CC BY
12
Мощность ^ вычислялась исходя из градиента температуры на верхнем конце образца
dT
W = xs— dx
(5)
x=l
Ошибкой считалась разность между вычисленным значением теплопроводности X и заложенным в программу X. Градиент температуры рассчитывался также численно.
Параметры тепловых потоков выбирались следующими: теплопроводность материала
X = 10 Вт/(м • К) (примерное значение теплопроводности висмута [3]), коэффициент теплоотдачи
а = 0.4 Вт/(м2 • К) (для давления воздуха примерно 10-3 мм Ы§ ), коэффициент поглощения - единица. Температура градиентного нагревателя -90 К, температура общего нагревателя -100 К .
В первом варианте рассчитанная теплопроводность оказалась равной 10.032, что соответствует абсолютной погрешности 0.032 . Во втором варианте теплопроводность равна 9.983 с погрешностью - 0.017. Таким образом, в первом варианте теплопроводность определяется с избытком, во втором варианте - с недостатком. Это обусловлено тем, что график температурного поля в первом случае вогнут, во втором случае - выпуклый. Для уточнения результата можно взять среднее арифметическое этих значений. Тогда теплопроводность будет равна
10.0075 с погрешностью 0.0075, что намного меньше погрешностей обоих прежних результатов. В третьем варианте теплопроводность оказывается равной 9.995, погрешность — 0.005, что меньше даже средней погрешности двух предыдущих результатов. В четвёртом варианте теплопроводность равна 10.000002 с погрешностью 2.0 • 10, что значительно меньше погрешности всех остальных результатов.
Несмотря на оценочность приведённых результатов, достоверно можно заключить, что погрешность вариантов определения теплопроводности уменьшается с номером варианта, и самый точный из трёх первых есть последний вариант, а из всех четырёх - четвёртый. Трудность реализации последнего варианта состоит в том, что для создания линейного температурного поля вдоль фонового экрана необходима достаточно высокая интегральная теплопроводность его стенок, что приводит к большим тепловым потокам для задания нужного перепада температур. Это в свою очередь требует достаточно мощного компенсационного нагревателя.
Интересно также отметить, что ошибки, вносимые в определение теплопроводности излучением и теплопри-токами из атмосферы, по-разному зависят от температуры. Так, при температуре Т0 = 300 К абсолютная погрешность, вносимая теплопритоками из атмосферы, примерно равна 1.5 • 10~2 , а погрешность, вносимая
излучением, равна 2. 7 • 10_1, т.е. почти в 20 раз больше. При температуре Т0 = 90 К эти погрешности со-
ответственно равны 8.1 • 10 3 и 8.8 • 10 3, т.е. практически сравнялись. При низких температурах
Т0 = 10 К погрешности уменьшаются по-разному: погрешность из-за притоков из атмосферы становится равной 3 2 • 10~3, погрешность из-за излучения - равной
7.2 • 10~5, т.е. уже намного меньше погрешности из-за
притоков из окружающего воздуха. Из этих рассуждений видно, что при комнатной температуре теплопритоки излучением превалируют над теплопритоками за счёт теплопроводности. При азотных температурах эти теплопритоки примерно сравниваются. При температурах, близких к гелиевым, излучением можно пренебречь.
Для количественного определения реальных параметров материала и тепловых потоков рассчитывался тепловой поток на верхнем конце образца с выбранными произвольно определяемыми параметрами и сравнивался с измеренным экспериментально. Для этого проводилось два эксперимента с разными давлениями воздуха внутри измерительной камеры, чтобы определить коэффициент теплоотдачи, обусловленный наличием атмосферы. Оба эксперимента проводились с двумя возможными значениями температуры фонового экрана. Это позволило определить коэффициент поглощения материала экрана. После этого проводился эксперимент с другой температурой общего нагревателя, что позволило определить и коэффициент поглощения материала образца. По этим экспериментам неизвестные параметры - теплопроводность материала, коэффициент теплоотдачи и коэффициенты поглощения образца и фонового экрана -подбирались так, чтобы расчётные данные удовлетворяли всем экспериментам. Подбор осуществлялся автоматически методом наименьших квадратов.
Таким образом, компьютерное моделирование тепловых потоков в исследуемом образце при наличии притоков из атмосферы за счёт теплопроводности и излучения позволяет не только выявить погрешность того или иного метода, выбрать наиболее подходящий по точности, но и учесть теплопотери при измерении теплопроводности.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бочегов В.И. Методика прямого измерения теплопровод-
ности термоэлектрических материалов. Термоэлектрики и их применение. -СПб., 2004. -С.315-317.
2. Драббл Дж., Голдсмит Г. Теплопроводность полупровод-
ников. -М, 1963.
3. Физические величины: Справочник /Под ред. И.С. Гоигорь-
ева, Е.З. Мейлихова.- М.: Энергоиздат, 1991.
А.С. Парахин
Курганский государственный университет
ИЗЛОЖЕНИЕ ТЕМЫ "ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ И ОПЕРАТОРЫ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН В АТОМНОЙ ФИЗИКЕ"
Аннотация: В работе рассмотрены некоторые методические особенности изложения трудных вопросов атомной физики с использованием аналогии атомной физики с электродинамикой, например, корпускулярно-волновой дуализм, присущий световым явлениям, используется для интерпретации одного из самых трудных для изучения понятий в атомной фи-
зике - волновой функции частиц. Предложенная схема изложения способствует боле глубокому и прочному усвоению студентами основ атомной физики.
Ключевые слова: атомная физика, волновая функция, операторы физических величин, уравнение Шредингера.
ВВЕДЕНИЕ
При изучении атомной физики наибольшую трудность у студентов вызывают следующие вопросы: физический смысл волновой функции и операторы физических величин. По-видимому, это связано с тем, что данные понятия излишне формализованы. В нашей работе предлагается изучать эти вопросы, опираясь на некоторую аналогию атомной физики с электродинамикой.
1. ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЁ ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ
Атомная физика по своему методу описания природы существенно отличается от классической. Одним из самых важных отличий является тот факт, что поведение частиц в атомной физике описывается не заданием траектории их движения и скорости, а с помощью задания волновой функции. Это обусловлено тем, что на уровне микромира частицы ведут себя подобно волне, которая называется волной де Бройля. Функцию, описывающую эту волну, называют волновой функцией.
В отличие от обычных волн волна де Бройля может быть комплексной, поэтому её принято записывать в показательном виде
W = W0 e
—i( mt—( к ,r ))
(1)
В данном случае записана плоская волна де Брой-ля с постоянной амплитудой. В общем же случае волна может носить произвольный характер, а амплитуда зависит от координат.
Для частиц
E
m = — h '
к = P h, поэтому
W = W0 e h
(Et—( p,r ))
(2)
(3)
(4)
Для определения физического смысла волновой функции микрочастиц воспользуемся аналогией с электромагнитной волной. Для световых явлений известны две существенно различные системы описания: волновая и корпускулярная. Совокупность этих двух систем называют корпускулярно-волновым дуализмом. Электромагнитная волна описывается волновой функцией
E = Eo cos(mt — (к,r).
(5)
Плотность энергии с точки зрения волновой природы света пропорциональна квадрату амплитуды волновой функции. С точки зрения корпускулярной природы плотность энергии пропорциональна числу фотонов в единице объёма. Поэтому для световых волн можно считать, что число фотонов в единице объёма пропорционально амплитуде волновой функции электромагнитной волны. Пользуясь тем фактом, что для частиц вещества экспериментально подтверждён корпускулярно-волновой дуализм, можно считать, что их концентрация пропорциональна квадрату амплитуды волновой функции. Однако из-за комплексного характе-
ра волновой функции для частиц вместо квадрата амплитуды волновой функции нужно использовать квадрат модуля амплитуды волновой функции или произведение амплитуды волновой функции на число, комплексно сопряжённое. Если ввести коэффициент пропорциональности A , то концентрацию частиц, описываемых волновой функцией ф, можно определить следующим образом
n = AWW*. (6)
Для отыскания коэффициента пропорциональности предположим, что в некоторой области пространства содержатся N частиц, описываемых волновой функцией ф. Тогда их общее число можно выразить с помощью
(6)
N = jjjndV = jjjA WW*dV. V V
(7)
Так как коэффициент пропорциональности является постоянной величиной, его можно вынести за знак интеграла
N = AfffWW*dV V
и выразить через количество частиц
N
(8)
А = -
(9)
V
В таком случае концентрацию частиц можно найти по формуле
NWW
n
jjjW¥*dV
V
Разделим это равенство на общее число частиц
n WW*
(10)
N ¡¡¡WW*dV
(11)
V
Величина, стоящая слева от равенства, представляет собой плотность вероятности встретить частицу в данной точке пространства, она обозначается £2д , так что
Пп
ww"
jjjWW*dV
V
(12)
Отсюда и следует физический смысл волновой функции частиц: квадрат модуля волновой функции пропорционален плотности вероятности встретить частицу в данной точке пространства. Обычно волновая функция определена с точностью до произвольного множителя, поэтому её выбирают так, чтобы выполнялось равенство
jjjWW*dV = 1.
V
(13)
Это равенство называется условием нормировки волновой функции. При таком выборе волновой функции плотность вероятности встретить частицу в данной точке пространства оказывается просто равной квадрату модуля волновой функции
*
п0 = <у . (14)
С помощью плотности вероятности можно определить концентрацию частиц
п = ЫУУ*. (15)
Если каждая частица обладает некоторой характеристикой f (Г ) , в общем случае разной в разных точках пространства, например, полной энергией, то, пользуясь (15), можно найти полную величину этой характеристики для всех частиц
^=f (г ^ = щ (г )уWdv =
= N f ( г )Ч'x¥*dV
V .
Отсюда можно найти среднюю величину характеристики частиц
< f >= — N
f ( г )Ч»Т*с1У
V
£
1
У(х,у, 2 Л ) .
(18)
У(х,у, 2 Л )
Если найденная величина не зависит от координат и времени, она имеет в данном состоянии определённое значение. В противном случае она не имеет в данном состоянии определённого значения, но может быть найдено её среднее значение по формуле (17)
V
(19)
Подставив сюда значение величины из (18), полу-
чим
1
У(х,у, 2лdV
(16)
V У(Х,У,2,Г) — " ■ (20)
Сократив на волновую функцию, найдём одну из самых фундаментальных формул атомной физики
V
(21)
(17)
Таким образом, волновая функция микрочастиц позволяет найти вероятность нахождения частицы в той или иной области пространства, а также средние значения величин, относящиеся к частице.
2. ОПЕРАТОРЫ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
Как было показано выше, волновая функция играет важную роль в описании поведения микрочастиц. С её помощью можно определять величины, описывающие состояние микрочастиц. Для этого используются операторы, каждый из которых соответствует своей величине.
В классической механике любая величина (будь то координата, импульс или энергия кинетическая, потенциальная и т.п.) в принципе могла быть измерена с какой угодно точностью или пересчитана через другие величины, поскольку в любой момент времени имеет вполне определённое значение. В квантовой механике благодаря соотношению неопределённостей ситуация иная. В принципе не всегда даже можно измерить или вычислить ту или иную величину. Это зависит от состояния кван-товомеханической системы, которое описывается волновой функцией. Поэтому волновая функция раскрывает, какие величины имеют определённое значение и их можно рассчитать через волновую функцию, а какие не имеют определённого значения вообще и не могут быть не только измерены, но даже и рассчитаны. Однако в последнем случае можно рассчитать среднее значение таких величин с помощью волновой функции. Для того чтобы с помощью волновой функции можно было рассчитывать значения величин, которые имеют в данном состоянии определённое значение, или рассчитывать средние значения для величин, которые определённого значения в данном состоянии не имеют, каждой величине в физике ставится в соответствие оператор, с помощью которого может быть вычислено значение данной величины по следующему правилу. Пусть некоторой величине 5 поставлен в соответствие оператор £ . А
У(Х,у, 2Л) есть волновая функция данного состояния. Тогда величина определяется следующим образом:
Сравнивая эту формулу с (17), находим, что всем величинам, зависящим от координат частиц, ставится в соответствие оператор умножения волновой функции на эту величину. Например, потенциальной энергии частиц ставится оператор умножения волновой функции на потенциальную энергию частиц. Координатам частицы ставится в соответствие оператор умножения волновой функции на соответствующую координату.
Воспользовавшись волновой функцией свободной частицы (4) можно по определению найти операторы, соответствующие основным величинам.
Оператор, соответствующий полной энергии частицы:
д
Е = ¡к— дг
Оператор Х-й координате импульса частицы
(22)
Р Х
¡к—
дх
(23)
Аналогично можно найти операторы, соответствующие другим проекциям импульса. Они также будут операторам дифференцирования по соответствующим координатам с тем же множителем. В векторном виде можно записать
Р = -¡кУ.
(24)
Для определения оператора квадрата импульса нужно дважды применить оператор импульса к волновой функции
р2 = (-¡нУ —т) = -н
2
(25)
Таким образом, оператор квадрата импульса связан с оператором Лапласа.
Аналогично могут быть найдены и другие операторы.
3. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
Для вычисления волновой функции частиц используется уравнение Шредингера, которое играет в атомной физике такую же роль, что и волновое уравнение в тео-
рии волн, поэтому оно часто называется волновым уравнением квантовой механики.
Для того чтобы установить вид уравнения Шрединге-ра, будем использовать определение полной энергии частиц
.2
Е =
2т
U.
(26)
Подставим сюда величины, характеризующие частицу и выраженные через соответствующие операторы в соответствии с(18)
1 №
— m-
V dt
h 1 - 1
—AlF— + Ulf/— 2m 4* W
Умножив обе части равенства на волновую функцию, получим уравнение Шредингера
ш
h
2
2т
АУ + иУ
того, его период должен быть достаточно точно известным. Часто приходится анализировать апериодические переменные сигналы или сигналы, период которых неизвестен. В этом случае можно использовать модель дифракционной решётки.
1. МОДЕЛЬ ДИФРАКЦИОННОЙ РЕШЁТКИ
Пусть требуется установить гармонический состав переменного сигнала, заданного функцией
y = f(t).
Мысленно сконструируем из этого сигнала волну, добавив запаздывание
(27)
y = f(t-s/c).
Здесь путь, пройденный волной, С - скорость распространения волны. Мысленно направим эту волну на некоторую дифракционную решётку, период которой , ширина щели и количество щелей П (рис. 1).
(28)
Именно это уравнение и является основным во всей атомной физике.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В работе рассмотрены некоторые методические особенности изложения трудных вопросов атомной физики с применением аналогии атомной физики с электродинамикой. Например, корпускулярно-волновой дуализм, присущий световым явлениям, используется для интерпретации одного из самых трудных для понимания понятий в атомной физике - волновой функции частиц. Предложенная схема изложения способствует более глубокому и прочному усвоению студентами основ атомной физики.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Шпольский Э.В. Атомная физика. -М.: Наука, 1974 - 575 с.
A.C. Парахин
Курганский государственный университет
МОДЕЛЬ ДИФРАКЦИОННОЙ РЕШЁТКИ
Аннотация: В работе рассматривается компьютерная модель дифракционной решётки, позволяющая анализировать не только быстропеременные сигналы, но и сигналы любой частоты. С помощью такой модели можно выяснить гармонический состав переменного сигнала и найти амплитуды составляющих его гармоник. Действие модели продемонстрировано на примере двух функций, одна из которых состоит из 3-х простых гармоник, а вторая представляет собой пилообразный сигнал, содержащий бесконечно много гармоник. В последнем случае модель позволяет выявить наиболее значимые из них.
Ключевые слова: дифракционная решётка, синусоидальная дифракционная решётка, ряд Фурье, простые гармоники, гармонический анализ.
ВВЕДЕНИЕ
Дифракционная решётка используется в основном для спектрального анализа световых сигналов, частота которых порядка 1016 Гц. Для анализа медленно меняющихся сигналов применяется метод Фурье. Использование этого метода требует периодичности сигнала. Кроме
Рис. 1. Схема использования дифракционной решётки
Пройдя через дифракционную решётку, волна с помощью линзы собирается на экране, расположенном в фокальной плоскости линзы. Рассчитаем интенсивность волны, идущей после прохождения дифракционной решётки (продифрагировавшей волны) в направлении, заданном углом (р по отношению к перпендикуляру к дифракционной решётке. Для этого выделим внутри щели с
номером j = О,У1 — 1 элемент её длины X на Рас~
стоянии X от левого края этой щели. На этот элемент приходится часть волны, амплитуда которой определяется формулой
dF = adx nab
(3)
Через С! здесь обозначена длина каждой щели.
Луч, идущий от этого элемента щели, опаздывает по отношению к лучу, идущему от левого края нулевой щели, на величину
А1-( ]й + х)ят(р/с, (4)
так что в точке падения на экран величина волнового поля, определяемого этим лучом, будет вычисляться по формуле
