CC BY
13
Н.Г. ГУРЬЯНОВ
ИЗГИБ КРУГЛОЙ ОРТОТРОПНОЙ ПЛАСТИНЫ ТИМОШЕНКО С ЖЕСТКОЙ ШАЙБОЙ ПОД ДЕЙСТВИЕМ РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ НАГРУЗКИ
Построено аналитическое решение системы дифференциальных уравнений теории типа Тимошенко для ортотропной круглой пластины с жесткой шайбой в центре, находящейся под действием внешнего давления или равномерно распределенной по линии а = ССу поперечной нагрузки, причем = Г| / Я, где /у , Я — радиус окружности, на которую действует нагрузка, и радиус пластины соответственно. В настоящее время известно решение для круглой пластины при различных нагрузках, в том числе и несимметрично приложенных, но с позиций гипотез Кирхгофа [2].
Соотношения закона Гука теории Тимошенко для осесим метричной деформации пластины имеют вид:
Т = в<*
а к
(Ы Уй
(Лее а
Т -ВР
\-и + уа
а
<Ы
л™
»и-
> К
1 /
ма =
д
а
Я'
[ла2
Ур с1 а <1а
/А
..Л
1 /
XVI Р -
о я
к А.
а <Иа
Я Аа
а1
(1)
/ЛЧ
и Л гг)
Ктзоме того, нз ус-зенсний юавновесия следует:
П г/
Nа
а вЗ «
А'
(2)
С учетом приведенных формул хорошо йзвссткьге уравкекйя равпевгеия в усилиях и моментах сводятся к трем уравнениям относительно прогиба у/, радиального смещения и и потенциальной составляющей функции поперечного сдвига Ф!
V2« - ХЯ2 /Ва
1 а
«V
2 ¿/(Ф-ТУ) йа
К
Д.
г = о.
(3)
1
1 ич/
к аа
(4)
а &а
Исключая из соотношений (1) и (2) перерезывающее усилие Ыа , имеем:
Г л 1
Б разрешающей системе уравнений (3), (4) обозначено: Ь - толщина пластины; X, V - интенсивность внешней нагрузки в направлении радиуса и вдоль нормали к пластине; Еа ,га ,у^ - модули упругости и коэффициенты 1 «уассоэа в радиальном и окружном направлениях; О — модуль поперечного сдвига;
Нагрузка, равномерно распределенная по линии
* = 0, 2--(6)
2яИ2 ах
Здесь Р - главный вектор поперечной нагрузки, равномерно распределенной по окружности радиуса гх = а{ Я, 8(а-а{) - дельта-функция Дирака.
Пусть радиус жесткой шайбы г0 (г0 -а0 Я). Награнице пластины с жесткой шайбой должны выполняться следующие условия:
= = = (7)
аа аа
причем первые два условия означают равенство нулю на границе радиального смещения и угла поворота, третье условие - равенство нулю перерезывающей силы - споавелливо. если а, > яг« (нагтгчка приложена вне шайбы).
Д • ' " I V ^ А ^ * - '
На внешнем контуре пластаны а -1 в случае его жесткого защемления
«0)=40== о (8)
<Р 1 а я2
При шарнирном закреплении внешнего контура имеем:
и(1) =-Ц1)=А/а(1)^0. (9)
■ ■ ■ г.1>1 пт^ 1ТПШЛ пматттт тт«т/«пгптт г пшпллпгапг тгл * • 11и.я
V 1ии рУ шшьишш ишхп/шишпи и«^Л<ПЫЦС1Ш/1 И ИМ1ЛДИ
однородное дифференциальное уравнение второго порядка при нулевых граничных условиях. Очевидно, и ш 0.
Используя аналогию с работой [2], представим решение второго уравнения системы (3) следующим образом:
Г 1
ф _ м, = — \е^+С3а2 + С, а1*9 + С4 ах~ч + * х Ук Г) I 2 3 4 7а(п2-1Л
----а V. -1\1-/
г . 1 \
х |(а*+а?" а1'4-а\~я ]Я(а-а1) ) . (10)
Здесь Н{а - а{)~ функция Хевисайда, равная 1 при а >а1 и нулю в противном случае.
Из четвертого уравнения определяем:
к РЯ2\ а 1
ЛЧ __I Т / ! / „Л. 1 1 .. , 1_ *■ и / __« ) / 1 1 \
---1;ши-РШ-I, VII;
2я П.. I яг, - 1
** и ~ * „I
при этом появляющаяся при интегрировании уравнения (4) константа принимается равной нулю, так как функция Ф во все компоненты напряженно-деформированного состояния пластины входит через производные.
Исключая из соотношения (10) функцию Ф с помощью (11), получаем:
+ ' _!) - + -*!1"9 а1**] Н(а-а1}+ (12)
+ к
2С2(зг2-1)1па + 1п — Н{а-а{)
"1
Выполняя условия (7) на границе с жесткой шайбой, имеем С2- О,
с4=с3 (</ + 1К2Ч<Н). (13)
При жестком защемлении внешнего кошура
С -2Я + (Я-У<*1+Я +(Я + 1)<*}4 ш
3 2д(д + 1)(д2-1)(\-а^)
Ч - - С3 - С4 + к Ш а, ------\-Ь"аЬ 9 + - «}"']-
-ч
Когда внешний контур шарнирно закреплен,
- 2 д{\ + Ув)~{д-\) (д - ^ ) а{+ * + (1 + д) {д + ур) а}*
з —-— ' -----г--Г-- 1 ----„ "Т -. 1151
, 14 {„I . ,, , • „ .. % ,.¿4 1
\Ч ^ Ч КЧ т - . а ! I
Постоянная С, вычисляется по вышеприведенной формуле (14).
Ка рис, 1 приведена ¡саргана распределения увеличенного в 100 раз безразмерного прогиба Я = 2я- Оа м>/(РЯ2) пластины при следующих параметрах задачи:
Ев С Я
-£ = 3,75; — = 0,315; - = 20;
Еа Еа Л
уа - 0,25; ог0 = 0,05; ах = 0,3.
На рис. 2 приведено распределение увеличенного в 10 раз момента Ма = 2тг Ма !Р, а на рис. 3 - момента Мр = 2я М$ 1Р при тех же параметрах задачи.
Верхняя кривая соответствует шарнирно закрепленному внешнему контуру пластины, нижняя - жестко защемленному.
На рис. 4 изображено изменение увеличенного в 100 раз максимального безразмерного прогиба (в центре пластины) в зависимости от радиуса жесткой шайбы. На рис. 5 приведено изменение величины скачка увеличенного
н»
/ \ . .. ^ "х -
г \ 1 1
0.2 0.4 06 х 1 1
Рис. 2. Распределение момента Ма
Рис.1. Распределение прогиба # от а
// \
/ х
02 0.4 0.6 1 0.5х
Рис, 3 Распределение момента Мр
8
6
А
О 05 01 015 02 02$°
з|
005 0.1 0.15 02
Рис. 4. Изменение прогиба и> от радиуса шайбы
Рис. 5. Изменение величины
скачкаМаот радиуса шайбы
в 10 раз безразмерного момента Ма на границе между жесткой шайбой (Ма = 0) и пластиной с увеличением радиуса шайбы.
Все числовые результаты получены с помощью пакета «Математика 3.0».
Внешнее давление
Е этом случае X = 0, а X - р, где р - интенсивность внешнего давления. Нетрудно показать, что
а
а
гт , п
т
. п ~1гЯ . п ,
I и "г и г
КЯЛ -9)
м> - -
ф = -
к рК
а
4 Г
2С2 (д2 -1)1па + -а2
(16)
Сх+Сга2 +Сз а1 + ч + С4 а1~ч +
Цдг-9)
а +
+ к
2 С2 (д2 -1)1п
Два первых краевых условия на границе жесткой шайбы с пластиной (7) остаются прежними, а третье, отражающее влияние на деформацию пластины внешней нагрузки, действующей на шайбу, принимает вид:
Ха(ао) =
я а1я2р рК а0
(17)
2 к а0К. 2
Граничные условия на внешнем контуре (8) или (9) полностью сохраняются. Из условия (17) следует:
С2=-
«о
2(^-1)
(18)
При жестко защемленном внешнем контуре пластины имеем:
С, =
л/ -вч / ? лч /■ *Ул 1Л
АЧ'Ч КЯ + Ч КЯ'-^Фй -V
С 4 -
(д--и)ах '
- 2(д- - У) + - 1) *
2»« -14 (п л. 1Ч2 .' /72 _ 04 /"/у2? _ п
м л. < I ър ■ Л < М ^ # 1 ЦП I к А.
(19)
ч-»
Г1
г.
б случае шарнирного опирания внешнего контура пластаны имеем: {я-Ур)\\-дг+2{д2 -9).]о$ + 3 +2(1+Уд)(д2 -9)ао {д2 + 3)
з + Ул
2 Г- Л + V Л + Г, (а + V Л +--
^ Ч- ■ ' р/ VI 471 • • р/ ■ 2 ^
{Я-ЩЯ-уа)
Постоянная С{ в обоих случаях определяется формулой:
/ • _ л л
М - ~Т ~ ь3 4
1
4 _ , •>
ПО)
\— - У
(21)
На рис. 6 изображено распределение безразмерного прогиба пластины й = 1000£>а }г/(рЯ4), причем верхняя кривая соответствует случаю шарнирного закрепления внешнего контура пластины, нижняя - жестко защемленному. Параметры задачи те же.
и.. _____ ч__й ___________ _________,________________ 1/ 1 / ; г»2 „
П2 И л ¡«ЦИНЛИГНЛ )|И|;|)>К'.11Г1|ГНН^ МНЬКНШН /1/1 _ — К/ /V) / пл г! ---I---- ■ — - —1—----1----г-»-1----------------- —а -----а - I---
м^-ЮМ^/рК2 соответственно для тех же случаев закрепления внешнего контура. Рис. 9 демонстрирует изменение величины скачка
0.2 ол о.в ae 1
Рис. 6. Изменение прогиба >v пластины от а Рис. 7. Изменение момента jV/^ot а
1 08 0.6 0.4
0.2
0.05 ОЛ 0.15 0.2 0.25 а«
Рис. 8. Изменение момента М $ от <х Рис 9. Изменение величины скачка
ГУГ п^тлгло тайЛьт /V
дгд ^ VI шипим« V» ||
момента 10 Ма / рК1 от кулевого значения в шайбе до его значения на гра= нине с пластиной н зависимости от иаднуса шайбы ос.-..
Учет деформации поперечного сдвига приводит к перераспределению прогибов точек пластины за счет слагаемого с множителем к в формулах
Л /ч| и ('(гн Т^Т я к 1 ги м (}, я!л й ггппгип и пппих г.тгучяя-* наложения \гчет сдвиги
\—/ — \—/---------—------— "х------—----— —^ —---*—г -------^---
увеличивает для рассмотренных параметров пластины на 3-4%.
ишшл jinilirAi УГЬ1
1. Амбардумян С.А. Теория тонких анизотропных пластин. М.: Наука,! 967.
2 Гурьянов Н.Г., Гурьянова Ö.H. Исследование деформации ортотропной круглой пластины // Труды Международной конференции, посвященной памяти профессора A.B. Саченкова «Актуальные проблемы механики оболочек». Казань: Унипресс, 1998 С. 64-69,
V
' V.*7Ъ2?™HüSSlISÜ ! MIPTHMHU /Мимлл rfwwwn-tOTHMUi iwimg/'Hir irniiv n/vi/ft^vVi* 1
чяйгЛлгаимй vnrheAtyvii ufifnunn urimoturmnivn >> k'nwurrr&n ?пгиЛлтгпми>иип?п uutnwrvtniH».
' v ■ - —т " i— ' v.»-^™. .»»»»..w—---^ - —----------- ^ -
та. окончил механико-математи чес кий факультет Казанского государственного университета. Имеет статьи в области механики пластин и оболочек.
