Итерационные методы разрешения динамических уравнений механических систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

Общая и прикладная механика Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (2), с. 149-151

149

УДК УДК 531

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РАЗРЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

© 2011 г. В.Н. Иванов

Пермский госуниверситет им. А.М. Горького

precol@psu.ru

Поступила в редакцию 16.05.2011

Рассмотрен круг задач, связанных с разрешением уравнений движения механических систем относительно ускорений при их численном интегрировании. Предложены два новых итерационных метода решения поставленной задачи. Обсуждаются их основные свойства и условия сходимости. На примерах интегрирования уравнений движения конкретных механических систем показана сравнительная эффективность методов.

Ключевые слова: системы твердых тел, уравнения движения, динамика, итерационные методы.

При исследовании динамики поведения технических механических систем в качестве математической модели часто используют систему связанных абсолютно твердых тел. Требование точности компьютерного моделирования заставляет увеличивать число тел, на которые разбивается механическая система. Одновременно с ростом размерности математической модели увеличивается и трудоемкость моделирования. Особенно много времени затрачивается на стадии проектирования технических устройств, когда приходится проводить многократные вычислительные эксперименты для расчета динамического поведения различных вариантов конструкции в различных условиях эксплуатации. Поэтому разработка методов, позволяющих ускорить процесс математического моделирования, является актуальной задачей.

Будем считать, что все связи голономны и идеальны. Пусть ц — «-мерный вектор-столбец обобщенных координат системы, V — вектор -столбец проекций абсолютных скоростей всех тел системы на оси связанных с телами систем координат. Будем считать, что в окрестности точки ц механическая система не имеет особенностей. Тогда уравнения ее движения для численного исследования обычно получают в одной из трех форм:

1) в форме общих уравнений динамики с реакциями связей И:

'Ш - Ж = Е*,

<-STV + ВЦ = '№0, (1)

ВТ И = 0;

2) в форме уравнений Лагранжа I рода с множителями Лагранжа X:

МУ - ЖЯ = Е*,

<- 2ТБТ V = 2Т 0, (2)

я = (ВТВ)-1 ВТ (БТ V - w 0);

3) в форме уравнений Лагранжа II рода в обобщенных координатах

(5 -1В )ТМ (Б-1В)с| = (3)

где Е*, w0 , О* - векторы-столбцы соответствующей размерности правых частей уравнений, зависящие от координат и скоростей тел системы и включающие активные, обобщенные, гироскопические, кориолисовы силы и нестационарные слагаемые.

Уравнения движения (1)-(3) являются системами линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно групп переменных V, 1|, И, А. Матрицы систем уравнений в общем случае зависят от обобщенных координат и являются переменными во времени.

При численном интегрировании на каждом шаге необходимо приводить эти системы уравнений к явному виду, т.е. разрешать относительно векторов || или V. Это требует определенных вычислительных затрат, объем которых зависит от выбранного метода решения СЛАУ и плотности заполнения матрицы системы. Поэтому в зависимости от структуры механической системы и типов шарнирных соединений оказывается выгодным с точки зрения скорости численного моделировании применять одну из трех выписанных выше форм уравнений. Структура

150

В.Н. Иванов

системы уравнений (1) - блочно трехдиагональная, не изменяется для различных механических систем и слабо зависит от типов шарниров (число элементов в матрице системы порядка Ы). Система уравнений (2) для древовидных механических систем имеет ленточную структуру, ширина полосы которой увеличивается с ростом дочерних узлов и уменьшается с ростом числа степеней свободы в шарнирных соединениях. Число элементов в матрице системы остается пропорциональным числу тел N. Уравнения (3) имеют, с одной стороны, меньший порядок, а, с другой, - большую плотность заполнения матрицы системы для большинства механических систем по сравнению с первыми двумя формами уравнений движения (число элементов в матрице порядка п2). При этом плотность заполнения уменьшается с ростом дочерних узлов.

Для общих уравнений динамики (1) и уравнений Лагранжа I рода (2) существуют алгоритмы их разрешения относительно реакций, множителей Лагранжа и ускорений, в которых число арифметических операций (вычислительная трудоемкость) растет линейно в зависимости от количества тел N в механической системе. Для разрешения относительно обобщенных ускорений уравнений Лагранжа II рода (3) в случае древовидных механических систем требуется обычно порядка п2, в случае цепочки тел — п3 арифметических операций. С этой точки зрения уравнения (1) или (2), содержащие избыточное число переменных, оказываются более эффективными по сравнению с алгоритмами формирования уравнений движения в обобщенных координатах вида (3). С другой стороны, точные алгоритмы разрешения уравнений движения (1) или (2) включают в себя дополнительные матричные операции исключения избыточных зависимых переменных V, И или X. В результате оказывается, что хотя общая трудоемкость алгоритмов растет линейно, но коэффициент пропорциональности получается достаточно большим, и эффективность этих методов начинает проявляться только тогда, когда число тел в механической системе достаточно велико.

Таким образом, необходимость разрешения уравнения движения относительно ускорений приводит к тому, что численное моделирование динамики механических систем, состоящих из большого числа тел, на основе уравнений динамики (1), (2) или (3) и при использовании точных методов решения СЛАУ требует значительных затрат времени работы ЭВМ.

Так как обычно при малой величине шага интегрирования изменения элементов матриц

систем уравнений (1), (2) и (3) малы, то снижения трудозатрат можно добиться, если для разрешения использовать методы, основанные на итерационном уточнении малых возмущений в матрице системы или обратной к ней матрице. К таким методам относятся методы переменной метрики, развитые для решения оптимизационных задач. Предлагаемые в докладе итерационные алгоритмы также из их числа. При этом, как ясно из рассмотренной выше механической постановки, методы ускорения расчетов должны быть различными для различных форм уравнений движения. Так, для уравнений вида (1) или (2) эффективнее оказываются алгоритмы, в которых происходит итерационное уточнение самой матрицы системы, а для уравнений вида (3) выигрыш во времени счета может быть получен, только если приближения строятся для обратной матрицы. Поэтому рассмотрены оба варианта (прямой и обратный итерационные алгоритмы) и выделены условия, при которых эффективнее оказывается один из них. Оба алгоритма представляют собой модификацию метода переменной метрики безусловной минимизации или решения систем нелинейных уравнений с симметричной положительно определенной матрицей Якоби — схемы, основанной на симметричных одноранговых формулах пересчета матрицы системы Пауэлла—Бройдена.

Сравнительная эффективность предлагаемых итерационных алгоритмов разрешения уравнений движения механических систем относительно ускорений проверялась на примерах интегрирования уравнений, описывающих колебания многозвенных механических систем со структурой дерева, отличающихся как количеством степеней свободы в шарнирах, так и структурой взаимосвязей.

Рассматривались два типа систем: «цепочка» (все тела соединены последовательно друг с другом) и «бинарное дерево» (на каждом теле закреплено два тела). Тела систем соединялись либо одностепенными вращательными шарнирами, либо двустепенными кардановыми шарнирами, либо трехстепенными шаровыми шарнирами. Для сравнения рассматривались известные конечные алгоритмы решения систем уравнений (1), (2) и (3): метод отдельных тел (метод прогонки для системы (1)), метод Холецкого для разрешения систем уравнений Лагранжа I и II рода (2) и (3). Уравнения Лагранжа II рода формировались прямым методом и методом составных тел. При разрешении систем уравнений относительно ускорений в методе Холецкого учитывалась структура взаимосвязей механических систем.

Представленные результаты показывают высокую сравнительную эффективность предлагаемых итерационных методов. Расчеты показали, что приближенное решение с точностью, требуемой для численного интегрирования уравнений движения механических систем, во всех случаях можно найти за 1—2 итерации. При этом число итераций остается практически постоянным для широкого диапазона изменения числа степеней свободы механической системы. При малом

числе степеней свободы в шарнирах или небольшом количестве тел в системе лучшие результаты показывает обратный итерационный алгоритм. С ростом числа степеней свободы или тел преимущество переходит к прямому итерационному методу. Сравнение результатов для различных моделей наглядно показывает, в каких случаях целесообразнее применять итерационные процедуры для той или иной формы уравнений движения.

ITERATIVE METHODS OF A SOLUTION OF THE MULTIBODY SYSTEMS EQUATIONS

V.N. Ivanov

The scope of the problems connected with the solution of equations of motion of mechanical systems with the regard to their accelerations when numerically integrated is considered. Two new iterative methods of solution are presented. Their basic properties and convergence conditions are discussed. Examples of their application are given.

Keywords: multibody systems equations, dynamics, iterative methods.