Изложение вопроса «Законы Снеллиуса» в оптике Текст научной статьи по специальности «Физика»

Аналогию между формулами разделов «Электричество» и «Магнетизм» можно продолжить при изучении, например, взаимодействия электрического диполя с неоднородным электрическим полем и действия неоднородного магнитного поля на круговой ток, а также другие явления.

Отметим также, что и в других разделах физики целесообразно придерживаться предложенного здесь формализма. Например, в законе всемирного тяготения следует использовать символ дт, понимая под ним конечную тяготеющую массу бесконечно малых геометрических размеров (точечную массу).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Введя определенную системность в обозначениях физических величин различного порядка малости, можно провести определенный параллелизм в изложении курсов «Электричество» и «Магнетизм», что будет способствовать лучшему пониманию и усвоению учащимися изучаемого материала.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Калашников С.Г. Электричество.- М.: Наука, 1964.- 666 с. А.С. Парахин

Курганский государственный университет, г. Курган, Россия

ИЗЛОЖЕНИЕ ВОПРОСА «ЗАКОНЫ СНЕЛЛИУСА» В ОПТИКЕ

Аннотация: При изложении законов преломления и отражения луча света традиционно считается, что это экспериментальные законы. Исторически это оправдано, т.к. эти законы действительно были получены опытным путём. Однако они являются следствием более общего закона - принципа Ферма. В работе показано, как из принципа Ферма следуют законы отражения и преломления.

Ключевые слова: принцип Ферма, законы отражения и преломления.

A.S. Parakhin

Kurgan State University, Kurgan, Russia

PROBLEM PRESENTATION: LAW IN OPTICS

SNELL'S

Abstract: In presentation of the laws of refraction and reflection of light rays they are traditionally considered to be experimental ones. Historically, it is justified since these laws really were discovered empirically. However, they are derived from a more general law, i.e. Fermat's principle. The work shows how the laws of refraction and reflection follow from Fermat's principle.

Keywords: Fermat's principle, laws of refraction and reflection.

ВВЕДЕНИЕ

При изложении законов преломления и отражения луча света традиционно считается, что это экспериментальные законы. Исторически это оправдано, т.к. эти законы действительно были получены опытным путём. Однако они являются следствием более общего закона -принципа Ферма.

ЗАКОН ОТРАЖЕНИЯ

Пусть луч света падает на границу раздела двух сред, и граница раздела представляет собой плоскость. Выберем систему координат так, чтобы плоскость xoy совпа-

дала с границей раздела, а ось 02 была направлена в сторону первой среды, все параметры которой мы будем индексировать единицей, а параметры второй среды - двойкой. Обозначим координаты точки падания луча

0(х,у,0). Координаты точки, из которой исходит луч, обозначим Л(х1,у1,21), координаты точки, в которую попадает отражённый луч, - В(х\,у\,2\), преломлённый луч - С(х2,у2,22).

Рис. 1. Схема расположения лучей падающего отражённого и преломлённого

Обозначим скорость распространения луча в первой среде V,, во второй - У2 . Найдём время распространения луча от точки А до точки В.

И и

Оно равно

t >■

V V

Найдём расстояния, входящие в формулу Тогда время распространения луча

> V(х ■ х1)2 • (у ■ У1)2 • ^

VI '

4(х ■ хр)2 , (у . УР)2 , 2§ ' V,

(1)

(2) (3)

(4)

будет функцией координат точки падения луча. Согласно принципу Ферма это время должно быть минимальным. Для нахождения координат точки О приравняем к нулю производные времени (4) по координатам

Ч

>

x » X j

'X

X . xj

' .¡(X^jj^TiyTyj^2Vi

> 0

(5)

2t

>

У ■ У1

!y jix.xjTiy.yj^Vi

z

y ■ y¡

' • xp)2' (y • yp)2' v

Из выражений (5) и (6)

> 0

x . x

i

Vi

x . xi

>

> .

Vi

y ■ y i

V(x7x^r7(y7y^r7Z7Vi

y ■ y i

>

> .

4(x . xp)2 , (y . yp)2 , Vi

Поделим первое равенство на второе

x . x

x . xp

y ■ y i y ■ yp'

>

(x . x1) , (y . y1)

(x . xp)2 , (y . yp)2

t >

4(x ■ xi)2 ' (y ■ yi)2 ,

V,

2 2 z,

4(x ■ x2)2 . (y ■ y2)2 , V2

22

Снова продифференцируем это выражение по координатам точки D

Ч

x • x j

>

x . x2

4(x ■ x2)2 ' (y ■ y2)2 ' z21V2

>0

2t

y ■ y1

(6)

!y > JíxTxFTfT.yi)2,^y,'

y ■ y 2

4(x ■ x2)2 ' (y ■ y2)2 ' z2V2

>0

и разнесем разные части выражения по разные стороны от знака равенства

(7)

x » x j

>

x . x

>

2

i 2 2 2 Í(x ■ x2) ' (y ■ У2) ' Z21V2

(15)

(8)

y ■ y1

Vi

>

>

y ■ y 2

(9)

4(x ■ x2)2 ' (y ■ y2)2 ' z2V2

(16)

Разделим (15) на (16)

Это равенство указывает на тот факт, что проекции точек Л и Б на плоскость жсу а также точка О лежат на одной прямой в плоскости границы раздела двух сред. Это в свою очередь означает, что луч падающий, отражённый и перпендикуляр к границе раздела сред лежат в одной плоскости.

Теперь возведём обе части равенств (7) и (8) в квадрат и сложим

x . x

>

x . x

2

(x . xi)2 , (y . y1)2 , Z1 (x . xp)2 , (y . yp)2 , z§ '(10)

Левая часть равенства представляет собой квадрат синуса угла падения, а правая - отражения. Это значит, что

2 2х N sin b > sin b, I sin b > sin b, I b > b,, (11)

т.е. угол падения равен углу преломления.

ЗАКОН ПРЕЛОМЛЕНИЯ

Аналогично найдём время прохождения луча от точки A до точки C через точку D.

■ (17)

У ■ У1 У ■ У2

Данное равенство означает, что проекции точек Л и С на плоскость раздела сред и точка падения луча лежат на одной прямой. Что в свою очередь означает, что луч падающий и преломлённый, а также перпендикуляр к границе раздела сред лежат в одной плоскости.

Возведём обе части равенств (15) и (16) в квадрат и сложим

í(

>

>

(x . xi)2 , (y . yi)2 x . x,)2 , (y . y,)2 , z]V2

22 (x ■ x2) ' (y ■ y2)

J(x . x2)2 , (y . y2)2 , z^iV2

(18)

Выражение слева - это квадрат синуса угла падения, поделённый на квадрат скорости распространения луча в первой среде, выражение справа - квадрат синуса угла преломления, поделённый на скорость распространения луча во второй среде. Так что

2

sin b

(12)

V,

2

sin2 c >-— I

V2

2

sinb sin c >

V1

121 Из выражения (19) находим

sinb V,

V2

>

sin c V2

2

(19)

(20)

Отношение скоростей распространения луча в разных средах называется относительным коэффициентом преломления

(13)

V1

V2

>n

12

(21)

x

СЕРИЯ «ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ», ВЫПУСК 3

69

так что

sinb

> n

sin c

12 .

(22)

Это равенство и представляет собой закон преломления: отношение синуса угла падения к синусу угла преломления равно относительному коэффициенту преломления двух сред, на границу раздела которых падает луч.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, принцип Ферма позволяет доказать закон преломления и отражения.

А.С. Парахин

Курганский государственный университет, г. Курган, Россия

ИЗЛОЖЕНИЕ ВОПРОСА «ЗАКОН ИЗМЕНЕНИЯ ЭНЕРГИИ» В МЕХАНИКЕ

Аннотация: При изложении вопросов, связанных с понятием энергии, обычно любое соотношение по превращению энергии называют законом сохранения энергии. Это точка зрения верна, если под энергией понимать любой вид энергии. Если же при толковании того или иного соотношения, связанного с энергией, оставаться в рамках одного раздела физики (механики, молекулярной физики, электричества и т.п.), то уместнее использовать название закона изменения энергии того или иного вида, т.к. это более общее название. В данной работе рассмотрены изменения и сохранения кинетической и полной энергии. Показано при каких условиях закон изменения энергии переходит в закон сохранения энергии.

Ключевые слова: закон изменения энергии, кинетическая энергия, полная энергия.

ЗАКОН ИЗМЕНЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОМ ЭНЕРГИИ

МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Рассмотрим закон изменения кинетической энергии материальной точки в механике. Обозначим

Рг, г > 1п (1)

- силы, действующие на материальную точку, п - количество сил, приложенных к материальной точке. Согласно второму закону Ньютона

D П D ma >0 F .

(2)

Здесь т - масса материальной точки, а - её ускорение. Предположим, что за некоторый малый промежуток времени й материальная точка переместилась, её радиус - вектор изменился на йг . Умножим скалярно (2) на йг.

m(a,dr) > 0 (F, dr).

(3)

i >1

Выражение справа от равенства представляет собой элементарную работу, совершённую всеми силами, действующими на материальную точку на перемещении

йг.

п В 0

О > ал (

г >1

Выражение слева преобразуем следующим образом

В В аВ В В ¿В т(а,йг ) > т(—,йг ) > т(йу,—) > й1 й1

A.S. Parakhin

Kurgan State University, Kurgan, Russia

2 2 ..DD . j,mv ,

> m(dv,vj > md(^j > d(-^j > dK. (5)

PROBLEM PRESENTATION: ENERGY CHANGE LAW IN MECHANICS

Abstract: In presentation of the problems connected with concept of energy, usually any ratio on energy transformation is called the law of conservation of energy. This point of view it is true if under energy to understand energy of any kind. If while interpreting this or that correlation connected with energy to remain within the limits of one section of physics (mechanics, molecular physics, electricity, etc.), then it is more appropriate to use the name of the law of change of energy of this or that kind since it is a more general name. The work considers changes and conservation of kinetic and total energy are considered. It is shown under which conditions the law of change of energy turns into the law of conservation of energy.

Keywords: the law of change of energy, kinetic energy, total energy.

ВВЕДЕНИЕ

При изложении вопросов, связанных с понятием энергии, обычно любое соотношение по превращению энергии называют законом сохранения энергии. Это точка зрения верна, если под энергией понимать любой вид энергии. Если же при толковании того или иного соотношения, связанного с энергией, оставаться в рамках одного раздела физики (механики, молекулярной физики, электричества и т.п.), то уместнее использовать название закона изменения энергии того или иного вида, т.к. это более общее название.

где у - скорость материальной точки в данный момент времени, К - кинетическая энергия материальной точки. Тогда выражение (3) можно записать с помощью понятия кинетической энергии

йК > йЛ. (6)

Это выражение можно назвать законом изменения кинетической энергии материальной точки. Он гласит: изменение кинетической энергии материальной точки на элементарном перемещении равно элементарной работе всех сил, действующих на материальную точку. Эту форму записи условно назовём закон изменения кинетической энергии материальной точки в элементах.

Проинтегрируем (3) по некоторому конечному перемещению

r2 DD Г2 П D d

m(a,drj > 0 (Fj,drj

D

ri

(7)

ri

i >i

Слева в данном случае стоит выражение для изменения кинетической энергии материальной точки на некотором конечном перемещении

В В

г2 г2

т(а,йг ) > йК > ЕК

X

D

ri

X

D

ri

(8)