CC BY
14УДК 517.538.7:621.45.054-523.3
итерационные методы статического анализа двухдроссельной электрогидравлической рулевой машины ракетных блоков
© 2018 г. Белоногов О.Б.
Ракетно-космическая корпорация «Энергия» имени С.П. Королёва (РКК «Энергия») Ул. Ленина, 4А, г. Королёв, Московская обл., Российская Федерация, 141070, e-mail: post@rsce.ru
Статья содержит результаты разработки и исследования итерационных методов статического анализа двухдроссельной электрогидравлической рулевой машины, а именно -методов расчета ее статических характеристик (силовой и скоростной) с учетом параметров местных гидравлических сопротивлений, позволяющих проводить расчеты при различных значениях напряжения питания и температуры с заданной погрешностью вычислений и за минимальное время. Предлагаемые методы основаны на решении систем нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений математических моделей рулевой машины, описывающих ее статические режимы работы. В основу разработки методов статического анализа рулевой машины положены методы комплексного моделирования физических свойств рабочих жидкостей рулевых машин и гидроприводов, итерационные методы расчета параметров течений рабочей жидкости в соединительных трубопроводах, каналах, проточных элементах и клапанах, результаты исследования рабочих процессов составляющих элементов рулевой машины, а также модификация метода Зейделя для решения систем нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений. Приводятся результаты апробации разработанных итерационных методов статического анализа такой рулевой машины.
Ключевые слова: статический анализ, электр о гидравлическая рулевая машина, нелинейные алгебраические и трансцендентные уравнения.
techniques for iterative static analysis of a double-orifice electrohydraulic steering actuator of rocket stages
Belonogov O.B.
S.P. Korolev Rocket and Space Public Corporation Energia (RSC Energia) 4A Lenin str., Korolev, Moscow region, 141070, Russian Federation, e-mail:post@rsce.ru
The paper discusses the results of development and studies of iterative techniques of static analysis of double-orifice electrohydraulic steering actuator, namely, techniques for analyzing its static (force and velocity) characteristics taking into account parameters of local hydraulic resistances, allowing performing calculations at various supply voltages and temperatures to within a specified computational error and for a minimal amount of time. The proposed techniques are based on solving systems of non-linear algebraic and transcendental equations of math models of the steering actuator describing its static operational modes. Taken as a basis for development of techniques for static analysis of the steering actuator are methods of integrated simulation of physical properties of working fluids of steering actuators and hydraulic drives, iterative methods for calculating parameters of working fluids flow in connecting lines, channels, flow-through elements and valves, results of studies of operating processes for steering actuator constituent elements, as well as a modification of the Seidel method for solving a system of non-linear algebraic and transcendental equations. The paper provides the results of testing the developed static analysis iterative techniques of such steering actuator.
Key words: static analysis, electrohydraulic steering actuator, non-linear algebraic and transcendent equations.
БЕЛОНОГОВ Олег Борисович — кандидат технических наук, начальник сектора РКК «Энергия», e-mail: post@rsce.ru
BELONOGOV Oleg Borisovich — Candidate of Science (Engineering), Head of Subdepartment at RSC Energia, e-mail: post@rsce.ru
БЕЛОНОГОВ О.Б.
Введение
Рациональный выбор значений параметров электрогидравлических рулевых машин (РМ) [1, 2], получивших широкое распространение в системах управления космических блоков, может быть достигнут путем параметрической оптимизации, одним из этапов которой является проведение статического анализа.
Составляющими элементами статического анализа РМ являются методы расчета ее статических характеристик, к которым относятся:
• семейство скоростных характеристик РМ, т. е. зависимостей линейных (угловых) скоростей движения выходного органа РМ от командного сигнала и суммарной преодолеваемой нагрузки;
• силовая (моментная) характеристика РМ, т. е. зависимость усилий или моментов, развиваемых выходным органом РМ, от командного сигнала.
В процессе расчетов статических характеристик вычисляются некоторые дополнительные параметры и зависимости.
Существенное влияние на статические характеристики электрогидравлических РМ оказывают:
• напряжение питания электродвигателя РМ;
• температура рабочей жидкости РМ;
• местные гидравлические сопротивления конструкции РМ и ее электрогидравлического усилителя (ЭГУ).
Учет указанных факторов при проектировании и оптимизации РМ достаточно сложен и поэтому требует разработки методов расчета статических характеристик РМ, позволяющих учитывать вышеприведенные факторы по их математическим моделям с заданной точностью и за минимальное время.
Постановка задачи
В настоящей работе приводятся результаты разработки методов статического анализа варианта автономной однокас-кадной электрогидравлической рулевой машины с двухдроссельным ЭГУ с отрицательным перекрытием с дроссельными окнами сегментной формы.
Расчетная схема принятого к рассмотрению варианта РМ представлена на рис. 1, а расчетная схема ее двухдроссель-ного ЭГУ — на рис. 2.
\ 11
Рис. 1. Схема рулевой машины: 1 — поляризованное реле (электромеханический преобразователь); 2 — коромысло; 3 — плоская нагрузочная пружина; 4 — золотниковый плунжер; 5 — предохранительный клапан; 6 — электродвигатель; 7 — трехшестерен-ный насос; 8 — входной канал трубопровода; 9 — трубопровод; 10 — выходной канал трубопровода; 11 — силовой гидроцилиндр
Рис. 2. Схема электрогидравлического усилителя (ЭГУ) рулевой машины: 1 — поляризованное реле (электромеханический преобразователь); 2 — коромысло; 3 — золотниковый плунжер; 4 — вращающаяся ось насоса; 5 — рабочая полость ЭГУ; 6 — канал слива
В основу разработки математических моделей статических режимов работы РМ и методов расчета ее статических характеристик были положены:
• методы комплексного моделирования физических свойств рабочих жидкостей, изложенные в работе [3];
• итерационные методы расчета параметров течений рабочей жидкости в каналах,
соединительных трубопроводах, проточных элементах и клапанах, представленные в работе [4];
• модификация метода Зейделя для решения систем нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений, приведенная в работе [5];
• методы расчета статических характеристик автономных однокаскадных РМ
с двухдроссельным ЭГУ с отрицательным перекрытием, изложенные в работах [6, 7];
• методы расчета статических характеристик двухдроссельного ЭГУ с отрицательным перекрытием, изложенные в работе [8];
• результаты исследований рабочих процессов составляющих РМ, изложенные в работах [9-13].
Математические модели статических режимов работы РМ получают из дифференциальных уравнений динамических режимов работы РМ путем приравнивания к нулю их старших производных.
математическая модель статического режима работы и метод расчета силовой характеристики рулевой машины
Под силовой характеристикой РМ понимается зависимость усилия, развиваемого силовым гидроцилиндром РМ, от командного тока. Силовую характеристику РМ определяют при условии предположения о заторможенном поршне силового гидроцилиндра, которое выражается соотношениями:
= а2 = а
Рр1 = Рт1 = Рт3 = Рц1; Рр2 = Рт2 = Рт4 = Рц2, где р 1, р 2 — давления в рабочих полостях
ЭГУ РрМ; 0кт1 - 0кт4; 0т1, От2 — расходы через каналы и трубопроводы.
Математическая модель статического режима работы для расчета силовой характеристики включает:
• уравнение линейного перемещения золотникового плунжера [8]
X = аI
з 1 к
аз^,
.4 г"
(1)
где Хз — перемещение золотникового плунжера; — гидравлическая сила, действующая на золотниковые плунжеры; аг..а3 — постоянные коэффициенты, определяемые как Я. = а2 = (МстЛУКМП; а3 = Я1/КМП, здесь КМ. — коэффициент мо-ментной характеристики электромеханического преобразователя (ЭМП); Мстд момент сухого трения движения, приведенный к валику ЭМП; КМП — коэффициент позиционного момента от плоской нагрузочной пружины; Яа — плечо коромысла.
На перемещение золотникового плунжера накладывается ограничение [8]
|Хз| < X— (2)
где Х^ — максимальное перемещение золотникового плунжера.
• уравнения, определяющие угловую скорость вращения вала электродвигателя (вала насоса) и потребляемый электродвигателем ток [8]
ю =
К - ККз - к2к5 (рр! + Рр2 )
[1 + К2К4(Рр1.сУр1.с + Рр2.сУр2.с)]
(3)
К3 + К1К4(Рр1.с^р1.с + Рр2.Л2> + Кб(Рр1 + Рр2) I =-, (4)
Э [1 + К2К4(Рр1.с^р1.с + Рр2.Л2.с)]
где ю — угловая скорость вращения вала электродвигателя; 1э — потребляемый электродвигателем ток; КГ..К8 — здесь и далее постоянные коэффициенты, определяемые как К. = и /К ; К2 = Я /К ; К3 = (М + М )/К ;
1 э ' ээ7 2 э ' ээ7 3 \ стэ стн'' мэ7
К4 = [СЪш\г + 1)]/(2Кмэ);
К5 = [(Су + 1)Ъш\г + 1)]/Кмэ; Кб = Ъш2(г + 1) - С ;
К7 = СрЪш2(г + 1); К8 = поЧ2,
где иэ — напряжение питания электродвигателя; Яэ — активное сопротивление якорной цепи электродвигателя, определяемое как Я = Я0 + К/, здесь Я0 — значение ак-
э э г ' ^ э
тивного сопротивления якорной цепи при 20 °С; К — температурный коэффициент; Ь — температура, °С; Кээ — коэффициент электромагнитной скоростной связи электродвигателя; Кмэ — коэффициент мо-ментной характеристики электродвигателя; Мстэ — момент сухого трения движения в электродвигателе; Мстн — момент сухого трения движения в насосе; Сж — коэффициент жидкостного вязкого трения; С— коэффициент сухого трения, обусловленного давлением рабочей жидкости; Ъ — ширина зубчатого венца шестерни насоса; ш — модуль зацепления; 2 — количество зубьев шестерни насоса; Сп — коэффициент утечек, зависящих от скорости вращения вала насоса; Ср — коэффициент утечек, зависящих от перепада давления; Рр1. , Рр2с — средние значения плотности рабочей жидкости в зазорах предохранительных клапанов; ур1с, ур2с — средние значения кинематической вязкости рабочей жидкости в зазорах предохранительных клапанов;
• уравнения давлений в рабочих полостях ЭГУ [8]
Рр1 = а4 - Рр2 - а5[1 + а 6(Рр1.сПр1.с + Рр2.сПр2.с)] Х Х(Рр1.сПр1.с)-1Рр12 - а7[1 + аб(Рр1.сПр1.с + Рр2.сПр2.с)] Х
Х КосАс^ 1/Рр1.г1 - Рг1) -
- а8[1 + аб(Рр1.сПр1.с + Рр2.сПр2.с)]ак1; (5)
а
2
Рр2 = а4 - Рр1 - а5[1 + аб(Р01.сП01.с + Рр2.сПр2.с)] Х
6^>р1.с р1.с 1р2.с р2.с'
Х (Рр2.сПр2.с)-1Рр22 - а7[1 + аб(Рр1.сПр1.с + Рр2.сПр2.с)] Х Х 1/Рр2.г2 - Рг2) -
- а8[1 + аб(Рр1.сПр1.с + Рр2.сПр2.с)] 0к2, (6)
где рг1, рг2 — давления в полостях начала каналов гильз; (¿к1, 0к2 — расходы рабочей жидкости через предохранительные клапаны; а4...а8 — постоянные коэффициенты, определяемые как а4 = (К1 - К2К3)/(К2К5);
а5 = К7/(К2К5К6); аб = К2К4; а7 = К8 /(К2К5К6);
а8 = 1/(^5^);
• уравнение гидростатической силы, действующей на золотниковые плунжеры [8]
^гс = а9(Рг1 - Рг2) + а10(Рз1 - Рз2^ (7)
где рз1, рз2 — давления в камерах золотниковых плунжеров; а9, а10 — постоянные коэффициенты, определяемые как а9 = 5т1; а10 = 5т2, здесь 5т1, 5т2 — площади внешней и внутренней торцевых поверхностей золотникового плунжера;
• уравнение стационарной гидродинамической силы [8]
^гдс = (Рг1 - Рг3)/(а11 + а12^кг1) -- (РГ1 - Рз1)/(а13 + а14^кз1) - (Рг2 - Рг4)/(а11 + а12^кг2) +
+ (Рг2 - Рз2)/(а13 + а14^кз2) + [а17т2оз1(Рз1 - Рс)]Аоз1 -- К^^зй - Рс)]/8оз2 - Кв^сАс^ - Рг1) Х Х С08(РоС1)]/8оС1 - [а 18т2оС2^ос2^р2 - Рг2) Х
Х С0§(Рос2 ос2 (8)
где Рг3, Рг4 — давления в полостях перед каналами слива; А ., А „, А ., А „ — коэф-
кг1 кг2 кз1 кз2
фициенты гидравлических потерь на трение по длине, соответственно, каналов гильз и каналов золотниковых плунжеров, определяемые в соответствии с работой [8] выражениями, которые удобно представить следующими функциональными зависимостями [4]
А , = А (р ,, Р 3, р , 3, V, 3, й , / , п , X о •••, X ); (9)
кг1 гг1.г3' г1.г3 кг' кг 1кг' ~кг.г ' ~кг.И'М ^ '
я „ = А(р„, Р., р„., V„., й,/,п , X ,,X ); (10)
кг2 к^гг2'-гг4' г г2.г4' г2.г4' кг кг' 1кг' ~кг.1' ' ~кгл'' V ' Акз1 = Ак(Рг1, Рз1> ргш> Пг1.з1, йкз, 4з> Пкз> Хкз.1' Хкз.я); (11) Якз2 = Як(Рг2, Рз2' рг2.з2, Пг2.з2' йкз' 1кз' Пкз' Хкз.1> - Хкз.И)> (12)
здесь рг1г3, рг2г4 — средние значения плотностей в полостях каналов гильз; V . „,
' г1.г3'
^ос! = 0 ПРИ (Хз0 -Хз) <
= ^ + (<2/4) аг^ ([[< М - 2*0 + 2Х)]2 - 1]
при 0 < (Х30 - X) < </2;
пг2г4 — средние значения кинематической вязкости в полостях каналов гильз; р . .,
г1.з1
рг2з2 — средние значения плотностей в полостях каналов золотниковых плунжеров; пг1з1, пг2з2 — средние значения кинематической вязкости в полостях каналов золотниковых плунжеров; пкг, Пкз — относительные шероховатости внутренних поверхностей каналов гильз и каналов золотниковых плунжеров, соответственно; £кгЛ, ..., Хкг.и, Хкз.1, •, Хкзп — характерные изменения параметров русла каналов гильз и каналов золотниковых плунжеров; /кг, /кз — длины каналов гильз и каналов золотников, соответственно; йкг, йкз — диаметры каналов гильз и каналов золотниковых плунжеров, соответственно; т ., т „, е ., е „ — соответ-
оз1 оз2 оз1 оз2
ственно, коэффициенты расхода отверстий в золотниковом плунжере и коэффициенты сжатия потоков в отверстиях золотниковых плунжеров, определяемые выражениями, приведенными в работе [8], которые удобно представить в виде следующих функциональных зависимостей:
Моз1 = ^оз(рз1, рс, рз1.с, Пз1.с, 5оз, Поз); (13)
Мъз2 = ^оз(Рз2, рс, рз2.с, ^ 5оз, Поз); (14)
е , = е (р ,, р , р , , V , , 5 , П ); (15)
031 оз з1 с з1.с з1.с оз оз
032 оз
(р
з2, Рс рз2.с Vз2.с, Поз), (16)
здесь рз1с, рз2с — средние значения плотности рабочей жидкости в отверстиях золотниковых плунжеров; vз1с, vз2с — средние значения кинематической вязкости рабочей жидкости в отверстиях золотниковых плунжеров; 5оз — площадь проходного сечения отверстия в золотниковом плунжере, определяемая как 5оз = %й2оз /4; П = лй — смоченный периметр отверстия в
оз оз
золотниковом плунжере; тос1, тос2 — коэффициенты расхода сегментных дроссельных окон, определяемые выражениями, приведенными в работе [11], которые удобно представить в виде следующих функциональных зависимостей:
Мос1 = т0с!(рр1> рг1, рр1.г1> vр1.г1' 5ос1, Пос1, «ос!, Хос1); (17)
тос2 = тос2(рр2, рг2, рр2.г2, Vр2.г2, 5ос2, Пос2, 5ос2, Хос2), (18)
где 5ос1, 5ос2 — площади проходных сечений дроссельных окон сегментной формы, определяемые выражениями [6]:
[(¿о - 2^0 + 2Х)2/4] [V [¿о /(¿0 - 2X30 + 2Хз)|2 - 1)
(19)
5ос2 = 0 при (Х0 + X) < 0
^2 = ^ + (<2/4) arctg (^[^/(^-^х;;-^^2-!] - [(do - 2ХЛ - 2Х)2/4] (V К /(й0 - X - 2Х)|2 - 1]
при 0 < (Хзо + Хз) < do /2;
здесь и далее Хз
начальное открытие
дроссельных окон сегментной формы; йо диаметр окнообразующих отверстий в гильзе; 5 — остаточная площадь проходного
Пос1 = 0 при Х - X) < 0,
(20)
сечения при полностью перекрытом сегментном дроссельном окне; Пос1, Пос2 — смоченные периметры сегментных дроссельных окон, определяемые выражениями [7]:
Пос1 = Пз +
У(^о2/4) + [«/2) - Х30 + X]
К /2) - Х30 + Х3
+ 2^ (Ао2/4) + [(< /2) - Х30 + Х3]2 (21)
при 0 < (Хз0 - Х3) < </2;
Пос2 = 0 ПРИ (Хзо + Х3) < 0 /
П 2 = П + А аг^
У(^о2/4) + [(< /2) - Хзо - X]2
К /2) - Хз0 - Хз
ПРИ 0 < (Х30 + Хз) < /2
+ 2 V (Ао2/4) + [«, /2) - Х30 - Х] (22)
где Пз — значение смоченного периметра при полностью перекрытом сегментном дроссельном окне; 5ос1, 5ос2, Хос1, Хос2 — безразмерные параметры движущихся дроссельных окон и потоков в них, определяемые выражениями [8, 11]:
8„„, -
D2 - D .
г2 г1
ос1
8 2 =
ос2
2{К(Хз0 - - (Хз0 - Хз)2]0'5 + 0>25ПЛ
D2 - D.
г2 г1
2Н(Хз0 + - (Хз0 + Хз)2]°'5 + 0,25Пз}
«ПАсАс^П + Вг2)
^ос2
40ос1
ЮПАс2£ос2(ДП + Пг2)
40ос2
(23) ; (24)
(25)
(26)
где _Ог1, Бг2 — внутренний и внешний диаметры гильзы, соответственно; еос1, еос2 — коэффициенты сжатия потоков в сегментных дроссельных окнах, определяемые выражениями, приведенными в работах [8, 11], которые удобно представить в виде следующих функциональных зависимостей:
еос1 ^с^рР Pг1, Рр1.г1, nр1.г1, ^ос^ Яс, ^осР Хос1); (27) еос2 = 5ос2(рр2' рг2' Рр2.г2' Пр2.г2' 5ос2> Яос2> 5ос2> Хос2)' (28)
где (2ос1, аос2 — расходы рабочей жидкости, протекающей через дроссельные окна сегментной формы, определяемые выражениями [8, 11]
0ос1 = ПАсАс1^ 2/Рр1.П Ьр! - Рг1|§1ЯП(рр1 - рг1); (29)
аос2 = ПДс/сс^ 2/Рр2.г2 VЬ - ^^(р. - рг2)' (30)
здесь по — количество дроссельных окон в гильзе; рос1, рос2 — углы истечения потоков рабочей жидкости в сечениях сегментных дроссельных окон золотникового гидрораспределителя, определяемые выражениями, которые удобно представить в виде следующих функциональных зависимостей [8, 11]
Рос! = Рос1(Хос1, 5ос1, Хос1, К Кеос1); (31)
Рос2 = Р ос2(Xос2, dос2, Xос2, ^ ^еос2
), (32)
здесь хос1, Хос2 — относительные открытия дроссельных окон, определяемые выражениями [8, 11]:
Хос1 = (Хз0 - Х)/К (33)
Хос2 = (Хз0 + Х)/К (34)
где к2 — значение зазора между золотниковым плунжером и гильзой; к2 — значение относительного зазора между золотником и гильзой, определяемое выражением [8, 11]
к2 = к2/Вт1; Кеос1, Кеос2 — числа Рейнольдса потоков в сегментных дроссельных окнах, определяемые выражениями, приведенными в работах [8, 11], которые удобно представить функциональными зависимостями
Кеос1 = КФр1> рЛ, рр1.г1, >л1> 5ос1, Пос1, «ос1, Хос1); (35) Кеос2 = Ке(рр2' рг2, рр2.г2, Vр2.г2' 5ос2> Пос2> 5ос2> ^ (36)
а1Г..а16 — постоянные коэффициенты, опреде-
п
ЛЯемые как а 11 = ЕСкг.А25 ^ а12 = 1кг /(2йКг^^г);
[- 1
«13 = ЕС, /(2 5 Кз); «14 = /кз /(2йк352к3); «15 =
г = 1
п п
= 2гаоз5озС08(е/2); а16 = здесь ЕС, Е^ —
; - 1 ; - 1
суммы коэффициентов местных гидравлических сопротивлений, обусловленных изменениями параметров русла каналов гильз и каналов золотниковых плунжеров, соответственно;
• уравнение гидравлической силы, действующей на золотниковые плунжеры
^ = ^ + ^ ; (37)
г гс гдс
• уравнения давлений в камерах золотниковых плунжеров [8]
Рз1 = Рл
а17(1/^2оз1)Рз1.с
(а13 + а14^кз1)Рг1.з1 + а17(1/^2з1)Рз1.
- ; (38)
а17(1/^2оз2)Рз2.с
Р 2 = Р 2--'
3 ' (а13 + а14^кз2)Рг2.з2 + а17(1/^0з2)Рз2.с
(39)
где а17 = 1 /(2т2оз32оз) — постоянный коэффициент;
• уравнения давлений в полостях начала каналов гильз [8]
рг1 = рр1 / + а18[рр1.г1 /(т2ос15 2ос1)] Х
Х {[1/+ «Ап)Рп .г3 + («9 + а20Якс1)Рг3.с] +
+ I1/+ а14^Кз1)рг1.з1 + а17(рз1.с }2) (40)
РГ2 = рр2 / ^ + а18[рр2.г2 /(т2ос252ос2)] Х Х {[1/Ч(а11 + а12^кг2)Рг2.г4 + (а19 + а2<Акс>г4*] +
+ [1/+ 2)Рг2.з2 + а17(Рз2.с/^2з2)}2) (41) а18. а20 — постоянные коэффициенты, опре-
п
деляемые как а18 = 1/(2п2о); а19 = ЕСкс/(2£2с);
[ - 1
п
а20 = 1кс Л^кс5^ здесь Е^кс.[ — сумма коэф-
I - 1
фициентов местных гидравлических сопротивлений, обусловленных изменениями параметров русла канала слива;
• уравнения давлений в полостях перед каналами слива [8]
(«19 + а2(Лкс1)Рг3.с
Ргз = Рг1
Рг4 = Рг2
(«11 + а12^кг1)Рг1.г3 + («19 + а20^кс1)Рг3.с
_(«19 + а20^кс2)Рг4.с_
(«11 + а12^кг2)Рг2.г4 + (а19 + ^Лс^Р г4.с
; (42) ; (43)
• уравнения перемещений затворов предохранительных клапанов [7]
7к1 = [а21 - а22(тк15к1 /ек1) + а23тк152к1]рр1 - а24; (44)
7к2 = [а21 - аЖ^О + ^Мй5^ - а24> (45)
где £к1, £к2
коэффициенты сжатия потоков в клапанах, как и коэффициенты расходов, определяемые в соответствии с работой [12] системами уравнений, которые удобно представить функциональными зависимостями:
ек1 = ек(рр1, рс, рр1.с, Vр1.с, 5к1, Гк1); (46) ек2 = 8к(рр2, рс, рр2.с, >с, 5к2, ^ (47)
тк1, тк2 — коэффициенты расхода предохранительных клапанов, определяемые в соответствии с работой [12] системами уравнений, которые удобно представить функциональными зависимостями:
Мк1 = тк(рр1, рс, рр1.с, V,, 5к1, 7к1); (48) Мк2 = Мк(рр2, рс, рр2.с, Vр2.с, 5к2, ^ (49)
На перемещения затворов предохранительных клапанов налагаются ограничения [7]
0 < \У\\< 7тах;
к1 к
0 < \У,\ < 7тах,
к2 к
(50)
(51)
здесь Уктах — максимальное перемещение затвора предохранительного клапана; 5к1, 5к2 — площади проходных сечений предохранительных клапанов, определяемые выражениями [12]:
5к1 = |лГк181п(0)[йш + Гк181п(©/2)]}/2; (52) 5к2 = {л ^к281п(0)[йш + Гк281п(©/2)]}/2, (53)
где Ук1, Ук2 — перемещения затворов клапанов; © — угол конусности седла клапана; йш — диаметр шарика затвора клапана; а21...а24 — постоянные коэффициенты, определяемые как а21 = лй2к/4Кп; а22 = [2со8(0/2)]/Кп; а23 = 8/(лй2кКп); а24 = Н0, здесь Кп — коэффициент упругости пружины клапана; йк — диаметр подводной магистрали клапана; — начальное поджатие пружины клапана;
• уравнения расходов рабочей жидкости, протекающей через предохранительные клапаны [12]
0,1 = тАУ2/^ (54)
Ок2 = ^к25к^ 2/Рр2.с ^
(55)
<
• уравнения плотности и кинематической вязкости рабочей жидкости в полостях ЭГУ РМ, которые в соответствии с работой [3] можно определить следующими функциональными зависимостями:
Ч1 = р(г, рр1); Рр2 = р(г, рр2);
Рг1 = р(^ рг1); Рг2 = р(^ рг2); Рг3 = Р(^ рг3); Рг4 = Р(^ рг4);
р31 = р(^ р31); Р32 = р(^ р32); Рс = р(^ Рс); (56)
Ч1 = Ч^, рр1); пр2 = Ч^, рр2);
пг1 = рП); пг2 = рг2);
Пг3 = рг3); Пг4 = Ч^ рг4);
К = р31); пз2 = рз2); пс = Ч^ Pс), (57) а их средние значения — выражениями [8]
'Рр1.с = (Рр1 + Рс)/2; Рр2.с = (Рр2 + Рс)/2; Рр1.г1 = (Рр1 + Рг1)/2; Рр2.г2 = (Рр2 + Рг2)/2; Рг1.з1 = (Рг1 + Рз1)/2; Рг2.з2 = (Рг2 + Рз2)/2; Рг1.г3 = (Рг1 + Рг3)/2; Рг2.г4 = (Рг2 + Рг4)/2; рз1.с = (Рз1 + Рс)/2; Рз2.с = (Рз2 + Рс)/2; Рг3.с = (Рг3 + Рс)/2; Рг4.с = (Рг4 + Рс)/2; (58)
Пр1.с = (Пр1 + Пс)/2; Пр2.с = (Пр2 + Пс)/2;
Пр1.г1 = (Пр1 + Пг1)/2; Пр2.г2 = (Пр2 + Пг2)/2;
Пг1.з1 = (Пг1 + Пз1)/2; Пг2.з2 = (Пг2 + Пз2)/2;
Пг1.г3 = (Пг1 + Пг3)/2; Пг2.г4 = (Пг2 + Пг4)/2
Пз1.с = (Пз1 + Пс)/2; Пз2.с = (Пз2 + Пс)/2;
Пг3.с = (Пг3 + Пс)/2; Пг4.с = (^ + ^)/2, (59)
где Ь — температура рабочей жидкости; рр1, рр2 — давления в рабочих полостях ЭГУ; рг1, рг2, рг3, рг4 — давления в полостях гильз ЭГУ; рз1, рз2 — давления в полостях золотников; рс — давление в полости слива (рс = 0).
Метод расчета силовой характеристики РМ с двухдроссельным ЭГУ заключается в последовательном решении системы нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений, определяющих перемещение
золотникового плунжера (1) с учетом (2), перемещения затворов клапанов (44), (45) с учетом (50), (51), а также давлений в узловых точках — в рабочих полостях ЭГУ РМ (5), (6) и полостях начала каналов гильз (40), (41) — методом, изложенным в работе [5], при изменении командного тока I от нуля до I с шагом Н, с по-
к ^ ^ к.тах V
следующим вычислением усилия Я, развиваемого силовым гидроцилиндром РМ, по выражению
Я = 5п(рр1 - р р2) - - ^ (60)
где Ятр — сила сухого трения в силовом гидроцилиндре РМ; — противодействующая нагрузка на штоке силового гидроцилиндра РМ.
При этом на каждой итерации вычисляются параметры по уравнениям (3), (4), (7)-(39), (42), (43), (46)-(49), (52)-(55), а перед входом в итерационный процесс при каждом новом значении командного тока 1к вычисляются значения плотности и кинематической вязкости рабочей жидкости в полостях ЭГУ РМ по выражениям (56), (57) и их средние значения — по выражениям (58), (59).
При отрицательных вычисляемых значениях усилия Я, развиваемого силовым гидроцилиндром РМ, они обнуляются.
Здесь и далее при входе в итерационный процесс на каждом следующем шаге по командному току в качестве начальных значений вычисляемых параметров используются значения этих параметров, полученные на предыдущем шаге.
математическая модель статического режима работы и метод расчета скоростной характеристики рулевой машины
Под скоростной характеристикой РМ понимается зависимость скорости движения ее выходного органа под нагрузкой от командного тока. Скоростную характеристику РМ определяют из условия предположения о неразрывности потоков, из которого следует, что [7]
= 0т2 = Ок т2 т
где 0т — обобщенный расход рабочей жидкости между рабочими полостями
ЭГУ РМ; От, Ол. — рас-
ходы рабочей жидкости через, соответственно, каналы трубопроводов и сами трубопроводы.
Математическая модель статического режима работы для расчета скоростной
характеристики включает уравнения (1)-(4), (7)-(59), а также:
• уравнения падений давления по длине комплексных трубопроводов [7]
Лр1 = ЛрКХ1 + ЛрХ1 +ЛрКХ3; (61)
ЛР = ЛРкт2 + ЛРт2 +ЛРкт4'
(62)
здесь Лркт1, Лркт2 — падения давлений по длине входных каналов трубопроводов; Лркт3, Лркт4 — падения давлений по длине выходных каналов трубопроводов; Лрт1, Лрт2 — падения давлений по длине трубопроводов;
• уравнения падений давлений по длине каналов и трубопроводов [7]
ЛРкт1 = («25 + а26^кт1)Рр1.т10т2;
(63)
(64)
кт1 V 25 26 кт1''р1л Лрт1 = (а27 + а28^т1)Рр1.т3°т2
ЛРКТ3 = (а25 + а26^кт3)Рт3.ц1°т2; (65)
ЛРКТ4 = (а25 + а26^кт4)Рт4.ц2°т2; (66 )
Лрт2 = (а27 + а28^т2)Рт2.т4°т2; (67)
Лркт2 = (а25 + а26^кТ2)РТ4.ц202, (68)
здесь X ,, X „, X 3, X ., X „ X „ — коэффи-
^ кт1' кт2' кт3' кт4' тг т2 ^ ^
циенты гидравлических потерь на трение по длине, соответственно, каналов трубопроводов и самих трубопроводов, определяемые в соответствии с работами [4, 7] функциональными зависимостями:
X . = X (р ., р., р. ., V. ., й , / , п , х „ ..., X ); (69)
кт1 к^*р17-'т17 гр1.т17 р1.т17 кг кг 1кт7 ~кт.17 7~кт.п'7 ^ '
X „ = X (р „, р „, р „ „, V „ „, й , /, п , х „ ..., X ); (70)
кт2 к^гт27-гр27 1 р2.т2 р2.т2 кг кг 1кг ^кт.г 7 ^кт.п/7 4 /
XI ^т^^тР -Pт3, Рт1.т3, Vт1.т3, йт, /т, ^ Xт.1, Хт.п); (71) Xт2 = Xт(Pт4, Рт2, Рт2.т4, Пт2.т4, йт, Пт, Хт.1, "', Хт.п); (72)
X 3 = X(р3,р,, р3 ,, V 3 ,, й , / , Н , х ..., X ); (73)
кт3 к^т37-^ц17 "т3.ц17 т3.ц17 кг кт кт7 ~кт.17 7~кт.п'7 V '
X . = X (р „, р., р . „, V . „, й , / , Н , X ..., X ), (74)
кт4 к^ц27-гт47 гт4.ц27 т4.ц2 кг кг кг ~кт.17 7~кт.п'7 ^ '
где пкт, Пт — относительные шероховатости внутренних поверхностей каналов трубопроводов и самих трубопроводов; Xкт1, •••, X , X 1, •, X — характерные изменения параметров русла каналов трубопроводов и самих трубопроводов;
• уравнение скорости движения поршня РМ [7]
V. = И(а29/кквт)(Рр1 - рр2) - («30 /КсЛ Х
Х §!ЕП[(а29/КкВТ)(рр1 - рр2) - (а30/Кквт)] , (75)
где Кквт — коэффициент квадратичного вязкого трения, приведенного к поршню силового гидроцилиндра РМ, определяемого как [7]
Кквт = [(а25 + а26Хкт1)Рр1.т1 + (а27 + «28Хт1) Рт1.т3 +
+ (а25 + й26Хкт1)Рт3.ц1 + (а25 + й26Хкт1)Рт4.ц2 + + (а27 + й28Хт1)Рт2.т4 + («27 + V^PpaJ^3' (76)
здесь а25...«30 — постоянные коэффици-
п
енты, определяемые как а25 = 2ZKtí/(2 ^ D
i- i
п
«26 = L/(2^кт^2кт); «27 = EZT, /(2 5 2);
i = 1
«28 = l /(2d S2); «„а = S ; аЧо = F + F,
28 т / v т т '' 29 п' 30 тр п' и и
где 2Скт.;, Х^.; — суммы, соответственно,
^кт.
i - 1 i - 1
коэффициентов местных гидравлических сопротивлений, обусловленных изменениями параметров русла каналов трубопроводов и самих трубопроводов; /кт, /т — длины, соответственно, каналов трубопроводов и самих трубопроводов; йкт, йт — диаметры, соответственно, каналов трубопроводов и самих трубопроводов, где Я — сила сухого трения в силовом гидроцилиндре РМ;
— противодействующая нагрузка на штоке силового гидроцилиндра РМ; 5п — эффективная площадь поршня силового гидроцилиндра РМ, определяемая как
5п=4 ( й2 - йшх
здесь йп — диаметр поршня силового гидроцилиндра; йш — диаметр штока силового гидроцилиндра;
• уравнения давлений в полостях трубопроводов и силового гидроцилиндра [7]
РТ1 = рр1 - (а21 + а22Xкт1)Рр1.т1Qт2sign(Qт); (77) рт3 = РТ1 - (а23 + а24Xт1)РтLт3Qт2sign(Qт); (78)
р т2 = рр2 + (а21 + ^^^^^(От); (79)
рт4 = р т2 + (а23 + а24Xт2)Рт2.т4Qт2sign(Qт); (80)
рщ=рр1 - ЛР1; (81)
рц2 = р р2 - ЛР2; (82)
• уравнение расхода через комплексный трубопровод [7]
От = (83)
• уравнения давлений в рабочих полостях ЭГУ РМ [7]
рр1 = а4 - рр2 - а5[1 + а6(Рр1.сПр1.с + Рр2.сПр2.с)] Х Х(рр1.спр1.с)-1рр1 - а7[1 + а6(Рр1.сПр1.с + Рр2.сПр2.с)] Х
Х тос15ос^ 1/Рр1.П V \PvX - PTl\ SÍgn(Pp1 - РГ1) -
«8С1 + «6(Рр1.Л1.с + Рр2Л2.с)](Ок1+ Q); (84)
Рр2 = а4 - Рр1 - а5[1 + а6(ррЛ.с + Рр2.сVр2.с)] Х
р1 5 2
6^"р1.с р1.с
р2.с р2.с'
Х (Рр2.Л2.с)-1Рр2 - а7[1 + а6(Рр1Л1.с + Рр2.Л2.с)] Х
Х Мос25ос^ 1/Рр2.г2 Р2 81§П(Рр2 - Рг2) -
- а8[1 + а6(Рр1Л1.с + РР2Л2.с)](Ок2- От) (85)
• уравнения плотности и кинематической вязкости рабочей жидкости в полостях силового гидроцилиндра РМ и в полостях трубопроводов, которые в соответствии с работой [3] можно определить следующими функциональными зависимостями:
Рт1 = р(^ рт1); Рт2 = р (^ рТ2); Рт3 = р(^ рТ3);
Рт4 = р(^ рТ4); рщ = р(^ рЩ);
Рц2 = р(^ рц2); Рс = р(^ рС); (86)
vтl = v(t, рТ1); Vт2 = v(t, рТ2); Vтз = v(t, рТ3); ^ = v(t, рТ4); vцl = v(t, рЩ);
Vц2 = V(t, рц2); Vс = v(í, Рс), (87)
и их средние значения — выражениями [7]
Рр1.т1 = (Рр1 + Рт1)/2; Рр2.т2 = (Рр2 + Рт2)/2; Рт1.т3 = (Рт1 + Рт3)/2; Рт2.т4 = (Рт2 + Рт4)/2; Рт3.ц1 = (Рт3 + Рц1)/2; Рт4.ц2 = (Рт4 + Рц2)/2; (88)
Vр1.т1 = + Vт1)/2; Vр2.т2 = (^2 + Vт2)/2;
Т1.Т3 = + Vт3)/2; Vт2.т4 = (^2 + Vт4)/2;
т3.ц1
= (^3 + Vц1)/2; Vт4.ц2 = (^4 + Vц2)/2,
т4.ц2
ц2
(89)
где Рт1, Рт2, Рт3, Рт4 — давления в полостях трубопроводов; р , Рц2 — давления в полостях силового гидроцилиндра.
Метод расчета скоростной характеристики РМ с двухдроссельным ЭГУ заключается в последовательном решении системы нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений, определяющих:
• перемещение золотникового плунжера (1) с учетом (2);
• перемещения затворов клапанов (44), (45) с учетом (50), (51);
• давления в узловых точках — в рабочих полостях ЭГУ РМ (84), (85) и полостях начала каналов гильз (40), (41);
• скорость движения поршня РМ (75) методом, изложенным в работе [5], при изменении командного тока 1к от нуля до I с шагом Н..
^ к.тах г
При этом на каждой итерации вычисляются параметры по уравнениям (3), (4), (7)-(39), (42), (43), (46)-(49), (52)-(55), (61)—(74), (76)-(83), а перед входом
в итерационный процесс при каждом новом значении командного тока 1к вычисляются значения плотности и кинематической вязкости рабочей жидкости в полостях ЭГУ РМ по выражениям (56), (57), (86), (87) и их средние значения — по выражениям (58), (59), (88), (89).
При отрицательных вычисляемых значениях скорости поршня силового гидроцилиндра РМ Уп они обнуляются.
Апробация разработанных методов статического анализа
Результаты вычислительных экспериментов по определению статических характеристик автономной однокаскадной рулевой машины с двухдроссельным ЭГУ с отрицательным перекрытием и дроссельными окнами сегментной формы разгонного блока типа ДМ представлены на рис. 3-7.
На всех рисунках показаны экспериментальные значения параметров.
Рис. 3. Семейство скоростных характеристик РМ при противодействующих нагрузках на штоке РМ 0 ), 1 000 ) и 2 200 Н ), напряжении питания 27 В и температуре 20 ° С: линия — расчет; * — эксперимент
Рис. 4. Силовая характеристика РМ при напряжении питания 27В и температуре 20 °С: линия — расчет; * — эксперимент
V
I. Л
10
А _____; ;---1 ч ,
0 5 10 15 20 I., мА
Рис. 5. Семейство зависимостей потребляемого тока РМ при противодействующих нагрузках на штоке РМ 0( ); 1 000(и 2 200 Н ) и заторможенном поршне при напряжении питания 27 В, температуре 20 °С:
линия — расчет; * — эксперимент
ь\ н
0,2
0,1
-ОД
-0,2
0,3
Ч у
0
0,01
0,02
А', см
Рис. 6. Семейство зависимостей гидравлической силы, действующей на золотниковые плунжеры ЭГУ РМ, от перемещения золотникового плунжера при противодействующих нагрузках на штоке РМ 0 ( ); 1 000 (~) и 2 200 Н (~) и заторможенном поршне (~) при напряжении питания 27 В и температуре 20 ° С: линия — расчет; * — эксперимент
5 1У 15
Рис. 7. Скоростные характеристики РМ при противодействующей нагрузке на штоке РМ 1000 Н, напряжении питания 23 В и температуре 50 °С и при напряжении питания 34 В и температуре -50 ° С (™): линия — расчет; * — эксперимент
Как видно из рисунков, расчетные графики и данные экспериментов практически совпадают, что указывает на корректность математических моделей, а также высокую точность и эффективность разработанных итерационных методов статического анализа рулевых машин.
заключение
В итоге проведенных разработок и исследований получены следующие основные результаты:
• разработаны математические модели статических режимов работы РМ с учетом местных гидравлических сопротивлений каналов и трубопроводов РМ и ее ЭГУ, а также с учетом зависимостей параметров РМ и ее ЭГУ от температуры, обеспечивающие погрешность вычисления характеристик не более 2% по сравнению с математическими моделями без учета указанных параметров и зависимостей, дающими погрешность вычислений до 15%;
• разработаны новые итерационные методы статического анализа РМ, включающие методы расчета статических характеристик РМ с учетом местных гидравлических сопротивлений, напряжения питания и температуры с заданной погрешностью вычислений и за минимальное время, и исследована их работоспособность.
Вывод по результатам проведенных в работе исследований: предложенные новые итерационные методы статического анализа РМ, основанные на решении нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений математических моделей статических режимов работы РМ, позволяют проводить расчеты статических характеристик РМ с заданной погрешностью вычислений и за минимальное время в широких диапазонах температур и напряжения питания.
Список литературы
1. Белицкий Д.С., Белоногов О.Б., Жарков М.Н. Исполнительные приводы систем управления / Машиностроение. Энциклопедия. Т. 1У-22. Ракетно-космическая техника. Кн. 1. Гл. 8.8. М.: Машиностроение, 2012. С. 918-924.
2. Белоногов О.Б., Жарков М.Н., Кудрявцев В.В., Степан Г.А., Черток Б.Е., Шутенко В.И. Особенности схемно-кон-структивных решений и функционирования электрогидравлических рулевых
машин ракет (краткий технико-исторический обзор) // Ракетно-космическая техника. Труды. Сер. XII. Королёв: РКК «Энергия», 1998. Вып. 3-4. С. 3-25.
3. Белоногов О.Б., Жарков М.Н., Кристальный С.Р., Кудрявцев В.В., Шу-тенко В.И. Моделирование физических свойств рабочих жидкостей рулевых машин и гидроприводов // Ракетно-космическая техника. Труды. Сер. XII. Королёв: РКК «Энергия», 1997. Вып. 1. С. 107-117.
4. Белоногов О.Б., Жарков М.Н., Кудрявцев В.В., Шутенко В.И. Итерационный метод расчета параметров течений рабочей жидкости в соединительных трубопроводах, каналах, проточных элементах и клапанах // Ракетно-космическая техника. Труды. Сер. XII. Королёв: РКК «Энергия», 1997. Вып. 1. С. 97-106.
5. Белоногов О.Б., Жарков М.Н. Модификация метода Зейделя для расчета статических характеристик рулевых машин и электрогидравлических приводов // Ракетно-космическая техника. Труды. Сер. XII. Королёв: РКК «Энергия», 1997. Вып. 1. С. 118-120.
6. Белоногов О.Б., Жарков М.Н., Кудрявцев В.В., Шутенко В.И. Методы расчета статических характеристик автономных однокаскадных рулевых машин с двух-дроссельным электрогидравлическим усилителем с отрицательным перекрытием // Ракетно-космическая техника. Труды. Сер. XII. Королёв: РКК «Энергия», 1997. Вып. 1. С. 5-28.
7. Белоногов О.Б., Жарков М.Н., Кудрявцев В.В., Шутенко В.И. Методы расчета статических характеристик автономных однокаскадных двухдроссельных рулевых машин // Ракетно-космическая техника. Труды. Сер. XII. Королёв: РКК «Энергия», 1998. Вып. 3-4. С. 132-177.
8. Белоногов О.Б. Методы расчета статических характеристик двухдроссельных и четырехдроссельных электрогидравлических усилителей // Ракетно-космическая техника. Труды. Сер. XII. Королёв: РКК «Энергия», 2005. Вып. 1. С. 56-99.
9. Белоногов О.Б. Экспериментальные исследования и идентификация углов истечения потоков в дроссельных окнах золотниковых гидрораспределителей рулевых машин ракет // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Машиностроение». 2015. № 1. С. 35-48.
10. Белоногов О.Б. Экспериментальные исследования и метод идентификации безразмерных параметров течения потоков жидкости в дроссельных окнах золотниковых гидрораспределителей // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Машиностроение». 2015. № 3. С. 43-57.
11. Белоногов О.Б. Экспериментальные исследования истечения и безразмерных параметров течения потоков жидкости в дроссельных окнах золотниковых гидрораспределителей с вращающимися гильзами // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Машиностроение. 2016. № 5. С. 4-23.
12. Белоногов О.Б. Метод идентификации безразмерных параметров течения потоков жидкости в шариковых предохранительных и переливных клапанах рулевых машин ракет и двигательных установок космических аппаратов // Вестник ФГУП «НПО им. С.А. Лавочкина». 2015. № 1. С. 66-70.
13. Белоногов О.Б. Обобщенная математическая модель электродвигателя постоянного тока и метод идентификации ее параметров // Известия РАН. Энергетика. 2013. № 1. С. 75-81.
Статья поступила в редакцию 16.11.2017 г.
Reference
1. Belitskiy D.S., Belonogov O.B., Zharkov M.N. Ispolnitel'nye privody sistem upravleniya [Control system servos]. Mashinostroenie. Entsiklopediya. Vol. IV-22. Raketno-kosmicheskaya tekhnika, book 1, ch. 8.8. Moscow, Mashinostroeniepubl., 2012. P. 918-924.
2. Belonogov O.B., Zharkov M.N., Kudryavtsev V.V., Stepan G.A., Chertok B.E., Shutenko V.I. Osobennosti skhemno-konstruktivnykh reshenii i funktsionirovaniya elektrogidravlicheskikh rulevykh mashin raket (kratkii tekhniko-istoricheskii obzor) [Special aspects of schematics and design solutions and functioning of electrohydraulic servo units of rockets (brief engineering history survey)]. Raketno-kosmicheskaya tekhnika. Trudy. Ser. XII. Korolev, RKK «Energiya» publ., 1998, issue 3-4, pp. 3-25.
3. Belonogov O.B., Zharkov M.N., Kristal'nyi S.R., Kudryavtsev V.V., Shutenko V.I. Modelirovanie fizicheskikh svoistv rabochikh zhidkostei rulevykh mashin i gidroprivodov [Simulating physical properties of hydraulic fluids in servo units and hydraulic actuators]. Raketno-kosmicheskaya tekhnika. Trudy. Ser. XII. Korolev, RKK «Energiya»publ., 1997, issue 1, pp. 107-117.
4. Belonogov O.B., Zharkov M.N., Kudryavtsev V.V., Shutenko V.I. Iteratsionnyi metod rascheta parametrov techenii rabochei zhidkosti v soedinitel'nykh truboprovodakh, kanalakh, protochnykh elementakh i klapanakh [Iterative method of calculating parameters of hydraulic fluid low in connecting pipelines, channels, ducts and valves]. Raketno-kosmicheskaya tekhnika. Trudy. Ser. XII. Korolev, RKK «Energiya»publ., 1997, issue 1, pp. 97-106.
5. Belonogov O.B., Zharkov M.N. Modifikatsiya metoda Zeidelya dlya rascheta staticheskikh kharakteristik rulevykh mashin i elektrogidravlicheskikh privodov [Modification of Seidel method to calculate static properties of servo units and electrohydraulic actuators]. Raketno-kosmicheskaya tekhnika. Trudy. Ser. XII. Korolev, RKK «Energiya»publ., 1997, issue 1, pp. 118-120.
6. Belonogov O.B., Zharkov M.N., Kudryavtsev V.V., Shutenko V.I. Metody rascheta staticheskikh kharakteristik avtonomnykh odnokaskadnykh rulevykh mashin s dvukhdrossel'nym elektrogidravlicheskim usilitelem s otritsatel'nym perekrytiem [Methods of calculating static characteristics of autonomous single-stage servo units with two-throttle electrohydraulic amplifier with underlap]. Raketno-kosmicheskaya tekhnika. Trudy. Ser. XII. Korolev, RKK «Energiya» publ., 1997, issue 1, pp. 5-28.
7. Belonogov O.B., Zharkov M.N., Kudryavtsev V.V., Shutenko V.I. Metody rascheta staticheskikh kharakteristik avtonomnykh odnokaskadnykh dvukhdrossel'nykh rulevykh mashin [Methods of calculating static characteristics of autonomous single-stage two-throttle servo units]. Raketno-kosmicheskaya tekhnika. Trudy. Ser. XII. Korolev, RKK «Energiya»publ., 1998, issue 3-4, pp. 132-177.
8. Belonogov O.B. Metody rascheta staticheskikh kharakteristik dvukhdrossel'nykh i chetyrekhdrossel'nykh elektrogidravlicheskikh usilitelei [Methods of calculating static characteristics of two-throttle and four-throttle electrohydraulic amplifiers]. Raketno-kosmicheskaya tekhnika. Trudy. Ser. XII. Korolev, RKK «Energiya» publ., 2005, issue 1, pp. 56-99.
9. Belonogov O.B. Eksperimental'nye issledovaniya i identifikatsiya uglov istecheniya potokov v drossel'nykh oknakh zolotnikovykh gidroraspredelitelei rulevykh mashin raket [Experimental studies and identification of the angle of efflux in throttle windows of slide hydraulic valves of servo units of rockets]. Vestnik MGTUim. N.E. Baumana. Ser. Mashinostroenie, 2015, no. 1,pp. 35-48.
10. Belonogov O.B. Eksperimental'nye issledovaniya i metod identifikatsii bezrazmernykh parametrov techeniya potokov zhidkosti v drossel'nykh oknakh zolotnikovykh gidroraspredelitelei [Experimental studies and a method for identifying non-dimensional parameters of liquid flows in throttle windows of slide hydraulic valves]. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Ser. Mashinostroenie, 2015, no. 3. pp. 43-57.
11. Belonogov O.B. Eksperimental'nye issledovaniya istecheniya i bezrazmernykh parametrov techeniya potokov zhidkosti v drossel'nykh oknakh zolotnikovykh gidroraspredelitelei s vrashchayushchimisya gil'zami [Experimental studies of efflux and non-dimensional parameters of liquid flows in throttle windows of slide hydraulic valves with rotating sleeves]. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Ser. Mashinostroenie, 2016, no. 5, pp. 4-23.
12. Belonogov O.B. Metod identifikatsii bezrazmernykh parametrov techeniya potokov zhidkosti v sharikovykh predokhranitel'nykh i perelivnykh klapanakh rulevykh mashin raket i dvigatel'nykh ustanovok kosmicheskikh apparatov [Method for identifying non-dimensional parameters of liquid flows in ball safety and overflow valves of servo units of rockets and propulsion systems of spacecraft]. Vestnik FGUP «NPO im. S.A. Lavochkina», 2015, no. 1, pp. 66-70.
13. Belonogov O.B. Obobshchennaya matematicheskaya model' elektrodvigatelya postoyannogo toka i metod identifikatsii ee parametrov [A generalized math model of a DC motor and a method for identifying its parameters]. Izvestiya RAN. Energetika, 2013, no. 1, pp. 75-81.
