Модель дифракционной решётки Текст научной статьи по специальности «Математика»

рии волн, поэтому оно часто называется волновым уравнением квантовой механики.

Для того чтобы установить вид уравнения Шрединге-ра, будем использовать определение полной энергии частиц

.2

Е =

2т

U.

(26)

Подставим сюда величины, характеризующие частицу и выраженные через соответствующие операторы в соответствии с(18)

1 №

— m-

V dt

h 1 - 1

—AlF— + Ulf/— 2m 4* W

Умножив обе части равенства на волновую функцию, получим уравнение Шредингера

ш

h

2

2т

АУ + иУ

того, его период должен быть достаточно точно известным. Часто приходится анализировать апериодические переменные сигналы или сигналы, период которых неизвестен. В этом случае можно использовать модель дифракционной решётки.

1. МОДЕЛЬ ДИФРАКЦИОННОЙ РЕШЁТКИ

Пусть требуется установить гармонический состав переменного сигнала, заданного функцией

y = f(t).

Мысленно сконструируем из этого сигнала волну, добавив запаздывание

(27)

y = f(t-s/c).

Здесь путь, пройденный волной, С - скорость распространения волны. Мысленно направим эту волну на некоторую дифракционную решётку, период которой , ширина щели и количество щелей П (рис. 1).

(28)

Именно это уравнение и является основным во всей атомной физике.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе рассмотрены некоторые методические особенности изложения трудных вопросов атомной физики с применением аналогии атомной физики с электродинамикой. Например, корпускулярно-волновой дуализм, присущий световым явлениям, используется для интерпретации одного из самых трудных для понимания понятий в атомной физике - волновой функции частиц. Предложенная схема изложения способствует более глубокому и прочному усвоению студентами основ атомной физики.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Шпольский Э.В. Атомная физика. -М.: Наука, 1974 - 575 с.

A.C. Парахин

Курганский государственный университет

МОДЕЛЬ ДИФРАКЦИОННОЙ РЕШЁТКИ

Аннотация: В работе рассматривается компьютерная модель дифракционной решётки, позволяющая анализировать не только быстропеременные сигналы, но и сигналы любой частоты. С помощью такой модели можно выяснить гармонический состав переменного сигнала и найти амплитуды составляющих его гармоник. Действие модели продемонстрировано на примере двух функций, одна из которых состоит из 3-х простых гармоник, а вторая представляет собой пилообразный сигнал, содержащий бесконечно много гармоник. В последнем случае модель позволяет выявить наиболее значимые из них.

Ключевые слова: дифракционная решётка, синусоидальная дифракционная решётка, ряд Фурье, простые гармоники, гармонический анализ.

ВВЕДЕНИЕ

Дифракционная решётка используется в основном для спектрального анализа световых сигналов, частота которых порядка 1016 Гц. Для анализа медленно меняющихся сигналов применяется метод Фурье. Использование этого метода требует периодичности сигнала. Кроме

Рис. 1. Схема использования дифракционной решётки

Пройдя через дифракционную решётку, волна с помощью линзы собирается на экране, расположенном в фокальной плоскости линзы. Рассчитаем интенсивность волны, идущей после прохождения дифракционной решётки (продифрагировавшей волны) в направлении, заданном углом (р по отношению к перпендикуляру к дифракционной решётке. Для этого выделим внутри щели с

номером j = О,У1 — 1 элемент её длины X на Рас~

стоянии X от левого края этой щели. На этот элемент приходится часть волны, амплитуда которой определяется формулой

dF = adx. nab

(3)

Через С! здесь обозначена длина каждой щели.

Луч, идущий от этого элемента щели, опаздывает по отношению к лучу, идущему от левого края нулевой щели, на величину

А1-( ]й + х)ят(р/с, (4)

так что в точке падения на экран величина волнового поля, определяемого этим лучом, будет вычисляться по формуле

(id + x) sino . f (t --—-—-)

dF =-c-dx.

nb

(5)

Чтобы найти полную величину волнового поля в данной точке экрана, нужно проинтегрировать по ширине щели и просуммировать по всем щелям

(jd + x) smp

n-1 b J ( t--)

F = X f-c-dx ■

j=oo nb

Данная формула и является математической моделью дифракционной решётки для исследования заданного переменного сигнала. Расчёт волнового поля по этой формуле требует большого объёма вычислительной работы, поэтому возможен лишь при использовании компьютера. Для создания компьютерной модели необходимо создать программу, в которой предусмотрен расчёт самой функции, интеграла от неё по ширине щели и суммирование по всем щелям. Для упрощения модели можно считать, что ширина щели намного меньше периода решётки. Для расчёта интеграла в (6) необходимо воспользоваться теоремой о среднем. Тогда формула модели преобразится следующим образом

F =1X f (t - jd sinV)

n j=o c .

В этой формуле остаётся только операция суммирования.

2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МОДЕЛИ ДИФРАКЦИОННОЙ РЕШЁТКИ В ГАРМОНИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ

Предположим, что исследуемый сигнал составлен из простых гармоник

f (t) = X Ak c°s^kt,

k=1

TTco(ot O jdSin(P ) =

X C0S( (Okt--) =

j=0

oh dn sino

Sin

. ok d sin o

Sin—-—

2c

2c y ok (n - 1)d sino. ,„„4 2c cos(okt--k--^-- ). (11)

2c

С помощью этой формулы можно преобразовать (10) ok dn sin (

1 m sin^-.-^

F = ~ X Ak--cos(okt -

nk=i k . ok d sm( k

sin

ok (n - 1)d sin ( 2c

2c

>

(12)

(6)

Из этой формулы видно, что результирующий сигнал состоит из тех же гармоник, что и исходный. Отличие состоит лишь в том, что меняется фаза этих гармоник и амплитуда. При этом амплитуда

1 n

ok dn sino

sin—-

2c

Fk =~Ak- , .

k -- k . okd sino

(13)

sin

2c

немонотонно зависит от угла дифракции. При некоторых значениях угла амплитуда достигает максимума, при некоторых - минимума. Как видно из (13), максимум достигается при условии

(7)

ok d sino

sin—-— = 0

2c

откуда следует, что

ок d sino

2c

Til

(14)

(15)

(8)

частоты которых не обязательно соизмеримы, значит, исследуемый сигнал не обязательно периодичен. Подставим эту функцию в модель решётки

1 п- т jdэто

Р = ~ХХАкС°эСк (г-1-. (9)

п7=0 к=1 с

Поменяем суммы местами и раскроем скобки под знаком косинуса

1 т СО jdэто

Р = -ХАк X--^-(10)

п к=1 ]=0 С

Можно показать, что внутренняя сумма представляет собой сумму геометрической прогрессии и равна

n-1

где I - целое число, принимающее значение 0,±1,±2,... Это условие называется условием максимума дифракционной картины. Из него видно, что направление на максимум (угол О ) зависит от частоты гармоники. Это значит, если в данном направлении выполняется условие максимума для некоторой гармоники с номером к , то оно не выполняется в общем случае для остальных. Тогда в формуле (12) преимущественным слагаемым будет только слагаемое с номером к , всеми остальными можно пренебречь. Найдём амплитуду к -й гармоники, для которой выполняется условие максимума. Для этого нужно найти предел выражения (13) при условии, что аргумент синуса в знаменателе дроби стремится к п1. Получающуюся при этом неопределённость раскрываем по правилу Лопиталя, отсюда

Fk = 1 Akn = Ak. n

(16)

Таким образом, амплитуда данной гармоники в про-дифрагировавшем сигнале в точке максимума равна амплитуде этой гармоники в исходном сигнале. Для нахождения этой амплитуды нужно из условия максимума (15) найти угол, соответствующий этой частоте, и сумму (7) для данного угла. Эта сумма и даст амплитуду, с которой данная гармоника входит в исследуемый сигнал.

3. ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛИ ДИФРАКЦИОННОЙ

РЕШЁТКИ

На рис. 2 представлены результаты исследования переменного сигнала, заданного функцией

= 2^9) + 4^(15^ + 3^(22^. (17)

Назовём условно первое слагаемое этой функции первой гармоникой, второе - второй и последнее - третьей.

А1 = 1.2 . Эти амплитуды несколько больше тех, что вытекают из теории рядов Фурье (А = 3.18, А2 = 1.59,

А3 = 1.06, А4 = 0.8). Кроме этих 4 пиков на дифракционной картине наблюдаются пики спектров более высоких порядков, но их амплитуда существенно меньше основных.

Рис. 2. Дифракционная картина для функции (17)

На правой части рисунка показан график такой функции. Наибольший общий делитель частот гармоник этого сигнала равен 1, поэтому период его равен 2п и 6.28с, в то время как наибольший период гармоник, составляющих сигнал, равен и 0.7 с, что почти в 10 раз меньше. Так что в пределах нескольких периодов самой медленной гармоники функцию можно считать непериодической, что и видно из её графика. На левой половине рисунка представлена дифракционная картина для этого сигнала в виде графика зависимости амплитуды гармоник, составляющих сигнал, от их частот. Частота откладывается по горизонтальной оси с ценой деления 1 Гц, вдоль вертикальной оси откладывается амплитуда гармоник с ценой деления 0.2/дел. Если амплитуда той или иной гармоники близка к нулю, то данная гармоника не входит в этот сигнал. Из рисунка видно, что первый пик справа соответствует частоте 22 Гц и амплитуде 3 единицы, что как раз и отвечает последнему слагаемому в (17). Второй пик справа соответствует гармонике с частотой 15 Гц и амплитудой 4 единицы. Это отвечает второму слагаемому Третий пик - гармонике с частотой 11 Гц и амплитудой 3 единицы. Такой гармоники в исходном сигнале нет, но можно заметить, что частота, соответствующая этому пику, ровно в два раза меньше частоты третьей гармоники сигнала, а амплитуда точно соответствует третьему слагаемому в (17). Это означает, что данный пик есть спектр второго порядка для гармоники номер три. Четвёртый пик соответствует частоте 9 Гц и амплитуде 2 единицы, что описывает первую гармонику исходного сигнала. Остальные пики отвечают спектрам более высоких порядков. Например, пик номер 5 и близко с ним расположенный пик номер 6 отвечают соответственно второму порядку второй и третьему порядку третьей гармоники и т.д. А последний пик есть второй спектр первой гармоники.

С помощью модели дифракционной решётки можно исследовать и более сложные сигналы. Так, на рис. 3 представлена дифракционная картина для сигнала в виде пилы (правая часть рисунка).

На рис.3 явно выделяются 4 пика, соответствующие частотам 25.1, 18.6, 12.5, 6.2. Согласно теории рядов Фурье для данной функции эти частоты должны быть равны

2як, где к = 1,2,3,4... есть целое число, что вполне согласуется с найденными частотами. Амплитуды должны определяться по формуле Ак = А1 / к , что также неплохо коррелирует с найденными амплитудами из дифракционной картины: А1 = 4.8, А2 = 2.5, А3 = 1.75,

Рис. 3. Дифракционная картина для пилообразного сигнала

4. МОДЕЛЬ СИНУСОИДАЛЬНОМ ДИФРАКЦИОННОМ РЕШЁТКИ

Как было отмечено выше, на дифракционной картине от дифракционной решётки кроме основных максимумов наблюдаются максимумы спектров более высоких порядков. Это несколько затрудняет интерпретацию этой картины. Для устранения спектров более высоких порядков используют различные специальные дифракционные решётки. К таким решёткам относится синусоидальная дифракционная решётка. Пропускная способность такой решётки плавно меняется от точки к точке по закону синуса

• /2п г = 8т(—х) ' d

(18)

С учётом этого коэффициента пропускания формула (6) изменится следующим образом

Т7 1 ^ (jd + л) ¡¿П®, . 2п

F = — XI f(t ---)яп(—х^ (19)

пй ]=00 c й

В данном случае сумму интегралов можно заменить одним интегралом по расширенному промежутку интегрирования

пй

пй | f (

хэт® . ,2п , ,

-)sin(-х)йх (20)

с й

Это и есть математическая модель синусоидальной дифракционной решётки. Применим её к гармоническому анализу сигнала (8). Для этого подставим эту функцию

в (20).

F =

1 пй

пй .

{X Ак с^ю -

0 к=1

сокхэт® . ,2п

—-)зт(—х)йх (21)

с й

Поменяем интегрирование и суммирование местами

1

пй

F = ^гХ Ак {со8(ск: -

пй к=1 0

ю, хэт® . ,2п . ,

—-)зт( — х)йх (22)

с й

Для вычисления интеграла воспользуемся формулами преобразования произведения тригонометрических функций

па

| cos( ск* —

(к X Я1пр с

) 5ш(—— X )йх = (1

1 ^ Юк X я1п р 2п . , = — I 51п( ск*--к--1--х )ах +

2 п с й

о

пй

2п

1 г . .¿л,

+ — I 51п(—^-Х — с^ л

ск х я1п р

а

с

)йх.

(23)

Эти интегралы находятся легко. В результате полу-

чим

пй

I С05( ак1 —

ЮкX я1пр . . —П . .

—-)51п(—х )ах =

с а

. . сспй sin р

та ят —-

2с

ск па я1п р 2с

51П

— П

Подставим это в формулу (22)

р =

1

пП я1п

ак па я1п р

, X Ак , 2—2

па к=1 | сокпа ят р 2с

Как видно из этого выражения, продифрагировав-ший сигнал по-прежнему состоит из тех же гармоник, другими только являются амплитуды и фазы. При этом амплитуды вновь немонотонно зависят от угла дифракции. Условием максимума для них сложит равенство нулю знаменателя дроби в (25)

^ ск па я1пр2

п2 = 0

2с

откуда следует, что

ск па я1пр

2с

±П

А па А

р _ - "к '""' _ " "к

Исследуем с помощью синусоидальной решётки те же функции, что и для простой решётки. Результаты представлены на рис. 4 и 5. Из них видно, что спектры более высоких порядков на дифракционных картинах действительно отсутствуют Частоты и амплитуды сигналов хорошо соответствуют искомым. При этом нужно отметить, что на дифракционной картине выводится амплитуда уже исходного сигнала, т.е. удвоенная амплитуда продифра-гировавшей гармоники. При этом для пилообразного сигнала достаточно хорошо вычисляются и амплитуды. Они совпадают с вычисленными коэффициентами Фурье.

, ^ скпая1пр .

((к* ——--). (24)

2с

Рис. 4. Дифракционная картина для функции (17) на синусоидальной дифракционной решётке

-тп(юк*--к—-^ ) .(25)

2с

(26)

(27)

Это условие максимума выделяет только два угла, соответствующих максимуму амплитуды данной гармоники, следовательно, максимумов спектров более высоких порядков в данной дифракционной картине нет. Если для какой-либо частоты наблюдается максимум, то для остальных гармоник в этом направлении в общем случае условие максимума не выполняется и их амплитуды достаточно малы. Это позволяет выделить из всего спектра гармоник только одну, для которой выполняется условие максимума. Воспользовавшись вновь правилом Лопиталя, найдём амплитуду продифрагировавшей гармоники в направлении, для которого выполнятся условие максимума

Рис. 5. Дифракционная картина для пилообразного сигнала на синусоидальной дифракционной решётке

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Представленная в данной работе модель вполне адекватно описывает процессы дифракции переменных сигналов и может быть использована для их гармонического анализа. Недостатком модели обычной дифракционной решётки является наличие в дифракционной картине пиков, соответствующих спектрам более высокого порядка, что часто затрудняет интерпретацию дифракционной картины. Этот недостаток исправляет синусоидальная дифракционная решётка, хотя необходимо отметить, что модель синусоидальной решётки работает несколько медленнее. Таким образом, модели дифракционных решёток вполне могут использоваться для гармонического анализа медленно протекающих процессов, таких, например, как процессы в живом организме.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ландсберг Г.С. Оптика.- М.: Наука, 1976.- 926 с.

(25)

па 2 2

Это позволяет найти амплитуду этой гармоники в исходном сигнале.