Особенности построения пространственных динамических моделей автомобилей с учетом больших движений твердых тел Текст научной статьи по специальности «Физика»

ТРАНСПОРТ

УДК 531.1

ОСОБЕННОСТИ ПОСТРОЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ АВТОМОБИЛЕЙ С УЧЕТОМ БОЛЬШИХ ДВИЖЕНИЙ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

А.С. Горобцов, С.К. Карцов, Ю.А. Поляков

Рассматривается основанный на уравнениях Лагранжа первого рода метод формирования дифференциальных уравнений больших движений пространственной системы твердых тел с учетом особенностей кинематических связей. Предложены алгоритмы и способы стабилизации их численного интегрирования.

Ключевые слова: пространственные модели автомобилей, уравнения больших движений твердых тел.

Компьютерные методы исследования динамики систем многих тел являются интенсивно развивающейся областью моделирования, и начинают достаточно широко применяться при проектировании и доводке машин. Эти методы реализуются в виде универсальных программных комплексов, включающих функции формирования дифференциальных уравнений движения, их численного интегрирования, обработки и вывода результатов решения. Наиболее известными примерами таких комплексов могут служить отечественные «Универсальный механизм» [6], «Эйлер» [12], PRA-DIS [9] и зарубежные ADAMS [17], DADS [16].

Несмотря на обилие методов и программных разработок, задача представления дифференциальных уравнений динамики систем тел и их численного интегрирования не может считаться полностью решенной, поскольку все используемые подходы обладают существенными ограничениями, связанными, прежде всего, с типом структуры системы, а также представлением нелинейных взаимодействий тел.

102

В условиях современного развития автомобильного рынка производители вынуждены искать способы сокращения времени на разработку и доводку новых образцов колесных машин, к числу которых относится применение расчетных моделей, основанных на точном представлении уравнений движения элементов конструкции автомобиля как механической системы. При этом достаточно интенсивно развиваются постановки задач в расширенной трактовке, что предполагает отказ от гипотезы малых перемещений тел и позволяет осуществить достаточно полный учет в расчетной схеме автомобиля геометрической нелинейности движения элементов конструкции на базе дифференциально-алгебраических уравнений больших движений тел.

Под большими движениями здесь подразумевается общепринятый термин, означающий точное описание в уравнениях динамики угловой ориентации тела, без использования допущения о малости углов поворота.

Модели динамики машин и механизмов, применяемые при их проектировании и доводке, должны учитывать такие свойства, как пространственный характер движения, произвольную структуру расчетной схемы, различные нелинейности характеристик упругих и демпфирующих элементов, многомерные детерминированные и случайные возмущения, а также обеспечивать возможность включения моделей специфических взаимодействий, например, качение эластичного колеса.

Уравнения движения системы тел произвольной структуры

В программной системе моделирования ФРУНД (Формирование и Решение Уравнений Нелинейной Динамики) [2, 3] в качестве базового представления дифференциальных уравнений движения использованы абсолютные координаты и уравнения Лагранжа первого рода [5], с записью уравнений кинематических связей во вторых производных, что позволяет использовать явные методы интегрирования, без необходимости решения нелинейной системы уравнений относительно переменных состояния.

Достоинства метода - относительная простота составления уравнений для систем твердых и упругих тел, легкость учета произвольной нелинейной характеристики упругих элементов, отсутствие ограничений на структуру расчетной схемы.

Недостатки метода - избыточное число переменных состояния, что, однако, частично компенсируется диагональностью матрицы масс, а также неустойчивость численных алгоритмов решения из-за плохой обусловленности матрицы коэффициентов связей и наличия нулевых корней характеристического уравнения всей системы.

Уравнения движения произвольной системы тел при таком подходе записываются в следующем виде:

+ БГр = f (<ь q, (2) Щ = ВД, q),

где М - матрица инерции; я - вектор обобщенных координат всей системы размерностью п; Б - матрица переменных коэффициентов уравнений кинематических связей размерностью к х п (к - число связей); Т - символ транспонирования; р - вектор множителей Лагранжа; {(С, я, ?) - вектор внешних сил, включающий в себя силы нагрузок, силы от упруго-демпфирующих элементов и гироскопические силы; И(с|,я) - вектор правых частей уравнений связей.

Система уравнений (1) представляет собой одну из форм записи уравнений Лагранжа первого рода в механике. В математике система такая система соответствует уравнениям Эйлера для экстремалей функционала с ограничениями.

Уравнения движения свободного твердого тела

Рис. 1. К описанию движения твердого тела

Для уравнений движения свободного (без учета кинематических связей) твердого тела (рис. 1), используется представление в квазискоростях [1]:

( к ^= У, (2)

I®С = [(ВТЦ) X г ] + Меі + [К х шс ],

где т - диагональная матрица масс тела; 8с = (X, У, 2) - вектор координат центра масс тела в неподвижной системе координат; Ц - трехмерный вектор внешних сил, действующих на точку, заданный в неподвижной системе координат; I = diag( 1Х, 1у, 1г) - диагональная матрица главных центральных моментов инерции тела; &с = (ЮХ, Фу, ) - вектор проекций

угловой скорости тела на оси подвижной системы координат, связанной с телом; Ті - радиус-вектор точки приложения силы в подвижной системе координат; ку - количество внешних сил, действующих на тело; В - ор-

тогональная матрица поворота (ориентации) для преобразования вектора, заданного в подвижной системе координат, в неподвижную систему; Меі - трехмерный вектор внешних моментов, действующих на точку, заданный в подвижной системе координат; кт - количество внешних моментов, действующих на тело; [К х юс ] - вектор моментов гироскопических сил; К - вектор кинетического момента тела.

Таким образом, движение твердого тела задается уравнениями поступательного движения центра масс в неподвижной системе координат и уравнениями вращательного движения относительно проекций угловой скорости на подвижную систему координат.

В случае плоского движения этих уравнений достаточно для полного описания движения тела. В пространственном случае к уравнениям системы (2) следует добавить кинематические уравнения Эйлера, которые служат для определения матрицы поворота [8].

Уравнения движения системы тел

Для системы тел уравнения движения составляются путем объединения уравнений вида (2), записанных для отдельных тел. Суммарный вектор переменных состояния системы (обобщенных координат) состоит из подвекторов переменных состояния отдельных тел.

Рис. 2. Расчетная схема системы из двух твердых тел

Например, для системы из двух твердых тел, показанной на рис. 2, уравнения движения (без учета уравнений связей от кинематических пар) запишутся в следующем виде:

м, 0, = f (О,, О,, г), (3)

где М, - матрица инерции, включающая в себя подматрицы инерции отдельных тел; 0, - (ХЪ®х1,wy1,wz1,Х2,Y2,^2,^х2->^у2->юг2)Т - в

случае двух твердых тел; Х\,У\,2\ - абсолютные скорости центра масс первого тела в неподвижной системе координат; юх\, юу\, ю2\ - проекции вектора угловой скорости первого тела на связанные с телом оси координат; X2,^2,22,юх2,юу2,юг2 - аналогичные параметры для второго тела; г - время.

Вектор правых частей £ (О,, О,, О может включать в себя силы от внешних нагрузок, упругих и демпфирующих элементов. Вид компонентов названного вектора зависит от особенностей расчетной схемы. Далее рассматриваются способы включения в уравнение (3) сил для некоторых видов упругих и демпфирующих элементов, а также кинематических пар.

Учет сил от упругих и демпфирующих элементов

При малых движениях тел направления действия сил совпадают с направлениями локальных систем координат тел, поэтому вычисление аргументов сил и их направлений не представляет сложности.

Для случая больших движений рассмотрим как типичный элемент пружину, соединяющую точки различных тел, линия действия сил от которой совпадает с линией, соединяющей эти точки. Например, на рис. 2 такая пружина соединяет точки А и В.

В процессе движения пружина имеет произвольную, постоянно меняющуюся ориентацию. Получим выражения для вычисления аргументов сил в пружине и компонентов самих сил в различных системах координат.

Для системы из двух твердых тел положения точек А, В в неподвижной системе координат определяются следующим образом:

Ьа - 8\ + В\Га ; Ьв - 82 + В2ГВ,

т т

где 8\ - (Х\,7\,2\) , 82 - (X2,^2,22) - векторы положений центров

масс тел в неподвижной системе координат; В\, В 2 - матрицы поворота

тел; Га , Гв - радиус-векторы точек А, В в подвижной системе координат.

Деформация пружины определяется следующим выражением: А - |Ьа - Ьв\ - |Ь0, где Ьо - начальное положение.

Позиционная сила представляет собой некоторую функцию относительного смещения: - /р (А).

Для определения проекций силы в неподвижной системе координат получим направляющие косинусы вектора (Ьа - Ьв ):

Ь - ^Ах — ^Вх ь - НАУ Нву Ь - ^А1 — ^В1

х" |ЬА -Ьв\ ’ у" |ЬА -ЬВ ’ |ЬА -ЬВ '

Требуемый вектор силы в неподвижной системе координат найдем, умножая модуль силы на вектор направляющих косинусов: Г - |г|Ь, где

т

Ь - (Ьх, Ьу, Ь2) - вектор направляющих косинусов.

Для вычисления диссипативной составляющей силы в пружине получим относительную скорость точек А, В:

А = Ь А - Ь В,

ь а = »і + ві[юіх га ],

ьВ = & 2 + в2[ю2 хгВ].

Выражение для проекции Ак вектора А на направление (Ьа - Ьв ) с помощью умножения модуля названного вектора на направляющий косинус:

Аа

А к

ооб а; ооб а:

,|А|

Диссипативная сила определяется как функция проекции А^ на направление (Ьа - Ьв ): - /д (Аь). Тогда вектор диссипативной силы в

неподвижной системе координат можно найти по выражению Е

д

Е

Ь.

Уравнения связей для кинематических пар

Запись уравнений движения в виде системы (\) предусматривает использование уравнений связей при наличии в расчетной схеме кинематических пар.

Общий принцип составления уравнений связей заключается в приравнивании проекций ускорений сопрягаемых точек тел на какую-либо систему координат и позволяет моделировать широкий класс кинематических пар.

В зависимости от выбора системы координат можно получать кинематические пары с требуемыми свойствами. Далее рассмотрены возможные варианты составления уравнений связей.

Запишем уравнения связей в проекции на вспомогательную систему координат, связанную с одним из тел (рис. 2). На рис. 2 считается, что вспомогательная система координат X, Л, V связана с первым телом, а тела соединены сферическим шарниром.

Уравнения связей, задаваемые таким шарниром, получаются из равенства соответствующих проекций на оси X, Л, V ускорений совпадающих точек тел, например точки О, положение которой определяется векторами г\ и Г2.

Для определения коэффициентов матриц связей по ускорениям выпишем сначала выражения для скоростей точки О - общей точки шарнира (см. рис. 2).

Рассматриваются следующие матрицы поворотов: В\ - матрица преобразования из х\, у\, г\ в X, У, 2; В2 - матрица преобразования из

системы координат *2, у2, ¿2 в X, У, 2, В - матрица преобразования из системы координат X, Л, V в *і, Уі, ¿і.

Спроецируем абсолютную скорость общей точки В на оси X, Л, V. Для первого твердого тела получаем:

Уі = ВТВТУі = ВТВТ (& і + Ві[юі х гі]),

уі = ВТВТ& і + ВТ[юі хгі]. (4)

Для второго твердого тела получаем:

У2 = ВТВГУ2 = ВТВГ(§2 + В2[ю2 хг2]),

у'2 - ВтВТ82 + вт Б{ В2[®2 XГ2]. (5)

Дифференцируя уравнения (4), (5) по времени, получаем выражения, в которые входят члены со вторыми производными обобщенных координат, образующие матрицу связей Б, и члены с первыми производными и самими переменными, образующие правую часть уравнений связей Ь(4,я) . Распишем эти составляющие.

Для первого твердого тела (см. рис. 2) члены со вторыми производными имеют вид:

Б\й\ - ВТВТ( 8 \ + В\[ю\ X г\]), (6)

где й\ - вектор координат первого тела.

При этом правая часть уравнений связей выражается следующим образом:

Ь\(й\,й\) --ВТВТ(ПТ8\ + ПТВ\[ю\ X г\] + В\П\[ю\ X г\]), (7)

ТТ

П

і

0

®гі

- юуі

— юг\ ю у\

0 - юх\

ю Х\ 0 у

Для второго твердого тела (см. рис. 2) члены со вторыми производ-

ными имеют вид:

Б2и2 =-ВТВТ ( §2 + В2[Ю2 х Г2]),

(8)

где й 2 - вектор координат второго тела.

При этом правая часть уравнений связей выражается следующим образом:

Ь2(й2,й2) - ВТвТ(^Т82 + ^ТВ2[ю2 хг2] + В2^2[ю2 хг2]), (9)

^2 =

0 - Щ 2 ® у 2

wz 2 0 - Щ х 2

ч - Щу2 Щх2 0 у

При получении выражений (6) - (9) использовалось соотношение

в - ВП [8].

Для сферического шарнира матрица связей имеет вид: Б - (Б\ Б 2), а вектор правых частей уравнений связей записывается следующим образом: Ь - Ь\ + Ь2.

Различными комбинациями соответствующих компонентов матриц и векторов, входящих в формулы (6) - (9), можно получать уравнения связей для различных типов кинематических пар, соединяющих твердые тела.

Например, на рис. 3 показан фрагмент расчетной схемы передней подвески кабины, на которой соединение заднего конца продольного рычага передней подвески кабины с самой кабиной осуществляется с помощью сферического и цилиндрического шарниров. Для описания плоского цилиндрического шарнира матрица связей Б и вектор Ь составляются с учетом того, что запрещаются перемещения заднего конца рычага вдоль осей х, г.

Рис. 3. Расчетная схема продольного рычага передней подвески кабины

Уравнения (6) - (9) задают уравнения связей в системе координат одного из тел. При решении задач динамики многотельных систем может потребоваться запись уравнений связей в неподвижной системе координат. Их можно получить из выражений скоростей точек в неподвижной системе координат.

Для первого твердого тела (рис. 2) члены со вторыми производными имеют вид:

Б\й\ -8 \ + В\[ю\ XГ\]. (Ю)

Правая часть уравнений связей записывается следующим образом:

Ь\(й\,й\)-В\П\[ю\ XГ\]. (П)

Для второго твердого тела (рис. 2) члены со вторыми производны-

ми имеют вид:

Б2й2 -82 + В2[®2 х г2]. (\2)

Правая часть уравнений связей записывается следующим образом:

Ь2(й2,й2) - В2П2[Ю2 XГ2]. (\3)

Справедливость уравнений связей (6) - (\3) обеспечивается тогда,

когда сопрягаемые точки кинематических пар совпадают и неподвижны

друг относительно друга, как это имеет место на рис. 3 для сферического и цилиндрического шарниров соединения рычага с кабиной. Взаимная неподвижность точек сферического шарнира обеспечивается самими уравнениями связей шарнира, запрещающими смещение точек по всем трем направлениям. Взаимная неподвижность сопрягаемых точек цилиндрического шарнира обеспечивается двумя уравнениями связей самого шарнира, а также сферическим шарниром, запрещающим перемещение по линии, соединяющей центры шарниров.

Если для кинематических пар не выполняется условие взаимной неподвижности сопрягаемых точек, координаты которых входят в уравнения связи (например, пары скольжения), то необходима корректировка координат одной из сопрягаемых точек.

Пары с взаимным перемещением сопрягаемых точек целесообразно описывать в системе координат одного из тел с коррекцией тех координат точки такого тела, по которым не накладываются связи. Для составления уравнений связей можно пользоваться выражениями (6) - (9), но в зависимостях (6) и (7) те компоненты г\ , по направлениям которых нет

связей, следует заменять на соответствующие компоненты вектора гс :

Гс - В1Т (82 - 8\ + В2Г2Х где гс - радиус-вектор точки на теле \, совпадающей с сопрягаемой точкой

на теле 2, определяемой радиус-вектором Г2.

Такая замена координат первой сопрягаемой точки обеспечивает совпадение точек сопрягаемых тел по тем направлениям, по которым кинематическая пара обладает поступательной подвижностью.

Численное интегрирование уравнений движения системы тел Численное решение системы дифференциальных уравнений (\) с использованием явных методов интегрирования связано с многократным решением системы уравнений

V

М Б Б 0

я

V Р у

г q, *) Ь(я, я)

(\4)

При этом в каждый момент времени необходимо вычислять коэффициенты матрицы Б и векторы г (ъ q, * X Ь<л , от скорости вычисления

которых в значительной степени зависит быстродействие алгоритма.

Поскольку матрица коэффициентов алгебраической системы не об-

но

ладает свойством положительной определённости, а только неотрицательности, погрешность интегрирования будет нарастать пропорционально степени числа уравнений связей, что делает невозможным прямое использование уравнений (14) при нахождении вектора |.

Устранение такой численной неустойчивости осуществляется добавлением в правые части первого уравнения системы (1) стабилизирующих сил [14, 15], пропорциональных невязкам уравнений связей:

1) сил, пропорциональных погрешности перемещения в связях АI,

% = -асБТ АI;

2) сил, пропорциональных погрешности скорости в связях АI,

% = -ак°Т Аь;

3) сил, пропорциональных погрешности ускорений в связях Аь,

%т = -аш Б АЬ,

где ас,ак,аш - стабилизирующие коэффициенты; Аь = Б| - вектор погрешности по скорости; Аь = - ВД, |) - вектор погрешности по уско-

рениям.

Погрешность по перемещениям в связях не выражается непосредственно через коэффициенты уравнений связей. Компоненты вектора следует находить отдельно для каждого типа кинематической пары. Например, для сферического шарнира (см. рис. 2), вектор погрешности смещений в характерной точке О:

АЬБ = ВТв[ (Й1О - а2О ).

Векторы координат точки О в случае твердого тела получают из соотношений

а1О = 81 + В1г1; а 2 О = 8 2 + В 2Г2.

С учетом стабилизирующих сил система (14) приобретает вид:

' (М + аш БТ Б) БТ ^ ' & ' " г(| , q, *) + % + % +аш °Т ь(| ,

Б о V Р V V Ь(| д) ,

В системе уравнений (15) при аш = 0 и ас, ак ^ ¥ решение первого уравнения стремится к решению всей системы. Однако при этом возрастает жесткость всей системы, и, следовательно, вычислительные затраты, связанные с необходимостью уменьшения шага интегрирования. Как отмечается в [13], использование аш Ф 0 позволяет уменьшить жесткость уравнений, однако увеличивает количество ненулевых недиагональных коэффициентов матрицы, а значит и затраты на решение системы линейных уравнений.

Решение линейной системы (15) на каждом шаге интегрирования дает значения ускорений, необходимых для процедуры численного интег-

рирования, и значения множителей Лагранжа, физический смысл которых - реакции в кинематических парах.

Назовем определение ускорений непосредственно из системы (15) прямым методом. Можно определять реакции в связях из уравнений (14), а ускорения находить из первого уравнения системы (15):

X = (М + ашБТ Б)-1 (Г (|, г)+% + % + аш БТ ВД , |) - БТ р). (16)

При ат = 0 матрица коэффициентов инерции имеет диагональный вид, и решение уравнения (16) тривиально. Назовем такую схему определения ускорений улучшенной.

Регуляризацию уравнений (14) можно проводить и не с помощью позиционных и диссипативных сил, а добавлением корректирующих ускорений в правые части уравнений связей:

-т VIл г г(|,г)

V

M D D 0

q

V Р У

h(q, q) + h c (A L, A L)

где hc (Al , Al ) - корректирующие ускорения связей, зависящие от погрешностей в шарнирах по перемещениям и скоростям.

Компоненты вектора hc вычисляются следующим образом:

hci = cA Li kA Li, (17)

где hci - компонент вектора hc; bc - стабилизирующий коэффициент по

отклонениям; bk - стабилизирующий коэффициент по скоростям отклонений; A Li, A Li - компоненты векторов Al , A l .

Знаки «минус» в формуле (17) показывают, что корректирующие ускорения направлены в сторону уменьшения погрешности по отклонениям и скоростям. Назовем такую схему стабилизации решения корректировкой по ускорениям.

Учет упругости кинематических пар

При моделировании шарниров с резиновыми втулками, которые широко применяются в конструкциях подвесок автомобилей, следует учитывать упругость в кинематических парах.

Расчет систем с податливыми кинематическими парами можно осуществить, задавая упругость с помощью пружин. Однако это не всегда удобно, поскольку связано с включением в расчетную схему упругостей по нескольким направлениям, хотя в этом случае можно использовать упругость с нелинейной характеристикой.

Моделирование линейной упругости в кинематических парах осуществляется с использованием уравнений (15). При этом из уравнений связей исключаются строки, соответствующие упругим связям, но оставляются соответствующие им стабилизирующие силы с различными множителями. При am = 0 система уравнений запишется следующим образом:

м Б 4 1

Б О

f (4, я, г) + Гсг + Гкг + V/ + Г/

К(4,я)

где Б г - матрица уравнений связей без строк, соответствующих податливым связям; И г (4, я) - вектор правых частей уравнений связей без строк, соответствующих податливым связям; рг - вектор множителей Лагранжа

без строк, соответствующих податливым связям; , Г'сг - векторы стабилизирующих сил; , Г'/ - векторы демпфирующих и упругих сил в по-

датливых связях, определяемые по следующим выражениям:

=-Б? и сА у; Г/ = -б} И к Ац, где Б у - матрица коэффициентов уравнений связей, соответствующих податливым связям; И с, И к - диагональные матрицы коэффициентов упругого и вязкого сопротивления упругих связей; А у , А ьу - векторы смещений и их производных в податливых связях.

Выводы

1. Описанный метод позволяет формировать уравнения больших движений пространственных систем твердых тел, соединенных кинематическими связями.

2. Представленный метод реализован в программной системе ФРУНД для расчета динамических моделей ряда автомобилей [1, 4, 7, 10,

11].

3. Представлен способ учета нелинейных сил для некоторых упругих и демпфирующих элементов и их включения в систему уравнений движения тел.

4. Получены выражения уравнений связей для кинематических пар различных видов.

5. Описаны две схемы стабилизации численного интегрирования уравнений движения: путем введения стабилизирующих сил, а также путем корректировки по ускорениям.

6. Предложен способ учета упругости в кинематических парах, необходимый при моделировании шарниров с резиновыми втулками.

Список литературы

1. Аппель П. Теоретическая механика. Т. 1. М.: Физматгиз, 1960.

515 с.

2. Горобцов А.С., Карцов С.К., Плетнёв А.Е., Поляков Ю.А. Компьютерные методы построения и исследования математических моделей

динамики конструкций автомобилей: Монография. М.: Машиностроение, 2011. 463 с.

3. Горобцов А.С. Программный комплекс расчета динамики и кинематики машин как систем твердых и упругих тел // Справочник. Инженерный журнал. 2004. № 9. C. 40-43.

4. Горобцов А.С., Поляков Ю.А., Солодёнков С.В. Определение вертикальных жесткостей зависимых подвесок автомобиля повышенной проходимости с помощью пространственной модели // Известия ТулГУ. Технические науки. 2012. Вып. 3. С. 390-395.

5. Добронравов В.В. Основы аналитической механики. М.: Высшая школа, 1976. 264 с.

6. Ефимов Г.Б., Погорелов Д.Ю. Универсальный механизм - пакет программ для моделирования динамики систем многих твердых тел. М.: Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. 1993. № 77. 12 с.

7. Карцов С.К., Поляков Ю.А. Включение подсистемы «человек -сиденье» в динамическую модель грузового автомобиля // Автотранспортное предприятие. 2012. № 8. С. 38-41.

8. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров: [пер. с англ.]. М.: Наука, 1973. 831 с.

9. Курдюк С.А., Шмелёв Е.Н. Особенности формирования математических моделей технических объектов средствами программного комплекса PRADIS // Информационные технологии. 1996. № 3. С. 14-19.

10. Поляков Ю.А. Построение характеристик поперечной угловой жёсткости независимых подвесок грузового автомобиля с помощью пространственной модели // Известия ТулГУ. Технические науки. 2012. Вып. 10. С. 237-241.

11. Поляков Ю.А. Особенности выбора параметров амортизатора подвески сиденья грузового автомобиля при случайном дорожном возбуждении // Автотранспортное предприятие. 2012. № 12. С. 53-55.

12. Bajkov V. The simulation of the mechanical systems dynamics by Euler software // Journal of CAD and computer graphics, Moscow. 1998. № 1. P. 38-48.

13. Bayo E., Serna M.A. Penalty Formulations for the Dynamic Analysis of Elastic Mechanisms // Journal of Mechanisms, Transmissions, and Automation in Design. 1989, September. Vol. 111/321.

14. Bayo E., Garcia de Jalon, Serna M.A. A Modified Lagrangian formulation for the dynamic analysis of constrained mechanical systems // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1988. V. 71, November. P. 183-195.

15. Bayo E., Garcia de Jalon, Serna M.A., Cuadrano J. An Efficient computational method for real time multibody dynamic simulation in fully Cartezian coordinates // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1991. V. 92. P. 377-395.

16. Computer Aided Design Software Inc. DADS, User’s Guide, 1992.

241 р.

17. Mechanical Dynamics // ADAMS Internet Site http://www.adams.com. Mechanical Dynamics Incorporated. - Ann Arbor, MI, USA. 2001.

Горобцов Александр Сергеевич, д-р техн. наук, зав. кафедрой, sorobtsov@avtls.ru, Россия, Волгоград, Волгоградский государственный технический университет,

Карцов Сергей Константинович, д-р техн. наук, проф., kartsov@yandex.ru, Россия, Москва, Московский государственный индустриальный университет,

Поляков Юрий Анатольевич, канд. техн. наук, доц., polyakovua@mail.ru, Россия, Москва, Национальный исследовательский технологический университет «МИСиС»

PARTICULARITIES OF CONSTRUCTION OF CARS SPATIAL DINAMIC MODELS TAKING INTO ACCOUNT OF LARGE MOTIONS OF SOLID BODIES

A.S. Gorobtsov, S.K. Kartsov, Yu.A. Polyakov

This article is about based on 1 kind Lagrang’s equation method of formation differential equation of large motions of solid bodies spatial system taking into account particularities of kinematic ties.

Key words: spatial models of cars, equation of large motions of solid bodies.

Gorobtsov Alexandr Sergeevich, doctor of technical science, manager of department, sorobtsov@avtls.ru. Russia, Volgograd, Volgograd State Technical University,

Kartsov Sergey Konstantinovich, doctor of technical science, professor, kart-sov@yandex.ru, Russia, Moscow, Moscow State Industrial University,

Polyakov Yuriy Anatolevich, candidate of technical science, docent, polya-kovua@mail.ru, Russia, Moscow, National Research Technological University «MISiS»