CC BY
2Из истории прикладной оптики: использование исчисления конечных разностей для анализа системы из бесконечно тонких линз
Ильинский Роман Евгеньевич
АО «Лыткаринский завод оптического стекла», Россия, 140061, г. Лыткарино Московской области ул. Парковая, 1
В статье приведены исторические сведения об использовании в конце XVIII - начале XIX веков математического аппарата исчисления конечных разностей для определения наиболее общих свойств оптической системы из произвольного числа бесконечно тонких линз.
Ключевые слова'. Лагранж, исчисление конечных разностей, оптическая система, тонкая линза, цепные дроби
From the history of applied optics: the use of finite difference calculus to analyze a system of infinitely thin lenses
Roman E. Ilinsky
Lytkarino Optical Glass Factory, 1 Parkovaya str., Lytkarino, Moscow region, 140080, Russia
The arti cle pro vides historical information about the use of the mathemati cal apparatus of finite difference cal cuius at the end of the 18th - beginning of the 19th centuries to determine the most general properties of an optical system from an arbitrary number of infinitely thin lenses.
Keywords: Lagrange, finite difference calculus, optical system, thin lens, continued fractions
1. Введение
Практически в любом учебнике элементарной физики (Касьянов, 2004; Краевич, 1880; Перышкин, 1965) и во многих научно-популярных книгах по оптике (Тарасов, 2008) один из разделов посвящен бесконечно тонкой линзе. Традиционно в этом разделе рассматривается формула, которая описывает зависимость между положением предмета, фокусным рассто-янием линзы и положением формируемого этой линзой изображения. Если используется рекомендованное действующим стандартом (ГОСТ 7427-76) правило знаков, то указанная формула имеет вид:
111
-г-1 < 1 (1)
а' а f'
где а - расстояние от линзы до предмета, а' - расстояние от линзы до изображения, f' - заднее фокусное расстояние линзы (рис. 1).
Рис. 1. Предмет и формируемое бесконечно тонкой линзой изображение
Следует заметить, что в общем случае формула (1) справедлива при одновременном выполнении следующих условий:
- линза находится в среде с пока -зателем преломления равным еди-нице;
-траектории всех лучей, которые проходят от предмета через линзу к изображению, расположены бесконечно близко к оптической оси. В дальнейшем будем считать, что эти условия выполняются для всех линз, которые рассматриваются в данной статье.
Очень часто учащимся предлагается решить следующую задачу:
Найти положение изображения, которое формирует система из двух или (значительно реже) трех и более бесконечно тонких линз, чьи оптические оси лежат на одной прямой.
Решение этой задачи основано на последовательном применении формулы (1) для определения положений (промежуточных) изображений относительно линз оптической системы. Соответственно, положение изо -бражения, которое формирует система из N бесконечно тонких линз (рис. 2), рассчитывается по рекуррентным формулам
1
а' 1
1
1
г' 1
(2)
< а' 1 -а}+1,
(3)
где 1 = 1, 2, ..., N, Г1 - заднее фокусное расстояние линзы _/, dj - расстоя-ние между линзами } и 1 +1, а 1 - расстояние от первой линзы до предмета, аN - расстояние от линзы N до изображения, формируемого всей линзовой системой.
а
Предположим, что задано несколько значений расстояний от первой линзы до предмета. Для каждого из этих значений требуется найти рас -стояние от последней линзы до формируемого всей линзовой системой изображения. Существуют два основных пути решения этой задачи. Ca -мый простой из них предполагает численные расчеты по рекуррентным формулам (2)-(3) для каждого значения расстояния от первой линзы до предмета. Если избрать второй путь. то потребуется найти аналитическую зависимость между положением предмета и положением изображе-ния , которое формирует система из N тонких линз. С помощью элемен-тарной алгебры сравнительно просто получить подобную зависимость для системы из двух линз. Для системы из трех линз формулы получают -ся громоздкими. А при N > 3 соответствующие выражения становятся сложными для анализа.
Исследованиями вопроса о том, как связаны параметры предмета и параметры формируемого оптической системой из N бесконечно тонких линз изображения. занимались многие известные ученые. Из них можно отметить английского математика, философа Роджера Котса (Roger Cotes; 1682-1716 гг.). Так как Котс умер очень рано, то результаты его исследований по оптике были опубликованы (Smith) Р. Смитом только в 1738 г. Великий математик Л. Эйлер также занимался исследованием оптиче-ских свойств системы бесконечно тонких линз (Euler, Caput V, §§266-271). Однако первые значительные результаты в решении этой задачи были получены Лагранжем (Lagrange, 1778).
2. Приложение исчисления конечных разностей к анализу оптической системы! из бесконечно тонких линз
2.1. Уравнение в конечных разностях, которое описывает свойства оптической системы из бесконечно тонких линз
При исследовании свойств оптической системы из N бесконечно тонких линз Лагранж формально ввел параметры u1, u2, u3, ... и m1, m2, m3, ... . Эти параметры удовлетворяют следующим равенствам
а, = , а' к = , (4) У2t -1 u2K+1
m 2к+1 = тт^ (5) ' к+1
m 2n+2 =-d п+1, (6)
где К = 1, 2, 3, ..., N, к = 0, 1, 2, 3, ..., N -1, i = 0, 1, 2, 3, ..., N -2. Из выражений (2), (4), (5) следует
u2K + 1 u2K-1 = m (7)
---= m2 К-1. (7)
u2K u2K
А из выражений (3). (4). (5) следует
U2K U2K+2
-т 2к =
и2К+1 и2К+1
Как уравнение (7), так и уравнение (8) можно записать в форме
Ji + 2
- m¡ ■ u
i+1
- U: = 0.
(8)
(9)
Поэтому параметры ир, тд системы из N бесконечно тонких линз дол -жны удовлетворять равенствам
и3 -т 1 • и2 -и1 = 0^
и4 -т 2 • и3 -и2 = 0
Ji + 2
-m¡ ■ u,
i+1
-u¡
= 0
U2N -m2N -2 ■ U2N-1 U2N+1 -m 2N-1 ■ U2N
~U2N -2 = 0 ~U2N-1 = 0
(10)
Следует уточнить, что выражения (7)—(10), равно как и исходные для них формулы (1), (2), (3), соответствуют правилу знаков, которое рекомен-довано действующим стандартом. В оригинальных работах Лагранжа (Lagrange, 1778, 1803) и Пиолы (Piola) использовалось иное правило знаков.
Выражение (9) является уравнением в конечных разностях, исследова-ниями которых долгое время занимался Лагранж (Симонов, 1972; Lagrange, 1759). Поэтому вполне логично, что для анализа свойств оптической системы из бесконечно тонких линз Лагранж воспользовался мате -матическим аппаратом исчисления конечных разностей.
2.2. Решение уравнения в конечных разностях
Лагранж указал, что решение уравнения (9) можно представить в виде:
Uj = PjU1 + QjU2,
(11)
где Pj, Qj зависят только от параметров т 1, т2,..., mj_2. Для определения Pj, Qj Лагранж рассмотрел (Lagrange, 1778) два частных решения: при u1 = 0; u2 ф 0 и при u2 =0; u1 ф 0. На основе этих частных решений были определены коэффициенты Pj, Qj. Соответствующие выражения для первых семи коэффициентов имеют вид
Р^ = 0,
P2 = 1,
рз = m1 = h
^ „о 1
P4 = 1 + m m2 =
f '1
(12)
(13)
(14)
0 ^ 1 11
Р5 = тт2т3 + т3 + т 1 = _—+ — + 7Т' (16)
Т 1 Т 2 т 2 т 1
Р6 = т1т 2т 3т4 + т3т 4 + т1т 4 + т 1т 2 +1 =
= 4142 _ _ _ 41 + (17) Т '1 Т' 2 Т' 2 Т1 Т '1
Р7 = т1т 2т 3т4т 5 + т 3т 4т 5 + т 1т 4т 5 + т 1т 2т5 +
+т 1т2т 3 + т5 + т3 + т 1 =
414 2 4 2 4 2 41 41 1 1 1 ,иоч
=-Ь2— _—2— _—^ _-^ _-^ + — +—+—, (18)
Т'1 Т' 2 3 2 Т'3 Т'1 Т'3 Т'1 3 1 Т' 2 Т'3 2 1
01 = 1, (19)
02 = 0, (20)
03 = 1, (21)
04 = т2 =_41, (22)
05 = 1 + т 2т 3 = 1_ (23)
Т 2
06 = т2т3т4 + т4 + т2 = ' 2 _42 _ 41, (24)
Т '2
07 = т2т 3т 4т5 + т 4т5 + т2т 5 + т 2т 3 +1 =
= 41^2 _ _ _ + -I (25)
Т' 2 Т'3 Т'3 Т'3 Т' 2
Так как согласно формуле (4) и2 = а1и1, то формулу (11) можно запи-сать в виде
и] = Я^, (26) где
=_4оРу + 0], 4о =_а1. (27)
Выражения для первых семи коэффициентов имеют вид
R1 = 1, (28)
И2 =_4о, (29)
^3 = 1_ (30)
т 1
*4 = ^ _ 41 _ 40, (31)
Т 1
1 _ d0d 1 d 1 .-d0_ - d0_ + ц f'2 f'1
5 f '1 f' 2 f' 2
6 _ d0d 1d 2 + f 1 f' 2 d 1d 2 + d 0d 2 + ' f' 2 f' 2
d 0d 1d 2 + d 1d 2 + d 0d 2
7 f '1 f'2 f'3 f '2f '3 f' 2 f '3
d 1 d 0 d 2 d 1 d 0 d 0
f 3 f 3 f'3 f' 2 f' 2 f'1
f 1 f
d 0d 2 d 0d i d0di
- d2 - di - dо, (33)
f'l f'3 f'l f' 3 f' 1 f'2
-1, (34)
По мнению Лагранжа (Lagrange, 1778), по аналогии с формулами для расчета коэффициентов R1 -R8 можно записать выражения для вычис-ления Rj при любом четном или нечетном индексе j.
Из формул (4), (26), (27) следует, что расстояние от последней линзы N до изображения равно
а N _ U2N _ R2Nu1 _ -d 0P2N +Q 2N _ a1P2N +Q 2N (35)
U2N+1 R2N+1U1 -d 0P2N+1 + Q2N+1 a1P2N+1 + Q2N+1
Так как в современной прикладной оптике обычно обозначают (Ger-rard): A _ P2N, B _-Q2N, C _-P2N+1, D _ Q2N+1, то выражение (35) сегодня принято называть «правило ABCD».
2.3. Определение параметров траектории луча в процессе решения уравнения в конечных разностях
Если бы Лагранж только получил при решении чисто математической задачи выражения (28)-(34), (35), то и это было бы значительным достижением. Однако Лагранж указал (Lagrange, 1778), что первоначально формально введенные параметры u1, u3, u5, u7, ... можно рассматривать как тангенсы углов участков траектории луча с оптической осью, а пара -метры u2, u4, u6, u8, ... можно рассматривать как высоты траектории луча на линзах. В этом случае коэффициенты Я}, Q, могут быть использованы для определения всех параметров траектории луча в оптической системе из N бесконечно тонких линз. Действительно, пусть с 1 - угол между входным участком траектории луча и оптической осью; рi (i _2, 3, ..., N) угол между отрезком траектории луча от линзы i до линзы i +1 и оптической осью; рN+1 - угол между выходным участком траектории луча и оптической осью; hi (/ _ 1, 2, ..., N) высота траектории луча на линзе i. Если принять u1 _с1 и u2 _ h1, то будут выполнены условия (Lagrange, 1778):
u2i _ P2iub (36)
u2i -1 _ Pzi -1u1 + Q2i-u2 _ P2i -1tgP1 + Q2i -h _ tgpi, (37)
где i _ 1, 2 , 3 , .. , , Очевидно, что соотношения (37)-(37) можно использо-вать при определении поперечных габаритов линз. Если подставить в
формулу (36) / = N, а в формулу (37) подставить / = N +1, то получатся еле -дующие равенства
hN = P2N 1 + 0 2Nh1, (38)
1дс N+1 = P2N+1*9° 1 + 02N+171. (39)
Формулы (38)-(39) можно рассматривать как зависимость между входными (высота угол с 1) и выходными (высота ; угол сN+1) параметрами траектории луча. Надо отметить, что коэффициенты Р^, 0^, Р2дI+1, 02N+1 не зависят от входных параметров траектории луча, а определяются только конструктивными параметрами системы (фокусные расстояния и взаимное положение линз).
2.4. Инвариант
Лагранж доказал, что при любых конструктивных параметрах оптической системы коэффициенты р, О/ связаны инвариантом
Р2¡02]_1 _Р]_102] =_(Р2] + 102] _Р2]02] + 1) = 1, (40)
где ] = 1, 2, 3, ..., N. Действительно, при подстановке выражения (11) в уравнение(9)получается
(в+2 _т/Р/+1 _р)и1 + и2(0/ +2 _0/+1 _0/) = 0. (41)
А так как уравнение (39) справедливо при произвольных значениях и 1 и и2, то
Р +2 _ т/ • Р+1 _ Р = 0, (42)
0/ + 2 _ т/ • 0/+1 _ 0/ = 0. (43)
Если умножить уравнение (40) на 0/+1, а уравнение (41) умножить на Р/+1, то разность этих произведений даст
Р/+10/ _Р/0/+1 =_(Р +20/+1 _Р/+10/+2). (44)
Так как Р1 = 0, Р2 = 1, 01 = 1, 02 = 0, то
Р201 _ Р02 = 1. (45)
На основании выражений (42), (43) можно записать
1 = Р>01 _Р02 =_(Р302 _Р203) = = Р403 _Р304 =_(Рз04 _Р405) =... =
= Р2]02]_1 _Р2]_102] =_(Р2]+102] _Р2]02]+1). (46)
Очевидно, что из формулы (46) следует равенство (40).
В современной прикладной оптике (Ме№огс1) инвариантом Лагранжа обычно называют тождество, которое устанавливает связь между пара -метрами двух лучей а и р
^а>а<Р> _Л<Р>а<а> = Л;а>а<Р> _Л<Р>а<а= =
к < < < < <+1 < <+1
=h<a>a<ß> -h<ß=a<a> =const, (47)
K+1 <+1 < + 1 <+1 ' v '
где индексами <a > и <ß> обозначены параметры лучей а и ß соответствен -но. Но так как из выражений (36), (37) и инварианта (40) следует тождество (47), то название «инвариант Лагранжа» для равенства (47) вполне корректно. Следует отметить, что частный случай инварианта (47) был из -вестен и до работ Лагранжа (Ильинский, 2016; Rayleigh, 1886).
2.5. Определение параметров зрительной трубы и микроскопа
Лагранж рассмотрел решение задачи определения по известным коэффициентам P¡, Qj видимого увеличения и других параметров зритель -ной трубы и микроскопа (Lagrange, 1778, 1803). Лагранж особо отметил (Lagrange, 1803), что при решении этой задачи нет необходимости знать внутреннее устройство микроскопа или зрительной трубы. Поэтому Лагранж сравнивает соотношения (36)-(37) с принципом виртуальных скоростей, который используется в аналитической механике (Лурье, 1961; Méchanique analitique). Предложенный Лагранжем метод определения по коэффициентам P¡, Q, оптических параметров зрительных труб и микро-скопов практически совпадает с методом, который изложен в современ-ной литературе (Gerrard, 1975).
Лагранж отметил, что полученные им результаты можно обобщить на оптические системы, которые состоят из сферических зеркал и бесконеч-но тонких линз (Lagrange, 1778, 1803).
2.6. Развитие метода Лагранжа
После публикаций вышеупомянутых статей Лагранжа математический аппарат интегрирования уравнений в конечных разностях дополнялся и совершенствовался. По этой причине было предложено (Piola) вместо по -следовательного нахождения коэффициентов Я}, Q, воспользоваться ме-тодом интегрирования уравнения в конечных разностях второго порядка (Brunacci, Poggiali, Allegrini, 1804). В указанном методе решение уравнения (42) записывается в виде (Гельфонд,1959; Марков, 1910; Brunacci, 1804)
Pk = Пт (48)
к=0
где P(•) - функция от целого аргумента. После подстановки функции (48) в формулу (42)получается уравнение
Р(k +1)P(k) -mkP(k) -1 = 0. (49)
Из равенства (49) следует
P(k +1) = mk + (50)
P(k)
Следовательно, функцию P(«) можно представить в виде цепной дроби 106
Р (к +1) = тк +-
(51)
т
к _1
тк _2
1
т1 + —
Р (1)
Из формул (51), (48) следует, что Рк (к >2) можно представить в виде произведения цепных дробей
Рк = Р(0)Р(1)Пт к/ _1+-к=2 т
(52)
к _2
т
к _3
т
1
Р (1)
где Р (0) = Р1, Р (0)Р (1) = Р2. Таким образом, формулы для вычисления ко -эффициентов Р4, Р5, Р6 примут вид
Р4 = т1
т
т 1
(53)
Р5 = т1
т
т 1
т
т2 + — т1
(54)
Р6 = т1
т
т 1
т
т2 + — т1
т
т 3
т
т 1
(55)
Аналогично, решение уравнения (43) также можно представить в виде произведения цепных дробей, В этом случае коэффициенты Ок (к > 2) равны
1
1
1
1
1
1
1
V
1
1
1
1
V
~ ~ k-1 1 Qk = С?(0)С?(1)П mк-1 +--■ (56)
к =2 m к -2 +-
к 2 1
m к -з +---
1
m 1 + —
Q (1)
где 0(0) = О1, О(0)0(1) = О2. Тогда формулы для вычисления коэффициен-тов 05, Об будут иметь вид
Q5 = m2
m
1
m 2
(57)
Q6 = m2
m
m 2
m
m
m 2
(58)
3. Заключение
Работы Лагранжа (Lagrange, 1778, 1803) и Пиолы (Piola, 1821) оставили заметный след в истории прикладной оптики. К важнейшим результа-там этих работ следует отнести выражения (35), (38), (39), (40).
Использование цепных дробей для анализа свойств оптических сис-тем из бесконечно тонких линз получило развитие в трудах Мобиуса (Möbius, 1830). Немного позднее аппарат цепных дробей был использован Гауссом (Gauss) и Бесселем (Bessel) для анализа свойств оптических систем, которые состоят из линз конечной толщины и зеркал.
В современной прикладной оптике для анализа свойств оптических си -стем в параксиальном приближении применяется как математический ап-парат цепных дробей, так и матричное исчисление (Handbook). Что же касается исчисления конечных разностей, то оно используется для этих це-лей редко (Пахомов, Цибуля, 1986, с. 14). Между тем исчисление конечных разностей развивалось в конце XX- начале XXI века весьма активно в связи с потребностями численных методов (Бахвалов, Жидков, Кобельков, 2011). Поэтому нельзя исключать, что приложение современного математического аппарата исчисления конечных разностей к анали-зу свойств оптических систем могло бы дать интересные результаты.
Источники и литература
1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы, 7-е изд, М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2011.
2. Гзльфонд А.О. Исчисление конечных разностей. 2-е изд. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1959.
3. ГОСТ 7427-76. Геометрическая оптика. Термины, определения и буквенные обозначения. М.: Изд-во стандартов, 1988.
1
4. Ильинский P.E. Изложение вопроса о действии оптического прибора совместно с глазом человека в четвертой главе первого тома «Dioptricae...» Л. Эйлера II Исследования по истории физики и механики. 2014-2015. Ин-т истории естествознания и техники им. С.И. Вавилова РАН /Под ред. Вл. П. Визгина. М.: Издательство «Янус-К», 2016. Т. III. Математика XVIII столетия. С. 429-464.
5. Касьянов В.А. Физика. 11 кл.: Учебн. для общеобразоват. учреждений. 4-е изд. М.: Дрофа, 2004.
6. Краевич К. Учебник физики. Курс средних заведений. 7-е изд. СПб.: Типография Министерства Путей Сообщения (А. Бенке), 1880.
7. Лурье А.И. Аналитическая механика. M.: Государственное издательство физи-ко-математической литературы, 1961.
8. Марков А.А. Исчисление конечных разностей. 2-е изд. Одесса: Mat hesis, 1910.
9. ПахомовИ.И., Цибуля А.Б. Расчет оптических систем лазерных приборов. M., 1986.
10. Перышкин А.В. Курс физики. Учебник для средней школы. Часть третья. Электри -чество, Оптика и Строение атома. 12-е изд. M.: Издательство Просвещение, 1965.
11. Симонов Н.И. Исчисление конечных разностей II История математики с древней -ших времен до начала XIX столетия / Под ред. А.П. Юшкевича. M.: Издательство « Наука »>, 1972. Т. III. Математика XVIII столетия. С. 222-240.
12. Тарасов Л.В., ТарасоваА.Н. Беседы о преломлении света / Под ред. В.А. Фабрикан-та. М.: Издательство ЛКИ, 2008.
13. Bessel. Ueberdie Grundformeln der Dioptrik//Astronomische Nachrichten. 1841. Vol. Band 18. No. 415. S. 97-108.
14. Brunacci V., Poggiali G., Allegri ni Pietro. Corso di matemati ca sublime tomo 1. Firenze: presso Pietro Allegrini, 1804.
15. Euler L. D ioptrica pars prima , continens librum primum , de expl icatione princip iorum, ex qu ibus constructio tarn telescop iorum quam microscopiorum est petenda. St.-Petersbourg: Acad. Sci., 1769.
16. Gauss C.F. D ioptrische Untersuchungen . Göttingen: Druck und Verlag der D ieterichsc-hen Buchhandlung, 1841.
17. Gerrard A, Burch J.M. Introduction to matrix methods in optics. New York: Wiley, 1975.
18. Handbook of Optical Systems / Herbert Gross, Hannfried Zügge, Martin Peschka, Fritz Blechinger; Ed. by Herbert Gross. Weinheim: WI LEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, 2007. Vol. 3: Aberration Theory and Correction of Optical Systems.
19. Lagrange. Sur l'intégration d'une équation différentielle à différences finies, qui contient la théorie des su ites récurrentes... //Miscellanea philo sop hico-mathe matica So cietatis privataeTa-urinensis. 1759. T. I P. 33-42.
20. Lagrange. Sur la téoire des lunettes // Nouveaus Mémoires de l'Académie royale des Scinces et Bellers-Lettres de Berlin. 1778. P. 162-180.
21. Lagrange. Mémoire sur une loi générale d'optique // Nouveaus Mémoires de l'Académie royale des Scinces et Bellers-Lettres de Berlin. 1803. P. 3-12.
22. Méchanique analitique; par m. de La Grange, de l'Académie des Sciences de Paris / J.L. Lagrange, Philippe Denis Pierres, Nicolas veuve Desaint et al. chez la veuve Desaint, libraire, rue du Foin S. Jacques, 1788.
23. Möbius. Beiträge zu der Lehre von den Kettenbrüchen, nebst einem Anhange dioptrisc-hen In halts//Journal fürdie reine und angewandte Mat hematik(Crelle's Journal). 1830. Band 6. S. 215-243.
24. Möbius. Kurze Darstellung der Haupteigenschaften eines Systems von Linsengläsern // Journal für die reine und angewandte Mat hematik (Crelle's Jo urnal). 1830. Vol. Band 5, no. 2. S. 113-132.
25. Piola G. Su IIa teorica de i cannocch ial i II Effemer id i astronomiche d i M ilano per l'anno 1822. Milano: Dall'imp. Regia stamperia, 1821. P. 13-36.
26. Rayleigh (John William Steutt). Notes, chiefly historical, on some fundamental propositions in optics // Philosophical Magazine. 1886. Vol. XXI. P. 466-476.
27. Smith R. A compleat system of opticks in four books, viz. A popular, a mathematical, a mec hanical, and a philosophical treatise. To which are added remarks upon the whole.
Cambridge: printed for the author, and sold there by Cornelius Crownfield, and at London by Stephen Austen, and Robert Dodsley, 1738.
28. Welford W.T. Aberrations of Optical Systems. CRC Press, 2017.
References
1. BakhvalovN.S., ZhidkovN.P., KobelkovG.M. Chislennyyemetody[Numericalmethods]. 7 izd. Moscow, BINOM. Laboratoriya znaniy, 2011. (In Russian).
2. Gel'fond A.O. Ischisleniye konechnykh raznostey [Calculus of finite differences]. 2 izd. Moscow, Gosudarstvennoye izdatel'stvo fiziko-matematicheskoy lit era tury, 1959. (In Russian).
3. GOST 7427-76. Geomet richeskaya optika. Terminy, opredeleniya i bukvennyye oboznacheniya [Geometric optics. Terms, definitions and letter designations]. Moscow, Izd-vo standartov, 1988. 18 p. (In Russian).
4. Ilinsky R.E. Izlozheniye voprosa o deystvii opticheskogo pri bora sovmestno s glazom cheloveka vchetvertoy glave pervogotoma "Dioptricae..." L. Eulera [Pres entation of the question of the action of an optical device together with the human eye in the fourth chapter of the first volume "Dioptricae..." L. Euler] // Issledovaniya po istorii fiziki i mekhaniki. 2014-2015. In-t istorii yestestvoznaniya i tekhniki im. S. I. Vavilova RAN / Pod red. Vl. P. Vizgina. Moscow, Izdatel'stvo «Yanus-K», 2016. Vol. III Matematika XVIII stoletiya. P. 429-464. (In Russian).
5. Kas'yanov V.A. Fizika. 11 kl.: Uchebnik dlya obshcheobrazovatel'nykh uchrezhdeniy [Physics. 11th grade: Textbook for general educa tion. institutions]. 4 izd. Moscow, Drofa, 2004. (In Russian).
6. Krayevich K. Uchebnik fiziki. Kurs srednikh zavedeniy [Textbook of physics. Secondary school course.]. 7 izd. St. Peterburg, Tipografiya Ministerstva Putey Soobshcheniya (A. Benke), 1880. (In Russian).
7. Lur'ye A.I. Analiticheskaya mekhanika [Analytical mechanics]. Moscow, Gosudarstvennoye izdatel'stvo fiziko-matematicheskoy lit eratury, 1961. (In Russian).
8. Mar kov A.A. Ischislenie konechnykh raznostey [Calculus of finite differences]. 2 izd. Odessa, Mathesis, 1910. (In Russian).
9. Pakhomov I.I., Tsibulya A.B. Raschet opticheskikh sistem lazernykh priborov[Design of Optical System and Laser Instruments]. Moscow, 1986. (In Russian).
10. Peryshkin A.V. Kurs fiziki. Uchebnik dlya sredney shkoly. Chast' tret'ya. Elektrichestvo, Optika i Stroyeniye atoma. [Physics course. Textbook for high school. Part three. Electricity, Optics and Atomic Structure]. 12 izd. Moscow, Izdatel'stvo Prosveshcheniye, 1965. (In Russian).
11. Simonov N. I. Ischisleniye konechnykh raznostey [Calculus of finite differences]. Istoriya matematiki s drevneyshikh vremen do nachala XIXstoletiya. Vol. III Matematika XVIII stoletiya. Ed. A.P. Yushkevich. Moscow, Izdatel'stvo «Nauka», 1972. P. 222-240. (In Russian).
12. Tarasov L.V., Tarasova A.N. Besedy o prelomlenii sveta [Discussions on refraction of light]. Ed. V.A. Fabrikant. Moscow, Izdatel'stvo LKI, 2008. (In Russian).
13. Bessel. Ueber die Grundformeln der Dioptrik. Astronomische Nachrichten. 1841. Vol. Band 18, no. 415, S. 97-108.
14. Brunacci V., Poggiali G., Allegrini P. Corso di matematica sublime tomo 1. Firenze, presso Pietro Allegrini, 1804.
15. Euler L. Dioptrica pars prima, conti n en s li bru m primum, de explicatione principiorum, ex quibus constructio tam telescopiorum quam microscopiorum est petenda. St. Petersbourg, Acad. Sci., 1769.
16. Gauss C.F. Dioptrische Untersuchungen. Göttingen, Druck und Verlag der Dieteri-chschen Buchhandlung, 1841.
17. Gerrard A., Burch J.M. Introduction to matrix methods in optics. New York, Wiley, 1975.
18. Handbook of Optical Systems by Herbert Gross, Hannfried Zügge, Martin Peschka, Fritz Blechinger; Ed. by Her bert Gross. Weinheim, WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, 2007. Vol. 3: Aberration Theory and Correction of Optical Systems.
I__19. Lagrange. Sur l'intégration d'une équation différentielle à différences finies, qui contient la
théorie des suites récurrentes. Miscellanea philosophico-mathematica Societatis privatae 0- Taurinensis, 1759, vol. I, p. 33-42. X
Q_
20. Lagrange. Sur la téoire des lunettes. Nouveaus Mémoires de l'Académie royale des Scin-ces et Bellers-Lettres de Berlin, 1778, p. 162-180.
21. Lagrange. Mémoire sur une loi générale d'optique. Nouveaus Mémoires de l'Académie royale des Scinces et Bellers-Lettres de Berlin, 1803, p. 3-12.
22. Mйchanique analitique, par m. de La Grange, de l'Académie des Sciences de Paris. J.L. Lagrange, Philippe Denis Pierres, Nicolas veuve Desaint et al. chez la veuve Desaint, libraire, rue du Foin S. Jac ques, 1788.
23. Möbius. Beiträge zu der Lehre von den Kettenbrüchen, nebst einem Anhange dioptri-schen Inhalts. Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelle's Journal), 1830, Band 6, S. 215-243.
24. Möbius. Kurze Darstellung der Haupteigenschaften eines Systems von Linsengläsern. Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelle's Journal), 1830, Vol. Band 5, No. 2, S. 113-132.
25. Piola G. Sulla te orica dei cannocchiali. Effemeridi astronomiche di Milano per l'anno 1822. Milano, Dall'imp. Regia stamperia, 1821. P. 13-36.
26. Rayleigh (John William Steutt). Notes, chiefly historical, on some fundamental propositions in optics. Philosophical Magazine, 1886, vol. XXI, p. 466-476.
27. Smith R. A compleat system of opticks in four books, viz. A popular, a mathematical, a mechanical, and a philosophical treatise. To which are added remarks upon the whole. Cambridge, printed for the author, and sold there by Cornelius Crownfield, and at London by Stephen Austen, and Robert Dodsley, 1738.
28. Welford W.T. Aberrations of Optical Systems. CRC Press, 2017.
Статья поступила в редакцию 06.02.2024
