milchakova St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: musatova.natalia-sfedu. ru@gmail. com
Mezhlum A. Sumbatyan - Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Department of Theoretical and Computational Hydroaerodynamics, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science, Southern Federal University, Milchakova St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: sumbat@math. sfedu.ru
Изучается задача излучения звука источником, расположенным в хвосте летательного аппарата. Сравниваются три способа нахождения акустического давления: метод граничных интегральных уравнений, физическая теория дифракции Кирхгофа и лучевая теория. Рассматривается простейшая модель в виде двумерной задачи и некоторого тонкого удлинённого тела с острой задней кромкой. Задача дифракции для акустически твёрдого препятствия заключается в решении интегрального уравнения Фредгольма второго рода. Благодаря применению метода граничных интегральных уравнений уравнение по всей области сводится к уравнению по граничной кривой. Для численного решения уравнения применяется дискретизация по узлам сетки, выбранной на граничной кривой с использованием метода коллокаций. Образуется система линейных алгебраических уравнений с вещественными коэффициентами, из которой находится полное акустическое давление. Физическая теория дифракции Кирхгофа заключается в том, что при коротковолновой дифракции на произвольном выпуклом теле граничное значение давления в окрестности каждой граничной точки в зоне света равно удвоенному давлению в падающем поле. Согласно геометрической теории, модуль акустического давления в отражённом поле описывается функцией Ханкеля, аргумент которой равен полному пути пролёта луча при его однократном отражении от границы. Графически сравнивается давление в полном поле при существовании в острой кромке узла разбиения и при его отсутствии; строятся отраженное поле, посчитанное тремя теориями, и отраженное поле в дальней точке приёма.
Ключевые слова: аэроакустика, летательный аппарат, метод граничных интегральных уравнений, физическая теория дифракции Кирхгофа, лучевая теория, сингулярные интегралы, метод коллокации, акустическое давление, бесселевы функции, функция Грина.
The problem of sound radiation by a source located in the tail of an aircraft is considered. Three methods of finding acoustic pressure are compared: the boundary element method, the Kirchhoff's physical theory of diffraction and the ray theory. The simplest model in the form of two-dimensional problem and some thin long shape with acute angle is considered. The diffraction problem for an acoustically solid obstacle lay in the solving Fredholm's integral equation of the second kind. Due to the boundary element method application, the equation along the entire region is reduced to the equation along the
* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ), проект № 19-29-06013/19.
boundary. Discretization by grid nodes, selected on the boundary curve, using the collocation method is applied for numerical solution. A system of linear algebraic equations with real coefficients is formed, then the total acoustic pressure is found. The Kirchhoff's physical theory of diffraction is based on the fact that on an arbitrary convex body in case of short-wave diffraction in the vicinity of each boundary point in the zone of light the boundary value ofpressure is equal to twice pressures in the incident field. By the ray theory the modulus of the acoustic pressure in the scattering field is described by the Hankel function. Argument of this function is equal to the length offull path of the beam when it is reflected once from the border. In conclusion, the pressure in cases, when in the sharp edge there is a split node and when there isn't, are compared. Also a scattering field calculated by three theories and scattering field in the far receiving point are built.
Keywords: aeroacoustics, aircraft, boundary element method, Kirchhoff's physical theory of diffraction, ray theory, singular integrals, collocation method, acoustic pressure, Bessel functions, Green's function.
Введение
Одной из актуальных проблем аэроакустики является задача излучения звука источником, расположенным в хвосте летательного или подводного аппарата (к примеру, звук от двигателя самолета или подводной лодки). Для изучения этого явления необходимо исследовать дифракцию от точечного источника звука на остром угле хвоста летательного или подводного аппарата. Цель данного исследования - сравнение трёх способов расчета акустическо-
го давления: метода граничных интегральных уравнений (точное решение), физической теории дифракции Кирхгофа и лучевой теории дифракции, а также построение рассеянного поля в дальней зоне.
Постановка задачи
Рассмотрим точечный источник звука £, расположенный вблизи хвостовой части аппарата. Исследуется структура дифракционного поля в окрестности острого угла.
Рис. 1. Схема летательного аппарата / Fig. 1. Aircraft scheme
На рис. 1 точка £ обозначает точечный источник звука; оси х и у соответствуют декартовой системе координат; А , В - точки касания отрезков и круга; О - точка начала координат; а - радиус круга.
Для исследования влияния острой кромки на дифракцию падающей волны выбрана простейшая двумерная модель летательного аппарата в виде сегмента круга радиуса а (кабина), сопряженного с парой боковых прямолинейных отрезков (корпус), которые касаются круга в точках А и В . Полный угол раствора равен 26, как изображено на рис. 1, и АО = ВО = Ь. Граничный контур - гладкий, кроме задней острой кромки. Геометрические размеры для рассмотренных численных примеров подробно описаны ниже.
Как известно, если падающая акустическая волна с угловой частотой а и амплитудой акустиче-
1пс
ского давления р встречает препятствие, она дифрагирует. Как следствие, возникает рассеянная волна с амплитудой давления р*с. Из-за наличия препятствия (в данном случае - двумерной области) и возникновения рассеянной волны структура полного поля представляет собой сумму этих волн
р = ртс + рж. Волновой процесс предполагается гар-
-¡0)1
моническим во времени с множителем е .
После преобразований, аналогичных приведённым в [1, 2], задача дифракции для акустически твёрдого препятствия сводится к интегральному уравнению Фредгольма второго рода:
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 1
p(y0 )- 2р(у )
<'Ц y0 - У )
i
¿«y = 2PnC(У0). (1)
У
Здесь I - граничный контур области; у, у0 -внутренняя и внешняя переменные интегрирования на контуре; Ф - функция Грина; п - нормаль к
контуру в точке у ; - элементарная длина дуги
в точке у .
Если один из узлов разбиения внешней переменной у0 совпадает с острой задней кромкой, коэффициент перед внеинтегральным членом в формуле (1) изменяется [3, 4], и формула приобретает вид
26р(у'0)-21 р(у„ = 2р."<(уо). (2)
ж ¡от 7
1 у
Здесь 6 - величина половины острого угла задней кромки (рис. 1).
Методы моделирования рассматриваемой задачи
1. Метод граничных интегральных уравнений (ГИУ).
Задача сводится к интегральному уравнению по границе области с помощью функции Грина. Размерность исследуемой задачи снижается на единицу [5-7].
Функция Грина для двумерной задачи представляет собой функцию Ханкеля первого рода [8, 9]
Ф(уо -у|)=Ф(г) = к).
Её производная по нормали вычисляется в явном виде
^Ф = 5Ф ^ = (1) (^.¿ПУ).
От дг Оп у 4 1 г
Падающая волна от точечного источника звука
имеет вид
packЬ i H,1' ( К ),
где rs - рас-
стояние от источника звука до точки у .
После подстановки производной от функции Грина и падающего поля уравнение (1) принимает вид
¡кГг Л1)л ч (r, ПУ) _
.......... 2"0 I^
Р = (р1,р2,---,рк)с матрицей размером К х К. Разделяя вещественную и мнимую части, получим СЛАУ размером 2К х 2К с вещественными коэффициентами:
k K „ p Re +- y N .•
¥ m + 1 y Nmj 2 j = 1
T k K ~ p Im +k y N . F m + 1 y Nmj 2 j = 1
m = 1,...K. Здесь
Cmj ~
- J • P Im - Y • P Re J1 pj Y1 pj
t • p Re - Y • p Tm J1 pi Y1 pj
Yn I krm
01 s
J0 \K
m
-xj A yj+1- yj-1M ym - yj A xj+1 - xj -1
•Al.
р(утК11 Н(1) (кг АуЦ=¡"0° (К )
Для численного решения данного интегрального уравнения применяется дискретизация по узлам сетки, т. е. разбиение границы области на К равных отрезков, с использованием метода коллокаций. При этом исходная задача сводится к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с комплексными коэффициентами относительно вектора
нз =йх;+1- хз -1J ЛуУ+1- у; -1
При этом длина элементарной дуги
А/; = 2 (Ь - ху -1) 2 4; - у; -1) 2 + Ч(ху- ху+1) 2+у - уу+1) 2)
Стоит отметить, что из данной СЛАУ находится акустическое давление полного поля р(у) на граничной кривой. При этом акустическое давление рассеянного поля вычисляется по формуле
р8с (х)=! (3)
/ дпу у
2. Физическая теория дифракции Кирхгофа.
Суть данной теории сводится к четырём аксиомам: препятствие выпукло; вся граница препятствия состоит из двух участков: зоны света и зоны тени (куда прямой звук от источника не попадает), акустическое давление в зоне тени равно нулю; в зоне света в малой окрестности каждой точки границы падающая волна является плоской; кривизна отражающей поверхности локально в окрестности каждой точки равна бесконечности (по сравнению с малой длиной волны), т.е. отражающая поверхность предполагается плоской в малой окрестности каждой точки границы.
Из этого следует, что в любой точке в зоне света локально задача дифракции сводится к падению плоской волны на твёрдую плоскую границу. Исходя из этих физических посылок, Кирхгоф ввел гипотезу [10, 11]. Ее идея - при коротковолновой дифракции на произвольном выпуклом теле граничное значение давления в окрестности каждой
2
2
h
2
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 1
граничнои точки в зоне света такое же, как и при отражении плоской волны от бесконечной плоской границы, т.е. равно удвоенному давлению в падающем поле. Тогда рассеянное поле по-прежнему определяется формулой (3), при этом после подстановки найденного граничного давления оно сводится к выражению
psc(x) = J p(ydly = 2 J pi
l
y
l
+
a, y y
Как и в ГИУ, здесь можно разделить вещественную и мнимую части
, пх
= -k I o(krm)• Ji(kr)-Yo(krm)yi
8 j=1 *"
Ákr )
+
+ ijo (krm )• Yi(kr ) + Yo (krm )• Ji(kr )J).
3. Лучевая теория дифракции.
Согласно лучевой теории [12, 13], при отражении звукового луча от абсолютно твердой границы акустическое давление в произвольной точке такое же, как и от источника без отражений (если расстояние от источника до приемника принято равным полному пути пролёта звукового луча). Следу-
ет заметить, что эта формула справедлива, если существует луч отражения из источника в приёмник (рис. 2), в противном случае отраженное поле
равно нулю:
ps
=- H
4
(kR - S 1).
4. Рассеянное поле в дальней зоне.
Выше были описаны три метода для вычисления акустического давления вблизи граничной кривой. Теперь вычислим его в дальней зоне, когда точка приёма находится на расстоянии, достаточно большом в сравнении с размерами тела.
Для решения поставленной задачи возьмём рассеянное поле
p
ik(x, y )
J p( y) • e x • cos(,y, x)dl
(4)
После некоторых подстановок и преобразований формула (4) примет окончательный вид
ps
j(p
Re s . ■ Im
( y)+г • p
( y))(
\nly cosa + ,y sin a )x
x (cos(kß) - i sin(kß))dly
l
Рис. 2. Область, в которой существует луч отражения из источника в приемник (обозначена штрихом) / Fig. 2. The area where there is a reflection ray from the source to the receiver (indicated by a stroke)
где ¡ = У1 cos а + y2 sin a ; а - угол между началом координат и отрезком, соединяющим точку приёма и начало координат (рис. 3).
Рис. 3. Область и точка приема в дальней зоне в полярной системе координат / Fig. 3. Area and receiving point in the far zone in the polar coordinate system
Результаты
Для проведения расчетов по изложенным выше теориям разработана программа на языке С++. При этом метод ГИУ реализован в двух случаях - когда сетка разбиения построена таким образом, что в острой кромке есть узел (формула (2)), и когда узел отсутствует.
Для сравнения результатов по трем теориям
были заданы следующие размеры: угол в = —,
6
длина прямолинейного отрезка L = 32, радиус полуокружности R = L • tan в «18,48.
На рис. 4 приведено давление в полном поле, полученное методом ГИУ.
Рассмотрены 2 случая: наличие в острой кромке узла разбиения и его отсутствие.
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 1
Рис. 4. Решение, полученное методом ГИУ при K=250 в двух случаях: в острой кромке узел есть (слева) и в острой кромке узла нет (справа) (а - К=0,01; б - К=0,1) / Fig. 4. The solution obtained by the SIU method for K=250 in two cases: the sharp edge has a node (on the left ) and the sharp edge does not have a node (on the right) (a - К=0.01; b - К=0.1)
На одном графике расположены вещественная (сплошная линия) и мнимая (пунктирная линия) части акустического давления.
По вертикали отложено акустическое давление, по горизонтали - номера узлов разбиения граничного контура. При этом узлы идут вдоль граничного контура против часовой стрелки, начиная от острого угла.
Для вычисления полного акустического давления при волновых числах ¿=0,1 и ¿=0,01 количество разбиений ¿=250 оказалось вполне доста-
точно (в сравнении с ¿=400). Нетрудно заметить, что вблизи узла на острой кромке существует некий всплеск, тогда как без узла в острой кромке этого всплеска нет. Рассмотрим отраженное поле (рис. 5). На одном графике представлены решения, полученные с помощью метода ГИУ (сплошная линия), теории Кирхгофа (пунктирная линия) и лучевой теории (штрихпунктирная линия). По вертикали отложен модуль акустического давления, по горизонтали - волновое число ¿.
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 1
Рис. 5. Давление в рассеянном поле, полученное тремя методами, в зависимости от волнового числа K: в острой кромке есть узел (слева), в острой кромке узла нет (справа); а - K=750; S(0,20) - точка источника; s ■ (10, -10^/3" -10) - точка мнимого источника; R(-20, 25) - точка приемника; б - K=750; S(0,20) - точка источника; s ■ (-10 -10) - точка мнимого источника; R(-20, 25) - точка приемника / Fig. 5. The pressure in the scattered field obtained by three methods, depending on the wave number k: there is a node in the sharp edge (on the left ), there is no node in the sharp edge (on the right); a - K=750; S(0, 20) -
the source point; s (10, -10^/3, -10) - the imaginary point source; R(-20, 25) - point receiver; b - K=750; S(0,20) - point source; s (-10^/3 -10) - the imaginary point source; R(-20, 25) - point receiver
Таким образом, несмотря на то что решения СЛАУ с узлом в острой кромке и без него отличаются, на акустическое давление в рассеянном поле это практически не повлияло.
Вычислено отраженное поле в дальней точке приёма при разных волновых числах (рис. 6, 7).
Точка расположения источника равна 5(20,0). На одном графике представлены метод ГИУ
(сплошная линия) и теория Кирхгофа (пунктирная линия). Лучевая теория в данном случае не рассматривалась, так как для большей части углов рассеяния она дает нулевое рассеянное поле. Рассматривался случай ¿=250 с расположением узла на острой кромке, поскольку наличие или отсутствие узла никак не повлияло на результаты в дальней зоне.
Рис. 6. Рассеянное поле в дальней зоне при волновых числах k=0,01 (левый график), k=0,1 (правый график) / Fig. 6. Scattered field in the far zone with wave numbers k=0.01 (left graph), k=0.1 (right graph)
б / b
Рис. 7. Рассеянное поле в дальней зоне: теория Кирхгофа (слева), метод ГИУ (справа); а - k=1; б - k=10 / Fig. 7. Scattered field in the far zone: Kirchhoff theory (left), GIU method (right); a - k=1; b - k=10
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 1
Заключение
По результатам проведенного исследования можно сделать следующие выводы:
1. Сравнение решений по методу ГИУ в двух случаях (когда в острой кромке есть узел и когда его нет) показывает, что в остром угле есть особенность, отвечающая уравнению (2). Точный характер особенности известен из решения задачи дифракции на бесконечном клине [2]. Однако подстановка этих решений в формулу для рассеянного поля показывает, что влияние этой особенности практически отсутствует.
2. Рассматриваемая задача дифракции на остром угле аппарата решена при помощи трёх методов. Точное решение для давления на граничном контуре методом ГИУ оказалось далеким и от теории Кирхгофа, и от лучевой теории. Таким образом, для рассматриваемой сильно нерегулярной границы, где препятствие представляет собой тонкое тело, да еще и с острым углом, только точная теория на основе ГИУ может дать правильный результат.
3. Результаты по методу ГИУ и по теории Кирхгофа сравнивались также в дальней зоне. Оказалось, что теория Кирхгофа при наличии острой кромки даёт правдоподобные результаты лишь по порядку величины, а числовые значения по этой теории далеки от точных. Таким образом, в ситуации, когда источник звука расположен вблизи хвостовой острой кромки аппарата, надёжные результаты может давать только точная теория.
4. На больших частотах диаграмма рассеяния имеет несколько резких явно выраженных максимумов. На соответствующих углах рассеяния система аппарат - источник звука акустически видна в дальнем поле. По остальным направлениям она практически не видна. Этот факт дает теоретическую базу для конструирования систем типа самолет-невидимка или подводная лодка -невидимка.
Литература
1. Сумбатян М.А., Скалия А. Основы теории дифракции с приложениями в механике и акустике. М.: Физматлит, 2013. 328 с.
2. Шендеров Е.Л. Волновые задачи гидроакустики. Л.: Судостроение, 1972. 352 с.
3. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Метод граничных элементов в прикладных науках: пер с англ. М.: Мир, 1984. 494 с.
4. Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов: пер. с англ. М.: Мир, 1987. 524 с.
5. Nethercote M.A., Assier R.C., Abrahams I.D. Analytical methods for perfect wedge diffraction: A review // Wave Motion. 2020. Vol. 93. Article 102479.
6. Chandler-Wilde S., Peplow A. A boundary integral equation formulation for the Helmholtz equation in a locally perturbed half-plane // ZAMM - J. of Applied Mathematics and Mechanics. 2005. Vol. 85. P. 79-88.
7. Tsuji T., Kagawa Y. Finite element and boundary element modelling for acoustic wave transmission in mean flow medium // J. of Sound and Vibration. 2002. Vol. 255. P. 849-866.
8. Кузьмин Р. Бесселевы функции. М.; Л.: ГТТИ, 1933. 152 с.
9. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. М.: Наука, 1979. 832 с.
10. Lyrintzis A., George A. Use of the Kirchhoff method in acoustics // AIAA J. 1989. Vol. 27. P. 14511453.
11. Ghorbaniasl G., Siozos-Rousoulis L., Lacor C. A time-domain Kirchhoff formula for the convective acoustic wave equation // Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 2016. Vol. 472. P. 1-17.
12. Бабич В.М., Булдырев В.С. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М.: Наука, 1972. 456 с.
13. Pierce A.D. Acoustics: An Introduction to Its Physical Principles and Applications. N. Y.: ASA Publ. 1991. Chapter 8: Ray Acoustics.
References
1. Sumbatyan M.A., Scalia A. (2013). Fundamentals of the diffraction theory with applications in mechanics and acoustics. Moscow, Fizmatlit Publ., 328 p. (in Russian).
2. Shenderov E.L. (1972). Wave problems of hydroacoustics. Leningrad, Sudostroenie Publ., 352 p. (in Russian).
3. Banerjee P., Batterfield R. (1984). Boundary element methods in engineering science. Transl. from English. Moscow, Mir Publ., 494 p. (in Russian).
4. Brebbia C., Telles J., Wrobel L. (1987). Boundary element techniques. Transl. from English. Moscow, Mir Publ., 524 p. (in Russian).
5. Nethercote M.A., Assier R.C., Abrahams I.D. (2020). Analytical methods for perfect wedge diffraction: A review. Wave Motion, vol. 93, article 102479.
6. Chandler-Wilde S., Peplow A. (2005). A boundary integral equation formulation for the Helmholtz equation in a locally perturbed half-plane. ZAMM-Journal of Applied Mathematics and Mechanics, vol. 85, pp. 79-88.
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 1
7. Tsuji T., Kagawa Y. (2002). Finite element and boundary element modelling for acoustic wave transmission in mean flow medium. Journal of Sound and Vibration, vol. 255, pp. 849-866.
8. Kuzmin R. (1933). Bessel functions. Moscow, Leningrad, State Technical and Theoretical Publishing House, 152 p. (in Russian).
9. Abramovits M., Stigan I. (1979). Handbook of special functions. Moscow, Nauka Publ., 832 p. (in Russian).
10. Lyrintzis A., George A. (1989). Use of the Kirchhoff method in acoustics. AIAA Journal, vol. 27, pp. 1451-1453.
Поступила в редакцию /Received
11. Ghorbaniasl G., Siozos-Rousoulis L., Lacor C. (2016). A time-domain Kirchhoff formula for the convective acoustic wave equation. Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, vol. 472, pp. 1-17.
12. Babich V.M., Buldyrev V.S. (1972). Asymptotic methods in short-wave diffraction problems. Moscow, Nauka Publ., 456 p. (in Russian).
13. Pierce A.D. (1991). Acoustics: An introduction to its physical principles and applications. New York, ASA Publ. Chapter 8: Ray Acoustics.
17 февраля 2020 г. /February 17, 2020
