Исследования явления нагонной волны перед движущимся составом Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

ИССЛЕДОВАНИЯ ЯВЛЕНИЯ НАГОННОЙ ВОЛНЫ ПЕРЕД ДВИЖУЩИМСЯ СОСТАВОМ

© 2003 г. Т.В. Суворова

Возникновение подъёма материальных точек поверхности среды перед движущейся нагрузкой характеризуется как явление нагонной волны. На основе предложенной механико-математической модели динамического поведения системы «верхнее строение железнодорожного пути - слоистая грунтовая среда» [1] изучены особенности возникновения и распространения нагонной волны, генерируемой в балластной призме, грунтовой среде движущимся составом. Грунтовая среда представляет собой пакет упругих или пористоупругих водонасыщенных слоев. Аналитически и численно показано, что при воздействии на поверхность сплошной полубесконечной среды движущейся нагрузки генерируется нагонная волна, амплитуда которой возрастает с увеличением скорости по нелинейному закону [2]. Так называемая хвостовая волна, возникающая за движущейся нагрузкой, имеет меньшую амплитуду и находится в противофазе к нагонной. От скорости движения зависит также и направление, по которому достигается максимум амплитуды волнового поля нагонной волны. Чем меньше скорость движения нагрузки отличается от скорости распространения сдвиговых волн колебаний в исследуемой среде системы, тем больше отклонение максимума перемещений от направления пути. Явление подъёма рельса перед колесом, и спада после него отмечено также в статье [3], причем подъём рельса перед точкой приложения движущейся нагрузки больше, чем после неё.

На основе полученных теоретических выводов одним из направлений экспериментальных исследований системы и было выбрано изучение в натурных условиях нагонной волны, генерируемой движущимся составом на поверхности балластной призмы, грунтовой среды. Результаты анализа откликов волновых полей системы «верхнее строение пути - грунтовой массив» при динамическом воздействии движущегося состава [4] показали, что исследование явления нагонной волны целесообразно проводить на основе анализа вертикальной компоненты и компоненты волнового поля в направлении пути. Характеристики виброизмерительного комплекса и методика проведения исследований динамических характеристик системы описаны в [4]. В качестве полигона для проведения исследований выбран участок железной дороги близ остановочной площадки «Мечетный» 1396 км, ветки СКЖД Ростов-Кущевская. Здесь проложен двухколейный путь на балластной призме высотой 2,20 м, нечетный путь - бесстыковой, рельсовые плети уложены на железобетонные шпалы в 2002 г. Четный путь - давней укладки на деревянных шпалах, длина рельсовых плетей - 25 м.

На рис. 1 представлены графики амплитудно-временных характеристики (АВХ) ускорений вертикальной компоненты волнового поля длительностью 8,2 с до момента прохождения первой колёсной оси локомотива отсчётной линии. Товарный состав проходил по нечетному пути со скоростью примерно 40-50 км/ч. Датчики расположены на поверхности на отсчетной линии, перпендикулярной направлению пути. Горизонтальные расстояния от ближнего рельса до датчиков 1, 2, 3 равны соответственно 0,5 м, 2 м, 4 м. Рис. 1 даёт представление о распределении амплитуд нагонной волны на поверхности балластной призмы -верхний график, на середине склона балластной призмы - средний график, и у её подошвы - нижний график. Здесь и далее по оси ординат даны относительные единицы, пропорциональные единицам ускорения.

АО

Рис. 1. АВХ вертикальной компоненты ускорений волнового поля перед локомотивом товарного состава на расстояниях 0,5 м, 2 м, 4 м от рельса (масштаб вертикальных осей разный)

Из представленных графиков видно, что огибающая нагонной волны представляет собой увеличивающиеся по амплитуде биения, обусловленные приближением состава, с наибольшим максимумом амплитуды огибающей перед моментом прохождения первой оси локомотива. Значениям ^ = 1,08 с (рис. 1, верхний график) и /2=0,7 с (рис. 1, нижний график) соответствуют временные промежутки между максимумом амплитуды огибающей нагонной волны и моментом прохождения первой оси локомотива на поверхности балластной призмы и у ее подошвы.. Разница времён прихода нагонных волн к отсчётной линии объясняется разницей скоростей распространения колебаний на поверхности балласта и подстилающей грунтовой среды. Измеренные значения скоростей

распространения колебаний в месте проведения испытаний составляют для балласта 130-140 м/с, для подстилающего грунта 210-220 м/с. Следует отметить значительно меньшую выраженность нагонной волны на середине откоса насыпи (средний график). /3 = 0,8 с соответствует периоду колебаний, т. е. между соседними максимумами.

Отрыв уровня полезного сигнала от уровня шумов регистрируется более чем за минуту до момента прохождения первой колёсной оси локомотива отсчётной линии. Выбранный в качестве нормирующего, уровень сигнала нагонной волны 0,05 на поверхности балластной призмы (датчик 1) достигается при этом за 6 с до момента прохождения первой колёсной оси локомотива. При этом максимальный уровень огибающей нагонной волны составляет примерно 10 % от максимального уровня сигнала.

На рис. 2 представлены частотные характеристики этих сигналов, длительность выборки составляет 8,192 с до момента прохождения первой колёсной оси локомотива отсчётной линии. Характерной особенностью этих АЧХ является наличие спектральных составляющих большой интенсивности в низкочастотной области - 1-25 Гц и в высокочастотной - 100^130 Гц для датчика № 1. Для датчиков № 2, 3 высокочастотные составляющие практически отсутствуют. Естественно, что датчик № 1 по своему местоположению лучше остальных фиксирует вертикальную компоненту волнового поля, возбуждаемого колебаниями рельсошпаль-ной решётки в основной площадке задолго до момента прохода головы состава (в рассматриваемом случае за 80-100 м от электровоза). Наличие высокочастотных составляющих фиксируется на собственных резонансных частотах рельсовых нитей, в которых затухание колебаний происходит значительно медленнее, чем в грунтовой среде. Резонансный выброс на частоте 98 Гц, проявляющийся на всех датчиках, определяет аномальное поведение одного из элементов рельсошпальной решетки пути (наибольшая амплитуда сигнала на поверхности основной площадки).

Af)

Рис. 2. АЧХ вертикальной компоненты ускорений волнового поля перед локомотивом товарного состава на расстояниях установки датчиков на 0,5 м, 2 м, 4 м от ближнего рельса

Проследим эволюцию спектральных свойств сигнала нагонной волны во времени при приближении состава, применив идею обработки, близкую к вейвлет-анализу [5]. При этом из исходной реализации длительностью 8,192 с вырезается три реализации длительностью 2,048 с с последующим преобразованием Фурье. На рис. 3-5 приведены сонограммы развития частотных характеристик волнового поля в зависимости от места установки датчика на отсчетной линии и во времени. Указанные графики наглядно представляют процесс изменения частотных свойств отклика системы при приближении состава к отсчетной линии. Верхние графики на рис. 3-5 представляет собой частотный спектр вырезки сигнала АВХ длительностью 2,048 с за 8,192 с до момента прохода первой оси локомотива отсчётной линии. Средние графики на рис. 3-5 представляют собой частотный спектр вырезки сигнала АВХ длительностью 2,048 с за 6,144 с до момента прохода первой оси локомотива отсчётной линии. Нижние графики на рис. 3-5 представляют собой частотный спектр вырезки сигнала АВХ длительностью 2,048 с за 4,096 с до момента прохода первой оси локомотива отсчётной линии.

Af)

Рис. 3. Сонограмма АЧХ сигнала датчика № 1, расположенного на расстоянии 0.5 м от рельса

Рис. 4. Сонограмма АЧХ сигнала датчика № 2, расположенного на расстоянии 2 м от рельса на откосе

Е-2> 0,15 0

0,3

0,15 0 0,6 0,45 0,3 0,15

0

21 42 63 84 105 126 147 168 Рис. 5. Сонограмма АЧХ сигнала датчика № 3, расположенного на расстоянии 4 м от рельса у подошвы откоса

Рассмотрим изменение характеристик нагонной волны при высокой скорости движения состава. На рис. 6 представлена АВХ вертикальных ускорений скорого поезда при движении с высокой скоростью, датчик установлен на расстоянии 200 м от магистрали. Здесь наиболее отчётливо видно проявление эффекта нагонной волны. Максимуму нагонной волны на графике соответствует значение 23 с, при этом максимум фиксируется примерно за 7 с до прохода головы состава отсчётной линии и составляет уже примерно 50 % от максимального уровня сигнала. Меньшее время фиксации превышения уровня сигнала относительно уровня шумов 15-20 с на расстоянии 200 м от магистрали и более минуты на расстоянии 0,5 м от рельса объясняется значительно большей скоростью распространения колебаний в рельсо-шпальной решетке, чем в грунте. к А, м/с2

6,13 12,26 18,39 24,52 30,65 36,78 42,91, 49,04 55,17

Рис. 6. АВХ ускорений вертикальной составляющей волнового поля на расстоянии 200 м от магистрали при проходе

скорого поезда с высокой скоростью движения

На рис. 7 представлена АВХ ускорений компоненты волнового поля в направлении пути, длительность реализации 22 с до момента прохождения первой колёсной оси локомотива отсчётной линии. Пассажирский поезд проходил по четному пути, датчик расположен на расстоянии 3 м от ближнего рельса. Несмотря на то что силовое воздействие производи-

лось по дальнему пути, выбранный нормирующий уровень сигнала нагонной волны 0,05 достигается более чем за 7 с до момента прохода первой колёсной оси локомотива отсчётной линии. Учитывая примерно одинаковую скорость движения сравниваемых составов, можно сделать вывод о том, что продольная компонента волнового поля превышает вертикальную, хотя здесь необходимо учитывать и влияние жесткости рельсошпальной решетки. Для уточнения количественных характеристик сравниваемых компонент волнового поля при разных скоростях движения состава необходимо проведение дополнительных исследований. Некоторое увеличение амплитуд выбросов сигналов в районе 11,5 - 12,5 с на рис. 7 определяется наличием стыка рельс.

Рис. 7. АВХ компоненты волнового поля в направлении пути перед локомотивом пассажирского поезда при движении по дальнему пути

На рис. 8 приведена сонограмма развития частотных характеристик продольной компоненты волнового поля во времени.

0,2 0,1

0,2 0,1

0,2 0,1

0,2 0,1

0,2 0,1

0,2 0,1

I

А(/)

i i i i i i

wi-.....

iLWrr^OlJ

i i i i i i i i i Iii

i.........¡" .......i ..... "i..... i.........I .......г I

iii i i i i i i i

f Гц

21 42 63 84 105 126 147 168 189

Рис. 8. АЧХ компоненты волнового поля в продольном направлении перед локомотивом пассажирского поезда при движении по четному пути

В данном случае процесс нарастания амплитуды волнового поля во времени разбит на выборки длительностью 8,192 с с постоянным смещением от начала на величину 2048 отсчёта. При этом количество анализируемых выборок равно 6. Далее берётся преобразование Фурье по каждой анализируемой выборке.

Анализ изменения частотных спектров сигнала во времени см. рис. 8 целесообразно провести с разбивкой на три поддиапазона частот 1 - 18, 18 - 44, 44 - 180 Гц. В первом и третьем поддиапазонах происходит линейное увеличение амплитуды спектральных составляющих и ширины диапазона частот на нормируемом уровне, во втором - аномальный локальный подъём спектральных составляющих с максимумом на частоте 28 - 30 Гц, причём огибающая этого локального подъёма на рассматриваемом временном отрезке практически не изменяется при приближении состава. Представленные результаты анализа АЧХ подтверждают сделанное ранее предположение о наличии на указанных частотах выраженного резонанса рельсо-шпальной решетки.

Приведённые результаты натурных исследований подтвердили существование нагонной волны - факт, полученный в результате теоретического исследования модельной задачи. Данные натурного эксперимента могут быть существенно дополнены при испытаниях на скоростных участках железных дорог, при планировании широкомасштабных экспериментов с заранее выбранными скоростями движения состава. На основании строгого математического анализа теоретической модели установлено, что амплитуда нагонной волны возрастает с увеличением скорости

Исследование динамики локомотивов требует построения достаточно подробной математической модели движения экипажа в переходных и круговых кривых, учитывающей реальную геометрию рельсового пути.

В общем случае ось рельсового пути представляет собой некоторую кривую в трехмерном пространстве [1, 2]. Для ее описания введем в рассмотрение неподвижную систему координат [£0], ее оси Ох и Оу расположены в горизонтальной плоскости, ось Оz направлена вертикально вверх (рис. 1).

движения. При этом важен учет дополнительных деформаций, которым будет подвержена верхняя часть балластной призмы при увеличении скорости движения вследствие перераспределения энергии нагонной волны. Амплитуда нагонной волны резко возрастает при приближении скорости движения нагрузки к скорости распространения сдвиговых волн в грунтовой среде. Особенно важно поэтому проводить уточненные расчеты для слабых, обводненных грунтов с низкой скоростью распространения сдвиговых волн, которая становится сравнимой со скоростями движения составов. Ряд стран уже учитывает эти явления введением новых стандартов движения [6].

Литература

1. Суворова Т. В. Математическая модель «Железнодорожная магистраль - грунтовая среда» // Сб. тр. VI между-нар. науч.-техн. конф. по динамике технол. систем. Ростов н/Д, 2001. Т. 1. С 133-137.

2. Суворова Т.В. Волновое поле, возбуждаемое в двухфазном пористо-упругом полупространстве осциллирующей нагрузкой // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2002. № 4. С. 22-26.

3. Тассили Э., Винсент Н. Распространение колебаний, возникающих при движении поезда // ЖДМ. 1991. № 3.

4. Суворов А.Б., Суворова Т.В. Исследование волновых полей, генерируемых в грунте движением состава по железнодорожной магистрали // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2001. № 4. С. 70-75.

5. Daubechies I. The wavelet transform. Time-frequency localization and signal analysis // IEEE Trans/ Information Theory. 1990. IT-36. № 5. Р. 961-1005.

6. Новый национальный стандарт Норвегии. // Вибрация грунта, вызванная движением транспорта по железной дороге. Осло, 1999.

18 марта 2003 г.

Рис. 1. Ось пути и ее проекция на горизонтальную плоскость

Ростовский государственный университет путей сообщения УДК 629.4.027 (021)

МАКРОГЕОМЕТРИЯ ОСИ РЕЛЬСОВОГО ПУТИ

© 2003 г. Л.Н. Сорин, А.А. Зарифьян, Г.А. Бузало

Векторно-координатный способ задания кривой в пространстве заключается в определении зависимости ее радиус-вектора от некоторого параметра u:

r = r (u), (1)

что эквивалентно записи в координатной форме

х = x(u), y = y (и), z = z (и) . (2)

Соотношения (1) и (2) можно объединить и представить как

r(u) = x(u)e(0) + y(u)e(20) + z (u)e30),

где e(0), e(0), e30) - орты неподвижного базиса [50].

Кроме того, будем использовать подвижную систему координат [5C], начало которой располагается в точке C, перемещающейся по оси рельсового пути. Радиус-вектор точки C в неподвижном базисе [50] имеет вид

Гс (u) = Хс (u)e(0) + Ус (u)e20) + Zc (u)e^0). (3)

Далее примем, что zC (u) = 0, то есть будем рассматривать проекцию оси рельсового пути на горизонтальную плоскость.

Ориентацию осей системы координат [5C] зададим следующим образом. Орт первой оси e(C) направлен по касательной к оси пути. Орт второй оси e(C) перпендикулярен e(C) и направлен влево по ходу - либо по линии, соединяющей головки рельсов, либо располагается в горизонтальной плоскости. В первом случае [5C] учитывает боковое отклонение, вызванное разностью уровней рельсовых нитей, во втором случае возвышение одного из рельсов будет приводить к изменению угла поворота вокруг продольной оси (угла боковой качки). Орт e3C) дополняет e(C) и e(C) до правой тройки. Таким образом, [5C] может быть получена переносом [50] на величину rC (u) и последовательностью двух поворотов: на угол фс (u) вокруг вертикали e30) и на угол ус (u) вокруг продольной оси e(C).

Возникает практически важный вопрос о рациональном выборе параметра u, однозначно определяющего текущее положение точки C на оси рельсового пути и ориентацию осей базиса [5C].

При движении по прямолинейному пути естественно принять в качестве данного параметра координату xC текущего положения точки C. Тогда имеем u = хс , фс = 0, и выражение (3) принимает вид

rC = Хс el ) .

При движении по круговой кривой принимать xC

в качестве параметра u неудобно. В данном случае целесообразно использование полярных координат и полярного угла ф = фс в качестве параметра: u = фс . Выражение (3) принимает вид

rC = RC sin фсe(0) - RC cos фсe(0).

В данном случае текущее положение базиса [5С] определяется поворотом исходного базиса [50] на угол фс вокруг орта е30) и последующим переносом на величину Яс , равную радиусу кривой, вдоль полученной оси е2с ) в отрицательном направлении.

В свою очередь, использование полярных координат крайне неудобно при исследовании движения по прямой. Таким образом, ни линейная координата хс , ни полярный радиус фс не могут служить универсальной независимой переменной.

При прохождении локомотивом поворотов движение происходит вначале по прямолинейной траектории, затем по входной переходной кривой, затем по дуге окружности заданного радиуса, и так далее. Поэтому желательно иметь единый универсальный способ описания макрогеометрии оси пути.

В настоящей работе для определения текущего положения базиса [5С] предлагается использовать дуговую координату 5 = [3, 4]. При этом 5 понимается как длина дуги со знаком, соответствующим выбранному вдоль траектории положительному направлению (рис. 2). Например, если О - начало

отсчета дуг, то в точке A параметр равен s = +

и

OA

а в точке B: s = -

и

OB

Текущее значение дуговой координаты 5 = ¿-(О однозначно определяет положение экипажа на рельсовом пути, непрерывно изменяется с течением времени / и может быть измерено при движении, что очень важно при построении систем управления.

A

+s

'O

B

Рис. 2. Дуговая координата

Для дальнейшего потребуется записать закон движения точки С в векторно-координатной форме, следовательно, необходимо получить следующие функции

xc = xc (s), yc = yc (s), Фс = Фс (s);

а также их первые и вторые производные по s:

(4)

dx,

c ds

dyc_ ds

d ф,^ ds

ds2

d yc d ф^.

ds2

ds2

С учетом того, что для бесконечно малого элемента дуги справедливо соотношение

йз2 = йХс + йу2с ,

получаем

ds

dya ds

= 1.

(5)

Кривизна оси пути в данной геометрической точке определяется соотношением [3]

й фс

к (s) =-

ds

(6)

= tg Фа (s).

ds ds

(7)

ds

= cos Фа (s).

Аналогично

dy—_ ds

= sin Фа (s).

(9)

(10)

к.

(Хо, Уо) \ Фо

->■

Рис. 3. Движение по прямолинейному участку

Кривизна прямой линии равна нулю, к(s) = 0 . Тогда из (8) - (10) имеем

Фс (s) = } к (s )ds + C1, Ci =Фо , Фе (s) = Фо,

dXe = cos ф0, xC (s) = cos ф0 (s - s0) + x0; ds

кривизна оси пути и радиус кривизны связаны соотношением

к(з) = 1/Я(з).

Поскольку фс является углом поворота касательной, можно записать

dy—_ ds

= sinФо, Уа (s) = sinФо (s - so) + Уо.

Имея закон изменения кривизны к(s), согласно (6) можно записать

Фс (s) = } к (s)ds . (8)

Исключая с помощью (7) производную dyC /ds из равенства (5), получаем

dXc ]

I = cos Фс (s) .

С учетом выбора положительного направления траектории в сторону возрастания оси координат, имеем

Все вторые производные равны нулю.

Если движение начинается из центра неподвижной системы координат [50] вдоль оси х, получаем хс (з) = з, ус (з) = 0, фс (з) = 0 . В качестве определяющего параметра выбираем линейную координату з = хс .

2. Движение происходит по круговой кривой радиуса Яс . Исходная точка хс (з0) = х0, ус (з0) = у0 , начальный угол наклона касательной фс (з0) = ф0 (рис. 4). В качестве иллюстрации на рис. 4 представлена также траектория с отрицательной кривизной.

При движении в круговой кривой кривизна постоянна и равна к(з) = 1/Яс . В этом случае из (6), (9) и (10) получаем:

йфс- = 1/Яс , фс (з) = ^ + ф0 ,

ds

dXa '

—— = cos(-

ds

R,

Ra

-+Фо)

с

xa (s) = Ra

f s - s Л sin(———0 + Ф0) - sin Ф0

RC

+ Xn

Уравнения (8), (9) и (10) позволяют определить все необходимые функции (4). Первые производные получаются непосредственно из (6), (9), (10), а вторые - после однократного дифференцирования.

Рассмотрим три возможных случая.

1. Движение происходит по прямолинейному участку пути. Начало участка - в точке хс (з0) = х0,

ус (з0) = у0; этот участок образует некоторый угол фс (з0) = ф0 с осью х неподвижной системы координат [50] (рис. 3).

y

^ = sin(-s - so

ds

Ra

+ Фо) =

Ус(s) = rc

- cos(-

,s - s0

Л

Ra

- + Фо) + cos Фо

+ Уо.

(Xo, Уо)

Рис. 4. Движение по дуге окружности

0

X

Вторые производные равны:

d 2 xC 1

yC(s) = Уо WnRClo x

s - s.

ds2

RC

Sin^——0 +Фо): R

d 2 yC 1 ,s - s0

■ = — cos(^^ + Фо).

ds2 RC

Rc

k (s) =

d фс ds

RCl0

ds

■ = cos

f (s - so)2 2RCl0

+ Фо

,(s) = J

dyC

С0Б

f (s - so)2

2 RCl0

f

\

+ Фо

ds + C2

(11)

ds

= Б1П

(s - so)'

2RCl0

+ Фо

Ус (s) = J sin

f (s - so)2 2RCl0

\

+ Фо

ds + C3

(12)

xC (s) = x0 + sjnRCl° x

cos ф0 FrC( s s° ) - sin ф0 FrS( s )

VnRCl0

VnRCl°

(13)

sin ф° FrC(-

-) + cos ф° FrS(

VnRclc

)

В частном случае 50 = 0, x0 = 0, у0 = -RC, ф0 = 0 (центр окружности радиуса Rc находится в начале координат) имеем

Фc (•*) = -¡г, % ^) = ^ ^ТТ", Уc (5) = со^-^,

^ ^ ^

что соответствует случаю применения полярной системы координат (полярный угол равен длине дуги, деленной на радиус).

3. Движение происходит по переходной кривой, имеющей длину /0. Как и ранее, считаем заданными значения 50, ф0, x0, у0 .

Будем рассматривать переходную кривую, кривизна которой линейно изменяется от 0 до 1/RC на протяжении дуги длины ^ , согласно (6) находим:

где интегралы Френеля

t П t п

РгС(0 = |соб(-u2)du , = 1Б1П(— u2)du ,

0 2 0 2

их зависимость от параметра / показана на рис. 5.

(14)

Аргумент

Рис. 5. Интегралы Френеля s - s°

VnRClo

может принимать значения от

Тогда выражения, определяющие положение и ориентацию [>5'^ , принимают вид:

, ч ^ -S0)2

Фc (s) = .„ 0 +Фo,

2Rc/o

° до

nRC

и на практике не превышает единицы.

Решение также можно записать в виде рядов:

xC (s) = x° + cos ф° (s - s°) -

sin ф° (s - s°)3 6RcI°

cos ф° (s - s°) _ + sin ф° (s - s°) +

4°(RcI°)2

336(RCl°)3

cos ф° (s - s°)9 sin ф° (s - s°)"

3456(RCl°)4 42240(RCl°)5

(15)

yC (s) = У° + sin ф°(s - s°) +

cos ф° (s - s°)

6RJ°

-sinф° (s- s°)5 - cosф° (s-s°)7 40(RcI°)2 336(RcI°)3 + sinф° (s - s°)9 + cosф° (s - so)11

3456(RCl°)4 42240( Rcl°)5

(16)

Интегралы вида (11) и (12) не выражаются в элементарных функциях и сводятся к интегралам Френеля [5]:

Данная кривая называется радиоидальной спиралью [5].

Вторые производные равны:

ds2

s - s°

f

Rclo

-БШ

(s - s°)2

2RCl0

\

d 2 yc = s - so ds2 Rcl°

С0Б

f (s - s°)2 2 Rclo

+ ф°

+ ф°

l

0

Значения xc и yc можно находить согласно (13), (14) использованием таблично заданных интегралов Френеля, или же путем непосредственного суммирования рядов (15), (16). В общем случае наиболее целесообразно применять процедуру численного интегрирования непосредственно к системе (6), (9), (10).

В частном случае нулевых начальных условий, ограничиваясь первыми членами рядов, из (15) и (16) получаем

xc (s) = s , yc (s) =

6Rcl°

(17)

Первая и вторая производные:

d фc ds

0,

(s - sj)

RCl2

RC

s < s,

sj < s < s2,

s > s2;

d 2 фc ds 2

откуда

RCl2

s < sb

s1 < s < s2,

s > s2.

yC =

6Rcl°

(18)

что соответствует описанию переходной кривой кубической параболой [2].

Описание обратной переходной кривой аналогично строится аналогично с учетом линейного изменения кривизны от заданного значения 1/Rc до 0.

Обобщая описанные выше три случая, рассмотрим вход с прямолинейного участка длиной I = 30 м через переходную кривую длиной 12 = 100 м в круговую кривую радиуса Rc = 200 м.

Пусть центр неподвижной системы координат совпадает с началом движения, а ее первая ось направлена вдоль прямолинейного стартового участка (рис. 6), численные значения s1 = ^ = 30 м, s2 = I + 12 = 130 м.

y

40

20 Od

k = 1/ Rc

k = 0...1/ Rc

k = 0 +

0

s 50

100

s2

150

200

Рис. 6. Вход с прямолинейного участка через переходную кривую в дугу окружности

Зависимость xc (s) имеет вид

xc (s) =

s1 + s]nRCl2 FrC

f s

s - s

4nRCl2

x2 + RC

sin(-2 + ф2) - sin ф2

RC

s< s1;

s1 < s < s2;

s > s-

где

x2 = xc (s2 ) = s1 +4nRCl2 FrC ^nRC

2

= 129,377 м.

Согласно приближенной формуле (17), находим

x2 = s1 + s2 = 130 м. Производные:

dx

„ч. d2 xc d фC

—C = cos Фc (s), —c = —^ sin Фc (s). (19)

ds ds ds

Аналогично находим выражения для функции yc (s):

yc (s) =

0,

yjnRCl2 FrS

s - s

4nRCl2

s < sb

s1 < s < s2,

У2 + RC

f

- cos(-2 + ф2) + cos ф2

RC

Л

s > s.

2

Тогда угол фc (s) будет изменяться по следующему закону:

Фc (s) =

0,

(s - s1)2

2RCl2

s < s

s1 < s < s2,

s - s2

RC

- +ф2 , s > s2,

l2

где Ф2 = Фc (s2) = = 0,25 рад.

2 RC

где

f p— Л

У2 = yc (s2 ) = 4nRCl2 FrS JnRr ''

> ' C t

= 8,296 м.

Согласно кубической зависимости (18), имеем

У2 = (S2 -= 8,33 м. 6Rcl2

Производные:

dyc

ds

dyC

= sin фc (s),

d2 yc = d^C ds2 ds

cos фc (s).

1

3

s

1

x

x

Отметим, что все полученные функции имеют непрерывные первые и вторые производные, т. е. являются достаточно гладкими и, следовательно, пригодны для дальнейшего использования при выводе уравнений движения.

Таким образом, мы получили единый способ описания оси пути как для прямых участков, так и для переходных и круговых кривых. В общем случае, когда конфигурация пути в плане задана табулированными значениями кривизны, функция к(s) строится с применением интерполяционных полиномов, например, очень удобным является использование кубических сплайнов. Нахождение координат (4) осуществляется в процессе численного решения уравнений движения рельсового экипажа как механической системы, дополненных тремя дифференциальными уравнениями первого порядка:

фс = к(s) s , Хс = cos фс s , yC = sin фс s ,

причем длина дуги s входит в число обобщенных координат системы, начальные условия фс (s0) ,

хс (з0), ус (з0) определяют исходное положение на траектории движения, точкой сверху здесь обозначено дифференцирование по времени.

Литература

1. Матвеев С.И., Коугия В.А., Цветков В.Я. Геоинфор-

мационные системы и технологии на железнодорожном транспорте. М., 2002.

2. Вериго М.Ф., Коган А.Я. Взаимодействие пути и подвижного состава / Под. ред. М.Ф. Вериго. М., 1986.

3. Зарифьян А.А., Бондарев А.П. Определение кинематических характеристик движения точки методами компьютерного моделирования. Ростов н/Д, 2002.

4. Механическая часть тягового подвижного состава / И.В. Бирюков, А.Н. Савоськин, Г.П. Бурчак и др.; Под ред. И.В. Бирюкова. М., 1992.

5. Справочник по математике (для научных работников и инженеров) / Г. Корн, Т. Корн. М., 1977.

Южно-Российский государственный технический университет (НПИ),

Ростовский государственный университет путей сообщения,

ОАО Всероссийский научно-исследовательский и проектно-конструкторский

институт электровозостроения, г. Новочеркасск 26 марта 2003 г.