CC BY
53
Об авторах: Мясников Алексей Георгиевич — кандидат физико-математических наук, доцент, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, arubus@yandex.ru.
Завадская Елена Петровна — студентка 2-го курса, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, alenatimoff@mail.ru;
Для цитирования: Мясников А.Г., Завадская Е.П. Полиномиальные символы матриц // Вестник МГСУ 2012. № 9. С. 124—128.
A.G. Myasnikov, E.P. Zavadskaya
POLYNOMIAL MATRIX SYMBOLS
Let P(A) be the algebra generated by complex matrix A. Then XeP(A) can be uniquely decomposed into the sum X = YVkJk + N, where Jk eP(A) are minimal idempotent matrices, jik — non-null eigenvalues of matrix X, N e P(A) — the nilpotent matrix (generalization of spectral decomposition). The least degree polynomial pX(t), if pX(A) = X, is called the symbol of X. In the case of X=0, the symbol coincides with the minimal polynomial. The set Pmin(t) of all symbols supplied with certain operations of the sum of pX(t) + p(t) and the multiplication pX(t) o p(t) is the algebra which is isomorphic to the matrix algebra P(A).
Hence, the symbol may be represented as the sum of a minimal polynomial divisor and a linear combination of idempotents. The authors have proven that the invertibility of X in terms of the modulus of nilpotent matrices is equivalent to the "generalized" invertibility of its symbol. More exactly, let N(A) c P(A) denote a double-sided ideal of all nilpotent matrices, X = X + N(A), kX — an algebraic multiplicity of eigenvalue 0 of matrix X, J — the maximal idempotent matrix in P(A). Then, the following conditions are equivalent: (1) X is invertible into P(A)/N(A); (2) there exists YeP(A), so that XY= J; (3) kX = kA; (4) there exists a polynomial p(t) e Pmin(t), so that pX(t) o p(t) = p(t). The results can be used in systems of linear differential equations and in mathematical statistics.
Key words: idempotent matrix, Jordan canonical form, minimal polynomial, nilpotent matrix, operator symbol, matrix spectrum.
References
1. Gokhberg I.Ts., Krupnik N.Ya. Vvedenie v teoriyu odnomernykh singulyarnykh integral'nykh operatorov [Introduction into the Theory of One-dimentional Singular Integral Operators]. Kishinev, Shtiintsa Publ., 1973, 428 p.
2. Myasnikov A.G., Sazonov L.I. Singulyarnye integral'nye operatory s nekarlemanovskim sdvigom [Singular Integral Operators with a non-Carleman shift]. Izvestiya Vuzov. Matematica. [Bulletins of Institutions of Higher Education. Mathematics]. 1980, no. 3, pp. 22—31.
3. Khelemskiy A.Ya. Banakhovy i polinormirovannye algebry: obshchaya teoriya, predstavleniya, gomologii. [Banach and Polynormed Algebras: General Theory, Representations, Homologies]. Moscow, Nauka Publ., 1989, 464 p.
4. Causa A. Some Remarks in Linear Spaces of Nilpotent Matrices. Le Matematiche, 1998, vol. LIII, pp. 23—32.
5. DeMarr R. Nonnegative Idempotent Matrices. Proc. Amer. Math. Soc. 1974, vol. 45, no. 2, pp. 185—188.
6. Horn R.A., Johnson Ch.R. Matrichnyy analiz [Matrix Analysis]. Moscow, Mir Publ., 1989, 654 p.
About the authors: Myasnikov Aleksey Georgievich — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associated Professor, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; arubus@yandex.ru.
Zavadskaya Elena Petrovna — student, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU),
26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; alenatimoff@mail.ru;
For citation: Myasnikov A.G., Zavadskaya E.P. Polinomial'nye simvoly matrits [Polynomial Matrix Symbols]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2012, no. 9, pp. 124—128.
УДК 519.6
Э.Р. Какушев, С.В. Шешенин, И.М. Закалюкина*
ФГБОУ ВПО «МГУ им. М.В. Ломоносова», *ФГБОУ ВПО «МГСУ»
А
ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СВЯЗАННОЙ ЗАДАЧИ ФИЛЬТРАЦИИ
Описаны некоторые итерационные методы решения линейной задачи нестационарной фильтрации по связанной модели Био. При численной реализации задач для дискретизации краевой задачи по пространственным переменным использовался МКЭ, а по времени разностная схема. Численные алгоритмы реализованы в виде пакетов программ в FORTRAN. В демонстрационных целях приведены результаты численного моделирования откачки жидкости через скважину. Сравниваются итерационные методы простой итерации, минимальных невязок и сопряженных градиентов.
Ключевые слова: модель фильтрации Био, связанная задача фильтрации, закон Дар-си, LBB условие, метод сопряженных градиентов.
Предметом рассмотрения служит процесс нестационарной однофазной фильтрации в деформируемом слоистом грунте, именуемым каркасом. В процессе фильтрации жидкости возникают перемещения каркаса и и изменения давления p в жидкости, которые следует вычислить. Рассматривается прямая задача, поэтому размеры слоев и их упругие свойства, свойства жидкости и параметры откачки считаются известными.
Связанные линеаризованные уравнения, описывающие эту задачу при малом изменении пористости и коэффициентов фильтрации, рассматривались в недавнее время в [1—7]. Ниже они представлены вместе с граничными и начальными условиями:
Р = Р°, при х еЕ р; и = 0, р = 0 при ? = ?0.
Для вывода этих уравнений в рамках геометрически линейной теории используются закон Дарси, уравнение состояния жидкости, уравнения неразрывности для жидкой и твердой фаз, уравнения движения фаз. В приведенных выше уравнениях С — тензор эффективных модулей насыщенного грунта при нулевом давлении жидкости в порах, и — вектор перемещения упругого грунта, р — изменение давления жидкости, к — тензор коэффициентов фильтрации, п — объемная пористость грунта, Q — интенсивность источников и стоков, вЖ — коэффициент сжимаемости жидкости. В тензор коэффициентов фильтрации входит удельный вес жидкости, т.е. к: = к/у, где у — удельный вес жидкости.
Вся поверхность области Е делится на 4 части: Еа, Еи, и Е , на которых задаются нагрузки, перемещения, поток жидкости и давление соответственно. При дискретизации краевой задачи по пространственным переменным использовался
idiv ( C : grad u ) = grad p ; [div(k • gradp) = div U + nРЖp - Q(x,t); и •(C : grad u -pl)= S0, при x eEa; u = u°, при x e Eu ;
при x e Ew ;
(1)
МКЭ, а по времени разностная схема. Также принимаются следующие допущения: = 0, рЕ = 0, д0 = 0 . После дискретизации в каждый момент Ьт получается линейная седловая система алгебраических уравнений относительно блочного вектора
узловых неизвестных
следующего вида:
" A BT' "um ' "0
B C pm fm—1
(2)
где А и С — симметричные положительно определенные матрицы; В — прямо -угольная матрица, соответствующая дифференциальному оператору дивергенции.
Итерационные методы [8] решения (2) проще всего строятся на основе применения метода Удзавы, который заключается в том, что из первого уравнения системы (2) выражаются ит, подставляются во второе. В итоге получается система уравнений относительно рт:
Брт = /т-\ (3)
где 5* = -ВА1ВТ + С — матрица Шура [9].
Достаточным условием корректности системы (3) и, следовательно, (2) является положительная определенность S [9]. Это требование в терминах исходной системы (2) приводит к так называемому ЬББ-условию [9,10]
(Вгр, и ) т£8ир ...... ,. >у> 0.
(4)
Условие (4) выполняется для системы (1), но выполнение условия (4) для конечномерной системы (2) зависит от выбранных при дискретизации конечномерных пространств, используемых для аппроксимации для u и p . Для элементов Q2—Q оно выполняется [10] и система (3) всегда имеет решение. Выполнение условия (4) для более простых элементов Q1—Q1 зависит от малого параметра т — шага по времени, который входит в матрицу C множителем. Если уменьшать т , то, начиная с некоторого его значения, условие (4) нарушается, и система (2) не решается никаким методом. Причем для каждой задачи (2) это критическое ттш имеет свое значение. Получить формулу для ттш в общем случае затруднительно. Исследование ттш было проведено с использованием численных экспериментов на кубической сетке. Рассматривалась откачка из области, представляющей собой куб со скважиной в центре по осям Х и Y и пронизывающей весь слой по Z. Среда предполагалась изотропной. В этом случае ттш представляется как функция следующих параметров:
Tmin =Tmm(N, Q, E, k, П, ß, h),
где E — модуль Юнга; N, h — число узлов и шаг сетки вдоль осей X, Y, Z. Из соображений размерностей и в результате численных экспериментов было получено, что условие устойчивости имеет вид лт > лтт, где лт — безразмерный шаг по времени, причем тстш = 9(N). Вид функции 9(N) показан на рис. 1.
Поскольку, начиная с некоторого N, лтт не меняется, то лтт можно рассматривать как постоянную, примерно равную 2. Тогда для ттт получим h2
т . =л . -. (5)
тт тт pj v '
Ek
Для подтверждения полученной формулы (5) приведем численный расчет задачи об откачке жидкости из однослойного грунта. Слой представляет собой куб.
ВЕСТНИК
-МГСУ
Скважина находится в центре и пронизывает весь слой. Количество шагов по координатам вдоль осей одинаково. Тензор коэффициентов фильтрации диагональный, и его диагональные элементы равны. В модели месторождения учтены все условия, при которых была выведена формула (5). В табл. 1 приведены входные данные, используемые в расчете.
2,5 2,3 2,1 1,9 1,7
1,5
* 1,3 1,1 0,9 0,7
Рис. 1. Зависимость безразмерного шага по времени от количества узлов сетки Табл. 1. Параметры задачи
Общее время откачки, сут 30
Интенсивность откачки, м3/сут 100
Р, Па-1 ю-10
Удельный вес жидкости, Па/м 7250
Коэффициент фильтрации, м/сут 1,095 -10-3
Пористость грунта 0,1
Протяженность области по X, м 100
Протяженность области по У, м 100
Протяженность области по 2, м 100
Модуль Юнга, МПа 100
Коэффициент Пуассона 0,25
Условия на давление на границе модели задаются следующим образом: на боковой границе области градиент изменения давления жидкости по координатам ра-
( др Л
вен нулю, т.е. отсутствует переток жидкости I — = 0 I; на верхней границе области
\дп )
давление не меняется (р = 0); на нижней границе отсутствует переток жидкости
др Л
— = 0 I. Условия на перемещения задаются в виде: на боковой границе области
дп )
перемещения равны нулю (и = 0); на нижней границе перемещения также отсутствуют (и = 0); верхняя граница свободна от нагрузок {С^ыик 1 - р= 0 .
В этой задаче согласно формуле (5) оказалось, что ттт = 3 сут. Задача была решена для х = 6; 3 и 2 сут. При этом вычислялись давления в зависимости от времени. Измерения давления производились в точке с координатами: X = 40 м, У = 40 м, 2 = 50 м. Полученные результаты можно увидеть на рис. 2—4.
N
9/2012
0,00 -0,50 -1,00 -1,50 -2,00 I -2,50
^ -3,00 -3,50 -4,00 -4,50 -5,00
-йи = 6 -Р мин
Рис. 2. Изменение давлений во времени в точке месторождения при х = 6 сут
0,00 -0,50 -1,00 -1,50
-2,00 | -2,50
^ -3,00 -3,50 -4,00 -4,50 -5,00
-Ши = 3 -Р мин
Рис. 3. Изменение давлений во времени в точке месторождения при х = 3 сут
0,00 -0,50 -1,00 -1,50 -2,00 -2,50 -3,00 -3,50 -4,00 -4,50 -5,00
—Ши = 2 -Р мин
Рис. 4. Изменение давлений во времени в точке месторождения при х = 2 сут
В данной задаче давление и перемещения перестают падать через 8 дней после начала откачки. Промежуток времени в 30 дней взят для того, чтобы легче было следить за изменениями вычисленного давления для разных шагов по времени. Максимальное падение давления в рассматриваемой точке достигает 2,5 МПа. Для наглядности на графиках 2—4 проведена специальная линия Р_мин, которая соответствует минимальному значению давления в этой точке, т.е. значение, к которому решение должно стремиться.
Рис. 2 соответствует х , при котором выполняется условие (5). Из графиков видно, что решение задачи устойчиво, и давление выходит на установившийся режим.
В случаях, представленных на рис. 3 и 4, условие (5) не выполняется. На обоих графиках можно заметить, что решение до некоторого момента времени колеблется около положения равновесия, затем уходит либо в +да, либо в —да .
Рассмотрим случай т = 3 сут (см. рис. 3) подробнее. Это значение является критическим, при котором решение становится неустойчивым. На рис. 3 видно, что решение после некоторых колебаний в начальные времена откачки сходится к равновесному состоянию. Равновесие сохраняется вплоть до предпоследнего шага по времени, затем происходит резкий скачок. Т.е. в данном случае решение также неустойчиво. На самом деле, как и в случае 4, происходит колебание решения около положения равновесия. Колебания очень малы и их не видно на рисунке. Их можно увидеть на рис. 5.
Рис. 5. Изменение давлений во времени в точке месторождения при т = 3 сут
Рис. 5 представляет собой то же самое что и рис. 3, но здесь более детально показано все, что происходит около положения равновесия. Видно, что решение колеблется около равновесия, а затем начинает сильно меняться. Это и есть проявление неустойчивости. Данный результат полностью подтверждает результаты неравенства (5).
Перейдем теперь к итерационным процессам. Исходная задача (1) является связанной и трехмерной, поэтому она достаточно сложная и объемная. Размеры рассматриваемой области могут достигать до 20 км по длине и ширине и до 5 км по высоте. Для точного моделирования необходимо, чтобы линейная система (2) имела размер не менее сотни тысяч уравнений. Прямыми методами решать такие большие системы на компьютере невозможно или неэффективно, поэтому целесообразно использовать итерационные методы решения. Для решения связанной задачи фильтрации (3) использованы 3 итерационных метода: метод простой итерации, метод минимальных невязок и метод сопряженных градиентов [11, 12].
Для сравнения реализованных итерационных методов, была решена задача, параметры которой сформулированы выше, в табл. 1. В табл. 2 записаны результаты вычислений, где для трех итерационных методов указано количество итераций, которое необходимо осуществить, чтобы невязка ||г|| удовлетворяла условию остановки итерационного процесса °|| < £ .
В табл. 2 приведена скорость сходимости итерации на первом временном шаге для того, чтобы задачи для 3-х итерационных процессов были полностью идентичны. В методе простой итерации использовался оптимальный итерационный параметр. Из таблицы видно явное преимущество метода сопряженных градиентов по сравнению с остальными, что также отмечается в [8]. Метод простой итерации требует примерно в 2 раза больше итераций, чем в метод минимальных невязок. В методе сопряженных градиентов количество необходимых итераций на порядок меньше.
вестник 9/2012
Табл. 2. Необходимое количество итераций, при котором достигается условие остановки итераций
Количество итераций
8 Метод простой итерации Метод минимальных невязок Метод сопряженных градиентов
10-2 26 16 7
10-3 267 127 23
10-4 627 299 40
10-5 991 471 62
10-6 1 360 648 78
10-7 1 734 814 97
10-8 2 111 945 108
10-9 2 492 1 088 128
10-10 2 876 1 244 148
10-11 3 262 1 397 167
10-12 3 651 1 565 187
10-13 4 041 1 732 210
10-14 4 433 1 922 229
10-15 4 827 2 261 252
Выводы. 1. Реализованы итерационные методы решения трехмерной связанной задачи фильтрации.
2. Для подкласса задач фильтрации найдено условие, при котором выполняется LBB-условие, и задача имеет решение на элементах Qx—Qr
3. Проведено численное сравнение итерационных методов на примере модельной задачи фильтрации.
Библиографический список
1. BiotM.A. General theory of three-dimensional consolidation. J. Appl. Phys., 12, pp. 155— 164, 1941.
2. Naumovich A. On finite volume discretization of the three-dimensional Biot poroelasticity system in multilayer domains. Computational methods in applied mathematics, Vol. 6 (2006), No. 3, pp. 306—325
3. Naumovich A., Gaspar F.J. On a multigrid solver for the three-dimensional Biot poroelasticity system in multilayered domains. Comput. Vis. Sci. 11, pp. 77—87 (2008).
4. GasparF.J., Gracia J.L., LisbonaF.J. and VabishchevichP.N. A stabilized method for a secondary consolidation Biot's model. Numerical Methods Partial Differential Equations 24: pp. 60—78 (2008).
5. SchanzМ. On the equivalence of the linear Biot's theory and the linear theory of porous media. 16th ASCE engineering Mechanics Conference. July 16-18, 2003, University of Washington, Seattle.
6. Киселев Ф.Б., Шешенин С.В. Разностная схема для задачи нестационарной фильтрации в слоистых грунтах // Известия РАН. МТТ. 1996. № 4. С. 129—135.
7. Шешенин С.В., Какушев Э.Р., Артамонова Н.Б. Моделирование нестационарной фильтрации, вызванной разработкой месторождений // Вестник Московского ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 2011. № 5. С. 66—68.
8. Быченков Ю.В., Чижонков Е.В. Итерационные методы решения седловых задач. М. : БИНОМ, 2010.
9. Дьяконов Е.Г. Минимизация вычислительной работы. М. : Наука, 1989. 272 с.
10. Brezzi F., Fortin M. Mixed and Hybrid Finite Element Methods // Springer-Verlag, New York, 1991. 223 p.
11. Elman H.C., Silvester D.J., Wathen A.J. Finite elements and fast iterative solvers: with applications in incompressible fluid dynamics. Oxford: Oxford Uniersity Press, 2005. 400 p.
12. Самарский А.А., НиколаевЕ.С. Методы решения сеточных уравнений. М. : Наука, 1978.
Поступила в редакцию в июле 2012 г.
Об авторах: Какушев Эльдар Рамазанович — аспирант кафедры механики композитов механико-математического факультета, ФГОУ ВПО «МГУ им. М.В. Ломоносова», 119991, г. Москва, Ленинские Горы, МГУ, д. 1, Главное здание, aladdin9103@yandex.ru;
Шешенин Сергей Владимирович — доктор физико-математических наук, профессор кафедры механики композитов механико-математического факультета, ФГОУ ВПО «МГУ им. М.В. Ломоносова», 119991, r. Москва, Ленинские Горы, МГУ, д. 1, Главное здание, 8(495)939-43-43, sergey.sheshenin@mail.ru;
Закалюкина Ирина Михайловна — доцент кафедры теоретической механики и аэродинамики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8(499)183-24-01, Irina. zakalyukina@mail.ru.
Для цитирования: Какушев Э.Р., Шешенин С.В., Закалюкина И.М. Итерационные методы решения связанной задачи фильтрации // Вестник МГСУ 2012. № 9. С. 129—136.
E.R. Kakushev, S.V. Sheshenin, I.M. Zakalyukina
ITERATIVE METHODS OF SOLVING THE COUPLED FILTRATION PROBLEM
This paper represents a summary of the iterative solution to the problem of linearized coupled filtration. The formulation of the coupled filtration problem can be applied for the purposes of simulation of the land surface subsidence caused by the pumping of the fluid out of a well located near the land surface. The pumping process causes pressure redistribution and, consequently, undesirable subsidence of the land surface. The filtration problem considered by the authors is a direct problem, therefore, domain dimensions, ground properties and pumping characteristics are supposed to be available. With this assumption in hand, coupled differential equations are derived on the basis of the Biot's filtration model and the Darcy's law.
First, spatial discretization is based on the finite element method, while the finite-difference scheme is used to assure discretization within the course of time. Discretization of the linear coupled problem leads to the generation of a linear saddle system of algebraic equations. It is well-known that the stability condition of such a system is usually formulated as the LBB condition (inf-sup condition). The condition is satisfied for a differential problem (to say more accurately, for a variational problem). The validity of the stability condition for an algebraic system depends on the finite elements used for the purpose of the problem discretization. For example, the LBB condition is not always satisfied for most simple Q1-Q1 elements. Therefore, first of all, stability of the finite element system is studied in the paper. The filtration problem has a number of parameters; therefore, it is not easy to identify analytically the domain in which the stability condition is satisfied. Therefore, the stability condition is under research that includes some numerical tests and examination of physical dimensionality. The analysis completed by the authors has ended in the derivation of the formula that determines the stability condition formulated on the basis of the problem parameters.
Second, solution methods are explored numerically in respect of sample 3D problems. Dimensions of domains under consideration are typically as far as 20 km in length and width and up to 5 km in depth. Thus, the resulting linear system is rather large, as it is composed of hundreds of thousands to millions of equations. Direct methods of resolving these saddle systems can hardly be successful and they are definitely inefficient. Therefore, the only choice is the iterative method. The simplest and the most robust method is the Uzawa method applied in combination with the conjugate gradients iteration method used for the Schur complement system solution. The computer code that implements iterative solution methods is written in FORTRAN language of programming. The conjugate gradients method is compared to its alternatives, such as the Richardson iteration and the minimal residue methods. All three methods were tested as methods of solving the model problems. The authors provide their numerical results and conclusions based on the comparative analysis of the aforementioned iteration methods.
Key words: Biot's filtration model, coupled filtration problem, Darcy's law, LBB condition, conjugate gradient method.
References
1. Biot M.A. General Theory of Three-dimensional Consolidation. J. Appl. Phys. 1941, no. 12, pp. 155—164.
2. Naumovich A. On Finite Volume Discretization of the Three-dimensional Biot Poroelasticty System in Multilayer Domains. Computational Methods in Applied Mathematics. 2006, no. 3, vol. 6, pp. 306—325.
3. Naumovich A., Gaspar F.J. On a Multigrid Solver for the Three-dimensional Biot Poroelasticity System in Multilayered Domains. Comput. Vis. Sci. 2008, no. 11, pp. 77—87.
4. Gaspar F.J., Gracia J.L., Lisbona F.J. and Vabishchevich P.N. A Stabilized Method for a Secondary Consolidation Biot's Model. Numerical Methods Partial Differential Equations. 2008, no. 24, pp. 60—78.
5. Schanz M. On the Equivalence of the Linear Biot's Theory and the Linear Theory of Porous Media. 16th ASCE Engineering Mechanics Conference. July 16—18, 2003. University of Washington, Seattle.
6. Kiselev F.B., Sheshenin S.V. Raznostnaya skhema dlya zadachi nestatsionarnoy fil'tratsii v sloistykh gruntakh [Finite-Difference Scheme for Non-stationary Boundary-value Filtration Problem for the Layered Ground]. Izvestiya RAN. MTT. [News of the Russian Academy of Sciences. Solid Body Mechanics]. 1996, no. 4, pp. 129—135.
7. Sheshenin S.V., Kakushev E.R., Artamonova N.B. Modelirovanie nestatsionarnoy fil'tratsii, vyz-vannoy razrabotkoy mestorozhdeniy [Simulation of Non-Stationary Filtration Caused by Oilfield Development]. Vestnik Moskovskogo un-ta. Ser. 1, Matematika. Mekhanika. [Bulletin of the Moscow University. Series 1. Mathematics, Mechanics]. 2011, no. 5, pp. 66—68.
8. Bychenkov Yu.V., Chizhonkov E.V. Iteratsionnye metody resheniya sedlovykh zadach [Iterative Solution Methods for Saddle Systems]. Moscow, BINOM Publ., 2010.
9. D'yakonov E.G. Minimizatsiya vychislitel'noy raboty [Minimization of Computing Work]. Moscow, Nauka Publ., 1989, 272 p.
10. Brezzi F., Fortin M. Mixed and Hybrid Finite Element Methods. Springer-Verlag Publ., New York, 1991, 223 p.
11. Elman H.C., Silvester D.J., Wathen A.J. Finite Elements and Fast Iterative Solvers: with Applications in Incompressible Fluid Dynamics. Oxford, Oxford University Press, 2005, 400 p.
12. Samarskiy A.A., Nikolaev E.S. Metody resheniya setochnykh uravneniy [Solution Methods for Grid Equations]. Moscow, Nauka Publ., 1978.
About the authors: Kakushev El'dar Ramazanovich — postgraduate student, Department of Composite Mechanics, Faculty of Mechanics and Mathematics, Lomonosov Moscow State University (MSU), 1 Leninskie Gory, Moscow, 119991, Russian Federation; aladdin9103@yandex.ru;
Sheshenin Sergey Vladimirovich — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Department of Composite Mechanics, Faculty of Mechanics and Mathematics, Lomonosov Moscow State University (MSU), 1 Leninskie Gory, Moscow, 119991, Russian Federation; sergey.sheshenin@ mail.ru, +7 (495) 939-43-43;
Zakalyukina Irina Mikhailovna — Associated Professor, Department of Theoretical Mechanics and Aerodynamics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; Irina.zakalyukina@mail.ru, +7 (499) 183-24-01.
For citation: Kakushev E.R., Sheshenin S.V., Zakalyukina I.M. Iteratsionnye metody resheniya svya-zannoy zadachi fil'tratsii [Iterative Methods of Solving the Coupled Filtration Problem]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2012, no. 9, pp. 129—136.
